Chuyên đề Lượng giác 11
Bạn đang xem trước 20 trang mẫu tài liệu Chuyên đề Lượng giác 11, để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
ọ N ó - Giúp N ọc Tập Tố ơ ”
p p Trang 1
A. CÔNG THỨC LG, PTLG CƠ BẢN, PTLG CƠ SỞ
I. CÔNG THỨC LG
1. Hệ thức cơ bản
+ a = 1 = 1 - a ( hoặc a =1 - )
;
; . =
.
=1
1+ =
; 1+ =
2. Công thức cộng
( ) = ; ( ) =
(
) =
; (
) =
3. Công thức biến đổi tổng thành tích
a b a b
cos a cos b 2cos . cos
2 2
+ -
+ = ;
a b a b
cos a cos b 2 sin . sin
2 2
+ -
- = -
a b a b
sin a sin b 2 sin . cos
2 2
+ -
+ = ;
a b a b
sin a sin b 2cos . sin
2 2
+ -
- =
( )
;
( )
Công thức bổ sung:
+) √ (
) √ (
)
+) √ (
) √ (
)
4. Công thức biến đổi tích thành tổng
[ ( ) ( )]
ọ N ó - Giúp N ọc Tập Tố ơ ”
p p Trang 2
[ ( ) ( )]
[ ( ) ( )]
5. Công thức nhân ( nhân đôi và nhân ba )
( ) ( )
2 2
sin 2a 2sin a. cos a sin a cos a 1 1 sin a cos a= = + - = - -
2 2 2 2cos2a cos a sin a 2cos a 1 1 2sin a= - = - = -
;
3sin 3a 3sin a 4 sin a= - ; 3cos3a 4cos a 3cosa= -
5. Công thức hạ bậc
2
2
2
1 cos2a cot g a
cos a
2 1 cot g a
+
= =
+
;
2
2
2
1 cos2a tg a
sin a
2 1 tg a
-
= =
+
II. PTLG CƠ BẢN
, đk: -1 a
Đặt a = sin ta có:
k
kx
kx
,
2
2
Trường hợp đặc biệt:
;
+
+
, đk: -1 a
Đặt a = cos ta có: , k
Trường hợp đặc biệt:
+ ; ;
, a (
+ )
Đặt a = tan ta có: , k
ọ N ó - Giúp N ọc Tập Tố ơ ”
p p Trang 3
Trường hợp đặc biệt:
;
+ ;
+
, a ( )
Đặt a = cot ta có: , k
Trường hợp đặc biệt:
+ ;
+ ;
+
II. PTLG CƠ SỞ
1. PT thuần nhất bậc nhất đối với sin và cos ( PT cổ điển )
; điều kiện: 2 2 2 0a b c (1)
Cách giải : Chia hai vế của pt (1) cho
2 2a b ta được :
2 2 2 2 2 2
sin cos
a b c
x x
a b a b a b
(*)
Với
2 2
a
a b
= sin ;
2 2
b
a b
= cos ;
2 2
c
a b
= cos
(*) cosx. cos + sinx. sin = cos
cos( x - ) = cos
2
2
x k
x k
2
2
x k
x k
Chú ý 1: PT (1) có nghiệm 2 2 2 0a b c ( hay )
Chú ý 2: Thường áp dụng các công thức sau:
( ) = ; ( ) =
Ví dụ mẫu: Giải các PT sau:
VD1: (1)
Giải: Nhận thấy nên PT đã cho có nghiệm.
Chia 2 vế của PT cho
2 2a b = √ √ ta có:
ọ N ó - Giúp N ọc Tập Tố ơ ”
p p Trang 4
(1)
√
√
√
=
(
)
[
’ với k
𝑉ậy [
’ với k
Chú ý: Có thể đưa về hàm sin bằng cách giải 2 là:
(1)
√
√
√
=
(
)
[
’ với k
𝑉ậy [
’ với k
VD2: √ (2)
Giải: Nhận thấy (√ )
nên PT đã cho có nghiệm.
Chia 2 vế của PT cho
2 2a b = √ (√ )
ta có:
(2)
√
=
(
)
[
’ với k
𝑉ậy [
’ với k
VD3: (3)
Giải: Nhận thấy nên PT đã cho có nghiệm.
