Chuyên đề Hệ phương trình - Ôn thi vào THPT

§Æng Ngäc D­¬ng – THCS Giao Hµ - Giao Thuû - Nam §Þnh 
Gmail: diepngoc0307@gmail.com  1 
Chuyªn ®Ò: hÖ ph­¬ng tr×nh 
C¸c kiÕn thøc cÇn nhí 
1) HÖ hai ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn: 
- §Þnh nghÜa: Cho hai ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn: ax+by=c vµ a'x+b'y=c'. Khi ®ã ta cã hÖ 
hai ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn:
(1)
' ' '(2)
ax by c
a x b y c
  

  
 (I) 
- NÕu hai ph­¬ng tr×nh Êy cã nghiÖm chung (x0; y0) th× (x0; y0) ®­îc gäi lµ nghiÖm cña hÖ (I) 
- NÕu hai ph­¬ng tr×nh Êy kh«ng cã nghiÖm chung th× ta nãi hÖ v« nghiÖm 
2) Quan hÖ gi÷a sè nghiÖm cña hÖ vµ ®­êng th¼ng biÓu diÔn tËp nghiÖm 
Ph­¬ng tr×nh (1) ®­îc biÓu diÔn bëi ®­êng th¼ng (d) 
Ph­¬ng tr×nh (2) ®­îc biÓu diÔn bëi ®­êng th¼ng (d') 
- NÕu (d) c¾t (d') hÖ cã nghiÖm duy nhÊt 
- NÕu (d) song song víi (d') th× hÖ v« nghiÖm 
- NÕu (d) trïng (d') th× hÖ v« sè nghiÖm. 
3) HÖ ph­¬ng tr×nh t­¬ng ®­¬ng: 
Hai hÖ ph­¬ng tr×nh ®­îc gäi lµ t­¬ng ®­¬ng víi nhau nÕu chóng cã cïng tËp nghiÖm 
4) Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh b»ng ph­¬ng ph¸p thÕ, ph­¬ng ph¸p céng. 
a) Quy t¾c thÕ: Quy t¾c thÕ dïng ®Ó biÕn ®æi mét hÖ ph­¬ng tr×nh thµnh hÖ ph­¬ng tr×nh 
t­¬ng ®­¬ng. 
+ B­íc 1: Tõ mét ph­¬ng tr×nh cña hÖ ®· cho ta biÓu diÔn mét Èn theo Èn kia råi thÕ vµo 
ph­¬ng tr×nh thø hai ®Ó ®­îc mét ph­¬ng tr×nh míi (chØ cßn 1 Èn). 
+ B­íc 2: Dïng ph­¬ng tr×nh míi Êy ®Ó thay thÕ cho ph­¬ng tr×nh thø hai trong hÖ (ph­¬ng 
tr×nh thø nhÊt còng th­êng ®­îc thay thÕ bëi hÖ thøc biÓu diÔn mét Èn theo Èn kia cã ®­îc ë 
b­íc 1). 
b) Quy t¾c céng ®¹i sè: Quy taéc coäng ñaïi soá duøng ñeå bieán ñoåi moät heä phöông trình thaønh 
heä phöông trình töông ñöông. 
+ B­íc 1: Céng hay trõ tõng vÕ hai ph­¬ng tr×nh cña hÖ cña hÖ ph­¬ng tr×nh ®· cho ®Ó ®­îc 
mét ph­¬ng tr×nh míi. 
§Æng Ngäc D­¬ng – THCS Giao Hµ - Giao Thuû - Nam §Þnh 
Gmail: diepngoc0307@gmail.com  2 
+ B­íc 2: Dïng ph­¬ng tr×nh míi Êy thay thÕ cho mét trong h¸i ph­¬ng tr×nh cña hÖ (vµ gi÷a 
nguyªn ph­¬ng tr×nh kia) 
L­u ý: Khi c¸c hÖ sè cña cïng mét Èn ®èi nhau (hoÆc b»ng nhau) th× ta céng (hoÆc trõ) hai 
vÕ cña hÖ. Khi hÖ sè cña cïng mét Èn kh«ng b»ng nhau còng kh«ng ®èi nhau th× ta chän 
nh©n víi sè thÝch hîp ®Ó ®­a vÒ hÖ sè cña cïng mét Èn ®èi nhau (hoÆc b»ng nhau). 
Bµi tËp 
Lo¹i 1: Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh b»ng ph­¬ng ph¸p céng, ph­¬ng ph¸p thÕ. 
Bµi 1 
a) 
2 3 2
3 2 3
x y
x y
   

