Chuyên đề Hệ thức lượng trong tam giác

1. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 

A. KIẾN THỨC:
I. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUễNG:
1. Một số hệ thức: 
A
C
H
B
c
b
a
c,
b,

1) c2 = ac’, b2 = ab’
2) h2 = b,c,
3) ah = bc
4)
5) a2 = b2 + c2
-Với tam giỏc đều cạnh là a, ta cú: 
2. Vớ dụ:
VD1. Cho tam giỏc ABC cú AB>AC, kẻ trung tuyến AM và đường cao AH. Chứng minh: 
VD2: Cho hỡnh thang ABCD (AB//CD cú AB = 3cm; CD = 14cm; AC = 15cm; BD = 8cm.
	a) Chứng minh AC vuụng gúc với BD.
	b) Tớnh diện tớch hỡnh thang.
VD3.Tớnh diện tớch hỡnh bỡnh hành ABCD biết AD = 12; DC = 15; ADC=600.

II. TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GểC NHỌN:
1. Định nghĩa: 
2. Tớnh chất:
- Một số hệ thức lượng giỏc cơ bản:

- Chỳ ý: 
+) 
+) Khi gúc tăng từ 0o đến 90o thỡ sin và tg tăng cũn cos và cotg giảm.
+) Nếu hai gúc phụ nhau thỡ sin của gúc này bằng cos của gúc kia, tg của gúc này bằng cotg của gúc kia và ngược lại. 

+) Tỉ số lượng giỏc của 3 gúc đặc biệt.
3. Bài tập:
Bài 1: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, AB = 4cm; BC = 6 cm. Tớnh cỏc TSLG của gúc B và gúc C.
Bài 2: Chứng minh rằng sin < tg; và cos< cotg.
	
III. HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GểC TRONG TAM GIÁC VUễNG:
1. Trong tam giỏc vuụng mỗi cạnh gúc vuụng bằng:
a) Cạnh huyền nhõn với sin gúc đối hoặc nhõn với cos của gúc kề.
b) Cạnh gúc vuụng kia nhõn với tg gúc đối hoặc nhõn với cotg gúc kề.

2. Bài tập:
Bài 1: Cho hỡnh thang ABCD cú Biết AB = 2; CD = 1,2. 
Tớnh diện tớch hỡnh thang.
Bài 2: Tam giỏc ABC cú AB = 4; AC = 3,5. Tớnh diện tớch tam giỏc ABC trong hai trường hợp:
a) b) 
Bài 3: Giải tam giỏc ABC vuụng tại A biết:
a) a = 18; b = 8.
b) b = 20; .
4. Bài tập tự luyện:
B. BÀI TẬP:
1. Tam giỏc ABC vuụng tại A, AB = 9(cm); AC = 12(cm), kẻ đường cao AH, độ dài đoạn AH = ?
 2. Cho tam giỏc ABC cõn tại A, hai đường cao AH và BK cú độ dài lần lượt là 10(cm) và 12(cm). Tớnh độ dài cỏc cạnh của tam giỏc ABC. (ct 2011)
 3. Một hình thang cân có độ dài đường cao bằng nửa tổng độ dài của hai đáy.
 Chứng minh rằng: Hai đường chéo của hình thang vuông góc với nhau. (ct 2010).
4. ) Cho hỡnh thang vuụng ABCD cú: 
Gọi I là trung điểm của AB, tớnh khoảng cỏch từ I đến đường thẳng CD. (ct 12)
5 .Cho tam giỏc ABC vuụng cõn tại A, trung tuyến BD. Gọi I là hỡnh chiếu của C trờn BD, H là hỡnh chiếu của I trờn AC.
	Chứng minh: AH = 3HI.

6.Qua đỉnh A của hỡnh vuụng ABCD cạnh bằng a, vẽ một đường thẳng cắt BC ở E và cắt đường thẳng DC ở F.
	Chứng minh: 
Gợi ý:
4. (Dựng diện tớch).
5. Xem xột HI/AH= tan HAI = tanIBC=CI/BI=AK/BI (với AK là đường cao trong tam giỏc ABD.
Tớnh được AK, BI, từ đú cú đpcm.
6. Nhõn hai vế với a2; xem xột tỉ số a2/AE2.