Chuyên đề Giải Toán học trên máy tính cầm tay

MATHVN.COM | www.mathvn.com 
Dành cho học sinh THPT 
www.mathvn.com 1 
giải toán trên Máy tính cầm tay 
Quy -ớc. Khi tính gần đúng, chỉ ghi kết quả đã làm tròn với 4 chữ số thập phân. 
Nếu là số đo góc gần đúng tính theo độ, phút, giây thì lấy đến số nguyên giây. 
1. Biểu thức số 
 Bài toán 1.1. Tính giá trị của các biểu thức sau: 
A = cos750 cos150; B = 2 4 8cos cos cos
9 9 9
p p p ; 
 C = 0 0 0 00 0
1 1
tan 9 tan 27 tan 63 tan81
sin18 sin 54
- + - - + . 
KQ: A = 1
4
; B = - 1
8
; C = 6. 
Bài toán 1.2. Tính gần đúng giá trị của các biểu thức sau: 
 A = cos750 sin150; B = sin750 cos150; C = 5sin sin
24 24
p p . 
KQ: A ≈ 0,0670; B ≈ 0,9330; C ≈ 0,0795. 
Bài toán 1.3. Tính gần đúng giá trị của biểu thức 
A = 1 + 2cosα + 3cos2α + 4cos3α 
nếu α là góc nhọn mà sinα + cosα = 6
5
. 
KQ: A1 ≈ 9,4933; A2 ≈ 1,6507. 
Bài toán 1.4. Cho góc nhọn α thoả mãn hệ thức sinα + 2cosα = 4
3
. Tính gần 
đúng giá trị của biểu thức S = 1 + sinα + 2cos2α + 3sin3α + 4cos4α 
KQ: S ≈ 4,9135. 
2. Hàm số 
Bài toán 2.1. Tính gần đúng giá trị của hàm số 
f( x ) = 
2 2
2
2sin (3 3)sin cos ( 3 1)cos
5 tan 2cot sin cos 2 1
2
x x x x
x
x x x
+ + + -
- + + +
tại x = - 2; 
6
p ; 1,25; 3
5
p . 
KQ: f(- 2) ≈ 0,3228; f
6
pổ ử
ỗ ữ
ố ứ
≈ 3,1305; f(1,25) ≈ 0,2204; 
MATHVN.COM | www.mathvn.com 
Dành cho học sinh THPT 
www.mathvn.com 2 
 f 3
5
pổ ử
ỗ ữ
ố ứ
 ≈ - 0,0351. 
Bài toán 2.2. Tính gần đúng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) 
= cos2x + 3 cosx - 2 . 
 KQ: max f(x) ≈ 1,3178; min f(x) ≈ - 2,7892. 
Bài toán 2.3. Tính gần đúng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 
sin 2cos
3cos 4
x x
x
+
+
. KQ: max y ≈ 0,3466; min y ≈ - 
2,0609. 
3. Hệ ph-ơng trình bậc nhất hai ẩn 
Bài toán 3.1. Giải hệ ph-ơng trình 
2 5 8
3 7 25.
x y
x y
- =ỡ
ớ + =ợ
 KQ: 
181
29
26
29
x
y
ỡ =ùù
ớ
ù =
ùợ
Bài toán 3.2. Tính a và b nếu đ-ờng thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(2; - 5) 
và B(- 6; 9). KQ: a = - 7
4
; b = - 
3
2
. 
Bài toán 3.3. Tính b và c nếu parabol y = x2 + bx + c đi qua hai điểm A(- 2; 14) 
và B(- 16; 7). KQ: b = 37
2
; c 
= 47. 
Bài toán 3.4. Tính các nghiệm nguyên của ph-ơng trình x2 - y2 = 2008. 
KQ: 1
1
503
501
x
y
=ỡ
ớ =ợ
 2
2
503
501
x
y
=ỡ
ớ = -ợ
 3
3
503
501
x
y
= -ỡ
ớ =ợ
 4
4
503
501
x
y
= -ỡ
ớ = -ợ
 5
5
253
249
x
y
=ỡ
ớ =ợ
 6
6
253
249
x
y
=ỡ
ớ = -ợ
 7
7
253
249
x
y
= -ỡ
ớ =ợ
8
8
253
249.
x
y
= -ỡ
ớ = -ợ
4. Hệ ph-ơng trình bậc nhất ba ẩn 
Bài toán 4.1. Giải hệ ph-ơng trình 
2 3 4 5
3 6
5 6 8 9.
x y z
x y z
x y z
- + =ỡ
ù + - =ớ
ù + + =ợ
 KQ: 
3,704
0,392
0,896.
x
y
z
=ỡ
ù = -ớ
ù = -ợ
Bài toán 4.2. Tính giá trị của a, b, c nếu đ-ờng tròn x2 + y2 + ax + by + c = 0 đi 
qua ba điểm M(- 3; 4), N(- 5; 7) và P(4; 5). KQ: a = 1
23
; b = - 375
23
; c = 
928
23
. 
