Chuyên đề Kinh nghiệm dạy học “công thức khoảng cách” chương trình hình học 12

KINH NGHIỆM DẠY HỌC
“CÔNG THỨC KHOẢNG CÁCH” _ CHƯƠNG TRÌNH HÌNH HỌC 12
Là giáo viên bộ môn với mục đích là truyền thụ từng đơn vị kiến thức một cách hiệu quả đến học sinh. Trước một đơn vị kiến thức dạy cho học sinh bản thân tôi luôn suy nghĩ làm và làm như thế nào để các em học sinh có thể tiếp cận, khắc sâu và vận dụng linh hoạt trong quá trình học.
Trong chuyên đề này tôi trình bày kinh nghiệm của mình trong việc dạy học 2 công thức tính khoảng cách.
Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng: 
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: 
( qua M có VTCP , qua M’ có VTCP )
Hai công thức trên chắc chắn đa số học sinh trung bình, trung bình khá sẽ gặp nhiều khó khăn để nhớ cũng như vận dụng linh hoạt trong các trường hợp có liên quan.
Với một số kinh nghiệm nhỏ mà tôi trình bày sau đây, rất mong nhận được sự góp ý và bổ sung của đồng nghiệp để nội dung được hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn.
KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG VÀ KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU.
Kiến thức liên quan đã học
a) Với hai vectơ và không cùng phương, xây dựng được hình bình hành duy nhất, tính được tích có hướng và là diện tích của hình bình hành đó. 	
b) Với ba vectơ , và không đồng phẳng , xây dựng được hình hộp duy nhất, tính được tích hỗn tạp và là thể tích khối hợp đó.
Dạy học công thức	
Bước 1: Xác định khoảng cách cần tìm
Từ giả thiết có điểm A và đường thẳng nhận được hai vectơ à xây dựng được hình bình hành à khoảng cách cần tìm là chiều cao hình bình hành
Từ giả thiết có hai đường thẳng và ’ nhận được ba vectơ à xây dựng được hình hộp à khoảng cách cần tìm là chiều cao khối hộp đó
Chốt lại, Từ giả thiết đề toán ta thu được hình bình hành hoặc hình hộp khi đó khoảng cách cần tính là chiều cao của hình đó.
Bước 2: Xác định công thức tính
+ là chiều cao của hình bình hành thu được nên bằng tỉ số diện tích hình bình hành và độ dài cạnh đáy.
+ là chiều cao của hình hộp thu được nên bằng tỉ số giữa thể tích khối hộp và diện tích mặt đáy khối hộp đó.
* Từ đó viết được công thức:
Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng: 
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: 
( qua M có VTCP , qua M’ có VTCP )
Aùp dụng : Xác định công thức khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và CD.
Ta có : Đthẳng AB qua A có VTCP 
Đthẳng CD qua C có VTCP 
à thu được 3 vectơ , và 
Công thức: 
------------------------------
1/ Kinh nghiệm khi viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm A và cắt hai đường thẳng phân biệt d , d’.
Bài toán 1: Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm A(1,-2,2) đồng thời cắt hai đường thẳng d: , tR và d’: 
Giải: 
Từ ptđt d à VTCP của d: = (-1, 0, 1) và M(-1, 0, 0) d
Từ ptđt d’ à VTCP của d’: = (1, -2, 3) và M’(-3, 2, -1) d’
+ Đường thẳng phải tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng và 
 Trong đó, là mp qua A và chứa đường thẳng d 
 à VTPT : = (2, 4, 2) suy ra pt : x +2y + z +1 = 0
 là mp qua A và chứa đường thẳng d’ 
 à VTPT:= (6, 9, 4) suy ra pt:6x+ 9y +4z +4 = 0
+ Vậy phương trình đường thẳng : 
Nhận xét:
+ VTCP đt : =(-1, 2, -3), dễ nhận thấy và cùng phương suy ra không cắt d’(trường hợp này song song với d’), do đó kết luận của bài giải là sai.
 .A d’
 d 
+ Từ đó nhận thấy đường thẳng (nếu có) là giao tuyến của hai mặt phẳng và , “nếu có” ở đây vì khi song song với d’ hoặc song song với d thì không tồn tại, do đó sẽ mắc sai lầm khi ta không kiểm tra lại phương trình thu được.
Khắc phục khi gặp bài toán thuộc dạng này
Cách 1: Ta giải như trên nhưng khi nhận được phương trình của đt , ta kiểm tra: Nếu vectơ cùng phương với hoặc thì đt không tồn tại, ngoài ra thì pt là phương trình đường thẳng phải tìm.
Cách 2: Ta tìm pt đường thẳng thông qua hai điểm M, M’ của nó, trong đó M d; M’ d’ sao cho và cùng phương.
Aùp dụng cách này cho bài toán 1 ta có lời giải như sau:
Gọi M(-1-t, 0 , t) d và M’(-3+t’, 2-2t’, -1+3t’) d’. Hai điểm M và M’ thuộc đt khi và chỉ khi =(-2-t, 2, t-2) và =(-4+t’, 4-2t’,-3+3t’) cùng phương hệ sau có nghiệm:
 hệ này vô nghiệm
Vậy đường thẳng không tồn tại
(Đối với cách giải này ta thường gặp khó khăn trong việc giải hệ để xác định t và t’ cũng như xác định toạ độ của M và M’).
