Chuyên đề Hàm số bậc nhất đồ thị hàm số y = ax + b (a khác 0 ) hệ số góc của đường thẳng Đường thẳng song song - Đường thẳng cắt nhau

Hàm số bậc nhất
Đồ thị hàm số y = ax + b (a 0 )
Hệ số góc của đường thẳng
Đường thẳng song song - đường thẳng cắt nhau
A. Kiến thức cơ bản
1. Định nghĩa hàm số bậc nhất:
 Hàm số bậc nhất là hàm số cho bởi công thức: 
 y = ax + b 
 trong đó a và b là các số thực xác định và a 0
2. Tính chất hàm số bậc nhất:
 a. Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi x thuộc R
 b. Trên tập số thực R, hàm số y = ax + b đồng biến khi a > 0 
 và nghịch biến khi a < 0
3. Đồ thị hàm số y = ax + b (a 0 )
 là một đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b và song song với đường thẳng y = ax nếu b0, trùng với đường thẳng y = ax nếu b = 0.
4. Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a 0 ) :
 Cách 1 : Xác định hai điểm bất kỳ của đồ thị.
 Chẳng hạn : A(1; a+b) va B(-1; b- a)
 Cách 2 : Xác định giao điểm của đồ thị với hai trục toạ độ
 Chẳng hạn : A(0 ; b) và B(- ; 0).
5. Đường thẳng cắt nhau:
 Hai đường thẳng y = ax + b (a 0 ) và y = a, x + b, (a, 0) cắt nhau khi và chỉ khi a a, 
Chú ý : Khi a a, và b = b, thì hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm trên trục tung có tung độ chính là b.
6. Hai đường thẳng song song:
 Hai đường thẳng y = ax + b (a 0 ) và y = a, x + b, (a, 0) song song với nhau khi và chỉ khi: a = a,; b = b, và trùng nhau khi và chỉ khi: a = a, , b = b, 
7. Đường thẳng vuông góc 
 Hai đường thẳng y = ax + b (a 0 ) và y = a, x + b, (a, 0) vuông góc với nhau khi và chỉ khi a.a/ = -1 
8. Hệ số góc của đường thẳng:
 - Khi hệ số a dương thì góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b (a 0 ) với tia Ox là góc nhọn , a càng lớn thì góc càng lớn nhưng nhỏ hơn 900 
 - Khi hệ số a âm thì góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b (a 0 ) với tia Ox là góc tù , a càng lớn thì góc càng lớn nhưng nhỏ hơn 1800 
*Vì có sự liên hệ giữa hệ số a của x và góc tạo bởi đường thẳng y = ax +b (a 0 ) với tia Ox nên người ta gọi:
 a là hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a 0 ) 
B. Bài tập.
Bài 1:
	Cho hàm số bậc nhất y = (2m – 3)x + 5
	a. Tìm giá trị của m để hàm số đồng biến
	b. Tìm giá trị của m để hàm số nghịch biến
	Giải :
a. hàm số y = (2m – 3)x + 5 đồng biến khi và chỉ khi :
 2m – 3 > 0 m > 
b. hàm số y = (2m – 3)x + 5 nghịch biến khi và chỉ khi:
 2m – 3 < 0 m < 
Bài 2: Cho hàm số : y = ( 5 + ). x + 2
	a. Hàm số đồng biến hay nghịch biến trên tập R? Vì sao ?