MATHVN.COM | www.mathvn.com 
Dành cho học sinh THPT 
www.mathvn.com 3 
Bài toán 4.3. Tính giá trị của a, b, c, d nếu mặt phẳng ax + by + cz + 1 = 0 đi 
qua ba điểm A(3; - 2; 6), B(4; 1; - 5), C(5; 8; 1). KQ: a = - 95
343
; b = 17
343
; c = - 
4
343
. 
Bài toán 4.4. Tính gần đúng giá trị của , ,a b c nếu đồ thị hàm số y = 
sin cos
cos 1
a x b x
c x
+
+
 đi qua ba điểm A 31;
2
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
, B(- 1; 0), C(- 2; - 2). KQ: a ≈ 1,0775; b ≈ 
1,6771; c ≈ 0,3867. 
5. Hệ ph-ơng trình bậc nhất bốn ẩn 
Bài toán 5.1. Tính giá trị của a, b, c, d nếu đồ thị hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d 
đi qua bốn điểm A(1; - 3), B(- 2; 4), C(- 1; 5), D(2; 3). 
KQ: a = 5
4
; b = 5
6
; c = - 21
4
; d = 1
6
. 
Bài toán 5.2. Tính giá trị của a, b, c, d nếu mặt cầu x2+y2+z2+ax+by+cz+d=0 đi 
qua bốn điểm A(7; 2; - 1), B(5; - 6; 4), C(5; 1; 0), D(1; 2; 8). 
KQ: a = - 21; b = - 5
3
; c = - 47
3
; d = 242
3
. 
6. Ph-ơng trình bậc hai 
Bài toán 6.1. Giải ph-ơng trình 2x2 + 9x - 45 = 0. KQ: x1 = 3; x2 = - 
7,5. 
Bài toán 6.2. Giải gần đúng ph-ơng trình 5x2 - 17,54x + 2,861 = 0. 
KQ: x1 ≈ 3,3365; x2 ≈ 0,1715. 
Bài toán 6.3. Giải ph-ơng trình 9x2 - 24x + 16 = 0. KQ: x = 4
3
. 
7. Ph-ơng trình bậc ba 
Bài toán 7.1. Giải ph-ơng trình x3 - 7x + 6 = 0. KQ: x1 = 2; x2 = - 3; x3 = 
1. 
Bài toán 7.2. Giải gần đúng ph-ơng trình 2x3 + 5x2 - 17x + 3 = 0. 
KQ: x1 ≈ 1,7870; x2 ≈ - 4,4746; x3 ≈ 0,1876. 
Bài toán 7.3. Tính gần đúng góc nhọn α (độ, phút, giây) nếu sin2α+3cos2α= 4tanα. 
KQ: α ≈ 300 20’ 20”. 
8. Hệ ph-ơng trình bậc hai hai ẩn 
Bài toán 8.1. Tính gần đúng toạ độ các giao điểm của đ-ờng thẳng 3x - y - 1 = 0 
và elip 
2 2
1
16 9
x y
+ = . 
KQ: x1 ≈ 1,2807; y1 ≈ 2,8421; x2 ≈ - 0,6532; y2 ≈ - 2,9597. 
MATHVN.COM | www.mathvn.com 
Dành cho học sinh THPT 
www.mathvn.com 4 
Bài toán 8.2. Tính gần đúng toạ độ các giao điểm của hai đ-ờng tròn x2 + y2 = 4 
và x2 + y2 - 2x - 6y - 6 = 0. KQ: x1 ≈ - 1,9735; y1 ≈ 0,3245; x2 ≈ 1,7735; y2 ≈ - 
0,9245. 
Bài toán 8.3. Giải gần đúng hệ ph-ơng trình 
2 2 3 3 4
3 2 2 5.
x y x y
xy x y
ỡ + + + =
ớ
- - =ợ
KQ: 1
1
0,2011
3,8678
x
y
ằỡ
ớ ằ -ợ
 2
2
3,8678
0,2011.
x
y
ằ -ỡ
ớ ằợ
Bài toán 8.4. Giải gần đúng hệ ph-ơng trình 
2
2
2 4
2 4.
x y x
y x y
ỡ + - =ù
ớ
+ - =ùợ
KQ: 1
1
2,5616
2,5616
x
y
ằỡ
ớ ằợ
 2
2
1,5616
1,5616
x
y
ằ -ỡ
ớ ằ -ợ
 3
3
3,3028
0,3028
x
y
ằỡ
ớ ằ -ợ
 4
4
0,3028
3,3028.
x
y
ằ -ỡ
ớ
ợ ;
9. Thống kê 
Bài toán 9.1. Ng-ời ta chọn một số bút bi của hai hãng sản xuất A và B xem sử 
dụng mỗi bút sau bao nhiêu giờ thì hết mực: 
Loại bút A: 23 25 27 28 30 35 
Loại bút B: 16 22 28 33 46 
Tính gần đúng số trung bình và độ lệch chuẩn về thời gian sử dụng của mỗi loại 
bút. 
KQ: Ax = 28; sA ≈ 3,8297; Bx = 29; sB ≈ 10,2372. 
Bài toán 9.2. Một cửa hàng sách thống kê số tiền (đơn vị: nghìn đồng) mà 60 
khách hàng mua sách ở cửa hàng này trong một ngày. Số liệu đ-ợc ghi trong bảng phân 
bố tần số sau: 
Lớp Tần số 
[40; 49] 3 
[50; 59] 6 
[60; 69] 19 
[70; 79] 23 
[80; 89] 9 
 N = 60 
 Tính gần đúng số trung bình và độ lệch chuẩn. 
