Chuyên đề Hình học
Bạn đang xem trước 20 trang mẫu tài liệu Chuyên đề Hình học, để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Chuyên đề : HÌNH HỌC A/ CÁC BÀI TOÁN VỀ NHẬN DẠNG CÁC HÌNH Phải nắm được một số tính chất của các hình đã học - Nhận dạng được các hình và giải được các bài toán có liên quan - Rèn kỹ năng giải toán, quan sát, tính toán cho học sinh . 1. Các kiến thức cần nhớ : A B - Nối hai điểm A, B ta được đoạn thẳng AB | | A - Hình tam giác có 3 đỉnh, 3 cạnh và 3 góc. . Hình tam giác ABC có 3 đỉnh là A, B, C ; Có 3 cạnh là AB, BC và CA; Có 3 góc là góc A, góc B và góc C. B C - Hình tứ giác có 4 đỉnh, 4 cạnh và 4 góc. B Tứ giác ABCD có 4 đỉnh là A, B, C và D ; C Có 4 cạnh là AB, BC, CD và DA ; Có 4 góc là góc A, góc B và góc D - Hình vuông có 4 góc vuông và có 4 cạnh bằng A nhau. D - Hình chữ nhật ABCD có 4 góc vuông ; Hai cạnh AD và BC là B C chiều dài, hai cạnh AB và CD là chiều rộng. A D Bài tập vận dụng Bài 1 : Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC ta lấy 6 điểm. Nối đỉnh A với mỗi điểm vừa chọn. Hỏi đếm được bao nhiêu hình tam giác. Giải : A A 1 2 1 2 3 B C B D E C A 1 2 3 4 5 6 7 B D E P G H I C Ta nhận xét : - khi lấy 1 điểm thì tạo thành 2 tam giác đơn ABD và ADC. Số tam giác đếm được là 3 : ABC, ADB và ADC. Ta có : 1 + 2 = 3 (tam giác) - khi lấy 2 điểm thì tạo thành 3 tam giác đơn và số tam giác đếm được là 6 : ABC, ABD, ADE, ABE, ADC và AEC. Ta có : 1+ 2 + 3 = 6 (tam giác) Vậy khi lấy 6 điểm ta sẽ có 7 tam giác đơn được tạo thành và số tam giác đếm được là : 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28 (tam giác) Cách 2 :- Nối A với mỗi điểm D, E, …, C ta được một tam giác có cạnh AD. Có 6 điểm như vậy nên có 6 tam giác chung cạnh AD (không kể tam giác ADB vì đã tính rồi) Lập luận tương tự như trên theo thứ tự ta có 5, 4, 3, 2, 1 tam giác chung cạnh AE, AP, …, AI. Vậy số tam giác tạo thành là : 7 + 6 + 5 + 4 +3 +2 + 1 = 28 (tam giác). Bài tập 2 : Cho hình chữ nhật ABCD. Chia mỗi cạnh AD và BC thành 4 phần bằng nhau, AB và CD thành 3 phần bằng nhau, rồi nối các điểm chia như hình vẽ. Ta đếm đượcbao nhiêu hình chữ nhật trên hình vẽ? B C M N E P A D Giải : Trước hết Ta xét các hình chữ nhật tạo bởi hai đoạn AD, EP và các đoạn nối các điểm trên hai cạnh AD và BC. Bằng cách tương tự như tronh ví dụ 1 ta tính được 10 hình. Tương tự ta tính được số hình chữ nhật tạo thành do hai đoạn EP và MN, do MN và BC đều bằng 10. Tiếp theo ta tính số hình chữ nhật tạo thành do hai đoạn AD và MN, EP và BC với các đoạn nối các điểm trên hai cạnh AD và BC đều bằng 10. Vì vậy : Số hình chữ nhật đếm được trên hình vẽ là : 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 60 (hình) Đáp số 60 hình. Bài tập 3 :Cần ít nhất bao nhiêu điểm để khi nối lại ta được 5 hình tứ giác ? Giải : E Nếu ta chỉ có 4 điểm ( trong đó lhông có * 3 điểm nào cùng nằm trên 1 đoạn thẳng) A B thì nối lại chỉ được 1 hình tứ giác. * * - Nếu ta chọn 5 điểm, chẳng hạn A, B, C, D, E (trong đó không có 3 điểm nào nằm trên cùng một đoạn thẳng) thì : - Nếu ta chọn A là 1 đỉnh