Chuyên đề: Hoán vị – chỉnh hợp – tổ hợp

CHUYÊN ĐỀ:
HOÁN VỊ – CHỈNH HỢP – TỔ HỢP
A. TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
1. Hoán vị
Định nghĩa
Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt . Mỗi cách sắp xếp n phần tử của X theo một thứ tự nào đó được gọi là một hoán vị của n phần tử. Số các hoán vị của n phần tử được ký hiệu là Pn.
. Quy ước: 0! = 1.
Ví dụ 1. Sắp xếp 5 người vào một băng ghế có 5 chỗ. Hỏi có bao nhiêu cách.
Giải
Mỗi cách đổi chỗ 1 trong 5 người trên băng ghế là 1 hoán vị.
Vậy có P5 = 5! = 120 cách sắp.
Ví dụ 2. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được mấy số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau.
Giải
Gọi với và phân biệt là số cần lập.
+ Bước 1: chữ số nên có 4 cách chọn a1.
+ Bước 2: sắp 4 chữ số còn lại vào 4 vị trí có 4! = 24 cách.
Vậy có 4.24 = 96 số.
2. Chỉnh hợp
Định nghĩa
Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt . Mỗi cách chọn ra k phần tử của X và sắp xếp theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử. Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử được ký hiệu là .
.
Nhận xét: 
.
Ví dụ 3. Sắp xếp 5 người vào một băng ghế có 7 chỗ. Hỏi có bao nhiêu cách.
Giải
Mỗi cách chọn ra 5 chỗ ngồi từ băng ghế để sắp 5 người vào và có hoán vị là một chỉnh hợp chập 5 của 7.
Vậy có cách sắp.
Ví dụ 4. Từ tập hợp có thể lập được mấy số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau.
Giải
Gọi với và phân biệt là số cần lập.
+ Bước 1: chữ số nên có 5 cách chọn a1.
+ Bước 2: chọn 3 trong 5 chữ số còn lại để sắp vào 3 vị trí cách.
Vậy có số.
3. Tổ hợp
Định nghĩa
Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt . Mỗi cách chọn ra k phần tử của X được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. Số các tổ hợp chập k của n phần tử được ký hiệu là .
.
Ví dụ 5. Có 10 cuốn sách toán khác nhau. Chọn ra 4 cuốn, hỏi có bao nhiêu cách.
Giải
Mỗi cách chọn ra 4 trong 10 cuốn sách là một tổ hợp chập 4 của 10.
Vậy có cách chọn.
Ví dụ 6. Một nhóm có 5 nam và 3 nữ. Chọn ra 3 người sao cho trong đó có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách.
Giải
+ Trường hợp 1: chọn 1 nữ và 2 nam.
- Bước 1: chọn ra 1 trong 3 nữ có 3 cách.
- Bước 2: chọn ra 2 trong 5 nam có .
Suy ra có cách chọn.
+ Trường hợp 2: chọn 2 nữ và 1 nam.
- Bước 1: chọn ra 2 trong 3 nữ có cách.
- Bước 2: chọn ra 1 trong 5 nam có 5.
Suy ra có cách chọn.
+ Trường hợp 3: chọn 3 nữ có 1 cách.
Vậy có cách chọn.
Ví dụ 7. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số sao cho trong mỗi số đó, chữ số hàng ngàn lớn hơn hàng trăm, chữ số hàng trăm lớn hơn hàng chục và chữ số hàng chục lớn hơn hàng đơn vị.
Giải
Gọi với là số cần lập.
 .
Từ 10 phần tử của X ta chọn ra 4 phần tử bất kỳ thì chỉ lập được 1 số A. Nghĩa là không có hoán vị hay là một tổ hợp chập 4 của 10.
Vậy có số.
Nhận xét: 
i) Điều kiện để xảy ra hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp là n phần tử phải phân biệt.
ii) Chỉnh hợp và tổ hợp khác nhau ở chỗ là sau khi chọn ra k trong n phần tử thì chỉnh hợp có sắp thứ tự còn tổ hợp thì không.