KQ: x ≈ 69,3333; s ≈ 10,2456. 
10. Ph-ơng trình l-ợng giác 
MATHVN.COM | www.mathvn.com 
Dành cho học sinh THPT 
www.mathvn.com 5 
Bài toán 10.1. Tìm nghiệm gần đúng của ph-ơng trình sinx = 2
3
. 
KQ: x1 ≈ 0,7297 + k2π; x2 ≈ - 0,7297 + (2k + 1)π. 
Bài toán 10.2. Tìm nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của ph-ơng trình 2sinx - 
4cosx = 3. 
KQ: x1 ≈ 1050 33’ 55” + k3600; x2 ≈ 2010 18’ 16” + k3600. 
Bài toán 10.3. Tìm nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của ph-ơng trình 2sin2x + 
3sinxcosx - 4cos2x = 0. 
KQ: x1 ≈ 400 23’ 26” + k1800; x2 ≈ - 660 57’ 20” + k1800. 
Bài toán 10.4. Tìm nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của ph-ơng trình sinx + 
cos 2x + sin3x = 0. 
KQ: x1 ≈ 650 4’ 2” + k3600; x2 ≈ 1140 55’ 58” + k3600; 
 x3 ≈ - 130 36’ 42” + k3600; x4 ≈ 1930 36’ 42” + k3600. 
Bài toán 10.5. Tìm nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của ph-ơng trình sinxcosx 
- 3(sinx + cosx) = 1. 
KQ: x1 ≈ - 640 9’ 28” + k3600; x2 ≈ 1540 9’ 28” + k3600. 
11. Tổ hợp 
Bài toán 11.1. Trong một lớp học có 20 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Cần 
chọn 7 học sinh đi tham gia chiến dịch Mùa hè tình nguyện của đoàn viên, trong đó có 4 
học sinh nam và 3 học sinh nữ. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách chọn? 
KQ: 4 320 15.C C = 2204475. 
Bài toán 11.2. Có thể lập đ-ợc bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà mỗi số gồm 5 chữ 
số khác nhau? KQ: 4 3 39 8 84.8. 41A A A+ = = 13776. 
Bài toán 11.3. Có 30 câu hỏi khác nhau cho một môn học, trong đó có 5 câu hỏi 
khó, 10 câu hỏi trung bình và 15 câu hỏi dễ. Từ các câu hỏi đó có thể lập đ-ợc bao 
nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau sao cho trong mỗi đề phải có đủ ba 
loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2? KQ: 
2 1 2 2 1 3 1 1
15 5 10 5 10 15 5 10( . . ) . .C C C C C C C C+ + = 56875. 
12. Xác suất 
Bài toán 12.1. Chọn ngẫu nhiên 5 số tự nhiên từ 1 đến 200. Tính gần đúng xác 
suất để 5 số này đều nhỏ hơn 50. KQ: 
5
49
5
200
C
C
≈ 0,0008. 
Bài toán 12.2. Một hộp đựng 4 viên bi xanh, 3 viên bi đỏ và 2 viên bi vàng. 
Chọn ngẫu nhiên hai viên bi từ hộp bi đó. Tính xác suất để chọn đ-ợc hai viên bi 
cùng mầu và xác suất để chọn đ-ợc hai viên bi khác mầu. 
MATHVN.COM | www.mathvn.com 
Dành cho học sinh THPT 
www.mathvn.com 6 
Chọn ngẫu nhiên ba viên bi từ hộp bi đó. Tính xác suất để chọn đ-ợc ba viên bi 
hoàn toàn khác mầu. 
KQ: P(hai bi cùng mầu) = 
2 2 2
4 3 2
2
9
5
18
C C C
C
+ +
= ; 
 P(hai bi khác mầu) = 1 - P(hai bi cùng mầu) = 13
18
; 
 P(ba bi khác mầu) = 
1 1 1
4 3 2
3
9
. . 2
7
C C C
C
= . 
Bài toán 12.3. Xác suất bắn trúng mục tiêu của một ng-ời bắn cung là 0,3. 
Ng-ời đó bắn ba lần liên tiếp. Tính xác suất để ng-ời đó bắn trúng mục tiêu đúng một 
lần, ít nhất một lần, đúng hai lần. 
KQ: P (trúng mục tiêu đúng một lần) = 1 23 0,3 (1 0,3)C ´ ´ - = 0,441; 
 P (trúng mục tiêu ít nhất một lần) = 1- (1 - 0,3)2 = 0,657; 
 P (trúng mục tiêu đúng hai lần) = 2 23 0,3 (1 0,3)C ´ ´ - = 0,189. 
Bài 12.4. Chọn ngẫu nhiên 5 quân bài trong một cỗ bài tú lơ khơ. Tính gần đúng 
xác suất để trong 5 quân bài đó có hai quân át và một quân 2, ít nhất một quân át. 