thì khi * * chọn thêm 3 trong số 4 điểm còn lại D C B, C, D, E và nối lại ta sẽ được một tứ giác có một đỉnh là A. Có 4 cách chọn 3 điểm trong số 4 điểm B, C, D, E để ghép với A. Vậy có 4 tứ giác đỉnh A. - Có 1 tứ giác không nhận A làm đỉnh, dó là BCDE. Từ kết quả trên đây ta suy ra Khi có 5 điểm ta được 5 tứ giác. Vậy để có 5 hình tứ giác ta cần ít nhất 5 điểm khác nhau (trong đó không có 3 điểm nào nằm trên cùng một đoạn thẳng) Bài 4 : Cho 5 điểm A, B, C, D, E trong đó không có 3 điểm nào nằm trên cùng một đoạn thẳng. Hỏi khi nối các điểm trên ta được bao nhiêu đoạn thẳng? Cũng hỏi như thế khi có 6 điểm, 10 điểm. Bài 5 : Để có 10 đoạn thẳng ta cần ít nhất bao nhiêu điểm ? 4/ Bài tập về nhà Bài 1 : Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC ta lấy : a) 5 điểm ; b) 10 điểm ; c) 100 điểm . Hỏi có bao nhiêu tam giác được hình thành ? Bài 2 : Cần ít nmhất bao nhiêu điểm để nối lai ta được : a) 4 hình tam giác ? b) 5 hình tam giác Bài 3 : cho hình chữ nhật ABCD. Trên cạnh AB lấy 5 điểm và trên cạnh CD lấy 6 điểm. Nối đỉnh C và đỉnh D với mỗi điểm thuộc cạnh AB. Nối đỉnh A và đỉnh B với mỗi điểm thuộc cạnh CD. Hỏi có bao nhiêu tam giác có các đỉnh nằm trên các cạnh của hình chữ nhật được tạo thành ? Bài 4 : Cho hình thang ABCD. Chia cạnh đáy AB và CD thành A C 3 phần bằng nhau và các cạnh bên AB, CD thành 4 phần bằng nhau như hình vẽ. Ta đếm được bao nhiêu hình thang trên hình vẽ ? A D Bài 5 : Cho tam giác ABC. Trên mỗi cạnh của tam giác ta lấy một điểm rồi nối 3 điểm đó với nhau. Trên các cạnh của mỗi tam giác vừa tạo thành ta lại lấy một điểm rồi nối 3 điểm đó với nhau. Tiếp tục như thế 3 lần thì dừng lại. Hỏi khi đó ta đếm được tất cả bao nhiêu tam giác ? CÁC BÀI TOÁN VỀ DIỆN TÍCH CÁC HÌNH I - HÌNH TAM GIÁC - Hình tam giác có 3 cạnh, 3 đỉnh. Đỉnh là điểm 2 cạnh tiếp giáp nhau. Cả 3 cạnh đều có thể lấy làm đáy. - Chiều cao của hình tam giác là đoạn thẳng hạ từ đỉnh xuống đắy và vuông góc với đắy. Như vậy mỗi tam giác có 3 chiều cao. S = (a x h) : 2 h = s x 2 : a a = s x 2 : h Công thức tính : - Hai tam giác có diện tích bằng nhau khi chúng có đáy bằng nhau (hoặc đáy chung), chiều cao bằng nhau (hoặc chung chiều cao). - Hai tam giác có diện tích bằng nhau thì chiều cao của 2 tam giác ứng với 2 cạnh đắy bằng nhau đó cũng bằng nhau. Hai tam giác có diện tích bằng nhau khi đáy tam giác P gấp đáy tam giác Q gấp chiều cao tam giác P bấy nhiêu lần. Bài tập ứng dụng Bài 1 : Cho tam giác ABC có diện tích là 150 cm2. Nếu kéo dài đáy BC (về phía B) 5 cm thì diện tích sẽ tăng thêm 37,5 cm2 . Tính đáy BC của tam giác. Giải : A B H C 5 cm D Cách 1 : Từ A kẻ đường cao AH của ∆ ABC thì AH cũng là đường cao của ∆ ABD Đường cao AH là : 37,5 x 2 : 5 = 15 (cm) Đáy BC là : 150 x 2 : 15 = 20 (cm) Đáp số 20 cm. Cách 2 : Từ A hạ đường cao AH vuông góc với BC . Đường cao AH là đường cao chung của hai tam giác ABC và ABD . Mà : Tỉ số 2 diện tích tam giác là : S ∆ ABC 150 = = 4 S ∆ ABD 37,5 Hai tam giác có tỉ số diện tích là 4 mà chúng có chung đường cao,nên tỉ số 2 đáy cũng là 4. Vởy đáy BC