Chuyên đề luyện thi đại học môn toán - Bài 12: Các phương pháp tính tích phân

 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn 
DẠNG 2. PP ĐẶT ẨN PHỤ 

 Trong biểu thức của f(x)dx có chứa căn thì đặt căn đó bằng t. 

 Trong biểu thức của f(x)dx có chứa biểu thức lũy thừa bậc cao thì đặt biểu thức đó bằng t. 

 Trong biểu thức của f(x)dx có chứa hàm mũ với biểu thức trên mũ là một hàm số thì đặt biểu thức trên mũ bằng t. 
Ví dụ 1: Tính các tích phân sau: 
1. 
7 3
1 3 2
0 1
x dxI
x
=
+
∫ 2.
5
20
2
4
( 4)I x x dx= −∫ 3. 
1
15 8
3
0
1 3I x x dx= +∫ 
4. 4
1
1 3ln lne x xI dx
x
+
= ∫ 5. 
3 2
5
1
ln
ln 1
e
xI dx
x x
=
+∫
 6. 
2 2
5 2
2
1
1
xI dx
x x
−
−
+
=
+
∫ 
Hướng dẫn giải: 
1. Đặt 
2
3 2 2 3
2 3
2 3
1 1
1
xdx t dt
x t x t
x t
 =
+ = ⇔ + = ⇒ 
= −
Đổi cận : 
27 7 2 23 2 3 2 5 2
4
1 3 32 2
0 0 1 1 1
0 1
. 3 ( 1) 3 3 3 141( )
2 2 10 4 207 2 1 1
x t x dx x xdx t t t tI dt t t dt
tx t x x
= ⇒ =  −
→ = = = = − = − =  
= ⇒ = + +  
∫ ∫ ∫ ∫ 
2. Đặt 4
4
dx dt
x t
x t
=
− = ⇒ 
= +
Đổi cận : 
15 1 1 1 22 21
20 20 21 20
2
4 0 0 0 0
4 0 4 109( 4) ( 4) 4
5 1 22 21 462
x t t tI x x dx t t dt t dt t dt
x t
= ⇒ =  
→ = − = + = + = + =  
= ⇒ =  
∫ ∫ ∫ ∫ 
3. Đặt 
7 7
8 8 2
2
8
24 2
121 3 1 3
1
3
tdt
x dx tdt x dx
x t x t
t
x

= ⇒ =
+ = ⇔ + = ⇒ 
−
=

Đổi cận : 
0 1
1 2
x t
x t
= ⇒ =

= ⇒ =
21 2 2 22 5 3
15 8 8 8 7 4 2
3
0 1 1 1 1
1 ( 1) 1 1 291 3 1 3 . . . ( ) .
12 3 36 36 5 3 270
t t tI x x dx x x x dx t tdt t t dt  −→ = + = + = = − = − = 
 
∫ ∫ ∫ ∫ 
4. 4
1 1
1 3ln ln 1 3ln ln (ln )
e e
x xI dx x xd x
x
+
= = +∫ ∫ 
Đặt 2 2
3 (ln ) 2
1 3ln 1 3ln 1ln
3
d x tdt
x t x t t
x
=

+ = ⇔ + = ⇒ 
−
=

Đổi cận : 
22 22 5 3
4 2
4
1 1 1 1
1 1 1 2 2 2 2 1161 3ln ln (ln ) . . ( ) .
3 2 3 3 9 45 27 135
ex t t t tI x xd x t tdt t t dt
x t
= ⇒ =   −
→ = + = = − = − =  
= ⇒ =  
∫ ∫ ∫ 
5. 
3 32 2
5
1 1
ln ln (ln )
ln 1 ln 1
e e
x xI dx d x
x x x
= =
+ +∫ ∫
Đặt 2 2
(ln ) 2
1 ln 1 ln
ln 1
d x tdt
x t x t
x t
=
+ = ⇔ + = ⇒ 
= −
Tài liệu bài giảng: 
12. CÁC PP TÍNH TÍCH PHÂN – P2 
Thầy Đặng Việt Hùng 
 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn 
Đổi cận : 
3 22 22 2 2 5 3
4 2
53
1 1 1 1
1 1 ln ( 1) 2 2 76(ln ) 2 ( 2 1) 2 .
5 3 152 ln 1
ex t x t t t tI d x dt t t dt t
tx e t x
= ⇒ =  −
→ = = = − + = − + =  
= ⇒ = +  
∫ ∫ ∫ 
6. Đặt 2 2 2 2 21 1 1
xdx tdt
x t x t
x t
=
+ = ⇔ + = ⇒ 
= −
Đổi cận : 
2 3 3 32 2 2
6 2 2 22
2 5 5 5
2 5 1 1 1 11
1 1 12 3 1
x t x t tI dx dt dt dt
t t tx t x x
−
−
 = − ⇒ = + − +  
→ = = = = +  
− − − = − ⇒ = +
∫ ∫ ∫ ∫ 
53 3 3
5 5 5 5
1 1 1 1 1 3 1 5 1ln 3 5 ln ln
2 1 2 1 2 1 2 3 1 5 1
dt dt tdt t
t t t
  − − −
= + − = + = − + −    
− + + + +   
∫ ∫ ∫ 
Ví dụ 2: Tính các tích phân sau: 
1. ( ) ( )22 2 321
0 0 0
2 2 82 2 4 2 2 1
3 32 2
xdxI x dx x x
x x
   