4. Phương pháp giải toán
4.1. Phương pháp 1
Bước 1. Đọc kỹ các yêu cầu và số liệu của đề bài. Phân bài toán ra các trường hợp, trong mỗi trường hợp lại phân thành các giai đoạn.
Bước 2. Tùy từng giai đoạn cụ thể và giả thiết bài toán để sử dụng quy tắc cộng, nhân, hoán vị, chỉnh hợp hay tổ hợp.
Bước 3. Đáp án là tổng kết quả của các trường hợp trên.
Ví dụ 8. Một nhóm công nhân gồm 15 nam và 5 nữ. Người ta muốn chọn từ nhóm ra 5 người để lập thành một tổ công tác sao cho phải có 1 tổ trưởng nam, 1 tổ phó nam và có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập tổ công tác.
Giải
+ Trường hợp 1: chọn 1 nữ và 4 nam.
- Bước 1: chọn 1 trong 5 nữ có 5 cách.
- Bước 2: chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và tổ phó có cách.
- Bước 3: chọn 2 trong 13 nam còn lại có cách.
Suy ra có cách chọn cho trường hợp 1.
+ Trường hợp 2: chọn 2 nữ và 3 nam.
- Bước 1: chọn 2 trong 5 nữ có cách.
- Bước 2: chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và tổ phó có cách.
- Bước 3: chọn 1 trong 13 nam còn lại có 13 cách.
Suy ra có cách chọn cho trường hợp 2.
+ Trường hợp 3: chọn 3 nữ và 2 nam.
- Bước 1: chọn 3 trong 5 nữ có cách.
- Bước 2: chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và tổ phó có cách.
Suy ra có cách chọn cho trường hợp 3.
Vậy có cách.
Cách khác:
+ Bước 1: chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và tổ phó có cách.
+ Bước 2: chọn 3 tổ viên, trong đó có nữ.
- Trường hợp 1: chọn 1 nữ và 2 nam có cách.
- Trường hợp 2: chọn 2 nữ và 1 nam có cách.
- Trường hợp 3: chọn 3 nữ có cách.
Vậy có cách.
4.2. Phương pháp 2.
Đối với nhiều bài toán, phương pháp 1 rất dài. Do đó ta sử dụng phương pháp loại trừ (phần bù) theo phép toán .
Bước 1. Chia yêu cầu của đề thành 2 phần là yêu cầu chung X (tổng quát) gọi là loại 1 và yêu cầu riêng A. Xét là phủ định của A, nghĩa là không thỏa yêu cầu riêng gọi là loại 2.
Bước 2. Tính số cách chọn loại 1 và loại 2.
Bước 3. Đáp án là số cách chọn loại 1 trừ số cách chọn loại 2.
Chú ý:
Cách phân loại 1 và loại 2 có tính tương đối, phụ thuộc vào chủ quan của người giải.
Ví dụ 9. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được mấy số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau.
Giải
+ Loại 1: chữ số a1 tùy ý, ta có 5! = 120 số.
+ Loại 2: chữ số a1 = 0, ta có 4! = 24 số.
Vậy có 120 – 24 = 96 số.
Ví dụ 10. Một nhóm có 7 nam và 6 nữ. Chọn ra 3 người sao cho trong đó có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách.
Giải
+ Loại 1: chọn 3 người tùy ý trong 13 người có cách.
+ Loại 2: chọn 3 nam (không có nữ) trong 7 nam có cách.
Vậy có cách chọn.
Ví dụ 11. Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm 9 câu dễ, 7 câu trung bình và 4 câu khó người ta chọn ra 10 câu để làm đề kiểm tra sao cho phải có đủ cả 3 loại dễ, trung bình và khó. Hỏi có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra.
Giải
+ Loại 1: chọn 10 câu tùy ý trong 20 câu có cách.
+ Loại 2: chọn 10 câu có không quá 2 trong 3 loại dễ, trung bình và khó.
- Trường hợp 1: chọn 10 câu dễ và trung bình trong 16 câu có cách.