là : 5 x 4 = 20 (cm) Đáp số 20 cm. Bài 2 : Cho tam giác ABC vuông ở A có cạnh AB dài 24 cm, cạnh AC dài 32 cm. Điểm M nằm trên cạnh AC. Từ M kẻ đường song song với cạnh AB cắt BC tại N. Đoạn MN dài 16 cm. Tính đoạn MA. Giải : Nối AN. Ta có tam giác NCA có NM là đường cao vì MN AB nên MN cũng CA C Diện tích tam giác NCA là 32 x 16 : 2 = 256 (cm2) Diện tích tam giác ABC là : 24 x 32 : 2 = 348 (cm2) Diện tích tam giác NAB là M N 384 – 256 = 128 (cm2) Chiều cao NK hạ từ N xuống AB là : 128 x 2 : 24 = 10 (cm) A B Vì MN || AB nên tứ giác MNBA là hình thang vuông. Do vậy MA cũng bằng 10 cm Đáp số 10 cm Bài 3 : Cho tam giác ABC vuông ở A. Cạnh AB dài 28 cm, cạnh AC dài 36 cm M là một điểm trên AC và cách A là 9 cm. Từ M kẻ đường song song với AB và đường này cắt cạnh BC tại N. Tính đoạn MN. Giải : C Vì MN || AB nên MN AC tại M. Tứ giácMNAB là hình thang vuông. Nối NA. Từ N hạ NH AB thì NH là chiều cao của tam giác NBA M N và của hình thang MNBA nên NH = MA và là 9 cm. A H B Diện tích tam giác NBA là : 28 x 9 : 2 = 126 (cm2) Diện tích tam giác ABC là : 36 x 28 : 2 = 504 (cm2) Diện tích tam giác NAC là : 504 – 126 = 378 (cm2) Đoạn MN dài là : 378 x 2 : 36 = 21 (cm) Bài 4 : Tam giác ABC có diện tích là 90 cm2, D là điểm chính giữa AB. Trên AC lấy điểm E sao cho AE gấp đôi EC. Tính diện tích AED. Giải : A + Nối DC ta có - SCAD = SCAB D (vì cùng chiều cao hạ từ C xuống E AB và đáy DB = DA = 90 : 2 = 45 cm2) B C SDAE = SADC (Vì cùng chiều cao hạ từ D xuống AC và đáy E = AC) = = 30 (cm2) Đáp số SAED = 30 cm2 Bài 5 : Cho tam giác ABC, trên AB lấy điểm D, E sao cho AD = DE = EB. Trên AC lấy điểm H, K sao cho AK = HK = KC. Trên BC lấy điểm M, N sao cho BM = MC = NC. Tính diện tích DEMNKH? Biết diện tích tam giác ABC là 270 cm2. Giải : A D 3 H E K 1 2 B M N C + SABC – (S1 + S2 + S3) = SDEMNHK - Nối C với E, ta tính được : SCEB = SCAB (Vì cùng chiều cao hạ từ C xuống AB, đáy BE = BC). Hay S1 = SABC . + Tương tự ta tính : S1 = S2 = S3 = SABC và bằng 270 : 9 = 30 (cm2) + Từ đó ta tính được : SDEMNKH = 180 (cm2) Đáp số 180 cm2 Bài 6 : Cho tam giác ABC, có BC = 60 cm, đường cao AH = 30 cm. Trên AB lấy điểm E và D sao cho AE = ED = DB. Trên AC lấy điểm G và K sao cho AG = GK = KC. Tính diện tích hình DEGK? Giải : A Nối BK ta có : E G - SABC = 60 x 30 : 2 = 900 (cm2) D K - SBKA = SBAC (Vì cùng chiều cao hạ từ B xuống AC và đáy KA =AC) B C SBKA = 900 : 3 x 2 = 600 (cm2) Nối EK ta có : - SEAG = SKDB (vì cùng chiều cao hạ từ E xuống AH. Đáy GA- GK) -VàSKED = SKDB (Vì cùng chiều cao hạ từ K xuống EB và đáy DE=DB). - Do đó SEGK + SKED = SEAG + SKDB = SBAK - Vậy SEGK + SKED = 600 : 2 = 300 (cm2) Hay SEGKD = 300cm2 Đáp số SEGKA = 300 cm2 Bài 7 : Cho tam giác MNP, F là điểm chính giữa cạnh NP. E là điểm chính giữa cạnh MN. Hai đoạn MF và PE cắt nhau tại I. Hãy tính diện tích tam giác IMN? Biết SMNP = 180 cm2 . Giải : M Nối NI, ta có : 1. - SPME = SPNE (Vì có cùng chiều cao hạ từ P xuống MN, đáy EM = EN) - SIME = SINE (vì có cùng chiều cao hạ từ I xuống MN, đáy EM = EN) E - Do đó SIMP = SINP I (Hiệu hai diện