KQ: P (hai quân át và một quân 2) = 
2 1 2
4 4 44
5
52
. .C C C
C
≈ 0,0087; 
 P (ít nhất một quân át) = 1 - 
5
48
5
52
C
C
 ≈ 0,3412. 
13. Dãy số và giới hạn của dãy số 
Bài toán 13.1. Dãy số an đ-ợc xác định nh- sau: 
a1 = 2, an + 1 = 
1
2
(1 + an) với mọi n nguyên d-ơng. 
Tính giá trị của 10 số hạng đầu, tổng của 10 số hạng đầu và tìm giới hạn của dãy số 
đó. 
KQ: a1 = 2; a2 = 
3
2
; a3 = 
5
4
; a4 = 
9
8
; a5 = 
17
16
; a6 = 
33
32
; a7 = 
65
64
; 
 a8 = 
129
128
; a9 = 
257
256
; a10 = 
513
512
; S10 = 
6143
512
; lim an = 1. 
Bài toán 13.2. Dãy số na đ-ợc xác định nh- sau: 
1a = 1, 1na + = 2 + 
3
na
 với mọi n nguyên d-ơng. 
Tính giá trị 10 số hạng đầu và tìm giới hạn của dãy số đó. 
KQ: a1 = 1; a2 = 5; a3 = 
13
5
; a4 = 
41
13
; a5 = 
121
41
; a6 = 
365
121
; 
MATHVN.COM | www.mathvn.com 
Dành cho học sinh THPT 
www.mathvn.com 7 
 a7 = 
1093
365
; a8 = 
3281
1093
; a9 = 
9841
3281
; a10 = 
29525
9841
; lim an = 3. 
Bài toán 13.3. Dãy số an đ-ợc xác định nh- sau: 
a1 = 2, a2 = 3, an + 2 = 
1
2
(an + 1 + an) với mọi n nguyên d-ơng. 
Tính giá trị của 10 số hạng đầu của dãy số đó. 
KQ: a1 = 2; a2 = 3; a3 = 
5
2
; a4 = 
11
4
; a5 = 
21
8
; a6 = 
43
16
; a7 = 
85
32
; 
 a8 = 
171
64
; a9 = 
341
128
; a10 = 
683
256
. 
Bài toán 13.4. Tính gần đúng giới hạn của dãy số có số hạng tổng quát là un = 
3 3 3 ... 3+ + + + (n dấu căn). KQ: lim un ≈ 2,3028. 
Bài toán 13.5. Tính gần đúng giới hạn của dãy số có số hạng tổng quát là un = 
sin(1 - sin(1 - sin(1 - . . . - sin1))) (n lần chữ sin). KQ: lim un ≈ 0,4890. 
14. Hàm số liên tục 
Bài toán 14.1. Tính nghiệm gần đúng của ph-ơng trình x3 + x - 1 = 0. 
KQ: x ≈ 0,6823. 
Bài toán 14.2. Tính nghiệm gần đúng của ph-ơng trình x2cosx + xsinx + 1 = 0. 
KQ: x ≈ ±2,1900. 
Bài toán 14.3. Tính nghiệm gần đúng của ph-ơng trình x4 - 3x2 + 5x - 6 = 0. 
KQ: x1 ≈ 1,5193; x2 ≈ - 2,4558. 
Bài toán 14.4. Tính các nghiệm gần đúng của ph-ơng trình: - 2x3 +7x2 + 6x - 4 = 0. 
KQ: x1 ≈ 4,1114; x2 ≈ - 1,0672; x3 ≈ 0,4558. 
15. Đạo hàm và giới hạn của hàm số 
Bài toán 15.1. Tính f’
2
pổ ử
ỗ ữ
ố ứ
và tính gần đúng f’(- 2,3418) nếu 
f(x) = sin 2x + 2x cos3x - 3x2 + 4x - 5. 
KQ: f’
2
pổ ử
ỗ ữ
ố ứ
= 2; f’(- 2,3418) ≈ 9,9699. 
Bài toán 15.2. Tính gần đúng giá trị của a và b nếu đ-ờng thẳng y = a x + b là 
tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 
2
1
4 2 1
x
x x
+
+ +
 tại điểm có hoành độ x = 1 + 2 . 
KQ: a ≈ - 0,0460; b ≈ 0,7436. 
Bài toán 15.3. Tìm 
3 2
1
3 4 3
lim
1x
x x x
xđ
+ + - +
-
. KQ: 1
6
. 
MATHVN.COM | www.mathvn.com 
Dành cho học sinh THPT 
www.mathvn.com 8 
Bài toán 15.4. Tìm 
3 3 2 2
22
8 24 3 6
lim
3 2x
x x x x
x xđ
+ + - + +
- +
. KQ: 1
24
. 
16. Ph-ơng trình mũ 
Bài toán 16.1. Giải ph-ơng trình 32x + 5 = 3x + 2 + 2. KQ: x = - 2. 
Bài toán 16.2. Giải ph-ơng trình 27x + 12x = 2.8x. KQ: x = 0. 
Bài toán 16.3. Giải gần đúng ph-ơng trình 9x - 5ì3x + 2 = 0. 
KQ: x1 ≈ 1,3814; x2 ≈ - 0,7505. 
17. Ph-ơng trình lôgarit 
Bài toán 17.1. Giải ph-ơng trình 32 log3 81x x- = . KQ: x = 1
3
. 