   
 b) 
4 3 6
2 0
x y
x y
  

  
 c) 
9 8 6
2 2
x y
x y
  

  
d) 
6 17
5 23
x y
x y
  

  
 e) 
7 4 74
3 2 32
x y
x y
  

  
 f) 
3 6
2 6 12
x y
x y
  

  
Bµi 2 
a) 
2 0
3 4
5 11
x y
x y
   
  
 b) 
1
5 3 3
4 5 10 0
a b
a b
   

   
 c) 
2 3
10 0
x y
x y
 
   
Bµi 3: 
a) 
2 3 1
3 2
x y
x y
  
  
 b) 
( 2 1) 2
( 2 1) 1
x y
x y
   
   
 c) 
2 3 1
2 2 2
x y
x y
  

   
d) 
2 3 1
3 2
x y
x y
  
  
 e) 
( 5 (1 3) 1
(1 3) 5 1
x y
x y
   
   
 f) 
5 3 2 2
6 2 2
x y
x y
  
  
Bµi 4: 
a) 
6( ) 8 2 3
5( ) 5 3 2
x y x y
y x x y
    

    
 b) 
( 1)( 2) ( 1)( 3)
( 5)( 4) ( 4)( 1)
x y x y
x y x y
     

     
c) 
( 2)( 1)
( 8)( 2)
x y xy
x y xy
   

   
Lo¹i 2: HÖ ph­¬ng tr×nh gåm mét ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt, mét ph­¬ng trinh kh«ng 
ph¶i bËc nhÊt. 
 a) 2 2
1 0
2 3 7 12 1 0
x y
x xy y x y
   

      
 b) 2 2
5 1
3 10
x y
x y xy x y
   

     
c) 
2 2 2 2 23 0
3 3 0
x y x y
x y
     

   
 d) 
23 6 3 0
4 9 6
x xy x y
x y
    

  
§Æng Ngäc D­¬ng – THCS Giao Hµ - Giao Thuû - Nam §Þnh 
Gmail: diepngoc0307@gmail.com  3 
Lo¹i 3: Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh b»ng ph­¬ng ph¸p ®Æt Èn phô. 
D¹ng thø nhÊt: 
a) 
1 1
1
3 4
5
x y
x y
  
  
 b) 
6 5
3
9 10
1
x y
x y
  
  
 c) 
1 1 1
4
10 1
1
x y
x y
  
  
d) 
1 1 1
24
2 3
x y
x y
  
 
 e) 
1 1
2
2 1
2 3
1
2 1
x y
x y
    
    
 f) 
4 5
2
3 1
5 1 29
3 1 20
x y
x y
    
    
g) 
8 1
1
12
1 5
3
12
x y
x y
   
   
 h) 
4 9
1
2 1 1
3 2 13
2 1 1 6
x y
x y
     
    
 i) 
1 1
2
1 2
2 3
1
2 1
x y
y x
    
    
j) 
2
2
7 13 39
5 11 33
x y
x y
   

  
 k) 
2 2
2 2
2 3 36
3 7 37
x y
x y
  
  
 l) 
2 2
2 2
3 5
3 1
x y
x y
  
  
m) 
3 5
2 3 18
x y
x y
  

  
 n) 
3 2 6
4,5
x y
x y
  

  
 o) 
3 2 1 2
2 3 1 4
x y
x y
    

    
p) 
7 4 5
37 6
5 3 1
2
67 6
x y
x y
    
    
D¹ng thø hai: 
a) 
2
2
1 1
3
1
1 1
x y
x y
x y
x y
    
     
 b) 
4 5
2
2 3 3
3 5
21
3 2 3
x y x y
x y x y
     
    
 c) 
7 5 9
2 1 2
3 2
4
2 1
x y x y
x y x y
      
      
d) 
1
12
2
12
x x
y y
x x
y y
   

   
 e) 
3 6
1
2
1 1
0
2
x y x y
x y x y
     
    
 f) 
4 5 5
1 2 3 2
3 1 7
1 2 3 5
x y x y
x y x y
      
      
g) 
5
2
10
3
x y xy
xy x y
x y xy
xy x y
   
   
 h) 
2 3
1
1 1
2 5
2
1 1
x y
y x
y x
x y
    
    
 i) 
6 2
3
2 2
3 4
1
2 2
x y x y
x y x y
    
     
§Æng Ngäc D­¬ng – THCS Giao Hµ - Giao Thuû - Nam §Þnh 
Gmail: diepngoc0307@gmail.com  4 
Lo¹i 4: HÖ hai ph­¬ng tr×nh hai Èn, trong ®ã vÕ ph¶i b»ng 0 vµ vÕ tr¸i ph©n tÝch 
®­îc thµnh nh©n tö. 
a) 2 2
1 0
22
x y xy
x y x y
    

