Chuyên đề Lượng giác
Bạn đang xem nội dung tài liệu Chuyên đề Lượng giác, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Lượng giác Trần Sĩ Tùng Trang 56 I. Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác 1. Định nghĩa các giá trị lượng giác Cho OA OM( , ) a= . Giả sử M x y( ; ) . ( ) x OH y OK AT k BS k cos sin sintan cos 2 coscot sin a a a pa a p a a a a p a = = = = æ ö = = ¹ +ç ÷ è ø = = ¹ Nhận xét: · , 1 cos 1; 1 sin 1a a a" - £ £ - £ £ · tana xác định khi k k Z, 2 p a p¹ + Î · cota xác định khi k k Z,a p¹ Î · ksin( 2 ) sina p a+ = · ktan( ) tana p a+ = kcos( 2 ) cosa p a+ = kcot( ) cota p a+ = 2. Dấu của các giá trị lượng giác 3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt 0 6 p 4 p 3 p 2 p 2 3 p 3 4 p p 3 2 p 2p 00 300 450 600 900 1200 1350 1800 2700 3600 sin 0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 0 –1 0 cos 1 3 2 2 2 1 2 0 1 2 - 2 2 - –1 0 1 tan 0 3 3 1 3 3- –1 0 0 cot 3 1 3 3 0 3 3 - –1 0 CHƯƠNG VI GÓC – CUNG LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Phần tư Giá trị lượng giác I II III IV cosa + – – + sina + + – – tana + – + – cota + – + – cosin O cotang s in ta ng H A M K B S a T Trần Sĩ Tùng Lượng giác Trang 57 4. Hệ thức cơ bản: 2 2sin cos 1a a+ = ; tan .cot 1a a = ; 2 2 2 2 1 11 tan ; 1 cot cos sin a a a a + = + = 5. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt II. Công thức lượng giác 1. Công thức cộng 2. Công thức nhân đôi sin 2 2sin .cosa a a= 2 2 2 2cos2 cos sin 2 cos 1 1 2sina a a a a= - = - = - 2 2 2 tan cot 1tan 2 ; cot 2 2 cot1 tan a a a a aa - = = - sin( ) sin .cos sin .cosa b a b b a+ = + sin( ) sin .cos sin .cosa b a b b a- = - cos( ) cos .cos sin .sina b a b a b+ = - cos( ) cos .cos sin .sina b a b a b- = + tan tantan( ) 1 tan .tan a b a b a b + + = - tan tantan( ) 1 tan .tan a b a b a b - - = + Hệ quả: 1 tan 1 tantan , tan 4 1 tan 4 1 tan p a p a a a a a æ ö æ ö+ - + = - =ç ÷ ç ÷- +è ø è ø Góc hơn kém p Góc hơn kém 2 p sin( ) sinp a a+ = - sin cos 2 p a a æ ö + =ç ÷ è ø cos( ) cosp a a+ = - cos sin 2 p a a æ ö + = -ç ÷ è ø tan( ) tanp a a+ = tan cot 2 p a a æ ö + = -ç ÷ è ø cot( ) cotp a a+ = cot tan 2 p a a æ ö + = -ç ÷ è ø Góc đối nhau Góc bù nhau Góc phụ nhau cos( ) cosa a- = sin( ) sinp a a- = sin cos 2 p a a æ ö - =ç ÷ è ø sin( ) sina a- = - cos( ) cosp a a- = - cos sin 2 p a a æ ö - =ç ÷ è ø tan( ) tana a- = - tan( ) tanp a a- = - tan cot 2 p a a æ ö - =ç ÷ è ø cot( ) cota a- = - cot( ) cotp a a- = - cot tan 2 p a a æ ö - =ç ÷ è ø Lượng giác Trần Sĩ Tùng Trang 58 3. Công thức biến đổi tổng thành tích 4. Công thức biến đổi tích thành tổng Công thức hạ bậc Công thức nhân ba (*) 2 2 2 1 cos2sin 2 1 cos2cos 2 1 cos2tan 1 cos2 a a a a a a a - = + = - = + 3 3 3 2 sin 3 3sin 4sin cos3 4 cos 3cos 3tan tantan 3 1 3 tan a a a a a a a aa a = - = - - = - cos cos 2 cos .cos 2 2 a b a b a b + - + = cos