tích bằng nhau) 2. SMNE = SPMF (Vì có cùng chiều cao hạ từ M xuống NP, N P đáy FN = FP F mà SINF = SIFP (vì có cùng chiều cao hạ từ I xuống NP, đáy FN = FP) Do đó SIMN = SIMP (Giải thích như trên). Kết hợp (1) và (2) ta có : SIMP = SINP = SIMN = SABC : 3 = SABC = 180 : 3 = 60 (cm2) Bài 8 : Cho tam giác ABC. Điểm M là điểm chính giữa cạnh AB. Trên cạnh AC lấy AN bằng 1/2 NC. Hai đoạn thẳng BN và CM cắt nhau tại K. Hãy tính diện tích tam giác AKC? Biết diện tích tam giác KAB bằng 42 dm2. Giải : A Nối AK, ta có H + SCAM = SCMB (vì có cùng chiều cao N hạ từ C xuống AB, đáy MA = MB) M I - Mà SKAM = SKBM (vì có cùng K chiều cao hạ từ K xuống AB, đáy MA = MB) B C - Vậy SAKC = SBKC (vì cùng là hiệu của hai tam giác có diện tích bằng nhau) + SKAN = SKCN (vì cùng chiều cao hạ từ K xuống AC, đáy AN =NC) Nếu coi A, C là đỉnh thì 2 tam giác có diện tích gấp đôi mà chung đáy (AK) vậy chiều cao cũng phải gấp đôi nhau. Do đó : AI = CH. - SAKB = SCKB (chung đáy BK, chiều cao AI = CH) Vậy SAKC = SBKC = SABK x 2 = 42 x 2 = 84 (dm2) * Bài tập về nhà Bài 1 : Một thửa đất hình tam giác có chiều cao là 10 m. Hỏi nếu kéo dài đáy thêm 4 m thì diện tích sẽ tăng thêm bao nhiêu m2? Bài 2 : Một thửa đất hình tam giác có đáy là 25 m. Nếu kéo dài đáy thêm 5 m thì diện tích sẽ tăng thêm là 50 m2. Tính diện tích mảnh đất khi chưa mở rộng. Bài 3 : Cho tam giác ABC vuông ở A, cạnh AB dài 54 cm, cạnh AC dài 60 m. Điểm M trên AB cách A là 10 m. Từ M kẻ đường song song với AC cắt cạnh BC tại N. Tính đoạn MN. Bài 4 : Cho tam giác ABC có BC = 6 cm. Lấy D là điểm ở chính giữa của AC, kéo dài AB một đoạn BE = AB. Nối D với E, DE cắt BC ở M. Tính BM? Bài 5 : Cho tam giác ABC, có AB = 6 cm. Trên AC lấy điểm D sao cho AD gấp đôi DC. Trên BC lấy điểm E sao cho BE = 1/2 EC, Kéo dài DE và AB cắt nhau ở G. Tính BG? Bài 6 : Cho tam giác ABC, điểm D nằm trên cạnh AC, điểm E nằm trên cạnh BC sao cho : AD = DC, BE = 3/2 EC. Các đoạn thẳng AE và BD cắt nhau ở K. a) BK gấp mấy lần KD? b) Biết diện tích tam giác ABC bằng 80 m2. Tính diện tích hình DKEC?jjkkồhgd II - HÌNH THANG 1 Kiến thức cần nhớ. - Một tứ giác có hai cạnh đáy lớn, đáy bé song song với nhau gọi là hình thang (Hình vuông, hình chữ nhật cũng coi là dạng hình thang đặc biệt) - Đoạn thẳng giữa hai đáy của hình thang và vuông góc với hai đáy là đường cao của hình thang. Mọi chiều cao của hình thang đều bằng nhau. + Các loại hình thang - Hình thang vuông có một cạnh bên vuông góc với hai đáy của hình thang. Hình thang vuông có hai góc vuông. - Hình thang cân có 2 cạnh bên bằng nhau. - Các hình thang không có điều đặc biệt trên gọi là hình thang thường S = (a + b) x h : 2 h = S x 2 : (a + b) a + b = S x 2 : h CÔNG THỨC 2 Bài tập vận dụng Bài 1 :Cho hình thang ABCD. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I. Tìm các cặp tam giác có diện tích bằng nhau. Ta có 3 cap tam giác có diện tích bằng nhau là S ADB = SABC (vì cùng đáy AB x chiều cao chia 2) SACD = SBCD SAID = SIBC Vì chúng đều là phần diện tích còn lại của 2 tam giác có diện tích bằng nhau và có chung 1 phần diện tích. (Tam giác ICD hoặc AIB) A B I D C Bài 2 : Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ AB là 27 cm, đáy lớn CD là 48 cm. Nếu kéo dài đáy nhỏ thêm 5 cm thì diện tích của hình tăng 40 cm2. Tính diện tích hình thang đã cho. Giải : cách1 ∆ CBE có : Đáy BE = 5 cm, chiều cao là chiều cao của hình thang ABCD . Vậy chiều cao của hình thang ABCD là : 40 x 2 : 5 = 16 (cm) Diện tích hình thang ABCD là : (27 + 48) x 16 : 2 = 600 (cm2) A 27 B 5 E 40 cm2 D 48 C Cách 2 : Tổng hai đáy hình thang gấp đáy BE là : (27 + 48) : 5 = 15 (lần) Hai hình (thang và tam giác) có chiều cao chung nên diện tích hình thang gấp 15 lần diện tích ∆ BCE Diện tích tam giác BCE là : 40 x 15 = 600 (cm2) Bài 3 : Cho hình thang ABCD có đáy lớn CD là 20 cm, đáy nhỏ AB là 15 cm. M là một điểm trên AB cách B là 5 cm. Nối M với C. Tính diện tích hình thang mới AMCD. Biết diện tích tam giác MBC là 280 cm2. Giải : A M B Đáy mới AM là : 15 – 5 = 10 (cm) Tổng hai đáy AM và CD là : 10 + 20 = 30 (cm) A M B Chiều cao hình thang ABCD là : 280 x 2 : 5 = 112 (cm) D C Diện tích hình thang ABCD là : 30 x 112 : 2 = 1680 (cm2) Cách 2 Nối A với C Ta có đoạn AM là : 15 – 5 = 10 (cm) Diện tích tam giác ACM gấp 2 lần điện tích tam giác MCB Þ Diện tích tam giác ACM = 280 x 2 = 560 (cm2) (vì AM gấp BM hai lần và đường cao hai tam giác bằng nhau) ∆ DAC và ∆ MCB có : DC gấp MB là : 5 = 4 ( lần) Đường cao chung nên diện tích tam giác DAC gấp diện tích tam giác MCB 4 lần. Diện tích tam giác ADC là : 280 x 4 = 1120 (cm2) Bài 4 : Một thửa ruộng hình thang có diện tích là 361,8 m2. Đáy lớn hơn đáy nhỏ là 13,5 m. Hãy tính độ dài của mỗi đáy, biết rằng nếu tăng đáy lớn thêm 5,6 m thì diện tích thửa ruộng sẽ tăng thêm 3,6 m2. Giải : Chiều cao của hình thang là : A B 33,6 x 2 : 5,6 = 12 (m) Tổng hai đáy hình thang là : 361,8 x2 : 12 = 60,3 (m) đáy nhỏ của hình thang là : (60,3 – 13,5) : 2 = 23,4 (m) Đáy lớn của hình thang là : 33,6 m2 23,4 + 13,5 = 36,9 (m). E D H C Bài 5 : Một hình thang có chiều cao là 10 m, hiệu 2 đáy là 22 m. Kéo dài đáy nhỏ bằng đáy lớn để hình đã cho thành hình chữ nhật có chiều daid bằng đáy lớn, chiều rộng bằng chiều cao hình thang. Diện tích được mở rộng thêm bằng 1/7 diện tích hình thang cũ. Phần mở rộng về phía tay phải có diện tích là 90 m2. Tính đáy lớn của hình thang ban đầu. Giải : E A B G Đáy BG của ∆ CBG là : 90 x 2 : 10 = 18 (m) 90 cm2 Đáy EA của ∆ DAE là : 22 – 18 = 4 (m) Diện tích 2 phần mở rộng là : 20 + 90 = 110 (m2) Diện tích hình thang ABCD là : 110 x 7 = 770 (m2) D C Tổng hai đáy AB và CD là : 770 x 2 : 10 = 154 (m) Đáy CD là : (154 + 22) : 2 = 88 (m) Bài 6 : Cho hình thang vuông ABCD, có đáy nhỏ AB là 40 m. Lấy E trên AD, G trên BC sao cho EG chia hình thang ABCD làm hai hình thang có đường cao AE là 30 m và ED là 10 m. Tính diện tích hình thangABGE và EGCD. Giải : Nối G với A, G với D A 40 m B Diện tích ABCD là : = 2000 (m2) Diện tích ∆ GBA là : 40 m (40 x 30) : 2 = 600 (m2) Diện tich ∆ GDC là : G 60 x 10 : 2 = 300 (m2) 10 m Diện tích ∆ AGD là : D C 2000 – (600+300) = 1100 (m2) 60 m Vậy