= = + − = + − + = −  
+ +   
∫ ∫ 
2. 
3 3 3 3 3
2
1 1 1 1 1
( 7) ( 1) ( 1)1 6 1 1 ( 1) 6
7 7 7 7
x x dx x dxx x dx x dxI x d x
x x x x
− − −− −
= = + = − − −
− − − −
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
 ( )
33
2
2 2
1
2 4 21 6 6
3 3
x I I′ ′= − − = − với 
3
2
1
( 1)
7
x dx
I
x
−
′ =
−
∫ 
Để tính 
3
2
1
( 1)
7
x dx
I
x
−
′ =
−
∫ ta đặt 
21 1x t x t− = ⇒ = + 
( )
2
2 22
2 2 2
0 0 0
2 6 62 1 2 3ln 2 2 3ln(2 3)
6 6 6
t dt tI dt t
t t t
 
− 
′⇒ = = + = + = + −    
− − +   
∫ ∫ 
Do đó: 2
32 248ln(2 3)
3
I = − − 
3. 
6
3
2
1
2 1 4 1
I dx
x x
=
+ + +∫
Đổi biến 24 1 4 1 2t x t x tdt dx= + ⇒ = + ⇒ = 
( )
55 5 5
3 2 2
3 3 3 3
( 1) ( 1) 1 1 3ln 1 ln
2 1 ( 1) ( 1) 1 12 2
 + +  
⇒ = = − = + + = − +  + + + + +  
∫ ∫ ∫
tdt d t d tI t
t t t t t
4. 
10
4 5
2 2 1
2
ln
1
=
− −
= +∫
dxI
x x
 (đổi biến 1t x= − ) 
5. 
1
8 3
5
0
1= −∫I x x 
Đổi biến 3 2 3 21 1 2 3t x t x tdt x dx= − ⇒ = − ⇒ = − 
( ) ( )
10 1 6 5 322 2 6 4 2
5
1 0 0
2 2 2 21 2 ....
3 3 3 7 5 3
 
⇒ = − − = − + = − + = 
 
∫ ∫
t t tI t t dt t t t dt 
6. 
1
6
0
3 2
.
2 1 1
+
=
+ +∫
xI dx
x
(đổi biến 2 1 1t x= + + ) 
7. ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
22 2 22 1 1 3
2 2 2
7 3
1 1 12
2 4 2 31 2 2 3 2
2 2 2
− −
+ − + +
−  
= = = + − + + + + +  +
∫ ∫ ∫
x xxI dx dx x x x dx
x x x
 ( ) ( ) ( )
23 1 1
2 2 2
1
2 52 2 2 6 2 2 3
3 3
x x x
− 
= + − + − + = −  
 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn 
8. ( )2
32 2 3 7 5 31 25 2 2 2
8
0 1 1
21 1 ...
7 5 3
= +  
= + = − = − + = 
 
∫ ∫
t x t t tI x x dx t t dt 
9. ( ) ( )1 1 129
0 0 0
11 1
1 1 1
 
= = = − + − 
− − − 
∫ ∫ ∫
x x
x x x
x x x
e eI dx d e e d e
e e e
 ( ) ( ) ( )
13 1
2 2
0
2 21 2 1 1 2
3 3
x xe e e e
 
= − + − = − + 
 
10. 
( )
ln 3
10 3
0 1
=
+
∫
x
x
eI dx
e
. Đặt 21 1 2x x xt e t e tdt e dx= + ⇒ = + ⇒ = 
22 2
10 3 2
22 2
2 2 2 2 1⇒ = = = − = −∫ ∫
tdt dtI
t t t
11. 11 1
3 2ln
1 2ln
−
=
+∫
e xI dx
x x
Đặt 2
12ln 1 2ln 1t x t x tdt dx
x
= + ⇒ = + ⇒ = 
( )
22 22 3
2
11
1 1 1
4 10 2 114 4
3 3 3
 −
⇒ = = − = − = − 
 
