Chuyên đề: Hệ thức Vi ét

Chuyên đề: hệ Thức vi ét
J Các kiến thức cần nhớ
1) Định lí Vi ét:
Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 (a≠0). Nếu phương trình có hai nghiệm x1; x2 thì:
Lưu ý: Khi đó ta cũng có: 
2) áp dụng hệ thức Vi et để nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai:
- Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm 
- Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm 
3) Tìm hai số khi biết tổng và tích:
Hai số x; y có: x + y = S; x.y = P thì hai số x; y là nghiệm của phương trình:
X2 – SX + P = 0
Điều kiện S2 ³ 4P.
Bài tập
Dạng thứ nhất: Lập phương trình khi biết hai nghiệm:
Bài 1:
a) x1=2; x2=5	b) x1=-5; x2=7	c) x1=-4; x2=-9
d) x1=0,1; x2=0,2	e) 	f) 
g) 	h) 	i) 
j) 	k) 
l) 	m) 
n) 	o) 
p) 	q) 
r) 	s) 
t) 	u) 
Bài 2: Giả sử x1; x2 là hai nghiệm của phương trình: . Không giải phương trình, hãy lập một phương trình bậc hai có các nghiệm là:
	a) 3x1 và 3x2	b) -2x1 và -2x2	c) và 	
	d) và 	e) và 	f) và 
	g) và 	h) và 	i) và 	
	j) và 	
Bài 3: Giả sử x1; x2 là hai nghiệm của phương trình: . Không giải phương trình, hãy lập một phương trình bậc hai có các nghiệm là:
	a) -x1 và -x2	b) 4x1 và 4x2	c) và 	
	d) và 	e) và 	f) và 
	g) và 	h) và 	i) và 	
	j) và 	k) và 	l) x12x2 và x1x22
Bài 4: Gọi p; q là hai nghiệm của phương trình . Không giải phương trình. Hãy lập một phương trình bậc hai với các hệ số nguyên có nghiệm là: và 
Bài 5: Tương tự:
a) 	b) 	c) 
Bài 6: 
a) Chứng minh rằng nếu a1; a2 là hai nghiệm của phương trình: , b1; b2 là hai nghiệm của phương trình: thì:
b) Chứng minh rằng nếu tích một nghiệm của pt: với mộ nghiệm nào đó của pt là nghiệm pt thì:
c) Cho pt 
Chứng minh rằng nếu thì pt có hai nghiệm và nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
Dạng thứ hai: Tìm tổng và tích các nghiệm:
Bài 1: Cho phương trình: . Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình không giải phương trình hãy tính:
a) 	b) 	c) 	d) 	
e) 	f) 	g) 	h) 
i) 	j) 	k) 	l) 
m) 	n) 
Bài 2: Tương tự: ; ; 
Bài 3: Cho phương trình: . Không giải phương trình hãy tính:
a) Tổng bình phương các nghiệm	b) Tổng nghịch đảo các nghiệm
c) Tổng lập phương các nghiệm	d) Bình phương tổng các nghiệm
e) Hiệu các nghiệm	f) Hiệu bình phương các nghiệm
Bài 4: Cho pt: có hai nghiệm x1; x2. Không giải pt hãy tính:
Dạng thứ ba: Tìm hai số khi biết tổng và tích:
Bài 1:
Tìm hai số khi biết tổng của chúng bằng 27, tích của chúng bằng 180.
Tìm hai số khi biết tổng của chúng bằng 1, tích của chúng bằng 5.
Tìm hai số khi biết tổng của chúng bằng 33 , tích của chúng bằng 270.
Tìm hai số khi biết tổng của chúng bằng 4, tích của chúng bằng 50.
Tìm hai số khi biết tổng của chúng bằng 6 , tích của chúng bằng -315.
Bài 2 Tìm hai số u, v biết:
a) u + v = 32; uv = 231	b) u + v = -8; uv = -105
c) u + v = 2; uv = 9	d) u + v = 42; uv = 441
e) u - v = 5; uv = 24	f) u + v = 14; uv = 40
g) u + v = -7; uv = 12	h) u + v = -5; uv = -24
i) u + v = 4; uv = 19	j) u - v = 10; uv = 24
k) u2 + v2 = 85; uv = 18	l) u - v = 3; uv = 180
m) u2 + v2 = 5; uv = -2	n) u2 + v2 = 25; uv = -12
Dạng thứ bốn: Tính giá trị của tham số khi biết mối liên hệ giữa các nghiệm:
Bài 1: Cho pt . Tính giá trị của m biết pt có hai nghiệm x1; x2 thoả:
a) 	b) 	c) 	d) 
Bài 2: Cho pt . Tìm các giá trị của m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả một trong các hệ thức sau:
a) 	b) 	c) 	d) 
Bài 3: Cho pt . Tìm m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả . Khi đó tìm cụ thể hai nghiệm của pt?
Bài 4:
a) Tìm k để pt: có hai nghiệm x1; x2 thoả
b) Tìm m để pt: có hai nghiệm x1; x2 thoả
c) Tìm k để pt: có hai nghiệm x1; x2 thoả
d) Tìm m để pt: có hai nghiệm x1; x2 thoả
Bài 5 Gọi x1; x2 là hai nghiệm khác 0 của pt: . Chứng minh:
Dạng thứ năm: Các bài toán tổng hợp.
Bài 1: Cho pt: 
Giải pt trên khi m = 1
Định m để pt có một nghiệm là 2. Khi đó pt còn một nghiệm nữa, tìm nghiệm đó?
CMR pt luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
Gọi x1; x2 là hai nghiệm của pt. Tìm m để 
Định m để pt có nghiệm này bằng ba nghiệm kia?
Bài 2: Cho pt 
CMR pt luôn có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 với mọi m.
Với m ≠ 0. Hãy lập pt ẩn y có 2 nghiệm là: và 
Định m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả 
Bài 3: Cho pt 
Giải pt khi 
Tìm k để pt có một nghiệm là 3, khi đó pt còn một nghiệm nữa, tìm nghiệm ấy?
Chứng minh rằng pt luôn có 2 nghiệm x1; x2 với mọi k.
CMR giữa tổng và tích các nghiệm có một sự liên hệ không phụ thuộc k?
Tìm k để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả 
Tìm k để tổng bình phương các nghiệm có giá trị nhỏ nhất.
Bài 4: Cho pt 
CMR pt luôn có 2 nghiệm phân biệt khi m ≠ 1.
Xác định m để pt có tích hai nghiệm bằng 5. Từ đó hãy tính ổng các nghiệm của pt.
Tìm một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của pt không phụ thuộc m?
Tìm m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả 
Bài 5: Cho pt 
Giải và biện luận pt trên.
Tim giá trị của m để pt có một nghiệm bằng m. khi đó hãy tìm nghiệm còn lại?
Tìm m sao cho hai nghiệm x1; x2 của pt thoả đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó?
Bài 6: Cho pt 
Chứng minh rằng pt luôn có 2 nghiệm x1; x2 với mọi m.
Đặt 
+) Chứng minh 
+) Tìm m sao cho A = 27.
Tìm m để pt có nghiệm này bằng hai nghiệm kia. Khi đó hãy tìm hai nghiệm ấy?
Bài 7: Cho pt 
Giải pt khi m = -5
CMR pt luôn có nghiệm x1; x2 với mọi m.
Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu.
Tìm m để pt có hai nghiệm dương.
CMR biểu thức không phụ thuộc m.
Tính giá trị của biểu thức 
Bài 8: Cho pt 
Giải pt trên khi 
Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu?
Tìm m để pt có hai nghiệm đều âm?
Gọi x1; x2 là hai nghiệm của pt. Tìm m để 
Bài 9: Cho pt (x là ẩn)
Giải và biện luận pt.
Tìm m để pt nhận 2 là nghiệm. Với giá trị của m vừa tìm được hãy tìm nghiệm còn lại của pt.
Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu.
Bài 10: Cho pt 
Tìm m để pt có nghiệm . Tìm nghiệm kia
Tìm m để pt có nghiệm
Tính theo m.
Tính theo m.
Tìm tổng nghịch đảo các nghiệm, tổng bỉnh phương nghịch đảo các nghiệm.
Bài 11: 
Pt có nghiệm . Tìm p và tính nghiệm kia.
Pt có một nghiệm bằng 5. Tìm q và tính nghiệm kia.
Biết hiệu hai nghiệm của pt bằng 11. Tìm q và hai nghiệm của
Tìm q và hai nghiệm của pt , biết pt có hai nghiệm và nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
Tìm giá trị của m để pt có nghiệm x1 = 5. khi đó hãy tìm nghiệm còn lại.
Định giá trị của k để pt có nghiệm x = -5. Tìm nghiệm kia.
Cho pt: . Định m để pt có hai nghiệm thoả 
Tìm tất cả các giá trị của a để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn 
Bài 12: Cho pt 
Xác định m để pt có hai nghiệm phân biệt.