Bài toán 17.2. Giải ph-ơng trình 2
2 2
6 4
3
log 2 logx x
+ = . KQ: x1 = 4; x2 = 3
1
2
. 
Bài toán 17.3. Giải gần đúng ph-ơng trình 22 28 log 5log 7 0x x- - = . 
KQ: x1 ≈ 2,4601; x2 ≈ 0,6269. 
18. Tích phân 
Bài toán 18.1. Tính các tích phân: 
a) 
2
3 2
1
(4 2 3 1)x x x dx- + +ũ ; b) 
2
1
3
0
xx e dxũ ; c) 
2
0
sinx xdx
p
ũ . 
KQ: a) 95
6
; b) 0,5; c) 1; 
Bài toán 18.2. Tính gần đúng các tích phân: 
a) 
1 2
3
0
2 3 1
1
x x
dx
x
- +
+ũ ; b) 
2
2
6
cos 2x xdx
p
p
ũ ; c) 2
0
sin
2 cos
x xdx
x
p
+ũ . 
KQ: a) 0,1771; b) - 0,8185; c) 1,3673. 
Bài toán 18.3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số 
y = 2x2 + 5x - 2 và y = x3 + 2x2 - 2x + 4. KQ: 32,75. 
19. Số phức 
Bài toán 19.1. Tính 
a) 3 2 1
1 3 2
i i
i i
+ -
+
- -
; b) 
2
(1 )(5 6 )
(2 )
i i
i
+ -
+
. KQ: a) 23 63
26
i+ ; b) 
29 47
25
i- . 
Bài toán 19.2. Giải ph-ơng trình x2 - 6x + 58 = 0. KQ: x1 = 3 + 7i ; x2 = 3 - 
7i. 
MATHVN.COM | www.mathvn.com 
Dành cho học sinh THPT 
www.mathvn.com 9 
Bài toán 19.3. Giải gần đúng ph-ơng trình x3 - x + 10 = 0. 
KQ: x1 ≈ - 2,3089; x2 ≈ 1,1545 + 1,7316i; x3 ≈ 1,1545 - 1,7316i. 
Bài toán 19.4. Giải gần đúng ph-ơng trình 2x3 + 3x2- 4x + 5 = 0. 
KQ: x1 ≈ - 2,62448; x2 ≈ 0,5624 + 0,7976i; x3 ≈ 0,5624 - 0,797i. 
20. Vectơ 
Bài toán 20.1. Cho tam giác có các đỉnh A(1; - 3), B(5; 6), C(- 4; -7). 
a) Tính độ dài các cạnh của tam giác. 
b) Tính gần đúng các góc (độ, phút, giây) của tam giác. 
c) Tính diện tích tam giác. 
KQ: a) AB = 97 ; BC = 5 10 ; CA = 41 . 
 b) Â ≈ 1520 37’ 20”; àB ≈ 100 43’ 58”; Ĉ ≈ 160 38’ 42”. 
 c) S = 14,5. 
Bài toán 20.2. Cho hai đ-ờng thẳng d1: 2x - 3y + 6 = 0 và d2: 4x + 5y - 10 = 0. 
 a) Tính gần đúng góc (độ, phút, giây) giữa hai đ-ờng thẳng đó. 
 b) Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng d đi qua điểm A(10; 2) và vuông góc với đ-ờng 
thẳng d2. 
 KQ: a) φ ≈ 720 21’ 0”; b) 5x - 4y - 42 = 0. 
Bài toán 20.3. Cho hình tứ diện có các đỉnh A(1;- 2;3), B(-2; 4;-5), C(3; - 4;7), D(5; 
9;-2). 
a) Tính tích vô h-ớng của hai vectơ AB
uuur
 và AC
uuur
. 
b) Tìm tích vectơ của hai vectơ AB
uuur
 và AC
uuur
. 
c) Tính thể tích khối tứ diện ABCD. 
KQ: a) AB
uuur
. AC
uuur
= - 50. b) ,AB ACộ ựở ỷ
uuur uuur
 = (8; - 4; - 6). c) V = 4. 
Bài toán 20.4. Cho hai đ-ờng thẳng 
3 4
: 2 3
5
x t
y t
z t
= +ỡ
ùD = - +ớ
ù =ợ
 và 
1 2
: 2 7
1 .
x t
d y t
z t
= -ỡ
ù = +ớ
ù = - +ợ
a) Tính gần đúng góc (độ, phút, giây) giữa hai đ-ờng thẳng đó. 
 b) Tính gần đúng khoảng cách giữa hai đ-ờng thẳng đó. 
KQ: a) φ ≈ 690 32’ 0”; b) 0,5334. 
MATHVN.COM | www.mathvn.com 
Dành cho học sinh THPT 
www.mathvn.com 10 
21. Toán thi 2007 
Bài toán 21.1. Tính gần đúng nghiệm (độ, phút, giây) của ph-ơng trình 4cos2x + 
3sinx = 2. 
KQ: x1 ằ 460 10’ 43” + k3600 ; x2 ằ 1330 49’ 17” + k3600; 
 x3 ằ - 200 16’ 24” + k3600; x4 ằ 2000 16’ 24” + k3600. 