- Trường hợp 2: chọn 10 câu dễ và khó trong 13 câu có cách.
- Trường hợp 3: chọn 10 câu trung bình và khó trong 11 câu có cách.
Vậy có đề kiểm tra.
Chú ý: 
Giải bằng phương pháp phần bù có ưu điểm là ngắn tuy nhiên nhược điểm là thường sai sót khi tính số lượng từng loại.
Ví dụ 12. Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm 9 câu dễ, 7 câu trung bình và 4 câu khó người ta chọn ra 7 câu để làm đề kiểm tra sao cho phải có đủ cả 3 loại dễ, trung bình và khó. Hỏi có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra.
Cách giải sai:
+ Loại 1: chọn 7 câu tùy ý trong 20 câu có cách.
+ Loại 2: chọn 7 câu không thỏa yêu cầu.
- Trường hợp 1: chọn 7 câu dễ trong 9 câu có cách.
- Trường hợp 2: chọn 7 câu trung bình có 1 cách.
- Trường hợp 3: chọn 7 câu dễ và trung bình trong 16 câu có cách.
- Trường hợp 4: chọn 7 câu dễ và khó trong 13 câu có cách.
- Trường hợp 5: chọn 7 câu trung bình và khó trong 11 câu có cách.
Vậy có đề kiểm tra!
Sai sót trong cách tính số đề loại 2. Chẳng hạn, khi tính số đề trong trường hợp 3 ta đã tính lặp lại trường hợp 1 và trường hợp 2.
Cách giải sai khác:
+ Loại 1: chọn 7 câu tùy ý trong 20 câu có cách.
+ Loại 2: chọn 7 câu không thỏa yêu cầu.
- Trường hợp 1: chọn 7 câu dễ hoặc trung bình trong 16 câu có cách.
- Trường hợp 2: chọn 7 câu dễ hoặc khó trong 13 câu có cách.
- Trường hợp 3: chọn 7 câu trung bình hoặc khó trong 11 câu có cách.
Vậy có đề kiểm tra.
Sai sót do ta đã tính lặp lại số cách chọn đề chỉ có 7 câu dễ và đề chỉ có 7 câu trung bình trong trường hợp 1 và trường hợp 2.
Cách giải đúng:
+ Loại 1: chọn 7 câu tùy ý trong 20 câu có cách.
+ Loại 2: chọn 7 câu không thỏa yêu cầu.
- Trường hợp 1: chọn 7 câu dễ hoặc trung bình trong 16 câu có cách.
- Trường hợp 2: chọn 7 câu dễ và khó trong 13 câu có cách.
- Trường hợp 3: chọn 7 câu trung bình và khó trong 11 câu có cách.
Vậy có đề kiểm tra.
Ví dụ 13. Hội đồng quản trị của một công ty gồm 12 người, trong đó có 5 nữ. Từ hội đồng quản trị đó người ta bầu ra 1 chủ tịch hội đồng quản trị, 1 phó chủ tịch hội đồng quản trị và 2 ủy viên. Hỏi có mấy cách bầu sao cho trong 4 người được bầu phải có nữ.
Giải
+ Loại 1: bầu 4 người tùy ý (không phân biệt nam, nữ).
- Bước 1: bầu chủ tịch và phó chủ tịch có cách.
- Bước 2: bầu 2 ủy viên có cách.
Suy ra có cách bầu loại 1.
+ Loại 2: bầu 4 người toàn nam.
- Bước 1: bầu chủ tịch và phó chủ tịch có cách.
- Bước 2: bầu 2 ủy viên có cách.
Suy ra có cách bầu loại 2.
Vậy có cách.
5. Hoán vị lặp (tham khảo)
Cho tập hợp X có n phần tử gồm n1 phần tử giống nhau, n2 phần tử khác lại giống nhau, , nk phần tử khác nữa lại giống nhau . Mỗi cách sắp n phần tử này vào n vị trí là một hoán vị lặp, số hoán vị lặp là .