EG là: 1100 x 2 : 40 = 55 (m ) Diện tích ABGE là : (55 + 40 ) x 30 : 2 = 1425 (m2) Diện tích EGCD là: ( 60 + 55) x 10 : 2 = 575 (m2) Bài 6: Cho hình thang ABCD có diện tích là 60m2 , điểm M, N, P, Q là điểm chính giữa của các cạnh AB, BC, CD, DA Tính diện tích tứ giác MNPQ. Giải : MQ kéo dài cắt DC tại F; MN kéo dài cắt DC tại E Ta có diện tích hình thang ABCD bằng diện tích tam giác FME Diện tích ∆ MPF =diện tích ∆ MPE (đáy bằng nhau, đường cao chung) Diện tích ∆ MNP = diện tích ∆NPE A M B (đáy MN = NE, đường cao chung) Diện tích ∆PMQ = diện tích ∆PQF (đáy QM= QF, đường cao chung) Q N Nên diện tích MNPQ = 1/2 diện tích ∆FME . Hay diện tích MNPQ =1/2 diện tích hình thangABCD và bằng F E 60 : 2 = 30 (cm2) D P C Đáp số: 30 cm2 Bài 7: Tìm diện tích của một hình thangbiết rằng nếu kéo dài đáy bé 2m về một phía thì ta được hình vuông có chu vi 24m. Giải: Theo bài ra hình thang vuông. Đáy A B 2 m M lớn bằng cạnh hình vuông AMCD và chiều cao hình thang cũng bằng cạnh hình vuông. Cạnh hình vuông AMCD là: 24 : 4 =6 (m) Đáy bé hình thang ABCDlà: 6 – 2 = 4(m) Diện tích hình thang ABCD là: D C = 30 (m2) Đáp số :30m2 Bài 8 : Cho hình thang ABCD có đáy bé AB bằng 18 cm, đáy lớn CD bằng 3/2 đáy bé AB. Trên AB lấy điểm M sao cho AM = 12 cm. Nối M với C. Tìm diện tích hình thang AMCD, biết diện tích hình thang ABCD hơn diện tích hình thang AMCD là 42 cm2. Giải : Đáy lớn hình thang ABCD là : 18 x = 27 (cm) A M B Độ dài đoạn MB là : 18 – 12 = 6 (cm) MB chính là đáy của ∆ MBC, chiều cao của ∆ MBC ( cũng là chiều cao của hình thang AMCD) = 14 (cm) D C Diện tích hình thang AMCD là : = 273 (cm2) Đáp số 273 cm2 4.Bài tập về nhà Bài 1 : Một thửa ruộng hình thang có trung bình cộng 2 đáy là 32 m. Nếu đáy lớn tăng 16 m, đáy nhỏ tăng 10 m thì diện tích thửa ruộng sẽ tăng thêm 130 m2. Tính diện tích thửa ruộng đó. Bài 2 : Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ AB. Hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại 0. Tính diện tích hình thang đó biết diẹn tích hình tam giácAOB là 15 cm2, diện tích tam giác BOC là 30 cm2. Bài 3 : Một miếng đất hình thang có diện tích 705,5 m2, đáy lớn hơn đáy bé 8 m, nếu đáy lớn được tăng thêm 6 m thì miếng đất có diện tích bằng 756,5 m2. Tính độ dài mỗi đáy hình thang. Bài 4 : Trung bình cộng hai đáy của một thửa ruộng hình thang bằng 34 m. Nếu tăng đáy bé thêm 12 m thì diện tích thửa ruộng tăng thêm 114 m2. Hãy tìm diện tích thửa ruộng. Bài 5 : Cho hình thang ABCD đáy AB = 30 cm và CD = 45 cm. AC và BD cắt nhau tại O. Cho biết diện tích tam giác OAB là 180 cm2. Hãy tính diện tích hình thang. Bài 6 : Cho hình thang ABCD, hai đáy AB và CD. Các cạnh bên AD và BC kéo dài cắt nhau ở K. Cho biết diện tích tam giác KCD gấp 1,5 lần diện tích tam giác KAC. Tính các cạnh đáy của hình thang đó nếu biết diện tích của hình thang là 375 cm2 và chiều cao của nó là 10 cm. CÁC BÀI TOÁN VỀ CẮT GHÉP HÌNH 1. Lưu ý Các bài toán về cắt ghép hình thường gặp dưới hai dạng : 1) Bằng một số nét kẻ hãy chia một hình cho trước ra thành những phần có diện tích tỉ lệ với các số cho trước. 