Bài toán 21.2. Tính gần đúng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 
2( ) 2 3 3 2f x x x x= + + - + . KQ: max ( )f x ằ 10,6098; min ( )f x ằ 1,8769. 
Bài toán 21.3. Tìm giá trị của a, b, c, d nếu đồ thị hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d 
đi qua các điểm A 10;
3
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
, B 31;
5
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
, C(2; 1), D(2,4; - 3,8). 
KQ: a = - 937
252
; b = 1571
140
; c = - 4559
630
; d = 1
3
. 
Bài toán 21.4. Tính diện tích tam giác ABC nếu ph-ơng trình các cạnh của tam 
giác đó là AB: x + 3y = 0; BC: 5x + y - 2 = 0; AC: x + y - 6 = 0. 
KQ: S = 200
7
. 
Bài toán 21.5. Tính gần đúng nghiệm của hệ ph-ơng trình 
3 4 5
9 16 19.
x y
x y
ỡ + =ù
ớ
+ =ùợ
KQ: 1 2
1 2
1,3283 0,3283
0, 2602 1,0526
x x
y y
ằ ằ -ỡ ỡ
ớ ớằ - ằợ ợ
Bài toán 21.6. Tính giá trị của a và b nếu đ-ờng thẳng y ax b= + đi qua điểm 
M(5; - 4) và là tiếp tuyến của đồ thị hàm số 23y x
x
= - + . KQ: 
2
1
1
2
7
1 25
1 27
5
aa
b
b
ỡ =ù= -ỡ ù
ớ ớ=ợ ù = -
ùợ
Bài toán 21.7. Tính gần đúng thể tích khối tứ diện ABCD nếu BC = 6dm, CD = 
7dm, BD = 8dm, AB = AC = AD = 9dm. KQ: V ằ 54,1935dm3. 
Bài toán 21.8. Tính giá trị của biểu thức S = a10 + b10 nếu a và b là hai nghiệm 
khác nhau của ph-ơng trình 2x2 - 3x - 1 = 0. KQ: S = 328393
1024
. 
Bài toán 21.9. Tính gần đúng diện tích toàn phần của hình chóp S.ABCD nếu 
đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh SA vuông góc với đáy, AB = 5dm, AD = 6dm, SC 
= 9dm. KQ: Stp ằ 93,4296dm2. 
MATHVN.COM | www.mathvn.com 
Dành cho học sinh THPT 
www.mathvn.com 11 
Bài toán 21.10. Tính gần đúng giá trị của a và b nếu đ-ờng thẳng y ax b= + là 
tiếp tuyến của elip 
2 2
1
9 4
x y
+ = tại giao điểm có các toạ độ d-ơng của elip đó và parabol 
2 2y x= . 
KQ: a ằ - 0,3849; b ằ 2,3094. 
giải toán trên máy tính cầm tay 
(Đề thi Tổng hợp) 
 Quy -ớc: Khi tính gần đúng chỉ lấy kết quả với 4 chữ số thập phân, riêng số đo 
góc thì lấy đến số nguyên giây. 
Bài 1. Tìm nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của ph-ơng trình 4sin 4x + 5cos 4x = 
6. 
x1 ≈ + k 900 ; x2 ≈ + k 900 
Bài 2. Tính gần đúng diện tích tam giác ABC có cạnh AB = 6dm, Â = 1130 31’ 
28” và Ĉ = 360 40’ 16”. 
 S ằ dm2 
Bài 3. Tính gần đúng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = 3x + 
5cos 5x trên đoạn [0; π]. 
 max f(x) ≈ ; min f(x) ≈ . 
Bài 4. Tính gần đúng diện tích toàn phần của hình chóp S.ABCD biết rằng đáy 
ABCD là hình chữ nhật có các cạnh AB = 8 dm, AD = 7 dm, cạnh bên SA vuông góc 
với đáy, khoảng cách từ đỉnh S đến giao điểm của hai đ-ờng chéo của đáy là SO = 15 
dm. 
S ≈ dm2 
Bài 5. Tính gần đúng nghiệm (độ, phút, giây) của ph-ơng trình 
2 2sin cos 22 2
3
x x- = . 
x1 ằ + k 180
0; x2 ằ + k 180
0 
Bài 6. Tìm giá trị của a và b nếu đ-ờng thẳng y = ax + b đi qua điểm A(- 1; 3) và là 
tiếp tuyến của hypebol 
2 2
25 9
x y
- = 1. 
 a1 = ; b1 = ; a2 = ; b2 = . 
Bài 7. Tính gần đúng các nghiệm của hệ ph-ơng trình 
2 2 8
2 5
x y xy
x y xy
ỡ + + =
ớ
+ - =ợ
 1
1
x
y
ằỡ
ớ ằợ
 2
2
x
y
ằỡ
ớ ằợ
 3
3
x
y
ằỡ
ớ ằợ
 4
4
x
y
ằỡ
ớ ằợ
 . 
Bài 8. Tính giá trị của a, b, c nếu đ-ờng tròn x2 + y2 + ax + by + c = 0 đi qua ba 
MATHVN.COM | www.mathvn.com 
Dành cho học sinh THPT 
www.mathvn.com 12 
điểm A(- 3; 4), B(6; - 5), C(5; 7). 
 a = ; b = ; c = . 