Ví dụ 14. Từ các chữ số 1, 2, 3 lập được bao nhiêu số tự nhiên có đúng 5 chữ số 1, 2 chữ số 2 và 3 chữ số 3.
Giải
Xem số cần lập có 10 chữ số gồm 5 chữ số 1 giống nhau, 2 chữ số 2 giống nhau và 3 chữ số 3 giống nhau.
Vậy có số.
Cách giải thường dùng:
+ Bước 1: chọn 5 trong 10 vị trí để sắp 5 chữ số 1 có cách.
+ Bước 2: chọn 2 trong 5 vị trí còn lại để sắp 2 chữ số 2 có cách.
+ Bước 3: sắp 3 chữ số 3 vào 3 vị trí còn lại có 1 cách.
Vậy có số.
B. BÀI TẬP
Bài 1. Cần xếp 3 nam và 2 nữ vào 1 hàng ghế có 7 chỗ ngồi sao cho 3 nam ngồi kề nhau và 2 nữ ngồi kề nhau. Hỏi có bao nhiêu cách.
Bài 2. Xét đa giác đều có n cạnh, biết số đường chéo gấp đôi số cạnh. Tính số cạnh của đa giác đều đó.
Bài 3. Tính số các số tự nhiên đôi một khác nhau có 6 chữ số tạo thành từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 sao cho 2 chữ số 3 và 4 đứng cạnh nhau.
Bài 4. Tính số các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau được thành lập từ 0, 1, 2, 3, 4, 5 sao cho trong mỗi số đó đều có mặt ít nhất chữ số 1 hoặc 2.
Bài 5. Hai nhóm người cần mua nền nhà, nhóm thứ nhất có 2 người và họ muốn mua 2 nền kề nhau, nhóm thứ hai có 3 người và họ muốn mua 3 nền kề nhau. Họ tìm được một lô đất chia thành 7 nền đang rao bán (các nền như nhau và chưa có người mua). Tính số cách chọn nền của mỗi người thỏa yêu cầu trên.
Bài 6. Từ 4 chữ số 0, 1, 2, 3 lập thành các số tự nhiên có 3 chữ số phân biệt. Tính tổng các số được thành lập.
Bài 7. Tính số hình chữ nhật được tạo thành từ 4 trong 20 đỉnh của đa giác đều có 20 cạnh nội tiếp đường tròn tâm O.
Bài 8. Cho đa giác đều có 2n cạnh nội tiếp đường tròn tâm O. Biết số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n đỉnh của đa giác nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n đỉnh của đa giác. Tính số hình chữ nhật.
Bài 9. Đội tuyển học sinh giỏi của một trường gồm 18 em, trong đó có 7 em khối 12, 6 em khối 11 và 5 em khối 10. Tính số cách chọn 6 em trong đội đi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất 1 em được chọn.
Bài 10. Cho tập hợp X gồm 10 phần tử khác nhau. Tính số tập hợp con khác rỗng chứa một số chẵn các phần tử của X.
Bài 11. Một hộp đựng 15 viên bi khác nhau gồm 4 bi đỏ, 5 bi trắng và 6 bi vàng. Tính số cách chọn 4 viên bi từ hộp đó sao cho không có đủ 3 màu.
Bài 12. Giải vô địch bóng đá Quốc gia có 14 đội tham gia thi đấu vòng tròn 1 lượt, biết rằng trong 1 trận đấu: đội thắng được 3 điểm, hòa 1 điểm, thua 0 điểm và có 23 trận hòa. Tính số điểm trung bình của 1 trận trong toàn giải.
Bài 13. Tính số các số tự nhiên gồm 7 chữ số được chọn từ 1, 2, 3, 4, 5 sao cho chữ số 2 có mặt đúng 2 lần, chữ số 3 có mặt đúng 3 lần và các chữ số còn lại có mặt không quá 1 lần.
Bài 14. Tính số các số tự nhiên gồm 5 chữ số phân biệt và một trong 3 chữ số đầu tiên là 1 được thành lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Bài 15. Từ một nhóm 30 học sinh gồm 15 học sinh khối A, 10 học sinh khối B và 5 học sinh khối C chọn ra 15 học sinh sao cho có ít nhất 5 học sinh khối A và có đúng 2 học sinh khối C. Tính số cách chọn.