	b. Tính các giá trị tương ứng của y khi x nhận các giá trị : 
 	 0 ; 1 ; +5 ; 5 - 
	c. Tính các giá trị tương ứng của x khi y nhận các giá trị sau:
 	 0 ; 2 ; 4 ; +5 ; 5 - 
Giải:
a. Hàm số đồng biến vì : 5 + > 0
b. Khi x = 0 thì y = 2
 Khi x = 1 thì y = 7 +
 Khi x = +5 thì y = ( 5 + ).( +5 ) + 2 = 30 +10
Bài 3: Cho hàm số :
	a. y = b. y = 
	Với những giá trị nào của m thì các hàm số trên là bậc nhất
Bài 4: Cho hàm số : y = (m2 + 3m + 2).x2 + (m2 – 4m + 3n2).x + 5
 Với giá trị nào của m và n thì hàm số đã cho là bậc nhất
Bài 5: a. Vẽ trên cùng một mặt phẳng toạ độ đồ thị các hàm số 
 	y = 2x (d1) y = x (d2)
	b. Đường thẳng (d) song song với trục Ox cắt trục tung tại điểm 	 C(0; 2) và cắt (d1), (d2) theo thứ tự tại A và B. Tìm toạ độ của A, B
	c. Tính chu vi và diện tích tam giác ABO
Bài 6: 
a. Trên cùng hệ trục toạ độ vẽ đồ thị các hàm số sau:
 	y = 3x ; y = 3x + 6 ; y = - x và y = - x + 6
b. Bốn đường thẳng trên cắt nhau tại 4 điểm O, A, B, C ( O là gốc toạ độ)
Chứng minh tứ giác OABC là hình chữ nhật
Bài 7:
 a) Vẽ đồ thị hai hàm số: y = x và y = 3x + 3
b) Gọi M là giao điểm của hai đồ thị trên. Tìm toạ độ của M
c) Qua điểm N có toạ độ (0 ; 3) vẽ đường thẳng (d) song song với trục Ox cắt đường thẳng y = x tại P. Tìm toạ độ của P. Rồi tính diện tích tam giác MNP ( theo đơn vị đo trên trục toạ độ)
Bài 8: Cho hàm số : y = (m – 2)x + m
a) Xác định giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng – 3
b) Xác định giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục trục tung tại điểm có tung độ bằng 4.
c)Vẽ đồ thị của hai hàm số ứng với các giá trị của m tìm được ở câu a, b) trên cùng hệ trục toạ độ Oxy và tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị vừa vẽ được.
Bài 9: Gọi (d1) là đồ thị hàm số y = m x + 2 và 
 (d2) là đô thị hàm số y = x – 1
a) Với m = - , xác định toạ độ giao điểm của (d1) và (d2)
b) Xác định giá trị của m để M(- 3; - 3) là giao điểm của (d1) , (d2)
Bài 10: với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số y = -3x + (m + 2) và 
 y = 4x - 5 - 2m cắt nhau tại một điểm trên trục tung
Bài 11 : 
a. Vẽ đồ thị của hai hàm số trên cùng hệ trục toạ độ :
 y = 3x + 2 (d1) và y = - x + 6 (d2)
b. Hai đường thẳng cắt nhau tại M và cắt trục hoành theo thứ tự tại P và Q. Tìm toạ độ của M, P, Q.
c. Tính độ dài đoạn thẳng MP, MQ, PQ ( theo đợn vị đo trên trục toạ độ)
d. Tính số đo góc tạo bởi đồ thị (d2) với trục O x.
Bài 12: Cho hàm số : y = (m – 3)x + 2n ( m 3) có đồ thị là (d). Tìm giá trị của m và n để (d) đi qua hai điểm:
a) A(2; - 2) và B(-)
b) Cắt trục tung tại M( 0 ; +2) và cắt trục hoành tại N(2-; 0)
Bài 13 : Cho ba hàm số :
	y = 2x + 3 (d1)
	y = x + 5 (d2)
	y = 2kx - 5 (d3)
Tìm các giá trị của k để (d1), (d2), (d3) đồng quy tại một điểm trong mặt phẳng toạ độ
Bài 14 : Cho ba đường thẳng : y = 2x + 1 (d1)
 y = 3x – 1 (d2)
 y = x +3 (d3)
a) Chứng minh rằng 3 đường thẳng trên đồng quy
b) Với giá trị nào của m thì đường thẳng y = (m – 1)x + m cũng đi qua giao điểm của các đường thẳng đó.
Bài 15 : Cho hàm số y = (m+2)x + 2m – 1
Chứng tỏ rằng với mọi giá trị của m đồ thị hàm số luôn đi qua điểm cố định.
Bài 16: Cho đường thẳng có phương trình: ax + (2a – 1)y +3 = 0
a. Xác định giá trị của a để đường thẳng đi qua điểm A(1; -1). Tìm hệ số góc của đường thẳng.
b. Chứng minh khi a thay đổi thì các đường thẳng có phương trình ở trên luôn đi qua một điểm cố định trên mặt phẳng toạ độ.