2/ Kinh nghiệm khi viết phương trình của đường thẳng cắt hai đường thẳng phân biệt d1 , d2 và song song với đường thẳng d3.
Phương pháp giải: 
+ Đường thẳng phải tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng và 
 Trong đó, là mp chứa đường thẳng d1 và song song với d3
	 là mp chứa đường thẳng d2 và song song với d3
+Viết phương trình của mặt phẳng và 
à phương trình của đường thẳng 
Nhận xét: 
Với cách giải như trên ta sẽ gặp sai lầm khi các VTCP của 3 đường thẳng d1, d2, d3 là ,và đồng phẳng. Khi đó, hai mặt phẳng và song song hoặc trùng nhau dẫn đến kết luận sai về phương trình của đường thẳng.
Khắc phục khi gặp bài toán thuộc dạng này:
 (Trường hợp VTCP của d1 ,d2 là và cùng phương dễ dàng nhận thấy nên ta chỉ xét trường hợp không và cùng phương)
Cách 1: 
+ Đường thẳng (nếu có)là giao tuyến của hai mặt phẳng và 
 Trong đó, là mp chứa đường thẳng d1 và song song với d3
	 là mp chứa đường thẳng d2 và song song với d3
+Viết phương trình của mặt phẳng và 
Kiểm tra, nếu và không song song thì kết luận phương trình của là hệ 2 phương trình của và , ngược lại không tồn tại.
Cách 2: 
Kiểm tra: Nếu [,].= 0 thì đường thẳng không tồn tại
	 Nếu [,].0 thì xác định phương trình như phương pháp trên.
Cách 3:
Ta tìm phương trình đường thẳng thông qua hai điểm M1 , M2 của nó, trong đó M1 d1 ; M2 d2 sao cho cùng phương với .
(Đối với cách giải này ta thường gặp khó khăn trong việc xác định toạ độ của M1 và M2).
3/ Kinh nghiệm khi viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm A đồng thời cắt đường thẳng d và vuông góc với đường thẳng d’.
Bài toán 2: Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm A(1,-2,2) đồng thời cắt đường thẳng d: , và vuông góc với d’: 
Giải: 
Từ ptđt d à VTCP của d: = (1, 2, 1) và M(1, 2, 0) d
Từ ptđt d’ à VTCP của d’: = (1, -2, 3) và M’(-3, 2, -1) d’
+ Đường thẳng phải tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng và 
 Trong đó, là mp qua A và chứa đường thẳng d 
 à VTPT : = (8, -2,-4) suy ra pt : 4x -y -2z -2 = 0
 là mp qua A và vuông góc với đường thẳng d’ 
 à VTPT:= (1, -2, 3) suy ra pt: x -2y +3z -11 = 0
+ Vậy phương trình đường thẳng : 
Nhận xét:
+ VTCP đt : =(-7, -14, -7), dễ nhận thấy và cùng phương suy ra không cắt d(trường hợp này song song với d), do đó kết luận của bài giải là sai.
 .A d
 d 
+ Từ đó nhận thấy đường thẳng (nếu có) là giao tuyến của hai mặt phẳng và , “nếu có” ở đây vì khi song song với d thì không tồn tại, do đó sẽ mắc sai lầm khi ta không kiểm tra lại phương trình thu được.
Khắc phục khi gặp bài toán thuộc dạng này
Cách 1: 
Ta giải như trên nhưng khi nhận được phương trình của đt , ta kiểm tra: Nếu vectơ cùng phương với thì đt không tồn tại, ngoài ra thì pt là phương trình đường thẳng phải tìm.
Cách 2: 
Ta tìm pt đường thẳng thông qua hai điểm A và M của nó, trong đó M d sao cho AM vuông góc với đường thẳng d’
Aùp dụng cách này cho bài toán 2 ta có lời giải như sau:
Gọi M(1+t, 2+2t, t) d. Điểm M thuộc đt khi và chỉ khi AM vuông góc với đường thẳng d’ .= 0 -t - 2(-4-2t)+3(2-t) = 014 = 0 (vô lý)
Do đó không tồn tại điểm M. Vậy không tồn tại đường thẳng .
(Ta nên sử dụng cách 2 để giải các bài tập ở dạng này).
4/ Kinh nghiệm khi “viết phương trình của đường thẳng, của mặt phẳng mà điều kiện cho trước liên quan đến quan hệ song song”
 Khi gặp các bài toán viết phương trình của đường thẳng, của mặt phẳng mà điều kiện cho trước liên quan đến quan hệ song song thì người giải phải có bước kiểm tra phương trình thu được để có kết luận chính xác.
Một số bài tập mà ta dễ mắc sai lầm khi giải:
Viết phương trình của đường thẳng đi qua một điểm và song song với một đường thẳng cho trước.
Viết phương trình của đường thẳng đi qua một điểm và song song với hai mặt phẳng.
Viết phương trình của đường thẳng đi qua một điểm vuông góc với một đường thẳng và song song với một mặt phẳng cho trước.
Viết phương trình của mặt phẳng đi qua một điểm và song song với hai đường thẳng cho trước.
Viết phương trình của mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.
--------------------------------