Bài 16. Từ một nhóm 12 học sinh gồm 4 học sinh khối A, 4 học sinh khối B và 4 học sinh khối C chọn ra 5 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh. Tính số cách chọn.
Bài 17. Tính số tập hợp con của X = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} chứa 1 mà không chứa 0.
Bài 18. Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Tính số cách chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên.
Bài 19. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập thành số tự nhiên chẵn có 5 chữ số phân biệt nhỏ hơn 25000. Tính số các số lập được.
Bài 20. Tập hợp A gồm n phần tử (n 4). Biết rằng số tập hợp con chứa 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập hợp con chứa 2 phần tử của A, tìm số sao cho số tập hợp con chứa k phần tử của A là lớn nhất.
C. HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1. Xét 3 loại ghế gồm 1 ghế có 3 chỗ, 1 ghế có 2 chỗ và 2 ghế có 1 chỗ ngồi.
+ Bước 1: do 2 ghế có 1 chỗ không phân biệt nên chọn 2 trong 4 vị trí để sắp ghế 2 và 3 chỗ ngồi có cách.
+ Bước 2: sắp 3 nam vào ghế 3 chỗ có 3! = 6 cách.
+ Bước 3: sắp 2 nữ vào ghế 2 chỗ có 2! = 2 cách.
Vậy có 12.6.2 = 144 cách sắp.
Bài 2. Chọn 2 trong n đỉnh của đa giác ta lập được 1 cạnh hoặc đường chéo.
Số cạnh và đường chéo là . Suy ra số đường chéo là .
Ta có: 
 .
Vậy có 7 cạnh.
Bài 3. Xét số có 5 chữ số gồm 0, 1, 2, 5 và chữ số “kép” là (3, 4).
+ Loại 1: chữ số hàng trăm ngàn có thể là 0.
- Bước 1: sắp 5 chữ số vào 5 vị trí có 5! = 120 cách.
- Bước 2: với mỗi cách sắp chữ số kép có 2 hoán vị chữ số 3 và 4.
Suy ra có 120.2 = 240 số.
+ Loại 2: chữ số hàng trăm ngàn là 0.
- Bước 1: sắp 4 chữ số vào 4 vị trí còn lại có 4! = 24 cách.
- Bước 2: với mỗi cách sắp chữ số kép có 2 hoán vị chữ số 3 và 4.
Suy ra có 24.2 = 48 số.
Vậy có 240 – 48 = 192 số.
Bài 4. 
+ Loại 1: chữ số a1 có thể là 0. 
Sắp 4 trong 6 chữ số vào 4 vị trí có cách. Sắp 4 chữ số 0, 3, 4, 5 vào 4 vị trí có 4! = 24 cách. Suy ra có 360 – 24 = 336 số.
+ Loại 2: chữ số a1 là 0 (vị trí a1 đã có chữ số 0).
Sắp 3 trong 5 chữ số vào 3 vị trí có cách. Sắp 3 chữ số 3, 4, 5 vào 3 vị trí có 3! = 6 cách. Suy ra có 60 – 6 = 54 số.
Vậy có 336 – 54 = 282 số.
Cách khác:
+ Loại 1: Số tự nhiên có 4 chữ số tùy ý.
- Bước 1: Chọn 1 trong 5 chữ số khác 0 sắp vào a1 có 5 cách.
- Bước 2: Chọn 3 trong 5 chữ số khác a1 sắp vào 3 vị trí còn lại có cách.
Suy ra có 5.60 = 300 số.
+ Loại 2: Số tự nhiên có 4 chữ số gồm 0, 3, 4, 5 (không có 1 và 2).
- Bước 1: Chọn 1 trong 3 chữ số khác 0 sắp vào a1 có 3 cách.
- Bước 2: Sắp 3 chữ số còn lại vào 3 vị trí 3! = 6 cách.
Suy ra có 3.6 = 18 số.