Chia 2 vế của PT cho
2 2a b = √ ta có:
(3)
ọ N ó - Giúp N ọc Tập Tố ơ ”
p p Trang 5
Vì (
)
+(
)
=1 nên đặt cos =
, sin =
Thì PT (3) tương đương
(3) cos
(
)
=
𝑉ậy [
’ với k
VD4: (
)
√ (4) ( Đề ĐH Khối D 2007 )
Giải: Ta có: (
)
=
+ 2
+
= 1+
PT đã cho tương đương với
(4) 1+ √ √
√
(
)
(
)
[
Vậy [
’ với k
VD5: √ √ (5)
Giải: Nhận thấy (√ )
( √ )
nên PT đã cho có nghiệm.
Chia 2 vế của PT cho
2 2a b = √ (√ )
ta có:
(5)
√
√
= √
= (
)
(
) (
) [
’ với k
[
[
,với k
ọ N ó - Giúp N ọc Tập Tố ơ ”
p p Trang 6
Vậy[
,với k
BÀI TẬP TỰ LUYỆN (BTTL)
1). √ 2). 2 = + √
3). √ + = √ 4). (√ ) - (√ ) √ = 0
5). √ 6). - √ ( - )
7).
√ ( )
= 8). + =
2. PT Đẳng cấp bậc hai với sinx và cosx
Dạng PT: (2)
Cách giải :
Cách 1
* Xét cosx = 0
2
x k
sin2x = 1
(2) a = d (*)
+ Nếu (*) đúng thì
2
x k
là nghiệm của PT (2)
+ Nếu (*) không đúng thì
2
x k
không là nghiệm của PT (2)
* Xét cosx 0
Chia hai vế của PT (2) cho cos2x ta đưa PT (2) về dạng :
A.tan2x + B.tanx + C = 0 .Đến đây ta giải pt bậc hai theo tan .
Cách 2
Ta có : a.sin2x + b.sinx.cosx + c.cos2x = d (*)
Dùng các công thức : 2.sin .cos sin2x x x , 2 2
1 cos2 1 cos2
cos ,sin
2 2
x x
x x
Đưa PT (*) về dạng : .sin2 os2A x Bc x C
ọ N ó - Giúp N ọc Tập Tố ơ ”
p p Trang 7
Đến đây ta giải phương trình thuần nhất bậc nhất đối với sin và cos
Ví dụ mẫu: Giải các PT sau:
VD1: - √ (1)
Vì = 0 không phải là nghiệm nên chia cả 2 vế của PT (1) cho ta được:
(1) 1- 2√ ( )
Đặt t = tan ta có PT: √ [
√
Với t = 0 , , với k
Với t = √ √
, với k
VD2: (2)
Giải: Ta có (1) sin ( )
- sin + = 0 [ ] = 0
[
( )
( )
(2.1)
, với k
(2.2)
= 0 (
)
+2 = 0 (Vì ( ) )
Vậy PT có nghiệm là:
, với k
3. PT Đối xứng Gồm 2 dạng sau:
( ) + + = 0
( ) + + = 0
Bước 1.[
√ (
) √ (
)
( )
√ (
) √ (
)
( )
với t [ √ √ ]
ọ N ó - Giúp N ọc Tập Tố ơ ”
p p Trang 8
Biến đổi đưa về PT bậc 2 ẩn t.
Bước 2. Giải PT bậc 2 ẩn t. Từ đó suy ra nghiệm .
