Chuyên đề lượng giác và ứng dụng

PHẦN III: LƯỢNG GIÁC ỨNG DỤNG GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ
------------------------------
CHƯƠNG 1: MỐI QUAN HỆ GIỮA ĐẠI SỐ VÀ LƯỢNG GIÁC
 Lượng giác và đại số là hai bộ môn của toán học, nhìn bề ngoài thì có vẻ như là không liên quan đến nhau nhưng thực sự là chúng có mối liên hệ mật thiết với nhau. Một số bài toán lượng giác nếu giải theo những biến đổi lượng giác thông thường để đưa về phương trình cơ bản thì rất mất thời gian và có thể là sẽ giải không được. Trong khi đó nếu giải bằng phương pháp đại số thì nhanh hơn và trong đại số cũng vậy,cũng nhiều lúc cần phải nhờ đến lượng giác. Ta sẽ xét một số bài toán sau để nhìn thấy được mối liên hệ giữa lượng giác và đại số.
--------------------------------------------
BÀI 1: PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1:	Giải phương trình
a) .
b) .
Lời giải
Điều kiện xác định: .
Đặt với 
Ta có phương trình:
 (1)
Giải (1), kết hợp với điều kiện ta được
Đặtvới .
Ta có phương trình:
 (2)
Vì nên phương trình (2) có nghiệm là
 tức là 
Nhận xét: với những bài toán ta thấy điều kiện để phương trình có nghĩa là thì ta nên đặt hoặc để được phương trình đơn giản hơn.
Bài 2:	Giải phương trình
Lời giải
Điểu kiện phương trình viết thành
Phương trình (a) có họ nghiệm thỏa 
Để giải (b) đặt nên(b) viết thành
Suy ra 
Bài 3:	Tìm những nghiệm của phương trình
 nằm trong khoảng
Lời giải
Điều kiện 
Đặt với 
Ta có phương trình
 (1)
Giải phương trình (1) kết hợp với điều kiện ta được các nghiệm 
Bài 4:	Giải phương trình
 với 
Lời giải
Đặt 
Phương trình đã cho trở thành
(do nên )
Đặt 
Ta có phương trình bậc hai
Vì nên: 
Và 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là: 
Bài 5:	Giải phương trình
Lời giải
Phương trình đã cho tương đương với:
Chia hai vế phương trình cho ta được 
Đặt thì trở thành:
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: 
Nhận xét:biến đổi biểu thức đại số thành dạng công thức lượng giác cộng với diều kiện bài toán để ta có những cách đặt cho thích hợp.
Bài 6:	Giải phương trình
Lời giải
Phương trình có thể viết lại:
 (1)
Điều kiện: . Đặt , điều kiện 
Phương trình (1) trở thành
Đặt . Điều kiện: 
Ta có hệ 
Trừ theo từng vế ta có: (2)
Xét hàm phương trình (2) có dạng (3)
Rõ ràng đồng biến trên , suy ra (3) 
Thay vào hệ phương trình cuối ta có:
 (4)
Xét hàm . Tập xác định .
.
Phương trình (4) không có quá hai nghiệm
Lại thấy .
Suy ra phương trình (4) có nghiệm là 
 	 (loại do ) 
Vậy 
Bài 7:	Giải phương trình 
Lời giải
Điều kiện: 
Đặt (1) 
Phương trình đầu trở thành . (2)
Đặt tiếp (3), điều kiện 
Suy ra: 
Phương trình (2) trở thành 
 (4)
Do nên (12) 
Với thay vào (3) ta có:
Thay vào (1) ta có .
Với thay vào (1) ta có:
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là 
Bài 8:	Giải bất phương trình
 (1)
Lời giải
Từ vế trái của (1) ta thấy x phài thỏa mãn cácđiều kiện và . Kết hợp hai điều kiện lại sẽ là , suy ra .
Đặt với , bất phương trình (1) trở thành 
Lại đặt ta được: 
 (2)
Vì nên từ (2) ta có
 (3). 
Mặt khác từ điều kiện 
Ta có và (4)
Từ (3) và (4) suy ra: (5)
Đặt , , 
Bất phương trình (5) tương đương với:
Do tính nghịch biến của hàm cosin trên 
Nên ta có:
Trong đó:
Từ suy ra 
Từ suy ra 
Tóm lại, nghiệm của phương trình (1) là: 
Bài 9:	Với những giá trị nào của tham số a bất phương trình sau đây có nghiệm
 (1)
Lời giải
Điều kiện: , suy ra 
Khi ta có: 
Khi , từ suy ra 
Đặt với . Khi đó
(1) 
 (2)
 Bởi vì: ,suy ra 
Do đó: .