Bài 9. Tính gần đúng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = 2sin x - 
2cos x - 5 sin x cos x. 
 max f(x) ≈ ; min f(x) ≈ . 
Bài 10. Tính gần đúng toạ độ các giao điểm M và N của đ-ờng tròn x2 + y2 + 
10x - 5y = 30 và đ-ờng thẳng đi qua hai điểm A(- 4; 6), B(5; - 2). 
M( ; ); N( ; ) 
____________________________________________ 
giải toán trên máy tính cầm tay 
 Quy -ớc: Khi tính gần đúng chỉ lấy kết quả với 4 chữ số thập phân, riêng số đo 
góc thì lấy đến số nguyên giây. 
Bài 1. Tìm nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của ph-ơng trình 4sin 4x + 5cos 4x = 
6. x1 ằ4
0 33’ 18” + k 900; x2 ≈ 140 46’ 29” + k 900 
Bài 2. Tính gần đúng diện tích tam giác ABC có cạnh AB = 6dm, Â = 1130 31’ 
28” và Ĉ = 360 40’16”. S ằ 13,7356 dm2 
Bài 3. Tính gần đúng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = 3x + 
5cos 5x trên đoạn [0; π]. 
max f(x) ≈ 12,5759; min f(x) ≈ - 3,1511 
Bài 4. Tính gần đúng diện tích toàn phần của hình chóp S.ABCD biết rằng đáy 
ABCD là hình chữ nhật có các cạnh AB = 8 dm, AD = 7 dm, cạnh bên SA vuông góc 
với đáy, khoảng cách từ đỉnh S đến giao điểm của hai đ-ờng chéo của đáy là SO = 15 
dm. 
S ≈ 280,4235 dm2 
Bài 5. Tính gần đúng nghiệm (độ, phút, giây) của ph-ơng trình 
2 2sin cos 22 2
3
x x- = . 
x1 ằ 66
0 11’ 11” + k 1800; x2 ằ - 66
0 11’ 11” + k 1800 
Bài 6. Tìm giá trị của a và b nếu đ-ờng thẳng y = ax + b đi qua điểm A(- 1; 3) và là 
tiếp tuyến của hypebol 
2 2
25 9
x y
- = 1. a1 = 1; b1 = 4; a2 = - 
3
4
; b2 =
9
4
Bài 7. Tính gần đúng các nghiệm của hệ ph-ơng trình 
2 2 8
2 5
x y xy
x y xy
ỡ + + =
ớ
+ - =ợ
 1
1
1,1058
3, 2143
x
y
ằỡ
ớ ằ -ợ
 2
2
3, 2143
1,1058
x
y
ằ -ỡ
ớ ằợ
 3
3
3,0063
0,3978
x
y
ằỡ
ớ ằ -ợ
 4
4
0,3978
3,0063
x
y
ằ -ỡ
ớ ằợ
Bài 8. Tính giá trị của a, b, c nếu đ-ờng tròn x2 + y2 + ax + by + c = 0 đi qua ba 
MATHVN.COM | www.mathvn.com 
Dành cho học sinh THPT 
www.mathvn.com 13 
điểm A(- 3; 4), B(6; - 5), C(5; 7). 
a = - 61
11
; b = - 17
11
; c = - 390
11
Bài 9. Tính gần đúng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = 2sin x - 
2cos x - 5 sin x cos x. max f(x) ≈ 3,9465; min f(x) ≈ - 2,0125 
Bài 10. Tính gần đúng toạ độ các giao điểm M và N của đ-ờng tròn x2 + y2 + 
10x - 5y = 30 và đ-ờng thẳng đi qua hai điểm A(- 4; 6), B(5; - 2). 
M(2,4901; 0,2310); N(- 8,1315; 9,6724) 
____________________________________________ 
MATHVN.COM | www.mathvn.com 
Dành cho học sinh THPT 
www.mathvn.com 14 
giải toán trên máy tính cầm tay 
Quy -ớc: Khi tính gần đúng chỉ lấy kết quả với 4 chữ số thập phân, riêng số đo 
góc thì lấy đến số nguyên giây. 
Bài 11. Cho hàm số f(x) = x3 - 7x2 - 2x + 4. 
 1) Tính gần đúng giá trị của hàm số ứng với x = 4,23. 
 f(4,23) ằ . 
2) Tính giá trị gần đúng các nghiệm của ph-ơng trình f(x) = 0. 
 x1 ằ ; x2 ằ ; x3 ằ . 
Bài 12. Tính gần đúng toạ độ các giao điểm của đ-ờng thẳng 2x - y - 3 = 0 và đ-ờng 
tròn x2 + y2 - 4x + 5y - 6 = 0. 
 A( ; ); B( ; ) 
Bài 13. Tính gần đúng toạ độ các giao điểm của parabol y2 = 4x và đ-ờng tròn 
 x2 + y2 + 2x - 5 = 0. A( ; ); B( ; ) 
Bài 14. Tính gần đúng thể tích của khối chóp S.ABCD biết đáy ABCD là hình chữ nhật 
có các cạnh AB = 6 dm, AD = 5 dm và các cạnh bên SA = SB = SC = SD = 8 dm. 