Vậy có 300 – 18 = 282 số.
Bài 5. Xem lô đất có 4 vị trí gồm 2 vị trí 1 nền, 1 vị trí 2 nền và 1 vị trí 3 nền.
+ Bước 1: nhóm thứ nhất chọn 1 vị trí cho 2 nền có 4 cách và mỗi cách có 2! = 2 cách chọn nền cho mỗi người. Suy ra có 4.2 = 8 cách chọn nền.
+ Bước 2: nhóm thứ hai chọn 1 trong 3 vị trí còn lại cho 3 nền có 3 cách và mỗi cách có 3! = 6 cách chọn nền cho mỗi người. Suy ra có 3.6 = 18 cách chọn nền.
Vậy có 8.18 = 144 cách chọn nền cho mỗi người.
Bài 6. 
+ Xét số A có 3 chữ số phân biệt và chữ số hàng trăm có thể là 0.
Từ số A ta lập được 12 cặp số có tổng là 333. Ví dụ 012 + 321 = 333.
Suy ra tổng các số A là 12.333 = 3996.
+ Xét số B có 3 chữ số phân biệt và chữ số hàng trăm là 0.
Từ số B ta lập được 3 cặp số có tổng là 44. Ví dụ 032 + 012 = 44.
Suy ra tổng các số B là 3.44 = 132.
Vậy tổng các số thỏa yêu cầu là 3996 – 132 = 3864.
Cách khác:
+ Xét số A có 3 chữ số phân biệt và chữ số hàng trăm có thể là 0.
- Số các số A là số. Số lần các chữ số có mặt ở hàng trăm, hàng chục và đơn vị là như nhau và bằng 24 : 4 = 6 lần.
- Tổng các chữ số hàng trăm (hàng chục, đơn vị) của 24 số là:
6.(0 + 1 + 2 + 3) = 36.
Suy ra tổng các số A là 36.(100 + 10 + 1) = 3996.
+ Xét số B có 3 chữ số phân biệt và chữ số hàng trăm là 0.
- Số các số B là số. Số lần các chữ số 1, 2, 3 có mặt ở hàng chục và đơn vị là như nhau và bằng 6 : 3 = 2 lần.
- Tổng các chữ số hàng chục (đơn vị) của 6 số là 2.(1 + 2 + 3) = 12.
Suy ra tổng các số B là 12.(10 + 1) = 132.
Vậy tổng các số thỏa yêu cầu là 3996 – 132 = 3864.
Bài 7. Nhận thấy các hình chữ nhật được tạo thành có 2 đường chéo là đường kính của đường tròn. Vẽ đường thẳng d qua tâm O và không qua đỉnh của đa giác đều thì d chia đa giác thành 2 phần, mỗi phần có 10 đỉnh. Suy ra số đường chéo của đa giác đi qua tâm O là 10. Chọn 2 trong 10 đường chéo thì lập được 1 hình chữ nhật.
Vậy có hình chữ nhật.
Bài 8. + Lý luận tương tự câu 65 ta có hình chữ nhật.
+ Số tam giác tạo thành từ 3 trong 2n đỉnh của đa giác là .
+ Từ giả thiết ta có: 
 .
Vậy có hình chữ nhật.
Bài 9. 
Cách giải sai:
+ Chọn tùy ý 6 em trong đội có cách.
+ Chọn 6 em trong đội thuộc khối 12 hoặc khối 11 có cách.
+ Chọn 6 em trong đội thuộc khối 12 hoặc khối 10 có cách.
+ Chọn 6 em trong đội thuộc khối 11 hoặc khối 10 có cách.
Vậy có 18564 – 1716 – 924 – 462 = 15462 cách chọn!
Sai ở chỗ lớp 12 và lớp 11 ta đã tính lặp lại.
Cách giải đúng:
+ Chọn tùy ý 6 em trong đội có cách.
+ Chọn 6 em trong đội thuộc khối 12 hoặc khối 11 có cách.
+ Chọn 6 em trong đội thuộc khối 12 và khối 10 có cách.
+ Chọn 6 em trong đội thuộc khối 11 và khối 10 có cách.
Vậy có 18564 – 1716 – 917 – 461 = 15454 cách chọn.
Bài 10. 
+ Số tập hợp con chứa 2 phần tử của X là .
+ Số tập hợp con chứa 4 phần tử của X là .
+ Số tập hợp con chứa 6 phần tử của X là .
+ Số tập hợp con chứa 8 phần tử của X là .
+ Số tập hợp con chứa 10 phần tử của X là 1.
Vậy có 45 + 210 + 210 + 45 + 1 = 511 tập hợp.
Bài 11. 
+ Trường hợp 1: chọn 4 bi đỏ hoặc trắng có cách.
+ Trường hợp 2: chọn 4 bi đỏ và vàng hoặc 4 bi vàng có cách.
+ Trường hợp 3: chọn 4 bi trắng và vàng có cách.
Vậy có 126 + 209 + 310 = 645 cách.
Cách khác:
+ Loại 1: chọn tùy ý 4 trong 15 viên bi có cách.
+ Loại 2: chọn đủ cả 3 màu có 720 cách gồm các trường hợp sau:
- Chọn 2 bi đỏ, 1 bi trắng và 1 bi vàng có 180 cách.
- Chọn 1 bi đỏ, 2 bi trắng và 1 bi vàng có 240 cách.
- Chọn 1 bi đỏ, 1 bi trắng và 2 bi vàng có 300 cách.
Vậy có 1365 – 720 = 645 cách.
Bài 12. + Do thi đấu vòng tròn 1 lượt nên 2 đội bất kỳ chỉ đấu với nhau đúng 1 trận. Số trận đấu của giải là .
+ Tổng số điểm của 2 đội trong 1 trận hòa là 2 nên tổng số điểm của 23 trận hòa là 2.23 = 46.
+ Tổng số điểm của 2 đội trong 1 trận không hòa là 3 nên tổng số điểm của 68 trận không hòa là 3.68 = 204.
Vậy số điểm trung bình của 1 trận là điểm.
Bài 13. Xem số có 7 chữ số như 7 vị trí thẳng hàng.
+ Bước 1: chọn 2 trong 7 vị trí để sắp 2 chữ số 2 (không hoán vị) có cách.
+ Bước 2: chọn 3 trong 5 vị trí còn lại để sắp 3 chữ số 3 (không hoán vị) có cách.
+ Bước 3: chọn 2 trong 3 chữ số 1, 4, 5 để sắp vào 2 vị trí còn lại (có hoán vị) có cách.
Vậy có 21.10.6 = 1260 số.
Bài 14. 
+ Loại 1: chữ số a1 có thể là 0.
- Bước 1: chọn 1 trong 3 vị trí đầu để sắp chữ số 1 có 3 cách.
- Bước 2: chọn 4 trong 7 chữ số (trừ chữ số 1) để sắp vào các vị trí còn lại có cách. Suy ra có 3.840 = 2520 số.
+ Loại 2: chữ số a1 là 0.
- Bước 1: chọn 1 trong 2 vị trí thứ 2 và 3 để sắp chữ số 1 có 2 cách.
- Bước 2: chọn 3 trong 6 chữ số (trừ 0 và 1) để sắp vào các vị trí còn lại có cách. Suy ra có 2.120 = 240 số.
Vậy có 2520 – 240 = 2280 số.
Bài 15. 
+ Loại 1: Chọn 2 học sinh khối C, 13 học sinh khối B hoặc khối A có cách.
+ Loại 2: Chọn 2 học sinh khối C, 13 học sinh khối B và khối A không thỏa yêu cầu.
- Trường hợp 1: Chọn 2 học sinh khối C, 10 học sinh khối B và 3 học sinh khối A có cách.
- Trường hợp 2: Chọn 2 học sinh khối C, 9 học sinh khối B và 4 học sinh khối A có cách.
Vậy có cách.
Bài 16. 
+ Trường hợp 1: 1 khối có 3 học sinh và 2 khối còn lại mỗi khối có 1 học sinh.