cos 2sin .sin 2 2 a b a b a b + - - = - sin sin 2sin .cos 2 2 a b a b a b + - + = sin sin 2 cos .sin 2 2 a b a b a b + - - = sin( )tan tan cos .cos a b a b a b + + = sin( )tan tan cos .cos a b a b a b - - = sin( )cot cot sin .sin a b a b a b + + = b aa b a b sin( )cot cot sin .sin - - = sin cos 2.sin 2.cos 4 4 p p a a a a æ ö æ ö + = + = -ç ÷ ç ÷ è ø è ø sin cos 2 sin 2 cos 4 4 p p a a a a æ ö æ ö - = - = - +ç ÷ ç ÷ è ø è ø 1cos .cos cos( ) cos( ) 2 1sin .sin cos( ) cos( ) 2 1sin .cos sin( ) sin( ) 2 a b a b a b a b a b a b a b a b a b é ù= - + +ë û é ù= - - +ë û é ù= - + +ë û Trần Sĩ Tùng Lượng giác Trang 59 VẤN ĐỀ 1: Dấu của các giá trị lượng giác Để xác định dấu của các giá trị lượng giác của một cung (góc) ta xác định điểm nhọn của cung (tia cuối của góc) thuộc góc phần tư nào và áp dụng bảng xét dấu các GTLG. Bài 1. Xác định dấu của các biểu thức sau: a) A = 0 0sin 50 .cos( 300 )- b) B = 0 21sin 215 .tan 7 p c) C = 3 2cot .sin 5 3 p pæ ö -ç ÷ è ø d) D = c 4 4 9os .sin .tan .cot 5 3 3 5 p p p p Bài 2. Cho 0 00 90a< < . Xét dấu của các biểu thức sau: a) A = 0sin( 90 )a + b) B = 0cos( 45 )a - c) C = 0cos(270 )a- d) D = 0cos(2 90 )a + Bài 3. Cho 0 2 p a< < . Xét dấu của các biểu thức sau: a) A = cos( )a p+ b) B = tan( )a p- c) C = 2sin 5 p a æ ö +ç ÷ è ø d) D = 3cos 8 p a æ ö -ç ÷ è ø Bài 4. Cho tam giác ABC. Xét dấu của các biểu thức sau: a) A = A B Csin sin sin+ + b) B = A B Csin .sin .sin c) C = A B Ccos .cos .cos 2 2 2 d) D = A B Ctan tan tan 2 2 2 + + Bài 5. a) VẤN ĐỀ 2: Tính các giá trị lượng giác của một góc (cung) Ta sử dụng các hệ thức liên quan giữa các giá trị lượng giác của một góc, để từ giá trị lượng giác đã biết suy ra các giá trị lượng giác chưa biết. I. Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại 1. Cho biết sina, tính cosa, tana, cota · Từ 2 2sin cos 1a a+ = Þ 2cos 1 sina a= ± - . – Nếu a thuộc góc phần tư I hoặc IV thì 2cos 1 sina a= - . – Nếu a thuộc góc phần tư II hoặc III thì 2cos 1 sina a= - - . · Tính sintan cos a a a = ; 1cot tan a a = . 2. Cho biết cosa, tính sina, tana, cota · Từ 2 2sin cos 1a a+ = Þ 2sin 1 cosa a= ± - . – Nếu a thuộc góc phần tư I hoặc II thì 2sin 1 cosa a= - . – Nếu a thuộc góc phần tư III hoặc IV thì 2sin 1 cosa a= - - . · Tính sintan cos a a a = ; 1cot tan a a = . Lượng giác Trần Sĩ Tùng Trang 60 3. Cho biết tana, tính sina, cosa, cota · Tính 1cot tan a a = . · Từ 2 2 1 1 tan cos a a = + Þ 2 1cos 1 tan a a = ± + . – Nếu a thuộc góc phần tư I hoặc IV thì 2 1cos 1 tan a a = + . – Nếu a thuộc góc phần tư II hoặc III thì 2 1cos 1 tan a a = - + . · Tính sin tan .cosa a a= . 