2) Bằng một số nhất cắt hãy chia một hình cho trước thành hững mảnh nhỏ để ghép lại ta được một hình có hình dạng cho trước. Phương pháp chung để giải các bài toán này, ta sẽ minh hoạ bằng các ví dụ cụ thể dưới đây. 2. Bài tập vận dụng Bài 1 : Hãy chia một hình chữ nhật thành 4 hình tam giác có diện tích bằng nhau ? Giải : Xuất phát từ nhận xét : - Hai tam giác có cùng chiều cao và số đo của đáy bằng nhau thì bằng nhau. - Hai tam giác có chung đáy và số đo của đường cao bằng nhau thì diện tích bằng nhau. A B Ta giải bài toán trên . Trước hết ta kẻ đường chéo AC để hình chữ nhật thành hai tam giác códiện tích bằng nhau. C D Bây giờ ta chia mỗi tam giác ABC và ADC thành hai tam giác có diện tích bằng nhau. Như vậy ta được một lời giải của bài toán. Cách 1 Chọn AC làm đáy chung của 2 tam giác sẽ chia ra. Như vậy để được 2 tam A B giác bằng nhau có cùng đường cao hạ từ B (và từ D) xuống AC thì phải chia đáy AC thành 2 phần bằng nhau bởi O điểm O. Nối BO và DO ta được các tam giác ABO, BOC, COD và DOA thoả C D mãn các điều kiện của đề bài. Cách 2 Chọn 2 cạnh BC và AD làm đáy của 2 tam giác sẽ chia ra. Như vậy các tam giác được chia ra từ tam giác ABC có chung đường cao AB cho nên ta phải chia đáy BC thành 2 phần có số đo bằng nhau bởi điểm M.Tương tự chia AD bởi điểm N. Nối AM, CN ta được 4 tam giác ABM, AMC, CAN và CND thoả M B C A N D mãn điều kiện của đề bài Cách 3 Chọn hai cạnh AB và CD làm đáy của tam giác sẽ chia ra. Như vậy các tam giác được chia từ tam giác ABC có chung đường cao CB thành 2 phần có số đo bằng nhau bởi điểm P. Tương tự ta chia CD thành 2 phần bởi điểm H. Nối CP và AH ta được 4 tam giác ACP, CPB, ADH, và AHC thoả mãn điều kiện đề bài. B C P H A D Cách 4 Phối hợp cách 1 và cách 2 như hình vẽ Ngoài ra còn có thể chia theo các cách khác. Bài 2 : Cho mảnh bìa hình tứ giác ABCD. Bằng một lần cắt (không nhấc kéo) hãy chia mảnh bìa đó thành hai phần có diện tích bằng nhau. Giải : Kẻ đường chéo BD. Bằng lập luận như trong ví dụ 8, chọn điểm giữa O của BD. Nối AO, CO. Ta cắt mảnh bìa theo nét vẽ chiều mũi tên sẽ được 2 mảnh bìa ABCO và ADCO thoả mãn điều kiện của đề bài. C B O A D 4. Bài tập về nhà Bài 1 : Cho 1 mảnh bìa hình chữ nhật có chiều dài 9 cm và chiều rộng 4 cm. bằng 1 nhát cắt (không nhấc kéo) hãy chia mảnh bìa thành 2 mảnh để ghép lại được một hình vuông có cùng diện tích. Bài 2 : Hãy cắt một mảnh bìa hình chữ nhật thành hai mảnh để ghép lại ta được một hình thang có : đáy lớn gấp 3 lần đáy nhỏ ; Đáy lớn gấp 5 lần đáy nhỏ. Bài 3 : Hãy cắt một mảnh bìa hình thang thành các mảnh nhỏ để ghép lại ta được : Một tam giác Một hình thang Một hình chữ nhật Bài 4 : Cho hai mảnh bìa hình vuông. Hãy cắt hai mảnh bìa đó thành các mảnh nhỏ để ghép lại ta được một hình vuông. Bài 5 : Cho một miếng tôn hình chữ nhật có chiều dài gấp hai lần chiều rộng. hãy cắt miếng tôn đó để ghép lại được một miếng tôn hình vuông. HÌNH TRÒN 1. Kiến thức cần nhớ : - Các công thức : C = d x 3,14 C = r x 2 x 3,14 S = r x r x 3,14 r = C : 3,14 : 2 - Hai hình tròn có bán kính (hoặc