    
 b) 2
( 2 1)( 2 2) 0
3 1 0
x y x y
xy y y
     

    
c) 
(2 3 2)( 5 3) 0
3 1
x y x y
x y
     

  
 d) 2 2
( 2)(2 2 1) 0
3 32 5 0
x y x y
x y
     

   
e) 
2( ) 3( ) 2 0
5 0
x y x y
x y
     

   
 f) 
2 2( 1) ( 1) 0
3 5 0
x y
x y
    

   
g) 
2
2
( ) 4( ) 12
( ) 2( ) 3
x y x y
x y x y
    
    
 b) 
2
2 2
( ) ( ) 6
2( ) 5
x y x y
x y xy
    
  
Lo¹i 5: HÖ ph­¬ng tr×nh cã vÕ tr¸i ®¼ng cÊp víi x, y; vÕ ph¶i kh«ng chøa x, y. 
a) 
2 2
2
4 1
3 4
x xy y
y xy
   
  
 b) 
2 2
2
21
2 5 0
x xy y
y xy
   
   
 c) 
2 2
2 2
3 5 4 38
5 9 3 15
x xy y
x xy y
   
   
d) 
2 2
2 2
3 5
3 1
x y
x y
  
  
 e) 
2 2
2 2
2 3 36
3 7 37
x y
x y
  
  
 f) 
2 2
2 2
2 3 9
2 2 2
x xy y
x xy y
   
   
g) 
2 2
2 2
4 2 3
2 3 4
x xy y
x xy y
   
   
 h) 
2
2
3 54
4 115
x xy
xy y
  
  
 i) 
2 2
2
2 1
2
x y
xy x
  
  
j) 
2 2 25 2
( ) 10
x y xy
y x y
   
  
 k) 
2 2
2 2
( )( ) 5
( )( ) 3
x y x y
x y x y
   
   
 l) 
2 2
2 2
( )( ) 45
( )( ) 85
x y x y
x y x y
   
   
Lo¹i 6: HÖ ph­¬ng tr×nh ®èi xøng lo¹i 1. 
a) 2 2
7
13
x y xy
x y xy
   

   
 b) 2 2
5
5
x xy y
x y
   

  
 c) 
2 2
2 2
8
7
x y x y
x y xy
    
   
d) 2 2
17
65
xy x y
x y
   

  
 e) 
17
12 0
x y xy
xy
    

  
 f) 2 2
8
34
x y
x y
  

  
g) 2 2
10
29
xy
x y
 

  
 h) 2 2
15
34
xy
x y
 

  
 i) 
2 2 4
2
x xy y
x xy y
   

   
ị) 2 2
1
6
x y xy
x y y x
    

   
 k) 
2 2 102
69
x y x y
xy x y
    

   
 l) 2 2
3( )
160
x y xy
x y
  
  
§Æng Ngäc D­¬ng – THCS Giao Hµ - Giao Thuû - Nam §Þnh 
Gmail: diepngoc0307@gmail.com  5 
m) 2 2
( 2)( 2) 9
2( ) 6
xy x y
x y x y
   