 Khi đó bất phương trình (2) có nghiệm nếu , tức là 
Tổng hợp các kết quả ta thấy điều kiện để bất phương trình (1) có nghiệm là:
Bài 10:	Giải và biện luận phương trình theo tham số m
 (1)
Lời giả
Điều kiện (2)
1) Khi 
2) Khi 
Đặt (3)
Khi đó:
Lúc đó (3) cho nghiệm 
 hoặc 
Kết luận:
Nếu thì (1) có nghiệm là hoặc 
Nếu thì (1) vô nghiệm.
Bài 11:	Giải phương trình
Lời giải
Đặt 
Ta có:
Vậy phương trình cần giải tương đương với
Đặt ta được phương trình bbạc hai
Vì do đó uv có thể nhận một trong hai giá trị trên.
Với ta được
Đây là phương trình trùng phương đã biết cách giải. Tương tự cho trường hợp còn lại.
Nhận xét: đối những phương trình bậc cao ta nên dùng công thức hạ bậc để được những phương trình cơ bản đã biết cách giải.
Bài 12: 	Giải và biện luận phương trình sau
Lời giải
Với mọi giá trị của m thì không thỏa mãn phương trình. Chia hai vế của phương trình cho ta được:
Đặt 
Khi đó ta có hệ
a) với thì vô nghiệm nên phương trình đã cho vô nghiệm.
b) với thì 
i) Với phương trình vô nghiệm
ii) Với thì 
phương trình có nghiệm: trong đó:
Bài 13:	Giải phương trình
 (1)
 Lời giải
Điều kiện : 
Với điều kiện trên thì :
(1) 
Đặt với thì
(2) 
 (vì )
BÀI 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1:	là nghiệm của hệ phương trình:
	Tìm tất cả các giá trị mà tổng có thể nhận được.
Lời giải
Giả sử là một nghiệm đã cho. Cộng các vế của các phương trình của hệ, ta được:
Vì nên trong 3 số phải có ít nhất một số không âm, ta có thể coi rằng . Từ phương trình đầu của hệ
Suy ra . Bằng phép hoán vị vòng quanh, ta thấy
Do vậy, ta có thể đặt với .
Từ phương trìng thứ ba, suy ra
Và từ phương trình thứ hai
Cuối cùng từ phương trình đầu
Như vậy là nghiệm của phương trình
Suy ra
1) 
Nhớ rằng nên chỉ có thể lấy 4 giá trị 0,1,2,3
Với , ta có, vậy
Với , ta được cùng một giá trị 
2) 
Do , nên k chỉ có thể lấy một trong 5 giá trị 0,1,2,3,4
Với , ta được , vậy 
Với , ta được cùng một giá trị 
Với , ta được
Kết luận tổng s nhận một trong các giá trị sau đây
 (xảy ra khi)
 (xảy ra khi )
Bài 2:Giải hệ phương trình sau:
Lời giải
Điều kiện: 
Đặt: ; với 
Hệ phương trình đã cho trở thành:
Đặt ,ta có 
Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:
 và (loại)
Vậy: 
 (do )
Từ: suy ra 
Khi đó: 
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất: 
Bài 3:	Giải hệ phương trình
Lời giải
Hệ phương trình đã cho có thể viết thành:
Từ đó dễ thấy rằng .do đó ta có
Đặt ta có
Do dó ta có phương trình
cho ta được các nghiệm của hệ phương trình là
Bài 4:	Giải hệ phương trình
Lời giải
Nhận xét rằng: suy ra
Tương tự ta có 
Đặt , từ điều kiện trên thì 
Hệ phương trình đã cho có thể viết:
Từ phương trình (1) của hệ phương trình cuối cùng trên đây ta có:
với hay 
Thay vào hệ phương trình đầu ta được
Hệ phương trình cuối vừa mới nhận được chứng tỏ x và y có vai trò như nhau và là nghiệm cua phương trình (3) nếu phương trình này có nghiệm. Do đièu kiên ban đầu ,để xét số nghiệm của phương trình (3) ta xét hàm số trên đoạn .
 Bởi vì với thì
Tức là đồng biến trên đoạn . Ta lại nhận thấy
 ; .
Vậy chắc chắn có giá trị với làm triệt tiêu .