Chú ý: Điều kiện t [ √ √ ] để loại nghiệm
Ví dụ mẫu: Giải các PT sau:
VD1. ( ) - – 3 = 0 (1)
Giải: Đặt sin + cos = √ (
), với t [ √ √ ] (*)
= 1+2
( )
PT được viết thành:
(1) ( ) – 3 = 0 [
( ( ) )
( )
Với thì: √ (
) = 1 (
) =
√
=
[
[
, k
Vậy nghiệm của PT là: ,
, với k
VD2. -1 + + =
.sin2 (2)
(2) -1 + ( )( ) =
.sin2
Đặt sin + cos = √ (
), với t [ √ √ ]
Thì = 1+2
( ) . Vậy PT (2) trở thành:
(2) -1 + t.(
) =
( ) -2 + t.( ) = 3( )
- 3 – 3 – 1 = 0 ( )( ) = 0
[
√
√ ( )
ọ N ó - Giúp N ọc Tập Tố ơ ”
p p Trang 9
Với t = 1 thì √ (
) = 1 (
)
√
=
[
[
, k
Với t = √ thì √ (
) = √ (
)
√
√
=
[
[
, k , với
√
√
=
Vậy PT đã cho có 4 họ nghiệm:
,
,
, k , với
√
√
=
VD3. √ ( ) = + (3)
Điều kiện: {
Lúc đó PT (3) tương đương với:
(3) √ ( ) =
+
√ ( ) =
=
Đặt sin + cos = √ (
), với t [ √ √ ] và 1 ( do mẫu phải )
Thì = 1+2
( ) . Vậy PT (3) trở thành:
(3) √ =
√ - √ - 2 = 0 ( hiển nhiên t = 1 không là nghiệm )
( √ )(√ √ ) = 0 [
√
√ ( )
Với √ √ (
) √ (
)
, k
Vậy nghiệm của PT là :
, k
( ) ( )
Điều kiện: 0
Lúc đó PT (4) tương đương với :
ọ N ó - Giúp N ọc Tập Tố ơ ”
p p Trang 10
( ) + – 1 = 0
( )( ) - ( )( )
( )( )( )( )
- ( )( )( )( )
( )( )[ ( )( ) ( )( ) ] =0
[
( )( )
( )( ) ( )( )
[
( )
( )
[
( )
[
( )( ) ( )
[
( )
( )
( )
(4.1) , k
(4.2) √ (
)
, k
Xét PT (4.3):
Đặt sin + cos = √ (
), với t [ √ √ ] và 1
Thì = 1+2
( ) . Vậy PT (4.3) trở thành:
+
[
√ ( )
√ ( )
Vậy √ (
) √ (
)
√
√
ọ N ó - Giúp N ọc Tập Tố ơ ”
p p Trang 11
, k
Vậy PT đã cho có các họ nghiệm sau:
, với k
BÀI TẬP TỰ LUYỆN (BTTL)
1). sin + cos – 2sin .cos = 1 2). 3(cos + sin ) + 2sin2 + 3 = 0
3). + = sin2 +sin 4). 2 - sin = 2 cos +cos
5). 2cos2 + + ( )
B. CÁC DẠNG VÀ KỸ THUẬT GIẢI PTLG
I. DẠNG 1: SỬ DỤNG TRỰC TIẾP PTLG CƠ BẢN
Phương pháp: Dùng một số phép biến đổi đưa về phương trình lượng giác cơ bản để giải
Ví dụ mẫu: Giải các PT sau:
( )
( )( )
√ ( Đề ĐH Khối A 2009 )
Giải: Điều kiện: sin và sin
(*).
Với điều kiện trên PT đã cho tương đương: ( ) √ ( )( )
cos √ = sin2x + √ cos2x cos(
) = cos(
)
x =
hoặc x =
. Với k
Kết hợp điều kiện (*), ta được nghiệm là: x =
. Với k
√ ( Đề ĐH Khối D 2009 )
Giải: PT đã cho tương đương: √ ( )
√
sin(
) = sinx
hoặc
ọ N ó - Giúp N ọc Tập Tố ơ ”
p p Trang 12
Vậy: x =
hoặc x =
+ k2 .( Với k )
sinx +cosx.sin2x + √ = 2( ). ( Đề ĐH Khối B 2009 )
Giải: PT đã cho tương đương với: ( )sinx +cosx.sin2x +√
sinx.cos2x + cosxsin2x + √
sin3x + √ cos(
) = cos4x
4x = 3x-
hoặc 4x = -3x +
.
Vậy : x =
hoặc x =
.( Với k )
sinx(
) = 4 ( Đề ĐH Khối B 2006 )
Giải: Điều kiện: sin và cos , cos
(1).
Với điều kiện trên PT đã cho tương đương với:
+ sinx
= 4
[
(Với k ), thỏa điều kiện (1).
sinx + cosx = √
Giải PT √ cos(
) = √ cos9x
cos9x = cos(
) [
(
)
(
)
[
, Với k
2sin4x = sinx + √
ọ N ó - Giúp N ọc Tập Tố ơ ”
p p Trang 13
Giải PT sin4x =
+ √
cosx
sin4x = sin(
)
[
(
)
, k
[
, k
sin5x + 2 = 1 ( Đề ĐH Khối B 2013 )
Giải PT sin5x + cos2x = 0
cos( 5x +
)= cos2x
[
, k
[
, k
2(cosx + √ ) √ ( Đề ĐH Khối B 2012 )
Giải PT cho tương đương với: 2 √ √
2 √ √
cos2x + √ √
cos(2x -
) = cos(x+
)
2x -
= (x+
) + k2 , (k )
x =
+ k2 hoặc x = k
, (k )
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1).
√
+
(ĐS: x =
x =
)
ọ N ó - Giúp N ọc Tập Tố ơ ”
p p Trang 14
2).
√ (ĐS: x =
; x =
)
3).cos3x.
√
(ĐS: x =
)
4).
( √ )
(
)
= 1 (ĐS: x =
kết hợp đk )
5). cotx = tanx +
(ĐS: x =
kết hợp đk)
II. DẠNG 2: ĐƯA VỀ PT TÍCH (Nhóm thừa số chung)
Phương pháp: Dùng các phép biến đổi đế nhóm các thừa số chung lại với nhau tạo thành 1 PT
tích.
Chú ý : Giả sử PT tích số có dạng: ( ) ( ) ( ) ( )
Phương pháp giải: Một tích số bằng 0 thì phải có ít nhất một thừa số bằng 0. Do đó:
(*) [
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
Ta lần lươt giải các PT (1), (2), , (n). Hợp các tập nghiệm của “n” PT này là tập nghiệm
của PT (*) đã cho.
Ví dụ mẫu: Giải các PT sau:
sinx + sin2x = sin3x
Giải: + Nhận xét: các hàm số sin2x và sin3x đều có chứa thừa số sinx. Do đó ta có thể biến đổi
PT trên thành một PT tích số
PT sinx +2sinx.cox –(3sinx - 4 ) = 0
sinx( )
[
( )
( )
- Giải ( ) a có : sinx = 0 k
- Giải (2): Ta thay để có 1 PT bậc hai theo
cosx: 2( ) + cosx – 1 = 0
2 - cosx – 1 = 0
ọ N ó - Giúp N ọc Tập Tố ơ ”
p p Trang 15
[
[
, k
Vậy nghiệm của PT là:
[
, k
Nhưng tập nghiệm thứ hai ( ) chứa trong tập nghiệm thứ nhất ( ). Nên PT
chỉ có 3 họ nghiệm:
[
, k
1 + tanx = 2√ (
) ( Đề ĐH Khối A 2013 )
Giải: Điều kiện: cosx . Phương trình đã cho tương đương với: 1 +
= 2(sinx + cosx)
cosx + sinx = 2cosx(sinx+cosx) = 0
(sinx + cosx)(2cosx - 1) = 0
[
( )
( )
PT (1) √ (
) = 0
= k x = -
, với k
PT (2)
x =
, với k
Đối chiếu điều kiện a được nghiệm: x = -
, hoặc x =
, với k
√ = 2cosx – 1. ( Đề ĐH Khối A
2012 )
Giải: PT đã cho tương đương với: 2√
2√ cosx(√ ) = 0
[√
( )
( )
ọ N ó - Giúp N ọc Tập Tố ơ ”
p p Trang 16
PT (1) (
)
[
, (k )
PT (2) x =
, (k )
Vậy nghiệm của PT đã cho là: x =
và
, với k
– sinx = 0. ( Đề ĐH Khối D 2013 )
Giải: PT đã cho tương đương với: – sinx = 0 2cos2x.sinx + cos2x = 0
cos2x.(2sinx + 1) = 0
[
( )
( )
PT (1)
x =
, (k )
PT (2)
[
, (k )
Vậy nghiệm của PT đã cho là: x =
,
, và
, (k )
+ sinx + cosx ( Đề ĐH Khối B 2011 )
Giải: PT đã cho tương đương với:
2 + sinx + cosx
(2 ) + sinx + cosx
sinx(2 ) + sinx + cosx
sinx(cos2x ) + sinx + cosx
sinxcos2x + sinx + sinx + cosx
sinxcos2x cosx= 0
cos2x(sinx ) ( 1) = 0
(sinx – 1).(cos2x + cosx) = 0
[
( )
( )
ọ N ó - Giúp N ọc Tập Tố ơ ”
p p Trang 17
( )
, (k )
( ) cos2x = cos( ) x =
( )
Vậy PT đã cho có nghiệm là:
x =
( )
√ . ( Đề ĐH Khối D 2012 )
Giải: PT đã cho tương đương với: √ .
2cos2x.sinx + 2cos2x.cosx √ .
cos2x.(2sinx + 2cosx - √ ) = 0
[
( )
√ ( )
PT (1) 2x =
+ k x =
( )
PT (2) sinx + cosx =
√
cos(x -
)
[
( )
Vậy các nghiệm của PT là: x =
,
( )
√ ( Đề ĐH Khối A 2011 )
Giải: Điều kiện: sinx 0 (*).
Nhận xét:
.
Do đó PT đã cho tương đương với: (1 + sin2x + cos2x ). = 2√
1 sin2x + cos2x = 2√ cosx ( do sinx ) 2sinx.cosx + 2 = 2√ cosx
2cosx( sinx + cosx - √ ) = 0
[
( )
√ ( )
PT (1)
thỏa mãn điều kiện (*).
ọ N ó - Giúp N ọc Tập Tố ơ ”
p p Trang 18
PT (2) √ (
) = √ (
)
+ , thỏa mãn điều kiện (*).
Vậy nghiệm của PT đã cho là:
+ ( )
sin2x 2cos x sin x 1
0
tan x 3
. ( Đề ĐH Khối D 2011 )
Giải: Điều kiện: , √ (*)
Với điều kiện trên PT đã cho tương đương với: sin2x + 2cosx – sinx -1 = 0
2sinx.cosx +2cosx – sinx -1 = 0 2cosx(sinx + 1) – (sinx + 1) = 0
(sinx + 1)( 2cosx – 1) = 0
[
( )
( )
PT (1)
+ ( )
PT (2)
+ ( )
Đối chiếu điều kiện (*), vậy nghiệm của PT đã cho là:
+ ( )
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1). 2sin2x – cos2x = 7sinx + 2cosx – 4 (ĐS: x =
x =
)
2).
( )
(ĐS: x =
x =
)
3). 3 – tanx(tanx + 2sinx) + 6cosx = 0 (ĐS:
+ )
4). 2sinx(1+cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx (ĐS:
+
+ )
5). (
)
(ĐS: +
+ )
III. DẠNG 2: ĐƯA VỀ PT BẬC 2, 3 HOẶC TRÙNG PHƯƠNG
Phương pháp: Dùng các phép biến đổi để đưa về PT bậc 2, 3 hoặc trùng phương theo ẩn là 1
hàm số lượng giác.
ọ N ó - Giúp N ọc Tập Tố ơ ”
p p Trang 19
Ví dụ mẫu: Giải các PT sau:
2 + = 2
Giải: Điều kiện cos x
Cách 1: PT đã cho tương đương với:
2 +
= 2 2 . +
2(1 - ) + 1 - = + 1 -
+ – 1 = 0 [
( ạ )
– 1 = 0
cos2x = 0 2x =
x =
( )
Chú ý : Đối với PT
ta không nên giải trực tiếp theo PT bậc hai vì khi giải có
tới 4 nghiệm khi so sánh với điều kiện sẽ phức tạp, ( dĩ nhiên cũng có thể giải như vậy sau đó so
sánh với điều kiện )
Cách 1: PT đã cho tương đương với:
+ = 2 + + = 2 +
+ – 2 = 0 [
( )
tanx = (
)
, ( )
5sinx – 2 = 3 (1- sinx) ( Đề ĐH Khối B 2004 )
Giải: Điều kiện cos x x
, ( ) (*).