Bài 17: Cho hai điểm có toạ độ A(1; 2), B(-2; 1+m)
a. Xác định giá trị của m để đồ thị (d1) của phương trình: mx -3y = 5 đi qua điểm A.
b. Tìm phương trình đường thẳng (d2) đi qua A và B.
c. Khi m = 11, không cần làm phép tính thì giao điểm của (d1) và (d2) là điểm nào? Toạ độ là bao nhiêu?
Bài 18: Cho 3 điểm A(0; 3), B(2; 2), C(4; 1).
a. Lập phương trình đường thẳng AB.
b. Chứng minh A, B, C thẳng hàng.
c. Từ O( gốc toạ độ) vẽ đường thăng (d) vuông góc AB. Tìm phương trình đường thẳng (d).
Bài 19: Cho điểm A(2; 4), B(8; 6), C(3; -2).
a. Vẽ tam giác ABC trên mặt phẳng toạ độ.
b. Tính khoảng cách từ các điêm A, B, C đến gốc toạ độ.
Bài 20: Cho 4 điểm A(-1; 1), B(3; 2), C(2; -1), D(-2; -2).
a. Lập phương trình đường thẳng AB, BC, DC, DA.
b. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành
c. Tính SABCD và SABCD =?.
Bài 21: Cho hàm số y = x + 
a. Bằng thước và compa hãy vẽ đồ thị (d) của hàm số.
b. áp dụng vẽ đồ thị hàm số y = x + 
Bài 22:
 a. Vẽ đồ thị hàm số y = và y = 
 b. Tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho. Từ đó suy ra phương trình = có 1 nghiệm duy nhất.
Bài 23 : Cho hai hàm số y = 2x – 1 với x ≥ 1
	 y = -x + 3 với x < 1.
a. Vẽ đồ thị của hai hàm số trên.
b. Với giá trị nào của m thì đường thẳng y = m cắt đồ thị của hai hàm số đã cho tại 2 điểm phân biệt. Tìm toạ độ giao điểm.
Bài 24 : Vẽ đồ thị hàm số y = + 
 Từ đó giải phương trình: = 4 - 
Bài 25: Cho đường thẳng (d) có phương trình : x - y + 4 = 0
a. Vẽ (d) trên hệ trục toạ độ Oxy và tính góc tạo bởi (d) với trục Ox.
b. Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng (d).
c. Chứng tỏ rằng đường thẳng (d1) có phương trình: - y = 0 chỉ cắt (d) tại 1 điểm trên trục tung. Tìm toạ độ điểm đó.
Bài 26: Trên hệ trục toạ độ Oxy, cho A(1; 2), B(5; 1). Xác định toạ độ điểm C sao cho tứ giác OABC là hình bình hành.
Bài 27: Cho hàm số y = f(x) = 2 - 
a. Vẽ đồ thị hàm số trên.
b. Tìm tất cả các giá trị của x sao cho f(x) ≤ 1.
Bài 28: Cho họ đường thẳng có phương trình:
	mx + (2m – 1)y + 3 = 0	(d)
a. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(2; 1)
b. Chứng minh rằng các đường thẳng trên luôn đi qua một điểm cố định M với mọi m. Tìm tọa độ của M.
Bài 29: Cho hàm số y = f(x) = 
a. Tìm tập xác định của hàm số.
b. Vẽ đồ thị (d) của hàm số.
c. Qua điểm M(2, 2) có thể vẽ được mấy đường thẳng không cắt đồ thị (d) của hàm số.
Bài 30 : Cho hàm số : y = + 
a. Vẽ đồ thị của hàm số.
b. Tìm giá trị nhỏ nhất của y và các giá trị tương ứng của x.
c. Với giá trị nào của x thì y 4.
Bài 31: Cho hàm số: y = ax + b.
a. Tìm a và b biết đồ thị hàm số đi qua hai điểm M(-1; 1) và N(2; 4). Vẽ đồ thị (d1) của hàm số với a, b vừa tìm được.
b. Xác định m để đồ thị hàm số y = (2m- m)x + m+ m là một đường thẳng song song với (d1). Vẽ (d2) với m vừa tìm được.
c. Gọi A là điểm trên (d1) có hoành độ x = 2. Tìm phương trình đường thẳng (d3) đi qua A vuông góc với cả (d1) và (d2). Tính khoảng cách giữa (d1) và (d2).