4. Cho biết cota, tính sina, cosa, tana · Tính 1tan cot a a = . · Từ 2 2 1 1 cot sin a a = + Þ 2 1sin 1 cot a a = ± + . – Nếu a thuộc góc phần tư I hoặc II thì 2 1sin 1 cot a a = + . – Nếu a thuộc góc phần tư III hoặc IV thì 2 1sin 1 cot a a = - + . II. Cho biết một giá trị lượng giác, tính giá trị của một biểu thức · Cách 1: Từ GTLG đã biết, tính các GTLG có trong biểu thức, rồi thay vào biểu thức. · Cách 2: Biến đổi biểu thức cần tính theo GTLG đã biết III. Tính giá trị một biểu thức lượng giác khi biết tổng – hiệu các GTLG Ta thường sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi: A B A B AB2 2 2( ) 2+ = + - A B A B A B4 4 2 2 2 2 2( ) 2+ = + - A B A B A AB B3 3 2 2( )( )+ = + - + A B A B A AB B3 3 2 2( )( )- = - + + IV. Tính giá trị của biểu thức bằng cách giải phương trình · Đặt t x t2sin , 0 1= £ £ Þ x t2cos = . Thế vào giả thiết, tìm được t. Biểu diễn biểu thức cần tính theo t và thay giá trị của t vào để tính. · Thiết lập phương trình bậc hai: t St P2 0- + = với S x y P xy;= + = . Từ đó tìm x, y. Bài 1. Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại, với: a) a a0 04cos , 270 360 5 = < < b) 2cos , 0 25 p a a= - < < c) a a5sin , 13 2 p p= < < d) 0 01sin , 180 270 3 a a= - < < e) a a 3tan 3, 2 p p= < < f) tan 2, 2 p a a p= - < < g) 0cot15 2 3= + h) 3cot 3, 2 p a p a= < < Bài 2. Cho biết một GTLG, tính giá trị của biểu thức, với: Trần Sĩ Tùng Lượng giác Trang 61 a) a aA khi a a a a cot tan 3sin , 0 cot tan 5 2 p+ = = < < - ĐS: 25 7 b) a aB khi a a a a 2 0 08tan 3cot 1 1sin , 90 180 tan cot 3 + - = = < < + ĐS: 8 3 c) a a a aC khi a a a a a 2 2 2 2 sin 2sin .cos 2 cos cot 3 2sin 3sin .cos 4 cos + - = = - - + ĐS: 23 47 - d) a aD khi a a a3 3 sin 5cos tan 2 sin 2 cos + = = - ĐS: 55 6 e) a a aE khi a a a 3 3 3 8cos 2sin cos tan 2 2 cos sin - + = = - ĐS: 3 2 - g) a aG khi a a a cot 3tan 2cos 2 cot tan 3 + = = - + ĐS: 19 13 h) a aH khi a a a sin cos tan 5 cos sin + = = - ĐS: 3 2 - Bài 3. Cho a a 5sin cos 4 + = . Tính giá trị các biểu thức sau: a) A a asin .cos= b) B a asin cos= - c) C a a3 3sin cos= - ĐS: a) 9 32 b) 7 4 ± c) 41 7 128 ± Bài 4. Cho a atan cot 3- = . Tính giá trị các biểu thức sau: a) A a a2 2tan cot= + b) B a atan cot= + c) C a a4 4tan cot= - ĐS: a) 11 b) 13± c) 33 13± Bài 5. a) Cho x x4 4 33sin cos 4 + = . Tính A x x4 4sin 3cos= + . ĐS: 7A 4 = b) Cho x x4 4 13sin cos 2 - = . Tính B x x4 4sin 3cos= + . ĐS: B = 1 c) Cho x x4 4 74sin 3cos 4 + = . Tính C x x4 43sin 4 cos= + . ĐS: C C7 57 4 28 = Ú = Bài 6. a) Cho x x 1sin cos 5 + = . Tính x x x xsin , cos , tan , cot . b) Cho x xtan cot 4+ = . Tính x x x xsin , cos , tan , cot . ĐS: a) 4 3 4 3; ; ; 5 5 3 4 - - - b) 1 2 3; ; 2 3; 2 3 22 2 3 - + - - hoặc 2 3 12 3; 2 3; ; 2 2 2 3 - - + - Bài 7. a) Lượng giác Trần Sĩ Tùng Trang 62 VẤN ĐỀ 3: Tính giá trị lượng giác của biểu thức bằng các cung liên kết Sử dụng công thức các góc (cung) có liên quan đặc biệt (cung liên kết). Bài 1. Tính các GTLG của các góc sau: a) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0120 ; 135 ; 150 ; 210 ; 225 ; 240 ; 300 ; 315 ; 330 ; 390 ; 420 ; 495 ; 2550 b) 7 13 5 