Chuyên đề hình học không gian trong kỳ thi tuyển sinh đại học

CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
TRONG KỲ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC
A. Bài toán tính thể tích khối đa diện:
Loại 1: Tính thể tích bằng cách sử dụng trực tiếp các công thức toán 
+ xác định chiều cao của khối đa diện cần tính thể tích
+ tìm diện tích đáy bằng các công thức quen biết.
Loại 2: Tính thể tích bằng cách sử dụng công thức tỉ số thể tích hoặc phân chia khối đa diện thành các khối đa diện đơn giản hơn.
+ phân chia khối đa diện thành tổng hoặc hiệu các khối cơ bản ( hình chóp hoặc hình lăng trụ) mà các khối này dễ tính hơn.
+ Hoặc so sánh thể tích khối cần tính với một khối đa diện khác đã biết trước thể tích.
Với loại này ta hay sử dụng kết quả sau đây:
Cho hình chóp S.ABC. lấy A', B', C' tương ứng trên cạnh sau đây SA, SB, SC. Khi đó:
Loại 3: Tính thể tích khối đa diện bằng phép tính tọa độ trong không gian
Các dạng toán khác:
Ngoài các dạng thường gặp nêu trên, còn có dạng toán Sử dụng phương pháp thể tích để tìm khoảng cách
Các bài toán về thể tích khối đa diện có kết hợp với việc tìm GTLN, NN
Các bài toán về so sánh thể tích.
Một số bài tập:
Câu 1. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC.
a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)
b) Tính thể tích của khối chóp A.BCMN.
Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc BAD = 60°, SA vuông góc với đáy, SA = a. Gọi C’ là trung điểm SC, mặt phẳng (P) đi qua AC’ song song với BD cắt các cạnh SB, SD của hình chóp tại B’, D’. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’.
Câu 3. Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 đáy là tam giác đều. Mặt phẳng (A1BC) tạo với đáy góc 30° và tam giác A1BC có diện tích bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.
Câu 4. Khối lăng trụ ABCA1B1C1 có đáy là tam giác vuông cân, cạnh huyền AB = . Mặt phẳng (AA1B) vuông góc với mặt phẳng (ABC), AA1 = ; góc A1AB nhọn, góc tạo bởi (A1AC) và mặt phẳng (ABC) bằng 60°. Tính thể tích khối lăng trụ.
Câu 5. Khối lăng trụ tứ giác đều ABCD.A1B1C1D1 có khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB và A1D bằng 2, độ dài đường chéo mặt bên bằng 5.
a) Hạ AK A1D tại K. Chứng minh AK = 2.
b) Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A1B1C1D1.
B. Bài tập về Khối nón, khối trụ
1. Cho hình lăng trụ lục giác đều ABCDEF.A'B'C'D'E'F' cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng h. Tính thể tích khối trụ nội tiếp hình lăng trụ.
2. Cho hình trục có trục O1O2. Một mặt phẳng song song với trục cắt hình trụ theo thiết diện dện là hình chữ nhật ABCD. Gọi O là tâm của thiết diện đó, bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD bằng bán kính đường tròn đáy của hình trụ. Tính số đo góc O1OO2.
3. Một hình trụ có bán kính R và chiều cao . A và B là hai điểm trên hai đường tròn đáy sao cho góc tạo bởi AB và trục của hình trụ bằng 30°.
a) Tính diện tích của thiết diện qua A và song song với trục của hình trụ.
b) Tính góc giữa hai bán kính qua A và B.
c) Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB và trục của hình trụ.
4. Cho một hình trụ tròn xoay đáy là đường tròn (O) và (O') có bán kính bằng 3 đơn vị, chiều cao của hình trụ là 4 đơn vị. Gọi AB là một đường kính cố định của (O). M là một điểm lưu động trên (O'). Gọi MC là đường sinh qua C, C ở trên đường tròn (O). Kẻ HC vuông góc với AB và đăth Ah = x.
a. Chứng minh rằng tổng số bình phương các cạnh của hình chóp MABC là một hằng số.
b. Tính MH theo x.
c. Định vị trí của M để diện tích S của tam giác MAB đạt cực đại.
d. Tính thể tích V của hình chóp MABC. Chứng minh rằng V cực đại khi S cực đại.
e. Định x để V = 4k (k là số cho trước)
C. Bài toán về khoảng cách
Cách tìm khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α):
Bước 1: Chọn mp (P) qua M và vuông góc với (α)
Bước 2: Tìm giao tuyến d của mp (α) và mp (P)
Bước 3: Dựng MH vuông góc với d tại H suy ra MH là khoảng cách.
	Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song với đường thẳng đó bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên đường thẳng đến mặt phẳng.
	Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song Bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ trong mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
Lưu ý:
1. Để tính khoảng cách từ M đến mp (α) ta có thể làm như sau
+ Tìm một đường thẳng a qua M mà a // mp (α) 
+ Chọn một điểm N trên a thích hợp hơn M, tính khoảng cách từ N đến mp (α)
+ Khi đó khoảng cách từ N đến (α) cũng là khoảng cách từ M đến (α)
2. Để tính khoảng cách từ M đến mp (α) ta có thể làm như sau
+ Tìm một đường thẳng a qua M mà a cắt mp (α) tại I
+ Chọn một điểm O trên a thích hợp với giả thiết bài toán, tính khoảng cách từ O đến mp (α)
+ Khi đó tính tỷ số IO / IM = k, suy ra được khoảng cách từ M đến (α) bằng 1/k khoảng cách từ O đến (α).
Cách tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Phương pháp 1: (Nên dùng cho 2 đường thẳng chéo nhau mà vuông góc với nhau) Dựng đoạn vuông góc chung.
Phương pháp 2: Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b chéo nhau làm các bước sau
Bước 1: Tìm mp (α) chứa b và song song với a
Bước 2: Từ một điểm M thích hợp trên a dựng đoạn MH vuông góc với (α).
Phương pháp 3: Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b chéo nhau làm các bước sau
Bước 1: Tìm mp (P) chứa a và mp (Q) chứa b sao cho mp (P) // mp (Q).
Bước 2: Từ một điểm M thích hợp trên mp (P) hạ MN vuông góc với mp (Q).
Phương pháp 4: Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b chéo nhau làm các bước sau
Bước 1: Tìm mp (α) vuông góc với a và cắt a tại O.
Bước 2: Tìm hình chiếu b’ của b lên mp (α); rõ ràng a // mp (b, b’). Hạ OH vuông góc với b’ tại H. OH bằng với khoảng cách cần tìm.
Bài tập:
Bài 1: Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng a, đường cao là SO. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và BC
a. Chứng minh rằng (SBC) (SAN) và tính độ dài SO
b. Tính khoảng cách từ O đến mp (SBC)
c. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB và SC
d. Tính khoảng cách từ M đến mp (SAN)
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD; đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, có AB = BC = a; AD = 2a; SA= a.E là trung điểm của đáy lớn AD; SA vuông góc với mặt đáy.
a. Chứng minh BE SC và (SAB) (SBC)
b. Tính khoảng cách giữa mỗi cặp đường thẳng: BC và SD, AC và SD.
c. Tính khoảng cách từ O đến mp (SCD) và khoảng cách từ D đến mp (SCE).
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD; đáy ABCD là hình thoi cạnh a tâm O. Mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tam giác SAB cân tại S, H là trung điểm của AB và SH = a, góc BAD = 60°.
a. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD).
b. Tính khoảng cách từ H đến (SCD), khoảng cách từ O đến (SCD).
c. Tính khoảng cách giữa BC và SD.
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang có đáy lớn AD = 2a, đáy bé BC = a, cạnh bên AB = a, góc BAD bằng 120°. Biết SA vuông góc với mặt đáy và . Gọi H và K lần lượt là trung điểm của AB và AD.
a. Chứng minh BK vuông góc với SC, tính khoảng cách giữa BK và SC.
b. Tính khoảng cách từ A đến mp (SCD).
c. Tính góc giữa đường thẳng SC và mp (SAB).
d. Tính góc giữa AD và SC.
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. Cho SA vuông góc với mặt đáy và SA = a. Gọi M là hình chiếu vuông góc của A lên SB.
a. Chứng minh rằng CB (SAB) và AM SC.
b. Tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC).
c. Gọi G là trọng tâm của tam giác SCD. Tính góc giữa hai đường thẳng AG và BD.
D. Bài toán về góc giữa hai đường thẳng trong không gian
Khi cần tính góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b trong không gian ta có 2 cách sau:
Cách 1: Dựng góc
Tìm 1 đường thẳng trung gian là c song song với a và c cắt b. Khi đó góc tạo bởi a và b cũng chính là góc tạo bởi b và c. Hoặc ta dựng liên tiếp 2 đường thẳng c và d cắt nhau lần lượt song song với a và b. Sau đó ta tính góc giữa c và d theo định lý hàm số côsin hoặc theo hệ thức lượng trong tam giác vuông.
Cách 2: Tính góc giữa các vectơ chỉ phương của a và b.