Giá trị chính là nghiệm của phương trình (3). Thử ta thấy 
Với 
Thay vào phương trình (2) ta có:
Kết hợp với điều kiện ta được:
 và 
Với và 
Với và 
Tóm lại hệ phương trình đã cho có ba nghiệm
 ; ; với 
Bài 5:
Giải và biện luận hệ phương trình
 (1)
Lời giải
Điều kiện . Từ phương trình thứ nhất ta thấy nếu thì hệ vô nghiệm. Nếu ta có: 
Nếu thì 
Đặt , với . 
Khi đó từ phương trình thứ hai của hệ đã cho ta được:
 (2) 
Với thì , do đó phải có điều kiện 
.
 Từ (2) ta có:
Tóm lại: Nếu hoặc thì hệ (1) vô nghiệm.
Nếu thì hệ (1) có nghiệm duy nhất .
Nếu thì hệ (1) có hai nghiệm:
;
Bài 6:
Giải hệ phương trình
Lời giải 
Đặt nên ta có thể đặt 
 với 
Ta cũng được : nên tương tự với
Với 
 (1)
 (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra nghiệm của hệ là
 , 
Với 
 (3) 
 (4)
Từ (3) và (4) ta suyra nghiệm của hệ là: 
, 
Nhận xét: phương trình trên giải bằng cánh đặt 
 để suy ra dạng lượng giác và 
Bài 7:
Giải và biện luận theo m hệ phương trình
Lời giải
Điều kiện 
Với ta thấy hệ phương trình có nghiệm 
Với ta có
- Nếu thì 
- Nếu thì 
Kết quả trên chứng tỏ y và m luôn cùng dấu
Đặt với 
Nên ta có thể đặt 
, 
y và m cùng dấu nên và m cùng dấu
 nên 
Do đó hệ phương trình trở thành:
Ta nhận 
(điều kiện được thỏa)
Từ (2) do đó:
BÀI 3: MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC
Bài 1:	(Tạp chí Toán học và tuổi trẻ)
Tìm giá trị lớn nhất của
 	 và thỏa mãn 
Lời giải:
Trước hết ta có nhận xét
Đặt ; ; 
Chú ý: 
Suy ra: 
Do đó:	 và 
()
Bởi vậy: 
Mà ta lại có: 
Vậy 
Đẳng thức xảy ra lhi và chỉ khi
 tức là
Bài 2:	Cho 13 số thực khác nhau từng đôi một. chứng minh răng tồn tại và , sao cho 
Lời giải
Đặt .Không mất tổng quát, giả sử 
Khi đó .Đoạn được chia thành 13 đoạn bởi các điểm .Vậy tồn tại đoạn có độ dài
Nếu thì
 (1)
Nếu chỉ có thì
	 	 (2) 
Mặt khác (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra đpcm.
Bài 3:
Cho chứng minh rằng:
Lời giải:
Xét hai khả năng sau:
Nếu ít nhất một trong ba số . 
 Giải sử , khi đó từ giả thiết suy ra 
Lúc này 
Vậy đẳng thức đúng trong trường hợp này
Nếu . Khi ấy đưa đẳng thức cần chứng minh về dạng tương đương sau
 	 (1)
Đặt . Từ giả thiết suy ra
Suy ra 
 (2)
Từ (2) suy ra:
 (3)
Chú ý là ;
 :
Và 
Từ (3) suy ra (1) đúng đpcm.
Bài 4 :	Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
Lời giải
Viết hàm số đã cho dưới dạng
Khi thì 
Khi , viết hàm số dưới dạng
 , .
Xác định y để phương trình 
 có nghiệm.
 có nghiệm.
Vậy max khi 
min khi 
Bài 5:
Chứng minh rằng với mọi cặp số thực x,y ta đều có:
Lời giải
Đặt với thì biểu thức 
Suy ra . Tức 
Biểu thức đạt giá trị lớn nhất bằng khi
Hoặc 	
Biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất băng khi
Hoặc 
Bài 6:	Cho phương trình bậc ba
 (1)
Với . Chứng minh rằng phương trình (1) có 3 nghiệm thì
 	 (2)
Lời giải
Giả cử (1) có ba nghiệm phân biệt thì ; suy ra tồn tại sao cho
 và hai có dạng (2)
 (3)
Gọi vế phải của (3) là T . Khi đó:
Hay 
Đặt thì (do )
Xét hàm số: 
Ta thấy trong đoạn. Từ đó, và ta có ngay đpcm.