Với điều kiện trên PT tương đương với:
5sinx – 2 =
( ) 2 + 3sinx – 2 = 0.
[
( )
ọ N ó - Giúp N ọc Tập Tố ơ ”
p p Trang 20
Với
[
, ( ) ( thỏa mãn (*) ).
( )
√
( Đề ĐH Khối A 2006 )
Giải: Điều kiện sinx √
(*).
Với điều kiện trên PT tương đương với:
( ) 2(
)
3 + = 0 [
( )
, ( )
Đối chiếu điều kiện (*), PT đã cho có nghiệm là:
, ( )
( Đề ĐH Khối A 2005 )
Giải: PT đã cho tương đương với:
(
) ( )
( Thêm bớt một lượng )
( ) ( )= 0
cos8x + cos4x – 2 = 0 + cos4x – 3 = 0 ( hạ bậc cos8x )
[
(loại do -1 < cos4x < 1)
Vậy cos4x = 1 x = k
, ( )
( Đề ĐH Khối B 2003 )
Giải: Điều kiện {
(*).
Với điều kiện trên PT tương đương với:
ọ N ó - Giúp N ọc Tập Tố ơ ”
p p Trang 21
2cos2x + = 2 2cos2x + 4( ) = 2
( ) - cos2x – 1 = 0
[
[
, ( )
Kết hợp với điều kiện (*) ta được nghiệm của PT là:
, ( )
(
) ( Trích Đề ĐH Khối A 2002 )
Giải: Điều kiện
(*).
Ta có: (
) (
( )
)
(
) (
)
(
) = (
)
= (
( )
) = 5.cosx
Vậy PT đã cho tương đương với:
5.cosx = – 5cosx + 2 = 0
[
( )
x =
, ( )
Kết hợp với điều kiện (*) ta được nghiệm của PT là:
, ( )
(
) (
)
( Đề ĐH Khối D 2005 )
Giải: Ta có:
= ( ) + ( )
= ( ) + 2 ( ) 2
= ( ) 2
2
ọ N ó - Giúp N ọc Tập Tố ơ ”
p p Trang 22
(
) (
) =
[ (
) ]
=
[ (
) ]
=
[ ]
Vậy PT đã cho tương đương với:
2 +
[ ]
– cos4x + sin2x
( )
[
( )
2x =
, ( )
Vậy nghiệm của PT là : x =
, ( ).
+ 3 = 0
Giải: PT đã cho tương đương với:
3 = 0 2 – cos2x ( ) = 0
2 + 3
[
√
[
, ( ).
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1). + cos2x – cosx – 1 = 0 (ĐH D- 2006) (ĐS: x = ; x =
+k2 )
2). – 4cos2x + 3cosx – 4 = 0 , với x [ ] (ĐH D- 2002)
(ĐS: x =
; x =
; x =
; x =
)
3). 4cos
( ) (ĐS: x =
; x =
+ k )
4). 2cos2x
(ĐS: x = ; x =
+ k2 )
5). 48
( )
ọ N ó - Giúp N ọc Tập Tố ơ ”
p p Trang 23
( ĐS: x =
; x =
)
6).
(ĐS: x =
+ k )
7). (sinx+3).
( )
(ĐS: x =
+ k )
8). cos2x + cosx(2 ) = 2 (ĐS: x = ; x =
+ k2 )
9). 3cos4x 8 + 2 + 3 = 0 (ĐS: x = ; x =
+ k2 )
10). (ĐS: x =
; x =
+ k )
Chú ý : Trong những năm gần đây đề thi phần lượng giác chủ yếu rơi vào dạng biến đổi
để đưa về PT tích, dạng toán này đòi hỏi người giải phải nắm vững những kiến thức và biến đổi
linh hoạt thì mới giải được, nội dung trên đây là những dạng toán có xác suất ra cao trong những
năm gần đây. Mong rằng tài liệu này sẽ giúp ích các bạn trong những kỳ thi sắp tới. Mọi ý kiến
đóng góp xin gửi về địa chỉ nhóm học tập trên Facebook Theo địa chỉ:
https://www.facebook.com/groups/cunghocnhom
HẾT
File đính kèm:
LUONG GIAC HAY.pdf