Bài tập
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, SA vuông góc với mặt đáy. Biết , BC = a và tam giác OBC đều.
a. Gọi M là hình chiếu vuông góc của A lên SB. Chứng minh rằng AM vuông góc với SC.
b. Tính góc giữa SB và mặt phẳng (SAC).
c. Gọi G là trọng tâm của tam giác ACD. Tính góc giữa MG và SC.
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O; SA vuông góc với mặt đáy và SA = a. Gọi M là hình chiếu vuông góc của A lên SB.
a. Chứng minh rằng AM SC.
b. Tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC).
c. Gọi G là trọng tâm của tam giác SCD. Tính góc giữa hai đường thẳng AG và BD.
Bài 3: (ĐH 2008 B) Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có cạnh bên bằng 2a. Tam giác ABC vuông tại A, AB = 2a, . Hình chiếu vuông góc của A’ lên (ABC) là trung điểm M của BC.
a. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'.
b. Tính góc giữa hai đường thẳng AA’ và BC.
E. Bài tập về mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và lăng trụ
1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB = BC = a; AD = 2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABCD) và SA = a. Gọi E là trung điểm của AD. Tính thể tích khối chóp SCDE và tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp đó.
2. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật cạnh AB = a; AD = a góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (ABCD) bằng 60°. Gọi H là trung điểm của AB. Biết mặt bên SAB là tam giác cân tại đỉnh S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp SABCD và xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.AHC.
3. Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều cạnh a, DA = DB = a / , CD vuông góc với AD. Trên cạnh CD kéo dài lấy điểm E sao cho góc AEB = 90°. Tính góc tạo bởi mặt phẳng (ABC) và mặt phẳng (ABD). Xác định tâm và tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối tứ diện ABCE.
4. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và đường cao là SH với H thỏa mãn trong đó M, N là trung điểm AB, CD. Mặt phẳng (SAB) tạo với đáy góc 60°. Tính khoảng cách từ N đến mặt phẳng (SAC) và xác định thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
F. Giải bài toán hình không gian bằng phương pháp tọa độ
1. Thiết lập hệ tọa độ đối với tam diện:
	Với góc tam diện Oabc việc tọa độ hóa thường được thực hiện khá đơn giản, đặc biệt với:
+ Tam diện vuông thì hệ trục tọa độ vuông góc được thiết lập ngay trên tam diện đó.
+ Tam diện có một góc phẳng vuông, khi đó ta thiết lập một mặt của hệ trục tọa độ chứa góc phẳng đó.
2. Thiết lập hệ tọa độ cho hình chóp:
	Với hình chóp, việc tọa độ hóa thường được thực hiện dựa trên đặc tính hình học của chúng. Ta có các trường hợp thường gặp sau:
* Hình chóp đều thì hệ tọa độ được thiết lập dựa trên gốc O trùng với tâm của đáy và trục Oz trùng với đường cao của hình chóp.
* Hình chóp có một cạnh bên (SA) vuông góc với đáy thì ta thường chọn trục Oz là cạnh bên vuông góc với đáy (SA), gốc tọa độ trùng với chân đường vuông góc (A).
	Trong các trường hợp khác ta dựa vào đường cao của hình chóp và tính chất đa giác đáy để chọn hệ tọa độ phù hợp.
3. Thiết lập hệ trục tọa độ cho hình hộp chữ nhật:
	Với hình hộp chữ nhật thì việc thiết lập hệ tọa độ khá đơn giản, thường có hai cách:
+ Chọn một đỉnh làm gốc tọa độ và ba trục trùng với ba cạnh của hình hộp.
+ Chọn tâm của đáy làm gốc tọa độ và ba trục song song với ba cạnh của hình hộp.
4. Thiết lập hệ tọa độ cho hình lăng trụ:
+ Với lăng trụ đứng thì ta chọn trục Oz thẳng đứng, gốc tọa độ là một đỉnh nào đó của đáy hoặc tâm của đáy. Các trục Oy, Ox thì dựa vào tính chất của đa giác đáy mà chọn cho phù hợp.
+ Với lăng trụ nghiêng, ta dựa trên đường cao và tính chất của đáy để chọn hệ tọa độ cho thích hợp.
	Ngoài các trường hợp trên, trong các trường hợp khác ta dựa vào quan hệ song song, vuông góc và các tính chất của đường cao, đáy để thiết lập hệ tọa độ cho thích hợp.
Bài tập
1. Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 cạnh bằng a. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các cạnh AD và CD. Lấy P thuộc BB1 sao cho BP = 3BP1. Tính diện tích thiết diện do (MNP) cắt hình lập phương.
2. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A1B1C1 có các cạnh bằng a. Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABC1) và (BCA1).