    
 n) 
2 2 2 ( 3) 2 ( 3) 9 0
2( ) 6 0
x y x y y x
x y xy
       
    
o) 
2 2
3 3
1x y xy
x y x y
   
   
 p) 
( 1) ( 1) 17
( 1)( 1) 8
x x y y xy
x y
     

   
q) 2 2
5
7
x y xy
x y xy
  

   
 r) 
11
6 6
11
xy x y
xy
x y
   
   
 s) 
7
10
3
xy x y
x y
y x
   
  
t) 
2 2 52
1 1 5
12
x y
x y
  
  
 u) 
1
1
2
x
x y
x
x y
    
   
 v) 
1
5
2
6
2
y
x y
x
x y
    
  
x) 
3 3
2 2
9
5
x y
x y
  
  
 y) 3 3
7
133
x y
x y
  

  
 z) 
30
35
x y y x
x x y y
  

  
Lo¹i 7: HÖ ph­¬ng tr×nh ®èi xøng lo¹i 2. 
a) 
2
2
2 4 5
2 4 5
x y y
y x x
   
   
 b) 
2
2
2 3
2 3
y x
x y
  
  
 c) 
2 2
2 2
2 7
2 7
x y x
y x y
  
  
d) 
2 2
2 2
2 3 3 1
2 3 3 1
x xy y x
y xy x y
    
    
 e) 
2
2
2
2
x y
y x
  
  
 f) 
3
3
2 4
2 4
x y
y x
  
  
g) 
2 2
2 2
2 3 2
2 3 2
x x y
y y x
   
   
 h) 
3
3
5
5
x x y
y y x
  
  
 i) 
3
3
2
2
x y x
y x y
  
  
j) 
3
3
13 6
13 6
x x y
y y x
  
  
 k) 
2 3 2
2 3 2
4 3
4 3
y x x x
x y y y
   
   
 l) 
3
3
2 1
2 1
x y
y x
  
  
Lo¹i 8: HÖ ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt ba ph­¬ng tr×nh ba Èn. 
a) 
1
2 4 8
3 9 27
x y z
x y z
x y z
      
   
 b) 
12
2 3 12
2 5
x y z
x y z
x y z
      
   
 c) 
2 3 1
3 2 3
2 3 2
x y z
x y z
x y z
      
    
d) 
2 4
2 3 3 6
3 4 7
x y z
x y z
x y z
      
   
 e) 
2 3 4
3 2 2 3
5 4 2
x y z
x y z
x y
      
  
 f) 
2 3 2
4 6 5
5 3 5
x y z
x y z
x y z
      
    
§Æng Ngäc D­¬ng – THCS Giao Hµ - Giao Thuû - Nam §Þnh 
Gmail: diepngoc0307@gmail.com  6 
g) 
4 7 6
4 3 2 24
x y z
x y z
   
   
 h) 
5 7 3
2 4 30
x y z
x y z
  

   
 i) 
4 3 2 1
6 10 2
x y z
x y z
    
    
j) 
2 1
3 4 7
4 3
x y z
x y z
    

   
k) 
4
7
5
x y
y z
x z
    
  
 l) 
16
28
22
x y
y z
x z
    
  
 m) 
25
30
29
x y
y z
x z
    
  
n) 
1 1
1
1 1
2
1 1
5
x y
y z
x z
    
  
 o) 
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
x
y
x
y
z
y
z
x
z
   
   
 p) 
3 2( )
5 6( )
4 3( )
xy x y
yz y z
xz z x
    
  
q) 
3 2
2 9
3
x y z
x y z
z x
       
 
 r) 
2
2 3
3 2 2
x z
y z
x y z
    
    
Lo¹i 9: HÖ ph­¬ng tr×nh hçn hîp. 
a) 2 2
1 3 5 1 3 5
80
x x x y y y
x y x y
           
    
b) 
1 1
( 1) ( 1) 2
x y y x xy
x y y x y
    
    
 c) 
2 2 2 21 1
3 4 5
x y x y y x
x y
     
  
§Æng Ngäc D­¬ng – THCS Giao Hµ - Giao Thuû - Nam §Þnh 
Gmail: diepngoc0307@gmail.com  7 
d) 
2 2
2 2
9
16
12
x z
y t
xt yz
    
  
 e) 
3
2 2
(3 )
(2 )( 2) 9 4
4
0
x y x
z y y y
x z x
z
       
   
f) 
1
3
7
x xy y
y yz z
z zx x
      
   
 g) 
2
2
2
2
2
2
xy xz x
xy yz y
xz yz z
      
   
C¸c chuyªn ®Ò cña tui c¸c b¹n cã thÓ tham kh¶o t¹i ®Þa chØ sau: 
1) Chuyªn ®Ò Rót gän biÓu thøc. 
2) Chuyªn ®Ò Gi¶i ph¬ng tr×nh 
3) Chuyªn ®Ò HÖ thøc Vi Et. 
4) Chuyªn ®Ò HÖ ph¬ng tr×nh. 
5) Chuyªn ®Ò Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh, hÖ ph¬ng tr×nh. 
6) Chuyªn ®Ò Tø gi¸c néi tiÕp. 
1) §Ò thi tuyÓn sinh tØnh Nam §Þnh (2000 -> 2011) 
§Æng Ngäc D­¬ng – THCS Giao Hµ - Giao Thuû - Nam §Þnh 
Gmail: diepngoc0307@gmail.com  8 
2) §Ò thi tuyÓn sinh tØnh Hµ Néi (2000 -> 2011) 
3) §Ò thi tuyÓn sinh tØnh TP Hå ChÝ Minh (2000 -> 2011) 
4) §Ò thi tuyÓn sinh tØnh Th¸I B×nh (2000 -> 2011) 
Email: diepngoc0307@gmail.com 
Website: