Chuyên đề học sinh giỏi - Phần 2: Hệ phương trình

Chuyên đề học sinh giỏi 
Phạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ 14 
PHẦN 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
PHƯƠNG PHÁP 1: PHƯƠNG PHÁP THẾ 
Ví dụ 1: Giải HPT : 
2 2
2 2
2 ( ) 3 (1)
( ) 10 (2)
y x y x
x x y y
 − =

+ =
Giải : 
+ Nếu x=0 thì y=0 
+Nếu y=0 thì x=0 
+Nếu 0xy ≠ chia từng vế của PT(1) cho PT(2) ta cĩ : 
( )
2 2
2 2
2 2 2 2 2 2 4 2 2 4
2 2 2 2
42 ( ) 3 20 ( ) 3 ( ) 3 17 20 0 510
3
 =
− 
= ⇔ − = + ⇔ − + = ⇔
+ =

x yy x y x y x y x x y x x y y
yx x y x y
-Nếu 2 24x y= hệ đã cho trở thành : 
2 33
2 4
2 .3 3 2 2; 12
2; 12.5 10 2 2
y x x y x x yy x
x yxyx y y y
 = = = = =  
⇔ ⇔ ⇔   
= − = −== =   
-Nếu 2 25
3
x y= hệ đã cho trở thành : 
4
2
33 4
4 42
4
15 1352 ;2 . 3 4 9 24 9 2 1353
8 4 15 16 135 15 135
. 10 ;3 22 135
x yy y x y xy x
xy y
x y y x y

= ==   = =  ⇔ ⇔ ⇔   = = 
=  = − = − 
KL : Vậy hệ đã cho cĩ nghiệm 
Ví dụ 2 : Giải HPT : 
4
2 2
5 6 (1)
5 6 (2)
x y
x y x
 + =

+ =
 (Chọn ðT ðồng Nai) 
Giải : 
Trừ vế với vế của (1) cho (2) ta cĩ : 
( ) ( )4 2 2 2 25( ) 0 ( ) 5 0 ( ) 5
x y
x x y y x x y x x y
x x y
=
− + − = ⇔ − + − = ⇔ 
+ =
-Nếu x=y thế vào (1) ta cĩ : 
 ( )( )( )4 2 25 6 0 3 2 1 0 1
x
x x x x x x
x
= −
+ − = ⇔ − + + − = ⇔ 
=
Với x=-2 thì y=-2 
Với x=1 thì y=1 
-Nếu ( )2 255x x y y xx+ = ⇒ = − thế vào (1) ta cĩ : 
Chuyên đề học sinh giỏi 
Phạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ 15 
( )4 6 3 2255 6 5 6 25 0 *x x x x x
x
 
+ − = ⇔ − − + = 
 
Từ (1) ta cĩ : 2 2 65 6 6
5
x x y x= − ≤ ⇒ ≤ 
Do đĩ : 
3 2
3 2 6 3 26 65 6 5 6 25 5 6 25 0
5 5
x x x x x
   
+ ≤ +    
   
 nên (*) vơ nghiệm 
KL : (x ;y)=(-2 ;-2) ; (1 ;1). 
Ví dụ 3 : Giải HPT : 
2 2
1 1 (1)
2 0 (2)
x x y
y x y x y x

− − − =

+ + − =
 (HSG tỉnh Quảng Bình) 
Giải : 
ðK : 0; 1 0x x y≥ − − ≥ 
Ta cĩ : 
( )
( )22
1 1 1 1 1 2 1
0 00
2 1
4( 1) 2 4 2 2
x x y x x y x y
y yy
y x y
y x y y x y x
⇔ = − − + ⇔ = − − + + − −
≥ ≥≥   
⇔ = − − ⇔ ⇔ ⇔  
= − − + = + = 
PT (2) 2 22 0y x y x y x⇔ + + − = 
( )2 2y x xy y x y x⇔ + = ⇔ + = 
Ta cĩ 
2
12 2 ; 12 22 2
4
2 2 ( 2) 2 0 4; 2
y x x yy xy x
y y y y y yy x y x x y
 + = = = −+ =+ =   ⇔ ⇔ ⇔   + + = +
− − =+ =    = =
Ví dụ 4 : Giải HPT : 
2 2
2
2 3 4 9 (1)
7 6 2 9 (2)
x y xy x y
y x x
 + = +

+ = +
 (Chọn ðT Nha Trang) 
Giải : Nếu 22 3 9 0x x+ − = khơng thoả mãn PT(1) nên ( )
2
2
41
2 3 9
xy
x x
⇔ =
+ −
PT(2)
22 9 6
7
x xy + −⇔ = 
Do đĩ ta cĩ PT : 
Chuyên đề học sinh giỏi 
Phạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ 16 
( )( )
( )( )( )
2 2
2 2 2
2
2
4 2 9 6 28 2 9 6 2 3 9
2 3 9 7
2 
12 2 1 2 9 27 0 
2
9 3 33
4
x x x
x x x x x
x x
x
x x x x x
x
+ −
= ⇔ = + − + −
+ −

 = −

⇔ + − + − = ⇔ =

− ±
=
-Với 162
7
x y= − ⇒ = − 
-Với 1 1
2 7
x y= ⇒ = − 
-Với 
2
29 3 33 2 9 62 9 27 0 3
4 7
x x
x x x y− ± + −= ⇒ + − = ⇒ = = 
Ví dụ 5 :Giải hệ phương trình : 
1 2 73 1
7 24 7
121 1 2
7 24
x
y x
y
y x
  
+ =  
−  

 
− − = 
− 
Giải : ðiều kiện x > 0, y > 0. 
Hệ đã cho tương đương 
1 11 2 1 (1)1
7 24 21 2121
1 2 1 1 11 (2)
7 24 21 7 24 21 21
y x x yx
y x y y x x y

= ++ = 
− − 
⇔ 
 
− = = −
 −
− −
− 
Nhân theo vế (1) và (2) ta cĩ 1 1 1
7 24 21 21y x x y
= +
−
2 221 ( )(7 24 ) 24 38 7 0
(6 )(4 7 ) 0
xy x y y x x xy y
x y x y
⇔ = + − ⇔ − − =
⇔ − + =
4
7
xy −⇔ = ( vì x > 0, y > 0) 
Thay vào (1) ta cĩ 1 = 1 1
21 12x x
+ 
2 7 11 4 7
842 21
x x
+ +
⇔ = ⇔ = . 
Suy ra y = 11 4 7
147
− −
. 
Chuyên đề học sinh giỏi 
Phạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ 17 
PHƯƠNG PHÁP 2: ðẶT ẨN PHỤ 
Ví dụ 6 : Giải HPT : 
2 2
3 3 3
6
1 19
y xy x
x y x
 + = −

+ =
ðây là hệ pt thường gặp trong các kì thi HSG, TSðH 
Giải : 
+y=0 khơng thoản mãn hệ 
+ 0y ≠ Ta cĩ hệ tương đương với 
2 2
2 3 3
3
3
1 16 6
1 1 119 3 19
x x
x x
y y y y
x x x
x x x
y y y y y y
    
+ = − + = −    
    
⇔ 
        
+ = + − + =        
        
ðặt 1 t
y
= hệ trở thành : 
2 2
3 3 3
6
( ) 3 ( ) 19
x t x t
x t xt x t x t
 + = −

+ − + =
ðặt 2( 4 )S x t S P
P xt
= +
≥
=
 hệ trở thành : 
2
3 3
6
3 19
S P
S SP P
 = −

− =
Thay (1) vào (2) ta cĩ : 3 6 3 3 3 6 3
0
6 18 19 6 0 1
6
P
P P P P P
P
=

− + = ⇔ + = ⇔
 = −

-Với P=0 thì S=0 (loại) 
Với 
1
1 1 6
16 6
6
x t
P S
xt

+ =
= − ⇒ = ⇒ 

= −

Ví dụ 7 : Giải HPT : 
2
2
7
12
xy y x y
x
x
y
 + + =


+ =

 (HSG ðiện Biên) 
Giải : 
ðK : 0y ≠ 
Hệ đã cho tương đương : 
7
( ) 12
x
x y
y
x
x y
y

+ + =


 + =

Chuyên đề học sinh giỏi 
Phạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ 18 
ðặt 
u x y
x
v
y
= +


=

 hệ đã cho trở thành : 7 3; 4
12 4; 3
u v u v
uv u v
+ = = = 
⇔ 
= = = 
-với 
4
3 3
34 1
x y
u x
x
v y
y
+ =
= = 
⇒ ⇔  
== = 

-Với 
123
4 5
43 3
5
x y x
u
x
v yy
+ = ==  
⇒ ⇔  
==  
= 
Vậy hệ đã cho cĩ nghiệm (x ;y)=(3 ;1), 12 3;
5 5
 
 
 
Ví dụ 8: Giải hệ : 
3 3
2 2
(27 35) 8 0
3 2 5
y x
x y x y
 − + =

+ =
 (HSG Phú Thọ V1 năm 2011-2012) 
Giải : 
Hệ đã cho tương đương với : 
3
3
827 35
23 5
x
y
x
x
y y

+ =


  + =   
ðặt 
3
2
u x
v
y
=


=

 hệ trở thành 
3 3 3; 235
2; 3( ) 5
u vu v
u vuv u v
= = + = 
⇔ 
= =+ = 
-Với 
3 3
3 1
2 22 1
x
u x
v y
y
=
= = 
⇒ ⇔  
== = 

-Với 
23 2
2 32 33 2
3
x x
u
v yy

= ==  
⇒ ⇔  
==  
= 
Vậy hệ cĩ nghiệm ( ) ( ) 2 2; 1;1 ; ;
3 3
x y  =  
 
Chuyên đề học sinh giỏi 
Phạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ 19 
Ví dụ 9 : Giải hệ 
1 3 3
12 8
x x y
y
x y
y

+ + + − =


 + + =

ðk : 1 0; 3; 0x x y y
y
+ ≥ + ≥ ≠ 
ðặt 1 ; 3; , 0a x b x y a b
y
= + = + − ≥ 
Hệ đã cho trở thành 2 2
3 2; 1
1; 25
a b a b
a ba b
+ = = = 
⇔ 
= =+ = 
-Với 2
1
a
b
=

=
 ta cĩ 
2
41 1 12 4 3; 14
8 15 04 5; 143 1 43 1
x
x x x yxy y x xx
x yy xx y y xx y
 ≠ + = + = = =+ =  
⇔ ⇔ ⇔ − + = ⇔
−    
= = −   = −+ − = = −+ − =  
-Với 1
2
a
b
=

=
ta cĩ 
2
71 1 11 1 4 10; 3 101
8 6 07
4 10; 3 1073 4 43 2
x
x x x yxy y x xx
x yy xx y y xx y
 ≠  + = + = = − = ++ =  
⇔ ⇔ ⇔ − + = ⇔
−    
= + = −    = −+ − = = −+ − =  
KL : Vậy hệ đã cho cĩ 4 nghiệm 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ); 3;1 ; 5; 1 ; 4 10;3 10 ; 4 10;3 10x y = − − + + − 
Ví dụ 10 : Giải hệ phương trình: 
7 2 5
2 1
x y x y
x y x y
 + + + =

+ + − =
Giải : ðiều kiện: 7 0; 2 0x y x y+ ≥ + ≥ . 
ðặt ( )7 , 2 , , 0u x y v x y u v= + = + ≥ , ta cĩ: 
2 2 2 27 2;5 5
u v v u
x y− −= = . Ta cĩ hệ: 
5 5
2 2 2 27 2 2 5 14 015 5
u v u v
u v v u v vv

 
 
 

+ =
= −
⇔
− − + − =+ − =
5
3
2
27
u v
u
v
v
v

 
 
 
   
= −
=
=⇔ ⇔
=
= −
Với 3; 2u v= = ta cĩ: 1; 2x y= = . Vậy 1; 2x y= = . 
Chuyên đề học sinh giỏi 
Phạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ 20 
Thay đổi phương trình thứ hai ta cĩ đề thi HSGQG năm 2001 
Ví dụ 11 : Giải HPT : 7 2 5
2 2
x y x y
x y x y
 + + + =

+ + − =
 (HSGQG 2001) 
Giải : ðK : 7 0;2 0x y x y+ ≥ + ≥ 
Cách 1 : Tương tự ví dụ trên ta cĩ 
5 5
2 2 2 27 2 2 5 13 025 5
5
5 77
2
5 77
2
u v u v
u v v u v vv
u v
v
v

 
 
 

+ =
= −
⇔
− − + − =+ − =
= −


− +
=⇔ 

− − =
Do ; 0u v ≥ ta lấy được 
15 77
2
5 77
2
u
v

−
=


− +
=
Từ đĩ giải được 11 7710 77;
2
x y −= − = 
Cách 2: ðặt t y x y x t= − ⇒ = + ta cĩ HPT : 
( )
( )
( ) ( )
2
2
2 2 2
2 3
7 3
8 3
2 2
3 2
9 1 03 8 3 3 8 2 9 77
22 32 3
t
x y t
x t t
x y t
x t t
t tt t t t
t
tt

− ≤ ≤
 + = − 
⇔ + = − 
+ = + 
+ = +
  + + =− = − − + − +
⇔ ⇔ ⇔ = 
− ≤ ≤
− ≤ ≤ 
( )22 10 77
3
11 77
2
t t
x
y x t
 + −
= = −

⇒ 
−
= + =
Cách 3 : ðặt 7 ;( , 0)
2
u x y
u v
v x y
 = + ≥
= +
. Hệ trở thành : 5
2
u v
v y x
+ =

= + −
Mặt khác : 
( )( )2 2 55 5
2
5 12
2 2
x
u v x u v u v x u v x v
x xy x y
−
− = ⇔ − + = ⇒ − = ⇒ =
− +
⇒ = + − ⇒ =
 thay vào hệ ta được : 
Chuyên đề học sinh giỏi 
Phạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ 21 
( )2 2
5 51 52
2 2 20 23 010 2 5
11 7710 77
2
x xx x
x
x xx x
x y
≤ ≤+ − 
+ = ⇔ ⇔ 
− + =+ = − 
−
⇔ = − ⇒ =
Tương tự ta cĩ 
Ví dụ 12 : Giải hệ phương trình : 3 2
1
x y x y
x y x y
 + + + =

+ + − =
(ðề thi HSG Quảng NINH năm 2011-2012) 
ðS : ( ) 5 21; 5 21;
2
x y
 
−
= −  
 
Ví dụ 13: Giải Hệ phương trình : 4 2 2
2 1
x y x y
x y x y
 + + + =

+ + + =
( ðề thi HSG Nam ðịnh V2 năm 2011-2012) 
Giải : ðK : 4 ;2x y x y≥ − ≥ − 
ðặt ( )4 ; 0; 0
2
a x y
a b
b x y
 = + ≥ ≥
= +
Ta cĩ hệ 2 (1)
1 (2)
a b
b x y
+ =

+ + =
Ta cĩ : ( )( )2 2 2 2( )a b x a b a b a b a b x− = = − + = − ⇒ − = 
Ta cĩ 2 2 (3)
2
a b xb
a b x
+ = −
⇒ =
− =
Thay (3) vào (2) ta cĩ : 2 1 2
2
x
x y x y− + + = ⇔ = − thay vào phương trình hai của hệ 
ban đầu ta cĩ 
( )2 2
3 2 1 3 1
1 1 5 21 5 21
25 1 03 1
y y y y y
y y
y x
y yy y
− − + = ⇔ − = +
≥ − ≥ −
− +
⇔ ⇔ ⇔ = ⇒ = − 
+ + =− = + 
Vậy hệ đã cho cĩ nghiệm ( ) 5 21; 5 21;
2
x y
 
− +
= −  
 
Chuyên đề học sinh giỏi 
Phạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ 22 
PHƯƠNG PHÁP 3: SỬ DỤNG TÍNH ðƠN ðIỆU CỦA HÀM SỐ 
Ví dụ 14: Giải hệ 
4 2 4
3 3
4 2 5
2 2
xy x
x y
y x
x y
− + − + =

+ = +
Giải: 
Xét hàm số 3( ) 2tf t t= + trên ℝ 
-Ta cĩ 2'( ) 2 ln 2 3 0,tf t t t= + > ∀ ∈ℝ nên ( )f t đồng biến trên ℝ 
( )2 ( ) ( )f x f y x y⇔ = ⇔ = 
Thay vào (1) ta cĩ 
( ) ( )
2
2
2
4 2 4
4 2 4
22 4 4 4 2
4 2 5
5 4 2
2 8 5 4 8 4 3 0 1 2 3 0 1
x x
x x
x x
x x
x x
x x x x x x x x
− +
− +
− +
− + =
⇔ − + =
≥ ⇒ − + ≥ ⇔ − + ≤ ⇔ − + + ≤ ⇔ =
Vậy hệ đã cho cĩ nghiệm ( ) ( ); 1;1x y = 
Ví dụ 15: Giải hệ 
3 3 2
2
3 4 2
1 2 1
y y x x x
x y y
 + = + + +

− − = − −
ðK: 1 1;0 2x y− ≤ ≤ ≤ ≤ 
( ) ( ) ( )331 1 1y y x x⇔ + = + + + 
Xét hàm số 3( )f t t t= + trên ℝ 
-Ta cĩ 2'( ) 3 1 0,f t t t= + > ∀ ∈ℝ nên ( )f t đồng biến trên ℝ 
( )1 ( ) ( 1) 1f y f x y x⇔ = + ⇔ = + thay vào (2) ta được phương trình 
2
2
1 1 1 1
1 1 1 1
x x x
x x x
− − + = − −
⇔ − = + + − −
ðặt ẩn phụ giải được nghiệm của phương trình này là 0=x 
Vậy hệ đã cho cĩ nghiệm ( ); (0;1)=x y 
Tương tự ta cĩ đề thi HSG Quảng Ninh Bảng B năm 2011-2012: 
Ví dụ 16: Giải hệ phương trình ( ) ( )
3 2 3
2 2 2
1 3 1 3
1 3 2 2 0
x x y y
x x y y
 + − + = −

+ − − − + =
ðáp số: ( ) ( ); 0;1x y = 
Ví dụ 17: Giải hệ ( ) ( )
32 2 1 2 1 2 3 2
4 2 2 4 6
x x y y
x y
 + + + = − −

+ + + =
( ðT Chuyên Lương Thế Vinh, ðồng Nai) 
Chuyên đề học sinh giỏi 
Phạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ 23 
Giải: 
ðK: 1 ; 2
2
x y≥ − ≥ 
Xét hàm số 3( ) 2f t t t= + trên ( )0;+∞ 
-Ta cĩ ( )2'( ) 6 1 0, 0;f t t t= + > ∀ ∈ +∞ nên ( )f t đồng biến trên ( )0;+∞ 
( )1 (2 1) ( 2) 2 1 2f x f y x y⇔ + = − ⇔ + = − thay vào (2) ta được phương trình 
4 4 8 2 4 6 (*)y y− + + = 
Xét hàm số 4( ) 4 8 2 4 6 g y y y= − + + − trên ( )2;+∞ 
-Ta cĩ 
( ) ( )34
1 1
'( ) 0; 2;
2 44 8
g y y
yy
= + > ∀ ∈ +∞
+
−
 nên ( )f t đồng biến trên ( )2;+∞ 
Mà ( )6 0g = nên phương trình (*) cĩ nghiệm duy nhất y=6. Từ đĩ cĩ 1
2
x = 
Vậy hệ đã cho cĩ nghiệm ( ) 1; ;6
2
x y  =  
 
Ví dụ 18: Giải hệ phương trình: 
( )
2
33
2 2 ( ) (2 ) 2
, .
2( 1) 1 0
x y x y x y x y x y x y
x y
y x
− +
− = + + − − −
∈
− − + =
ℝ 
(HSG Thanh Hĩa 2011-2012) 
Giải: 
2
33
2 2 ( ) (2 ) 2 (1)
2( 1) 1 0 (2).
x y x y x y x y x y x y
y x
− +
− = + + − − −

− − + =
+ ðiều kiện: 0, 2 0x y x y+ ≥ − ≥ (*). 
+ Khi đĩ: 2(1) 2 (2 ) 2 2 ( )x y x yx y x y x y x y− +⇔ + − − = + + + . 
Xét hàm ( ) 2tf t t t= + , suy ra: (1) cĩ dạng (2 ) ( )f x y f x y− = + . 
Mặt khác ( )f t đồng biến, do đĩ (1) 2x y x y⇔ − = + hay 2x y= . 
+ Thế vào (2), ta được: 33 1 2(2 1)y y+ = − (3). 
ðặt 3 2 1y t= − , phương trình (3) trở thành hệ: 
3
3
(2 1)
(2 1)
t y
y t
 = −

= −
Trừ vế tương ứng các phương trình của hệ, ta được: 
( )2 2do 2(2 1) 2(2 1)(2 1) 2(2 1) 1 0 ,t y y y t t y t= − + − − + − + > ∀ 
Thế vào hệ: 3(2 1)y y= − 3 28 12 5 1 0y y y⇔ − + − = 2( 1)(8 4 1) 0y y y⇔ − − + = 1y⇔ = . 
1 2y x= ⇒ = , thoả mãn (*). 
Vậy hệ đã cho cĩ nghiệm (duy nhất): ( ; ) (2; 1)x y = . 
Chuyên đề học sinh giỏi 
Phạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ 24 
Với phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm sơ chúng ta thấy thường xuất 
hiện hệ phương trình hệ hốn vị vịng quanh 
HỆ HỐN VỊ VỊNG QUANH: 
ðịnh nghĩa:Là hệ cĩ dạng: 
( ) ( )1 2
( ) ( )2 3
.................
( ) ( )1
f x g x
f x g x
f x g xn
=
=
=






 (I) 
ðịnh lí 1: Nếu f,g là các hàm cùng tăng hoặc cùng giảm trên A và ( , ,..., )1 2x x xn là 
nghiệm của hệ trên A thì ...1 2x x xn= = = 
ðịnh lí 2:Nếu f,g khác tính đơn điệu trên A và ( , ,..., )1 2x x xn là nghiệm của hệ trên 
A thì ...1 2x x xn= = = nếu n lẻ và 
...1 3 1
...2 4
x x xn
x x xn
= = =
−
= = =



nếu n chẵn 
Ví dụ 19 : Giải hệ:
2
2
2
1
1
1
x y y
y z z
z x x
 = + −

= + −

= + −
Xét hàm số: 2( ) 1f x x x= + − , hàm số này đồng biết trên 1 ,
2
 
− +∞ 
 
, nghịch biến trên 
khoảng 1,
2
 
−∞ − 
 
. 
Dễ thấy 1 5 5 11( ) , 
2 4 4 6
f x f f   ≥ − = − − = −   
   
. Ta cĩ hệ phương trình sau: 
( )
( )
( )
x f y
y f z
z f x
=

=

=
Từ hệ ta suy ra 5, ,
4
x y z ≥ − 
- Nếu 1 1 5 1 1
 ( ) 
2 2 4 2 2
x f y f y ≥ − ⇒ ≥ − > − = − ⇒ > − 
 
 (vì nếu 1
2
y ≤ − thì từ điều 
kiện 5 5 11 5
 ( )
4 4 6 4
y f y f  ≥ − ⇒ ≤ − = − < − 
 
). 
- Tương tự ta cũng cĩ 1
2
z ≥ − vậy trong trường hợp này 1, ,
2
x y z ≥ − 
- Giả sử 
 ( ) ( ) ( ) ( ) z x x=y=zx y f y f z y z f y f z≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ ⇒ 
- Thay vào phương trình đầu tiên của hệ ta được: 
2 1 1x x x x= + − ⇔ = ± nghiệm x = -1 loại. 
Chuyên đề học sinh giỏi 
Phạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ 25 
Vậy trong trường hợp này hệ cĩ nghiệm x = y = z = 1 
- Nếu 1
2
x < − lý luận tương tự như trường hợp trên ta được x= y = z = -1 
Kết luận: Hệ đã cho cĩ hai nghiệm phân biệt là x = y = z = 1 và x= y = z = -1 
Ví dụ 20: Giải hệ phương trình : 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 3
2 3
2 3
2 3 3
2 3 3
2 3 3
x x y x
y y z y
z z x z
 + = − +


+ = − +

+ = − +
(HSG Phú Thọ V1 năm 2010-2011) 
Giải : 
Hệ đã cho tương đương 
3 2 3
3 2 3
3 2 3
2 3 3 3
2 3 3 3
2 3 3 3
x x x y
y y y z
z z z x
 + + = +

+ + = +
 + + = +
Xét hàm số 3 2( ) 2 3 ,f t t t t t= + + ∈ℝ . Ta cĩ 2'( ) 3 4 3 0,f t t t t= + + > ∀ nên ( )f t là HSðB 
trên ℝ 
Nếu 3 3( ) ( ) 2 3 2 3x y f x f y y z y z≥ ⇒ ≥ ⇔ + ≥ + ⇔ ≥ 
3 3( ) ( ) 2 3 2 3f y f z z x z x x y z x x y z⇒ ≥ ⇔ + ≥ + ⇔ ≥ ⇒ ≥ ≥ ≥ ⇒ = = 
Tương tự nếu x y x y z x x y z≤ ⇒ ≤ ≤ ≤ ⇒ = = 
Vậy x y z= = thay vào ta cĩ pt 3 2
1
32 2 3 3 0
2
3
2
x
x x x x
x

 =


− − + = ⇔ =


= −

vậy hệ đã cho cĩ nghiệm ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3; ; 1;1;1 ; ; ; ; ; ;
2 2 2 2 2 2
x y z
   
= − − −      
   
Chuyên đề học sinh giỏi 
Phạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ 26 
PHƯƠNG PHÁP ðÁNH GIÁ BẰNG BẤT ðẲNG THỨC 
Ví dụ 21: Giải hệ phương trình: (2 3) 4 1 (2 3) 4 1 2 (2 3)(2 3)
4
x x y y x y
y x xy
 + − + + − = + +

+ =
(HSG lĩp 10 Vĩnh Phúc năm 2011-2012) 
Giải: 
(2 3) 4 1 (2 3) 4 1 2 (2 3)(2 3) (1)
4 (2)
x x y y x y
y x xy
 + − + + − = + +

+ =
ðiều kiện xác định: 1 1;
4 4
x y≥ ≥ 
(2) (4 1) 4 1 4 1x yx y x x y
y x
⇔ = − ⇔ = − ⇔ = − thay vào (1) ta được : 
(2 3) (2 3) 2 (2 3)(2 3)x yx y x y
y x
+ + + = + + 
Do (2 3) (2 3) 2 (2 3)(2 3)x yx y x x
y x
+ + + ≥ + + 
Suy ra (1) (2 3) (2 3) ( )(2 2 3) 0x x y y x y x y⇔ + = + ⇔ − + + = x y⇔ = thay vào (2) ta được 
2
0 ( )
2 0 1 1
2 2
x
x x
x y
=

− = ⇔
 = ⇒ =

lo¹ i
Vậy hệ phương trình cĩ nghiệm 1 1;
2 2
 
 
 
. 
Ví dụ 22: Giải hệ phương trình: 
( )
( ) ( )
2 4 2 5 2 2
2 2 3 2
9 8 16 3 1
1 16 _ 2 5
x y x y y y x y
x y x y x y
 + − = − +

 + − = − +
 (HSG ðồng Tháp V2 năm 2011-2012) 
Giải: ðK: 2 4 29 8 0x y x y+ − ≥ 
Hệ tương đương với ( )
( )
22 6 2 3
2 2 3 4
25 4 16 3
1 16 2 5
x y y x y y
x y x y x y

− − = − +

 + + − = − +
Trừ vế với vế của 2 phương trình trên ta cĩ 
( ) ( ) ( )2 222 2 225 4 1 16 2 4 (*)x y x y x y− − = + + − + − 
Ta cĩ (*) 5; (*) 5VT VP≤ ≥ 
Do đĩ 
2
2 3
4 0
2(*) 2 0
1
4 0
x y
x
x y
y
x y
 − =
=
⇔ − = ⇔ 
=
− =
Chuyên đề học sinh giỏi 
Phạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ 27 
Vậy hệ đã cho cĩ nghiệm ( ); (2;1)x y = 
Ví dụ 23 : Giải hệ phương trình 




=+−−++
=+
0443
81
698
22
24
yxxyyx
yx
Giải hệ phương trình 




=+−−++
=+
0443
81
697
22
24
yxxyyx
yx
Từ phương trình (2) ta cĩ: 
044)3(0443 2222 =+−+−+⇔=+−−++ yyyxxyxxyyx 
Phương trình này cĩ nghiệm 
3
71
0)44(4)3( 22
≤≤⇔
≥+−−−=∆⇔
y
yyy
Lập luận tương tự ta cĩ: 
3
40 ≤≤ x 
Kết hợp với pt 1 ta cĩ 
81
69724 ≤+ yx 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 






=
=
3
7
3
4
y
x
Vậy hệ pt đã cho cĩ nghiệm duy nhất 






=
=
3
7
3
4
y
x
Ví dụ 24 : Giải hệ phương trình: 
2
2
2
 , (0 1).
x y a
y z a a
z x a
 = +

= + < <

= +
Giả sử 2 2 2 2{ , , } { , , }x Max x y z z Max x y z= ⇒ = . 
Nếu 1 10 { , , }
2 4
z z Max x y z x y z a≥ ⇒ = ⇒ = = = − + + 
Nếu 0 0z x< ⇒ < , vì nếu 2 20 0x z a z a a y≥ ⇒ ≥ ⇒ ≤ − < − ⇒ < (mâu thuẫn). 
Chuyên đề học sinh giỏi 
Phạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ 28 
2 20 0y x y z x y a z a y x y⇒ ≤ ⇒ > ≥ ≥ ⇒ = + ≥ + = ⇒ ≤ 
1 1
2 4
x y z a⇒ = = = − − + 
Vậy hệ phương trình cĩ 2 nghiệm. 
Ví dụ 25: Giải hệ phương trình sau ẩn x; y:
2 3 2
2 2 2
3 4 2 0
2 0
x y x x
x y x y
 + − + =

− + =
Giải:: 
Hệ đã cho tương đương với:
3 2
2 2 2
( 3) 4 2 0 (1)
2 0 (2)
y x x
y x x y
 + − + =

− + =
Nếu y3 +3= 0 thì x=2 khơng thỏa mãn hệ. 
Nếu y3 +3 ≠ 0 : (1) cĩ nghiệm ⇔ ,∆ ≥ 0 ⇔ 1y ≤ − 
Nếu y = 0 thì x=0 khơng thỏa mãn. 
Nếu y ≠ 0: (2) cĩ nghiệm ⇔ 1 1y− ≤ ≤ 
Từ đĩ suy ra y = -1. thay vào được x = 1. 
Thử lại: x=1; y=-1 thỏa mãn. 
Vây hệ đã cho cĩ nghiệm: 
1
1
x
y
=

= −
Chuyên đề học sinh giỏi 
Phạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ 29 
Bài tập tổng hợp 
Bài 1: Giải HPT : 
( )2 2
2 2
1 1 2 (1)
2
1 1
 (2)
2
x y
x y
y x
x y

+ = +



− = −

 (HSG tỉnh Quảng Ninh) 
Giải : ðK : 0xy ≠ 
Cộng vế với vế của (1) và (2) ta cĩ : 2 2 3 22 3 2 3x y x xy
x
= + ⇔ = + 
Trừ vế với vế của (1) cho (2) ta cĩ : 2 2 2 31 3 1 3x y x y y
y
= + ⇔ = + 
Ta cĩ hệ 
( )
( )
3
33 2 3
3 2 3 3
3 1
32 3 3 2
11 3 3 11
2
xx yx xy x y
x yy x y x y y
 +
= = + = + + =   
⇔ ⇔ ⇔   
− == +  −= −    =
Tương tự, giải hệ 
( )
( ) ( )
4 4
2 2 2 2
1 1 2
2
1 1 3 3
2
y x
x y
x y x y
x y

− = −


 + = + +

Bài 2 : Giải hệ phương trình 
3 2
2 2
3 49 (1)
8 8 17 (2)
x xy
x xy y y x
 + = −

− + = −
 (HSGQG bảng B năm 2004) 
Giải: 
Cách 1: 
Ta thấy x=0 khơng thỏa mãn hệ 
( )
3
2 491 (*)
3
xy
x
+
⇒ = − Thế vào (2) ta được 
3
2 2 3 2
2 2
498 8 17 24 ( ) 2 51 49
3
1
24 ( 1) ( 1)(2 49 49) 2 49 49
24
+
− − = − ⇔ + = + −
= −
⇔ + = + + − ⇔ + −
=

x
x xy y x y x x x x
x
x
xy x x x x x xy
x
- Với x=-1 thế vào (*) ta được 4y = ± 
- Với 
22 49 49
24
x xy
x
+ −
= thế vào (*) ta được 
Chuyên đề học sinh giỏi 
Phạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ 30 
( ) ( )
3 2
2 3 2 2
24 3 2 2
49 2 49 49
 =( ) 192 ( 49) (2 49 49)
3 24
4 4 45 94 49 0 1 4 4 49 0 1
+ + −
− ⇔ − + = + −
⇔ + + + + = ⇔ + − + = ⇔ = −
x x x
x x x x
x x
x x x x x x x x
Vậy hệ đã cho cĩ nghiệm ( ) ( ) ( ); 1;4 ; 1; 4x y = − − − 
Cách 2: Nhân 2 vế của phương trình (2) với 3 rồi cộng với (1) ta được: 
( ) ( )
3 2 2 2
3 2 2
2 2
3 3 24 3 24 51 49
3 3 1 3 ( 1) 24 ( 1) 48( 1) 0
1 1 3 24 48 0
1
x x xy xy y y x
x x x y x y x x
x x y y
x
+ + − + = − −
⇔ + + + + + − + + + =
 ⇔ + + + − + =
 
⇔ = −
Cách 3: 
đặt 2
2
u v
x
x y u
x y v u vy
+
=+ = 
⇔ 
− = − 
=

Từ hệ đã cho ta cĩ hệ phương trình 
3 3 3 3
2 2 2 2
98 27 125 (1)
3 5 9 25 3 9 5 25 (2)
u v u v
u v u v u u v v
 + = − − = − − 
⇔ 
− + = − − − + = − −  
Nhân 2 vế của phương trình (2) với 3 rồi cộng với phương trình (1) ta cĩ: 
( ) ( )3 33 5 2u v u v− = − + ⇔ = − − thế vào (1) ta được 2 32 15 0 5
v
v v
v
=
+ − = ⇔ 
= −
-Với ( ) ( )3; 5 ; 1; 4v u x y= = − ⇒ = − − 
-Với ( ) ( )5; 3 ; 1;4v u x y= − = ⇒ = − 
Bài 3: Giải hệ phương trình : 
2 2
2 2
1 1 (1)
1 (2)
x x y y
x y xy
 + + = + −

+ − =
 (HSG Hải Dương V1 năm 2011-2012) 
Giải: ðK: 1y ≥ 
( )
( )( )
( )( )
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
1 1 1
2 2 1 1
1 1 1
1
x y y x
x xy y y x y x
xy y x x y x y x y
x y
⇔ − = − − +
⇒ − + = + − − +
⇔ = − + ⇔ = − + −
⇔ − = −
- Ta cĩ hệ 
2 2
2
2 2
1 0
2 0
21
x y x
x xy
y xx y xy
 − = − =
⇒ − = ⇔ 
=+ − = 
- Nếu 0x = thay vào (2) ta cĩ 2 1 1y y= ⇔ = ± 
Chuyên đề học sinh giỏi 
Phạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ 31 
- Nếu 2y x= thay vào (2) ta cĩ 2 2 1 1 23 1
3 3 3
x x x y= ⇔ = ⇔ = ± ⇒ = ± 
- Thử lại ta cĩ nghiệm ( ) ( ) 1 2; 0;1 ; ;
3 3
x y  =  
 
Bài 4 :Giải HPT: 
3 3
2 2
35 (1)
2 3 4 9 (2)
x y
x y x y
 − =

+ = −
 (HSG Yên Bái) 
Giải: 
( ) ( ) ( )2 22 6 12 8 9 12 27 35x x y y⇔ − + + + + = 
Thay vào (1) ta cĩ 
( ) ( )
( ) ( )
3 3 2 2
3 3
6 12 8 9 12 27
2 3 2 3 5
x y x x y y
x y x y x y
− = − + + + +
⇔ − = + ⇔ − = + ⇔ = +
Thế vào (2) : 2 25 25 30 0
3
y
y y
y
= −
+ + = ⇔ 
= −
-Với y=-3 thì x=2 
-Với y=-2 thì x=3 
Bài 5: Giải HPT: 
4 3 3 2 2
3 3
9 9 (1)
( ) 7 (2)
x x y y y x x y x
x y x
 + + = + +

− =
Giải: 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
4 3 3 2 2
2
1 9 0
9 0
x xy x y x y x y
x y x x y
⇔ − + − − − =
 ⇔ − + − =
 
Từ ( )2 x y⇒ ≠ 
Nên ( ) ( ) ( )21 9 *x x y⇔ + = 
Từ ( ) 3 3 337 72 y x y x
x x
⇔ − = ⇔ = + thế vào (*) ta cĩ 
2
3 3 3 6 2 4 233
7 9 2 7 ( 7)x x x x x x x x x
x
 
+ + = ⇔ + + + +  
 
 (**) 
Tư (*) ta cĩ x>0 
Xét hàm số ( )3 3 6 2 4 23( ) 2 7 ( 7) , 0;f x x x x x x x x= + + + + ∈ +∞ 
F(x) ðB trên ( )0;+∞ mà f(1)=9 nên (**) cĩ nghiệm duy nhất x=1 
Vậy hệ cĩ nghiệm (x;y)=(1;2). 
Bài 6: Giải HPT: 
3
2 2 3 2 (1)
6 1 4 (2)
x y x y
x y
 + = − −

+ + − =
Giải: ðK: 2 0; 1x y y+ ≥ ≤ 
Chuyên đề học sinh giỏi 
Phạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ 32 
( ) ( ) 2 11 2 2 2 3 0 1 2
2 3( )
x y
x y x y y x
x y l
 + =
⇔ + + + − = ⇔ ⇔ = −
 + = −
Thay vào (2) ta cĩ: 3 6 2 4(*)x x+ + = 
Xét hàm số ( ) [ )3 6 2 , 0;f x x x x= + + ∈ +∞ 
 Ta cĩ f(x) là HSðB trên [ )0;+∞ mà f(2)=4 nên (*) cĩ nghiệm duy nhất x=2 
Vậy hệ cĩ nghiệm (x;y)=(2;-3). 
Bài 7 : Giải HPT : 
13 1 2 (1)
17 1 4 2 (2)
x
x y
y
x y
  
+ =  +  

 
− =  + 
 (HSGQG 1996) 
Giải : 
ðK : , 0x y ≥ 
Vì x=0 hoặc y=0 khơng thoả mãn hệ nên hệ đã cho tương đương 
1 2 1 2 21 1 (3)
3 3 7
1 4 2 1 1 2 21
 (4)7 1 3 7
x y x x y
x y y x x y

+ = = + + 
⇔ 
 
− = = − + + 
Nhân vế với vế của (3) và (4) ta cĩ : 
( )( )
( )( )
2 2
1 1 2 2 1 2 2 1 8
1 3 73 7 3 7
21 7 24 24 38 7 0
6 4 7 0 6 , ( , 0)
x x yx y x y
xy x y y x x xy y
x y x y y x x y
  
= + − = −    +   
⇔ = + − ⇔ + − =
⇔ − + = ⇔ = >
Thay y=6x vào (3) ta cĩ 1 2 11 4 7 22 8 71
21 73 7
x y
x x
+ +
= + ⇔ = ⇒ = 
Bài 8 : Giải hệ phương trình : 
12
 (1)
15 (2)
x y
x y
x y x y
xy

−
− + =
+ +

= −
(HSG An Giang V 1 năm 2011-2012) 
Giải : ðK : ( )
2 2
202 0
x yx y x y
x y x yx y
 ≥
− − ≥ ⇔ ≥ ⇔ 
+ ≠ −+ 
Chuyên đề học sinh giỏi 
Phạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ 33 
Hệ đã cho tương đương với : ( )
2 2 12 (1)
15 (2)
x y
x y x y
x y
xy

−
− + + =
+

= −
Xét 2 trường hợp : 
• Nếu 0x y+ > . Khi đĩ ( ) 2 2 2 21 12x y x y⇔ − + − = 
ðặt 2 2 ; ( 0)t x y t= − ≥ phương trình trên trở thành 2 312 0
4( )
t
t t
t l
=
+ − = ⇔ 
= −
Với 3t = ta cĩ hệ 
2
2 4 2
2 2 2
2
9 3 109
225 29 9 225 09 9 3 10915 ( )1515 2
15
9 3 109 3 109 9
;
2 2
9 3 109 3 109 9
;
2 2
x
x x x
x y x
x l
xy yy x
x
y
x
x y
x y
 +
=
 − = − − = − =   
−⇔ ⇔ ⇔    =
= − = −    
= −  
= −

 + −
 = = −
⇔

+ −
= − =

Kết hợp ðK 0x y+ > ta thu được 9 3 109 3 109 9( ; ) ( ;