- Bước 1: chọn 1 khối có 3 học sinh có 3 cách.
- Bước 2: trong khối đã chọn ta chọn 3 học sinh có cách.
- Bước 3: 2 khối còn lại mỗi khối có 4 cách chọn.
Suy ra có 3.4.4.4 = 192 cách.
+ Trường hợp 2: 2 khối có 2 học sinh và khối còn lại có 1 học sinh.
- Bước 1: chọn 2 khối có 2 học sinh có cách.
- Bước 2: trong 2 khối đã chọn ta chọn 2 học sinh có cách.
- Bước 3: khối còn lại có 4 cách chọn.
Suy ra có 3.6.6.4 = 432 cách.
Vậy có 192 + 432 = 624 cách.
Cách khác:
+ Chọn 5 học sinh tùy ý có cách.
+ Chọn 5 học sinh khối A và B (tương tự khối A và C, B và C) có cách.
Vậy có 792 – 3.56 = 624 cách.
Bài 17. 
+ Số tập hợp con không chứa phần tử nào của là .
+ Số tập hợp con chứa 1 phần tử của là .
+ Số tập hợp con chứa 2 phần tử của là .
+ Số tập hợp con chứa 3 phần tử của là .
+ Số tập hợp con chứa 4 phần tử của là .
+ Số tập hợp con chứa 5 phần tử của là .
Suy ra số tập hợp con của là . Ta hợp các tập hợp con này với {1} thì được 32 tập hợp thỏa bài toán.
Bài 18. 
Cách giải sai:
+ Trường hợp 1: chọn 4 học sinh lớp A hoặc lớp B có cách.
+ Trường hợp 2: chọn 4 học sinh lớp A hoặc lớp C có cách.
+ Trường hợp 3: chọn 4 học sinh lớp B hoặc lớp C có cách.
Vậy có cách!
Sai do ta đã tính lặp lại trường hợp chỉ chọn 4 học sinh lớp A và trường hợp chỉ chọn 4 học sinh lớp B.
Cách giải sai khác:
+ Loại 1: chọn tùy ý 4 trong 12 học sinh có cách.
+ Loại 2: chọn 4 học sinh có mặt cả 3 lớp.
- Bước 1: chọn 1 học sinh lớp A, 1 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp C có:
5.4.3 = 60 cách.
- Bước 2: chọn 1 học sinh trong 9 học sinh còn lại của 3 lớp có 9 cách.
Suy ra có 9.60 = 540 cách chọn loại 2 (lớn hơn số cách chọn loại 1!).
Sai là do khi thực hiện bước 1 và bước 2, vô tình ta đã tạo ra thứ tự trong cách chọn. Có nghĩa là từ tổ hợp chuyển sang chỉnh hợp!
Cách giải đúng:
+ Loại 1: chọn tùy ý 4 trong 12 học sinh có cách.
+ Loại 2: chọn 4 học sinh có mặt cả 3 lớp, ta có 3 trường hợp sau:
- Chọn 2 học sinh lớp A, 1 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp C có cách.
- Chọn 1 học sinh lớp A, 2 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp C có cách.
- Chọn 1 học sinh lớp A, 1 học sinh lớp B và 2 học sinh lớp C có cách.
Vậy có 495 – (120 + 90 + 60) = 225 cách.
Bài 19. Gọi số cần lập là với .
+ Trường hợp 1: a1 = 1.
Có 4 cách chọn a5 và cách chọn các chữ số còn lại nên có số.
+ Trường hợp 2: a1 = 2, a2 lẻ.
Có 2 cách chọn a2, 3 cách chọn a5 và cách chọn các chữ số còn lại nên có số.
+ Trường hợp 3: a1 = 2, a2 chẵn.
Có 2 cách chọn a2, 2 cách chọn a5 và cách chọn các chữ số còn lại nên có số.
Vậy có 240 + 72 + 48 = 360 số.
Bài 20. Số tập hợp con chứa k phần tử của A là . Ta có:
 .
Vậy k = 9.