đường kính) gấp nhau bao nhiêu lần thì chu vi của chúng cũng gấp nhau bao nhiêu lần. - Hai hình tròn có tỉ số chu vi là k thì tỉ số bán kính (hoặc đường kính) bằng k thì tỉ số diện tích của chúng là k x k 2 Bài tập vận dụng Bài 1 : Tìm diện tích hình vuông biết diện tích hình tròn là 50,24 cm2. Gọi r là bán kính của hình tròn Diện tích của hình tròn là : r x r x 3,14 Theo bài ra ta có : r x r x 3,14 = 50,24 r x r = 16 r x r = 4 x 4 Þ r = 4 Số đo đoạn thẳng BD là : A B D C 4 x 2 = 8 (cm) Diện tích tam giác ABD là : = 16 (cm2) Diện tích hình vuông ABCD là : 16 x 2 = 32 (cm2) Bài 2 : Một miếng bìa hình tròn có chu vi 37,68 cm. tính diện tích miếng bìa đó : Giải : Bán kính miếng bìa là : 37,68 : 3,14 : 2 = 6 (cm) Diện tích miếng bìa là : 6 x 6 x 3,14 = 113,04 (cm2) Đáp số 113,04 cm2 Bài 3 : Hình tròn A có chu vi 219,8 cm, hình tròn B có diện tích 113,04 cm2. Hình tròn nào có bán kính lớn hơn? Giải : Bán kính hình tròn A là : 219,8 : 3,14 : 2 = 35 (cm) = 3,5 dm. Gọi r là bán kính hình tròn B ta có : r x r = 113,04 : 3,14 = 36 (dm) Þ r = 6 dm Vì 6 > 3,5 nên bán kính hình tròn B lớn hơn bán kính hình tròn A Bài 4 : Biết tỉ số bán kính của 2 hình tròn là 3/4.Hãy tính tỉ số 2 chu vi, 2 diện tích của 2 hình tròn đó. Giải : Gọi r1 là bán kính của hình tròn thứ nhất, r2 là bán kính của hình tròn thứ hai Gọi C1 và S1 là chu vi và diện tích của hình tròn thứ nhất Gọi C2 và S2 là chu vi và diện tích của hình tròn thứ hai thì : = = = Tỉ số chu vi hai đường tròn bằng 3/4 = = x = x = 4. Bài tập về nhà Bài 1 : Cho hai hình tròn đồng tâm, hình tròn thứ nhất cóp chu vi 18,84 cm ; Hình tròn thứ hai có chu vi 31,2 cm. Hãy tính diện tích hình vành khuyên do hai hình tròn tạo thành. Bài 2 : Diện tích của 1 hình tròn sẽ thay đổi như thế nào nếu ta tăng bán kính của nó lên 3 lần. Bài 3 : Hai hình tròn có hiệu hai chu vi bằng 6,908 dm. Tìm hiệu 2 bán kính của hai hình tròn đó. DIỆN TÍCH XUNG QUANH, DIỆN TÍCH TOÀN PHẦN, THỂ TÍCH HÌNH HỘP CHỮ NHẬT, HÌNH LẬP PHƯƠNG, HÌNH TRỤ 1. Kiến thức cần nhớ : A – Hình hộp chữ nhật : Hình hộp chữ nhật có 6 mặt là các hình chữ nhật, có 3 kích thước là chiều dài a, chiều rộng b, chiều cao c. Sxq = Pmđ x h = (a + b) x 2 x c STP = Sxq + S2đ = Sxq + a + b x 2 V = a x b x c B – Hình lập phương Hình lập phương có 6 mặt là các hình vuông bằng nhau. Tất cả các cạnh của hình lập phương đều bằng nhau. Sxq = a x a x 4 STP = a x a x 6 V = a x a x a C – Hình trụ hình trụ có hai đáy là hai hình tròn bằng nhau Sxq = r x 2 x 3,14 x h STP = Sxq + r x r x 3,14 x 2 V = r x r x 3,14 x h 2. Bài tập vận dụng Bài 1 : Có 8 hình lập phương, mỗi hình có cạnh bằng 2 cm. Xếp 8 hình đó thành 1 hình lập phương lớn. Tìm diện tích xung quanh, dioện tích toàn phần và thể tích của hình lập phương lớn. Giải : 8 hình lập phương ta xếp thành hình lập phương lớn bao gồm có 2 tầng mỗi tầng có 4 hình lập phương nhỏ Cạnh của hình lập phương nhỏ là 2 nên cạnh của hình lập phương lớn là : 2 x 2 = 4 (cm) Diện tích xung quanh là : 4 x 4 x 4 = 64 (cm2) Diện tích toàn phần là :
File đính kèm:
De thi tin HSG 6.doc