∫ ∫
t tI tdt t dt t
t
12. 
4
12
0
2 1
1 2 1
+
=
+ +∫
xI dx
x
Đặt ( ) ( )21 2 1 1 2 1 1t x t x dx t dt= + + ⇒ − = + ⇒ = − 
( )
44 4 2
12
2 2 2
1 11 2 2 ln 2 ln 2
2
 −  
⇒ = − = − + = − + = +  
   
∫ ∫
t tI t dt t dt t t
t t
13. ( ) ( )1 1 13 22 2 213 2 2
0 0 0
1 1 4
2 24 4
 
= − = + − 
− − 
∫ ∫ ∫
x xx xI xe dx xd e d x
x x
41 4 32 2
2 2
30 3
2 2
1 1 4 1 1 1 28
2 2 2 2 2 2 2 3
1 1 32 616 3 3 3
4 2 3 4 12
x
x e t exe dt t t
t
e e
    −
= − − = + − −    
     
+  
= − − = + − 
 
∫
Ví dụ 3: Tính các tích phân sau: 
a) 
2
1
2x x dx+∫ b) 
3
0
3 4
4
x dx
x
−
−
∫ c) 
3
3
4
3 4
4
x dx
x
−
−
−
∫ 
Ví dụ 4: Tính các tích phân sau: 
a) 
3 2
0
1
1
x dx
x
+
+∫
 b) 
7 3
3 2
0 1
x dx
x+
∫ c) 
3
3 2
0
1x x dx+∫ 
Ví dụ 5: Tính các tích phân sau: 
a) 
7
3
3
0
1
3 1
+
+∫
x dx
x
 b) 
2
3
0
8 4xdx−∫ c) 
1
2
0
1x x dx+∫ 
Ví dụ 6: Tính các tích phân sau: 
 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn 
a) 
1
0
1
3 2
dx
x−
∫ b) 
5
1
2
2 1−∫ x x dx c) 
2
2
0
4x x dx−∫ 
Ví dụ 7: Tính các tích phân sau: 
a) 
2
32 3
0
8x x dx−∫ b) 
2 2
3 3
0 1
x dx
x+
∫ c) 
4
2
0
9x x dx+∫
Ví dụ 8: Tính các tích phân sau: 
a) 
4
0
1
1
dx
x+∫
 b) 
1
0
1
1
dx
x+∫
 c) ( )
23
0
1
1
x
dx
x
−
+∫
Ví dụ 9: Tính các tích phân sau: 
a) ∫
+
32
5
2 4xx
dx
 b) ∫
−
2
3
2
2 1xx
dx
 c) ∫
−
+++
2
1
2
1
2 5124)32( xxx
dx
Ví dụ 10: Tính các tích phân sau: 
a) ∫
+
2
1
3 1xx
dx
 b) 
2
2
1
2013+∫ x dx 6. 
2
2
1 2013+
∫
dx
x
Ví dụ 11: Tính các tích phân sau: 
a) ∫ +
1
0
22 1 dxxx b) ∫ −
1
0
32 )1( dxx c) ∫
+
+3
1
22
2
1
1 dx
xx
x
Ví dụ 12: Tính các tích phân sau: 
a) ∫
−
+2
2
0 1
1 dx
x
x
 b) ∫
+
1
0
32 )1( x
dx
 c) ∫
−
2
2
0
32 )1( x
dx
Ví dụ 13: Tính các tích phân sau: 
a) ∫
−
+++
1
1
2 11 xx
dx
 b) ∫
+
3ln
0 1xe
dx
 c) ∫
+e dx
x
xx
1
lnln31
Ví dụ 14: Tính các tích phân sau: 
a) ∫
+
+3
0
2
35
1
dx
x
xx
 b) ∫
−
++
0
1
32 )1( dxxex x c) 
3 2
2
0
cos2 2 3 tan
cos
cos
pi
+
∫
x
x
x dx
x
Ví dụ 15: Tính các tích phân sau: 
a) ∫
+
2ln
0
3)1( x
x
e
dxe
 b) ∫
+
2ln
0
2
1x
x
e
dxe
 c) ∫ +
+2
0 cos31
sin2sin
pi
dx
x
xx