10 5 11 16 13 29 319 ; 11 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 2 4 4 3 3 3 3 6 6 4 p p p p p p p p p p p p - - - - Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau: a) A x x xcos cos(2 ) cos(3 ) 2 p p p æ ö = + + - + +ç ÷ è ø b) B x x x x7 32 cos 3cos( ) 5sin cot 2 2 p p p æ ö æ ö = - - + - + -ç ÷ ç ÷ è ø è ø c) C x x x x32sin sin(5 ) sin cos 2 2 2 p p p p æ ö æ ö æ ö = + + - + + + +ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø d) D x x x x3 3cos(5 ) sin tan cot(3 ) 2 2 p p p p æ ö æ ö = - - + + - + -ç ÷ ç ÷ è ø è ø Bài 3. Rút gọn các biểu thức sau: a) A 0 0 0 0 0 0 sin( 328 ).sin 958 cos( 508 ).cos( 1022 ) cot 572 tan( 212 ) - - - = - - ĐS: A = –1 b) B 0 0 0 0 0 sin( 234 ) cos216 .tan 36 sin144 cos126 - - = - ĐS: B 1= - c) C 0 0 0 0 0cos20 cos 40 cos60 ... cos160 cos180= + + + + + ĐS: C 1= - d) D 2 0 2 0 2 0 2 0cos 10 cos 20 cos 30 ... cos 180= + + + + ĐS: D 9= e) E 0 0 0 0 0sin 20 sin 40 sin 60 ... sin340 sin360= + + + + + ĐS: E 0= f) x x x x0 0 0 02sin(790 ) cos(1260 ) tan(630 ).tan(1260 )+ + - + + - ĐS: F x1 cos= + Bài 4. a) VẤN ĐỀ 4: Rút gọn biểu thức lượng giác – Chứng minh đẳng thức lượng giác Sử dụng các hệ thức cơ bản, công thức lượng giác để biến đổi biểu thức lượng giác. Trong khi biến đổi biểu thức, ta thường sử dụng các hằng đẳng thức. Chú ý: Nếu là biểu thức lượng giác đối với các góc A, B, C trong tam giác ABC thì: A B C p+ + = và A B C 2 2 2 2 p + + = Bài 1. Chứng minh các đẳng thức sau: a) x x x4 4 2sin cos 1 2 cos- = - b) x x x x4 4 2 2sin cos 1 2 cos .sin+ = - c) x x x x6 6 2 2sin cos 1 3sin .cos+ = - Trần Sĩ Tùng Lượng giác Trang 63 d) x x x x x x8 8 2 2 4 4sin cos 1 4sin .cos 2sin .cos+ = - + e) x x x x2 2 2 2cot cos cos .cot- = f) x x x x2 2 2 2tan sin tan .sin- = g) x x x x x1 sin cos tan (1 cos )(1 tan )+ + + = + + h) x x x x x x x x2 2sin .tan cos .cot 2sin .cos tan cot+ + = + i) x x x x x x sin cos 1 2 cos 1 cos sin cos 1 + - = - - + k) x x x 2 2 2 1 sin 1 tan 1 sin + = + - Bài 2. Chứng minh các đẳng thức sau: a) a ba b a b tan tantan .tan cot cot + = + b) a a a a a a a a 2 2 sin cos 1 cot sin cos cos sin 1 cot + - = - - - c) a a a a a a 2 2sin cos1 sin .cos 1 cot 1 tan - - = + + d) a a a a a a a a 2 2 sin sin cos sin cos sin cos tan 1 + - = + - - e) a a a a a 2 2 1 cos (1 cos )1 2 cot sin sin é ù+ - - =ê ú ë û f) a a a a a a a 2 2 4 2 2 2 2 tan 1 cot 1 tan. 1 tan cot tan cot + + = + + g) a a a a a 2 21 sin 1 sin 4 tan 1 sin 1 sin æ ö+ - - =ç ÷ - +è ø h) a b a b a b a b 2 2 2 2 2 2 2 2 tan tan sin sin tan .tan sin .sin - - = i) a a a a a 2 2 6 2 2 sin tan tan cos cot - = - k) a a a a a aa a 3 3 3 3 2 2 tan 1 cot tan cot sin .cossin cos - + = + Bài 3. Cho x a vôùi a b a b a b 4 4sin cos 1 , , 0.+ = > + Chứng minh: x x a b a b 8 8 3 3 3 sin cos 1 ( ) + = + . Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau: a) x x x2 2 2(1 sin ) cot 1 cot- + - b) x x x x2 2(tan cot ) (tan cot )+ - - c) x x x x x x 2 2 2 2 2 2 cos cos .cot sin sin .tan + + d) x a y a x a y a2 2( .sin .cos ) ( .cos .sin )- + + e) x x a x 2 2 2 2 sin tan cos cot - - f) x x x x x x 2 2 4 2 2 4 sin cos cos cos sin sin - + - + g) x x x x2 2sin (1 cot ) cos (1 tan )+ + + h) x x x x x 1 cos 1 cos ; (0, ) 1 cos 1 cos p + - - Î - + i) x x x x x 1 sin 1 sin ; ; 1 sin 1 sin 2 2 p pæ ö+ - + Î -ç ÷ - + è ø k) x x x x2 2 3cos tan sin ; ; 2 2 p pæ ö - - Îç ÷ è ø Bài 5. Chứng minh các biểu thức sau độc lập đối với x: a) x x x x4 4 6 63(sin cos ) 2(sin cos )+ - + ĐS: 1 b) x x x x x8 8 6 6 43(sin cos ) 4(cos 2sin ) 6sin- + - + ĐS: 1 c) x x x x4 4 2 2(sin cos 1)(tan cot 2)+ - + + ĐS: –2 d) x x x x x2 2 2 2 2cos .cot 3cos cot 2sin+ - + ĐS: 2 e) x x x x x 4 4 6 6 4 sin 3cos 1 sin cos 3cos 1 + - + + - ĐS: 2 3 Lượng giác Trần Sĩ Tùng Trang 64 f) x x x x x x 2 2 2 2 2 2 tan cos cot sin sin cos - - + ĐS: 2 g) x x x x 6 6 4 4 sin cos 1 sin cos 1 + - + - ĐS: 3 2 Bài 6. Cho tam giác ABC. Chứng minh: a) B A Csin sin( )= + b) A B Ccos( ) cos+ = - c) A B Csin cos 2 2 + = d) B C A Ccos( ) cos( 2 )- = - + e) A B C Ccos( ) cos2+ - = - f) A B C A3cos sin 2 2 - + + = - g) A B C C3sin cos 2 + + = h) A B C C2 3tan cot 2 2 + - = Bài 7. a) VẤN ĐỀ 5: Công thức cộng sin( ) sin .cos sin .cosa b a b b a+ = + sin( ) sin .cos sin .cosa b a b b a- = - cos( ) cos .cos sin .sina b a b a b+ = - cos( ) cos .cos sin .sina b a b a b- = + tan tantan( ) 1 tan .tan a b a b a b + + = - tan tantan( ) 1 tan .tan a b a b a b - - = + Hệ quả: 1 tan 1 tantan , tan 4 1 tan 4 1 tan p a p a a a a a æ ö æ ö+ - + = - =ç ÷ ç ÷- +è ø è ø Bài 1. Tính các giá trị lượng giác của các góc sau: a) 0 0 015 ; 75 ; 105 b) 5 7; ; 12 12 12 p p p Bài 2. Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết: a) khi 3tan sin , 3 5 2 p p a a a p æ ö + = < <ç ÷ è ø ĐS: 38 25 3 11 - b) khi 12 3cos sin , 2 3 13 2 p p a a a p æ ö - = - < <ç ÷ è ø ĐS: (5 12 3) 26 - c) a b a b khi a b1 1cos( ).cos( ) cos , cos 3 4 + - = = ĐS: 119 144 - d) a b a b a bsin( ), cos( ), tan( )- + + khi a b8 5sin , tan 17 12 = = và a, b là các góc nhọn. ĐS: 21 140 21; ; . 221 221 220 e) a b a btan tan , tan , tan+ khi a b a b0 , , 2 4 p p < < + = và a btan .tan 3 2 2= - . Từ đó Trần Sĩ Tùng Lượng giác Trang 65 suy ra a, b . ĐS: 2 2 2- ; a b a btan tan 2 1, 8 p = = - = = Bài 3. Tính giá trị của các biểu thức lượng giác sau: a) A = o o o2 2 2sin 20 sin 100 sin 140+ + ĐS: 3 2 b) B = o o o2 2cos 10 cos110 cos 130+ + ĐS: 3 2 c) C = o o o o o otan 20 .tan80 tan 80 .tan140 tan140 .tan 20+ + ĐS: –3 d) D = o o o o o otan10 . tan 70 tan 70 .tan130 tan130 .tan190+ + ĐS: –3 e) E = o o o o o cot 225 cot 79 .cot 71 cot 259 cot 251 - + ĐS: 3 f) F = o o2 2cos 75 sin 75- ĐS: 3 2 - g) G = o 0 1 tan15 1 tan15 - + ĐS: 3 3 h) H = 0 0tan15 cot15+ ĐS: 4 HD: 0 0 0 0 0 040 60 20 ; 80 60 20= - = + ; 0 0 0 0 0 050 60 10 ; 70 60 10= - = + Bài 4. Chứng minh các hệ thức sau: a) x y x y x y2 2sin( ).sin( ) sin sin+ - = - b) x yx y x y x y 2sin( )tan tan cos( ) cos( ) + + = + + - c) x x x x x x2 2tan . tan tan .tan tan .tan 3 3 3 3 3 p p p pæ ö æ ö æ ö æ ö + + + + + + = -ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø è ø d) x x x x 3 2cos .cos cos .cos (1 3) 3 4 6 4 4 p p p pæ ö æ ö æ ö æ ö - + + + + = -ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø è ø e) o o o o(cos70 cos50 )(cos230 cos290 )+ + o o o o(cos 40 cos160 )(cos320 cos380 ) 0+ + + = f) x xx x x x 2 2 2 2 tan 2 tantan .tan3 1 tan 2 .tan - = - Bài 5. Chứng minh các hệ thức sau, với điều kiện cho trước: a) a a b khi b a cos a b2 tan tan( ) sin sin . ( )= + = + b) a a b khi b a b2 tan tan( ) 3sin sin(2 )= + = + c) a b khi a b a b1tan .tan cos( ) 2 cos( ) 3 = - + = - d) ka b b khi a b k a k 1tan( ). tan cos( 2 ) cos 1 - + = + = + HD: a) Chú ý: b = (a+b)–a b) Chú ý: b = (a+b)–a; 2a+b=(a+b)+a c) Khai triển giả thiết d) Chú ý: a+2b=(a+b)+a; a=(a+b)–b Bài 6. Cho tam giác ABC. Chứng minh: a) C A B B Asin sin .cos sin .cos= + b) C A B A B A B 0sin tan tan ( , 90 ) cos .cos = + ¹ c) A B C A B C A B C 0tan tan tan tan .tan . tan ( , , 90 )+ + = ¹ d) A B B C C Acot .cot cot .cot cot .cot 1+ + = Lượng giác Trần Sĩ Tùng Trang 66 e) A B B C C Atan .tan tan .tan tan .tan 1 2 2 2 2 2 2 + + = f) A B C A B Ccot cot cot cot .cot .cot 2 2 2 2 2 2 + + = g) oC BB C A B A C A cos coscot cot ( 90 ) sin .cos sin .cos + = + ¹ h) A B C A B C A B C A B Ccos .cos .cos sin sin cos sin cos sin cos sin sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = + + i) A B C A B C2 2 2sin sin sin 1 2sin sin sin 2 2 2 2 2 2 + + = + HD: a, b, c, d) Sử dụng (A + B) + C = 1800 e, f) Sử dụng A B C 090 2 2 2 æ ö + + =ç ÷ è ø g) VT = VP = tanA h) Khai triển A B Ccos 2 2 2 æ ö + +ç ÷ è ø i) Khai triển A B Csin 2 2 2 æ ö + +ç ÷ è ø . Chú ý: Từ B C Acos sin 2 2 2 æ ö + =ç ÷ è ø Þ B C A B Ccos .cos sin sin .sin 2 2 2 2 2 = + Þ A B C A A B C2sin .cos .cos sin sin .sin .sin 2 2 2 2 2 2 2 = + Bài 7. Cho tam giác A, B, C. Chứng minh: a) A B C ABC nhoïntan tan tan 3 3, .D+ + ³ " b) A B C ABC nhoïn2 2 2tan tan tan 9, .D+ + ³ " c) A B C ABC nhoïn6 6 6tan tan tan 81, .D+ + ³ " d) A B C2 2 2tan tan tan 1 2 2 2 + + ³ e) A B Ctan tan tan 3 2 2 2 + + ³ HD: a, b, c) Sử dụng A B C A B Ctan tan tan tan .tan .tan+ + = và BĐT Cô–si d) Sử dụng a b c ab bc ca2 2 2+ + ³ + + và A B B C C Atan .tan tan .tan tan .tan 1 2 2 2 2 2 2 + + = e) Khai triển A B C 2 tan tan tan 2 2 2 æ ö + +ç ÷ è ø và sử dụng câu c) Bài 8. a) Trần Sĩ Tùng Lượng giác Trang 67 VẤN ĐỀ 6: Công thức nhân Công thức nhân đôi sin 2 2sin .cosa a a= 2 2 2 2cos2 cos sin 2 cos 1 1 2sina a a a a= - = - = - 2 2 2 tan cot 1tan 2 ; cot 2 2 cot1 tan a a a a aa - = = - Bài 1. Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết: a) khi 5 3cos2 , sin 2 , tan 2 cos , 13 2 p a a a a p a= - < < b) khicos2 , sin 2 , tan 2 tan 2a a a a = c) khi 4 3sin , cos sin 2 , 5 2 2 p p a a a a= - < < d) khi 7cos2 , sin 2 , tan 2 tan 8 a a a a = Bài 2. Tính giá trị của biểu thức sau: a) o o o oA cos20 .cos 40 .cos60 .cos80= ĐS: 1 16 b) o o oB sin10 .sin 50 .sin 70= ĐS: 1 8 c) C 4 5cos .cos .cos 7 7 7 p p p = ĐS: 1 8 d) D 0 0 0cos10 .cos50 .cos70= ĐS: 3 8 e) o o o oE sin 6 .sin 42 .sin 66 .sin 78= ĐS: 1 16 f) G 2 4 8 16 32cos .cos .cos .cos .cos 31 31 31 31 31 p p p p p = ĐS: 1 32 h) o o o o oH sin 5 .sin15 .sin 25 .... sin 75 .sin 85= ĐS: 2 512 i) I 0 0 0 0 0cos10 .cos20 .cos30 ...cos70 .cos80= ĐS: 3 256 k) K 96 3 sin .cos .cos cos cos 48 48 24 12 6 p p p p p = ĐS: 9 l) L 2 3 4 5 6 7cos .cos .cos .cos .cos .cos .cos 15 15 15 15 15 15 15 p p p p p p p = ĐS: 1 128 Công thức hạ bậc Công thức nhân ba (*) 2 2 2 1 cos2sin 2 1 cos2cos 2 1 cos2tan 1 cos2 a a a a a a a - = + = - = + 3 3 3 2 sin 3 3sin 4sin cos3 4 cos 3cos 3tan tantan 3 1 3 tan a a a a a a a aa a = - = - - = - Lượng giác Trần Sĩ Tùng Trang 68 m) M sin .cos .cos 16 16 8 p p p = ĐS: 2 8 Bài 3. Chứng minh rằng: a) n n n a a a a a P a2 3 sincos cos cos ... cos 2 2 2 2 2 .sin 2 = = b) n n Q n n n 2 1cos .cos ... cos 2 1 2 1 2 1 2 p p p = = + + + c) nR n n n 2 4 2 1cos .cos ... cos 2 1 2 1 2 1 2 p p p = = - + + + Bài 4. Chứng minh các hệ thức sau: a) x x4 4 3 1sin cos cos 4 4 4 + = + b) x x x6 6 5 3sin cos cos 4 8 8 + = + c) x x x x x3 3 1sin .cos cos .sin sin 4 4 - = d) x x x x6 6 21sin cos cos (sin 4) 2 2 4 - = - e) xx 21 sin 2sin 4 2 pæ ö - = -ç ÷ è ø f) x x x 2 2 1 sin 1 2 cot .cos 4 4 p p - = æ ö æ ö + -ç ÷ ç ÷ è ø è ø g) xx x 1 cos 2tan . 1 4 2 sin 2 p p p æ ö + +ç ÷æ ö è ø+ =ç ÷ è ø æ ö +ç ÷ è ø h) xx x 1 sin 2tan 4 cos2 pæ ö + + =ç ÷ è ø i) x x x cos cot 1 sin 4 2 pæ ö = -ç ÷ - è ø k) x xx x x x 2 2 2 2 tan 2 tantan . tan3 1 tan .tan 2 - = - l) x x xtan cot 2 cot= - m) x x x 2cot tan sin 2 + = n) xx vôùi x1 1 1 1 1 1 cos cos , 0 . 2 2 2 2 2 2 8 2 p + + + = < < Bài 5. a) VẤN ĐỀ 7: Công thức biến đổi 1. Công thức biến đổi tổng thành tích cos cos 2 cos .cos 2 2 a b a b a b + - + = cos cos 2sin .sin 2 2 a b a b a b + - - = - sin sin 2sin .cos 2 2 a b a b a b + - + = sin sin 2 cos .sin 2 2 a b a b a b + - - = sin( )tan tan cos .cos a b a b a b + + = sin( )tan tan cos .cos a b a b a b - - = sin( )cot cot sin .sin a b a b a b + + = b aa b a b sin( )cot cot sin .sin - - = Trần Sĩ Tùng Lượng giác Trang 69 2. Công thức biến đổi tích thành tổng Bài 1. Biến đổi thành tổng: a) a b a b2sin( ).cos( )+ - b) a b a b2 cos( ).cos( )+ - c) x x x4sin3 .sin 2 .cos d) x x x 134sin .cos .cos 2 2 e) o ox xsin( 30 ).cos( 30 )+ - f) 2sin .sin 5 5 p p g) x x x2sin .sin 2 .sin3 . h) x x x8cos .sin 2 .sin 3 i) x x xsin .sin .cos2 6 6 p pæ ö æ ö + -ç ÷ ç ÷ è ø è ø k) a b b c c a4 cos( ).cos( ).cos( )- - - Bài 2. Chứng minh: a) x x x x4 cos .cos cos cos3 3 3 p pæ ö æ ö - + =ç ÷ ç ÷ è ø è ø b) x x x x4sin .sin sin sin3 3 3 p pæ ö æ ö - + =ç ÷ ç ÷ è ø è ø Áp dụng tính: o o oA sin10 .sin 50 .sin 70= o o oB cos10 .cos50 .cos70= C 0 0 0sin 20 .sin 40 .sin 80= D 0 0 0cos20 .cos 40 .cos80= Bài 3. Biến đổi thành tích: a) x2sin 4 2+ b) x23 4 cos- c) x21 3tan- d) x x xsin 2 sin 4 sin 6+ + e) x x3 4 cos4 cos8+ + f) x x x xsin 5 sin 6 sin 7 sin8+ + + g) x x x1 sin 2 – cos2 – tan 2+ h) o ox x2 2sin ( 90 ) 3cos ( 90 )+ - - i) x x x xcos5 cos8 cos9 cos12+ + + k) x xcos sin 1+ + Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau: a) x x x xA x x x x cos7 cos8 cos9 cos10 sin 7 sin8 sin 9 sin10 - - + = - - + b) x x xB x x x sin 2 2sin3 sin 4 sin3 2sin 4 sin 5 + + = + + c) x x xC x x2 1 cos cos2 cos3 cos 2 cos 1 + + + = + - d) x x xD x x x sin 4 sin 5 sin 6 cos4 cos5 cos6 + + = + + Bài 5. Tính giá trị của các biểu thức sau: a) A 2cos cos 5 5 p p = + b) B 7tan tan 24 24 p p = + c) o o oC 2 2 2sin 70 .sin 50 .sin 10= d) o o o oD 2 2sin 17 sin 43 sin17 .sin 43= + + 1cos .cos cos( ) cos( ) 2 1sin .sin cos( ) cos( ) 2 1sin .cos sin( ) sin( ) 2 a b a b a b a b a b a b a b a b a b é ù= - + +ë û é ù= - - +ë û é ù= - + +ë û sin cos 2.sin 2.cos 4 4 p p a a a a æ ö æ ö + = + = -ç ÷ ç ÷ è ø è ø sin cos 2 sin 2 cos 4 4 p p a a a a æ ö æ ö - = - = - +ç ÷ ç ÷ è ø è ø Lượng giác Trần Sĩ Tùng Trang 70 e) o o E 1 2sin 70 2sin10 = - f) o o F 1 3 sin10 cos10 = - g) o o o o o o G tan 80 cot10 cot 25 cot 75 tan 25 tan 75 = - + + h) H 0 0 0 0tan 9 tan 27 tan 63 tan81= - - + ĐS: A 1 2 = B 2( 6 3)= - C 1 64 = D 3 4 = E = 1 F = 4 G = 1 H = 4 Bài 6. Tính giá trị của các biểu thức sau: a) 7 13 19 25sin sin sin sin sin 30 30 30 30 30 p p p p p ĐS: 1 32 b) o o o o o16.sin10 .sin30 .sin 50 .sin 70 .sin 90 ĐS: 1 c) o o o ocos24 cos 48 cos84 cos12+ - - ĐS: 1 2 d) 2 4 6cos cos cos 7 7 7 p p p + + ĐS: 1 2 - e) 2 3cos cos cos 7 7 7 p p p - + ĐS: 1 2 f) 5 7cos cos cos 9 9 9 p p p + + ĐS: 0 g) 2 4 6 8cos cos cos cos 5 5 5 5 p p p p + + + ĐS: –1 h) 3 5 7 9cos cos cos cos cos 11 11 11 11 11 p p p p p + + + + ĐS: 1 2 Bài 7. Chứng minh rằng: a) o o o otan 9 tan 27 tan 63 tan81 4- - + = b) o o otan 20 tan 40 tan80 3 3- + = c) o o o otan10 tan 50 tan 60 tan 70 2 3- + + = d) o o o o o8 3tan30 tan 40 tan 50 tan 60 .cos20 3 + + + = e) o o o o otan 20 tan 40 tan80 tan 60 8sin 40+ + + = f) o o o6 4 2tan 20 33tan 20 27 tan 20 3 0- + - = Bài 8. Tính các tổng sau: a) S n k1 cos cos3 cos5 ... cos(2 1) ( )a a a a a p= + + + + - ¹ b) nS n n n n2 2 3 ( 1)sin sin sin ... sin .p p p p-= + + + + c) nS n n n n3 3 5 (2 1)cos cos cos ... cos .p p p p-= + + + d) S vôùi a a a a a a a4 1 1 1... , . co
File đính kèm:
Chuong VI Goc Cung luong giac Cong thuc luong giac.pdf