 V ằ dm3 
Bài 15. Tính gần đúng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = sin 2x - 
2 cos x. 
 max f(x) ằ ; min f(x) ằ . 
Bài 16. Tính gần đúng toạ độ các giao điểm của đ-ờng thẳng 3x - 2y - 1 = 0 và elip 
2
16
x + 
2
9
y = 1. A( ; ); B( ; ) 
Bài 17. Tìm nghiệm gần đúng của ph-ơng trình sin x = 2x - 3. x ằ . 
Bài 18. Tìm nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của ph-ơng trình 5sin x - 4cos x = 13 . 
 x1 ằ + k 360
0 ; x2 ằ + k 360
0 
Bài 19. Cho tam giác ABC có các cạnh a = 22 cm, b = 15 cm, c = 20 cm. 
1) Tính gần đúng góc C (độ, phút, giây). Ĉ ằ . 
2) Tính gần đúng diện tích của tam giác ABC. S ằ cm2 
Bài 20. Cho hai đ-ờng tròn có ph-ơng trình x2 + y2 - 2x - 6y - 6 = 0 và x2 + y2 = 9. 
 1) Tính gần đúng toạ độ các giao điểm của chúng 
 A( ; ); B( ; ) 
2) Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng đi qua hai giao điểm đó. 
 . 
_____________________________________ 
MATHVN.COM | www.mathvn.com 
Dành cho học sinh THPT 
www.mathvn.com 15 
MATHVN.COM | www.mathvn.com 
Dành cho học sinh THPT 
www.mathvn.com 16 
giải toán trên máy tính cầm tay 
Quy -ớc: Khi tính gần đúng chỉ lấy kết quả với 4 chữ số thập phân, riêng số đo 
góc thì lấy đến số nguyên giây. 
Bài 11. Cho hàm số f(x) = x3 - 7x2 - 2x + 4. 
 1) Tính gần đúng giá trị của hàm số ứng với x = 4,23. 
 f(4,23) ằ - 54,0233 
2) Tính giá trị gần đúng các nghiệm của ph-ơng trình f(x) = 0. 
 x1 ằ 7,2006; x2 ằ - 0,8523; x3 ằ 0,6517 
Bài 12. Tính gần đúng toạ độ các giao điểm của đ-ờng thẳng 2x - y - 3 = 0 và đ-ờng 
tròn x2 + y2 - 4x + 5y - 6 = 0. 
 A(2,2613; 1,5226), B(- 1,0613; - 5,1226) 
Bài 13. Tính gần đúng toạ độ các giao điểm của parabol y2 = 4x và đ-ờng tròn 
x2 + y2 + 2x - 5 = 0. A(0,7417; 1,7224); B(0,7417; - 1,7224) 
Bài 14. Tính gần đúng thể tích của khối chóp S.ABCD biết đáy ABCD là hình chữ nhật 
có các cạnh AB = 6 dm, AD = 5 dm và các cạnh bên SA = SB = SC = SD = 8 dm. 
 V ằ 69,8212 dm3 
Bài 15. Tính gần đúng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = sin 2x - 2 cos x. 
 max f(x) ằ2,0998; min f(x) ằ - 2,0998 
Bài 16. Tính gần đúng toạ độ các giao điểm của đ-ờng thẳng 3x - 2y - 1 = 0 và elip 
2
16
x + 
2
9
y = 1. A(2,0505; 2,5758); B(- 1,5172; - 2,7758) 
Bài 17. Tìm nghiệm gần đúng của ph-ơng trình sin x = 2x - 3. x ằ1,9622 
Bài 18. Tìm nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của ph-ơng trình 5sin x - 4cos x = 13 . 
 x1 ằ 72
0 55’ 47” + k 3600 ; x2 ằ 184
0 23’ 24” + k 3600 
Bài 19. Cho tam giác ABC có các cạnh a = 22 cm, b = 15 cm, c = 20 cm. 
1) Tính gần đúng góc C (độ, phút, giây). Ĉ ằ 620 5’ 1” 
2) Tính gần đúng diện tích của tam giác ABC. S ằ 145,7993 cm2 
Bài 20. Cho hai đ-ờng tròn có ph-ơng trình x2 + y2 - 2x - 6y - 6 = 0 và x2 + y2 = 9. 
 1) Tính gần đúng toạ độ các giao điểm của chúng. 
 A(2,9602; - 0,4867); B(- 2,6602; 1,3867) 
2) Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng đi qua hai giao điểm đó. 
 2x + 6y - 3 = 0 
__________________________________ 
MATHVN.COM | www.mathvn.com 
Dành cho học sinh THPT 
www.mathvn.com 17 
giải toán trên máy tính cầm tay 
Quy -ớc: Khi tính gần đúng chỉ lấy kết quả với 4 chữ số thập phân, riêng số đo 
góc thì lấy đến số nguyên giây. 
Bài 21. Cho hàm số f (x) = 2x2 + 3x - 3 1x - . 
a) Tính gần đúng giá trị của hàm số tại điểm x = 3. f(3) ≈ . 
b) Tính gần đúng g