Xác định m để pt có một nghiệm bằng 2. Tìm nghiệm kia.
Xác định m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả 
; ; 
d) Xác định m để pt có hai nghiệm thoả 
Bài 13: Cho pt 
Tìm m để pt có nghiệm
Cho ( x1; x2 là hai nghiệm của pt). Tìm m sao cho P đạt giá trị nhỏ nhất, tìm GTNN ấy.
Bài 14: Tìm các giá trị của m; n để pt có hai nghiệm ?
Bài 15: Tìm các giá rị của m để pt có nghiệm x1; x2 thoả mãn một trong hai điều:
	a) 
	b) x1; x2 đều âm.
Bài 16: Cho pt 
CMR pt luôn có nghiệm với mọi m.
Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc m.
Xác định m để pt có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau.
Bài 17: Cho pt 
Giải và biện luận pt. Từ đó hãy cho biết với giá trị nào của m thì pt có hai nghiệm?
Xác định các giá trị của m để pt có hai nghiệm dương.
Với giá trị nào của m thì pt nhạn 1 là nghiệm. Tìm nghiệm còn lại.
Bài 18: Cho pt 
Xác định m để pt có nghiệm
Với giá trị nào của m thì pt có nghiệm này gấp 3 lần nghiệm kia?. Tính các nghiệm trong trường hợp này.
Bài 19: Cho pt 
Chứng tỏ rằng pt có nghiệm x1; x2 với mọi m. Tính nghiệm kép (nếu có) của pt và giá trị tương ứng của m.
Đặt 
+) Chứng minh 
+) Tính giá trị của m để A = 8
+) Tìm min của A
Bài 20: Cho pt 
Định m để pt có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này.
Định m để pt có hai nghiệm đều âm? đều dương? trái dấu?
Bài 21: Cho pt 
CMR pt luôn có hai nghiệm với mọi m.
Tìm m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn một trong các điều:
+) 	+) 
Bài 22: Cho pt 
Với giá trị nào của k thì pt có một nghiệm? Tìm nghiệm đó?
Với giá trị nào của k thì pt có hai nghiệm phân biệt
Tìm k để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả 
Bài 23: Cho pt 
Giải pt khi m = 4?
Xác định giá trị của m để pt có hai nghiệm phân biệt.
Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu.
Tìm m để pt có hai nghiệm đều dương.
Bài 24: Cho pt 
Tìm các giá trị của m để pt có nghiệm.
Gọi x1; x2 là hai nghiệm của pt. tìm m để:
Bài 25: Cho pt 
Với giá trị nào của m thì pt có nghiệm.
Với giá trị nào của m thì pt có nghiệm đều dương
Gọi x1; x2 là hai nghiệm của pt. tìm m để 
Bài 26: Cho pt 
Giải pt khi a = -2
Tìm a để pt có hai nghiệm phân biệt
Tìm a để pt có hai nghiệm thoả
Tìm a để pt có hai nghiệm dương.
Bài 27: Cho pt 
Xác định m để pt có nghiệm
Xác định m để pt có hai nghiệm thoả 
Xác định m để pt có một nghiệm bằng hai nghiệm kia
Bài 28: Xác định m để pt có hai nghiệm thoả mãn một trong các điều kiện sau:
Nghiệm này lớn hơn nghiệm kia 1 đơn vị
Có hai nghiệm thoả 
Bài 29: Tìm giá trị của m để đạt giá trị nhỏ nhất:
	a) 	b) 
Bài 30: Cho pt 
Giải pt khi m = 1
Với giá trị nào của m thì pt nhận x = 3 là nghiệm. Tìm nghiệm còn lại.
Chứng minh rằng pt luôn có nghiệm với mọi m.
Tìm m để pt có nghiệm thoả 
Tìm giá trị của m để pt có hai nghiện dương? hai nghiệm âm?
Bài 31: Cho pt 
CMR pt luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
Gọi x1; x2 là hai nghiệm của pt. Tìm GTLN của 
Tìm m để Y = 4; Y = 2.
Bài 32: Cho pt 
CMR pt luôn có hai nghiệm phân biệt
Tìm m để pt có hai nghiệm dương
Tìm m để pt có hai nghiẹm thoả:
+) 	+) 
Định m để pt có hai nghiệm thoả: 
Bài 33: Cho pt 
CMR pt luôn có hai nghiệm phân biệt
Tìm m để pt có hai nghiệm thoả 
Tìm m để pt có hai nghiệm đều dương
Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc m.