Bài 32: Cho hàm số : y = mx – 2m – 1 (m 0)	(1)
a. Xác định m để đồ thị hàm số đi qua gốc toạ độ O. Vẽ đồ thị (d1) với m tìm được.
b. Tính theo m toạ độ giao điểm A, B của đồ thị hàm số (1) lần lượt với trục Ox, Oy. Xác định m để AOB có diện tích bằng 2 (đv dt).
c. Chứng minh rằng đồ thị hàm số (1) luôn đi qua một điểm cố định khi m thay đổi.
Bài 33 : Cho đường thẳng (D1): y = mx – 3 và (D2): y = 2mx + 1 – m.
a. Vẽ trên cùng mặt phẳng toạ độ Oxy cắt đường thẳng (D1) và (D2) ứng với m = 1. Tìm toạ độ giao điểm B của chúng.
 Qua O viết phương trình đường thẳng vuông góc với (D1) tại A. Xác định A và S.
b. Chứng tỏ rằng đường thẳng (D1) và (D2) đều đi qua những điểm cố định.Tìm tọa độ của điểm cố định.
Bài 34: Cho hàm số : y = + + ax
a. Xác định a để hàm số luôn đồng biến.
b. Xác định a để đồ thị hàm số đi qua B(1; 6). Vẽ đồ thị (C) của hàm số với a tìm được.
c. Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình
 + = x + m
Bài 35: Xác định hàm số (D): y = ax + b, biết rằng:
a. (D) song song với đường phân giác thứ nhất của góc hợp bởi hai trục toạ độ và (D) cắt trục hoành tại điểm (-3 ; 0)
b. (D) song song với đường thẳng (d1) : y = 2x + 3 và đi qua điểm 
M(- ;3)
c. (D) vuông góc với đường thẳng (d2): y = - x + 2 tại điểm A(0; 2) ( là giao điểm của (d2) với trục tung)
Bài 36: Cho hàm số:
	(D1): y = 2x – 1
	(D2): y = - 3x + 4
	(D3) : y = (- 
a. Gọi A là giao điểm của (D1) và (D2) .Tìm toạ độ của A.
b. Xác định giá trị của m để (D1), (D2) , (D3) đồng quy tại một điểm.
c. Minh hoạ hình học kết quả tìm được
Bài 37: Cho đường thẳng (D) có phương trình:
	 y = (m + 2)x + m – 2 (1)
a. Xác định giá trị của m, biết rằng (D) đi qua điểm A(3; 0)
b. Chứng minh rằng khi m thay đổi thì các đường thẳng (D) đi qua một điểm cố định trong mặt phẳng toạ độ.
Bài 38: Cho hai đường thẳng;
	(D1) : y = (m – 2)x + 4 (1)
	(D2) : y = (2m – 1)x + n -3 (2)
1. Xác định giá trị của m và n để:
 	a. (D1) cắt (D2) b. (D1) / / (D2) 
 	c. (D1) (D2) d. (D1) (D2) 
2.a. Tìm m , n để (D1) và (D2) cùng đi qua điểm A(2 ; 0)
 b. Vẽ (D1) và (D2) với giá trị cùa m và n vừa tìm được.
Bài 39: Trên cùng mặt phẳng toạ độ , xác định các điểm sau:
 	A(4;1) ; B( 1 ; - 3) ; C( 1 ; 0)
Qua C vẽ đường thẳng (D) vuông góc với đường thẳng AB tại H (H AB)
a. Viết phương trình các đường thẳng AB và (D)
b. Tìm toạ độ điểm H.
c. Tính diện tích tam giác ABC theo đơn vị đo trên các trục tọa độ.
Bài 40 :Cho các đường thẳng có phương trình như sau :
	(D1): 2x + y = 5
	(D2): - 3x + 2y = - 4
	(D3): x – y = 1
a. Chứng minh rằng (D1); (D2); (D3) đồng quy tại một điểm
b. Minh hoạ hình học kết quả vừa tìm được