3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA vuông góc với đáy. Gọi M, N là hai điểm theo thứ tự thuộc BC, DC sao cho BM = a/2, DN = 3a/4. Chứng minh rằng hai mặt phẳng (SAM) và (SMN) vuông góc với nhau.
4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = SB = SC, khoảng cách từ S đến mp (ABC) bằng h. Tìm điều kiện của a và h để hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) vuông góc với nhau.
5. Cho tam diện vuông Oxyz, trên Ox, Oy, Oz lấy các điểm A, B, C.
a. Tính khoảng cách từ O đến mp (ABC) theo OA = a, OB = b, OC = c.
b. Giả sử A cố định còn B, C thay đổi những luôn thỏa mãn OA = OB + OC. Xác định vị trí của B và C sao cho thể tích tứ diện OABC là lớn nhất.
6. Cho tứ diện SABC có SC = CA = AB = , SC vuông góc với mp (ABC), tam giác ABC vuông tại A, các điêm M thuộc SA, N thuộc BC sao cho AM = CN = t (0 < t < 2a).
a. Tính độ dài đoạn MN. Tìm giá trị của t để đoạn MN ngắn nhất.
b. Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh MN là đường vuông góc chung của BC và SA.
G. Bài toán hình không gian trong dề thi Đại học, Cao đẳng
Bài 1. (A2003) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính số đo góc phẳng nhị diện [B, A’C, D].
Bài 2. (B2003) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a, góc BAD = 60°. Gọi M là trung điểm của AA’ và N là trung điểm của CC’. Chứng minh rằng 4 điểm B’, M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng. Hãy tính độ dài cạnh AA’ theo a để tứ giác B’MDN là hình vuông.
Bài 3. (D2003) Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, có giao tuyến là đường thẳng d. Trên giao tuyến d lấy hai điểm A, B với AB = a. Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C, trong mặt phẳng (Q) lấy điểm D sao cho AC, BD vuông góc với nhau và AC = BD = AB. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) theo a.
Bài 4. (D2009) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, Â’ = 2a, A’C = 3a. Gọi M là trung điểm của A’C’, I là giao điểm AM và A’C. Tính theo a thể tích của tứ diện IABC và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (IBC).
Bài 5. (A2006) Cho 2 hình trụ có đáy lần lượt là 2 đường tròn (O) và (O’). Bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A và trên đường tròn đáy tâm O’ lấy điểm B sao cho AB = 2a. Tính thể tích khối tứ diện OO’AB.
Bài 6. (A2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SB, BC, CD. Chứng minh AM vuông góc BP và tính thể tích của tứ diện CMNP.
Bài 7. (B2007) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN vuông góc BD và tính theo a khoảng cách giữa 2 đường thẳng MN, AC.
Bài 7. (D2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang và góc DAB = góc ABC = 90°, BA = BC = a, AD = 2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ H đến mp (SCD).
Bài 8. (A2008) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = 3a và hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ trên mặt phẳng ABC là trung điểm cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chop A’ABC và tính cosin của góc giữa 2 đường thẳng AA’, B’C’.
Bài 9. (B2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN.
Bài 10. (D2008) Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA’ = Gọi M là trung điểm của BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B'C.
Bài 11. (A2009) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a, CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60°.. Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
Bài 12. (B2009) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc giữa đường thẳng BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng 60°; tam giác ABC vuông tại C và góc BAC = 60°. Hình chiếu vuông góc của B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a.
Bài 13. (A2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = a. Tính thể tích khối chóp S.CDNM và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a.
Bài 14. (B2010) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB = a, góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 60°. Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a.
Bài 15. (D2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a; hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC, AH = AC/4. Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a.
Bài 16. (A2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bẳng 60o. Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.
Bài 17. (B2011) Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật. AB = a, AD = . Hình chiếu vuông góc của điểm A1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng (ADD1A1) và (ABCD) bằng 60°. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1BD) theo a.
Bài 18. (D2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB = và góc SBC = 30°. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a.
Bài 19. (AA1 2012) Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60°. Tính thể tích của khối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a.
Bài 20. (B 2012) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA = 2a, AB = a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh SC. Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH). Tính thể tích của khối chóp S.ABH theo a.
Bài 21. (D 2012) Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông, tam giác A’AC vuông cân, A’C = a. Tính thể tích của khối tứ diện ABB’C’ và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’) theo a.
Bài 22. (AA1 2013) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, góc ABC = 30°, SBC là tam giác đều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến mp (SAB).
Bài 23. (B 2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mp vuông góc với mp đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mp (SCD).
Bài 24. (D 2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, góc BAD = 120°, M là trung điểm của cạnh BC và góc SMA = 45°. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm D đến mp (SBC).