Chuyên đề luyện thi đại học môn toán - Bài 4: Nguyên hàm của hàm hữu tỷ

 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 1 
Xét nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ ( )( )
P xI dxQ x= ∫ 
Nguyên tắc giải: 
Khi bậc của tử số P(x) lớn hơn Q(x) thì ta phải chia đa thức để quy về nguyên hàm có bậc của tử số nhỏ hơn mẫu số. 
II. MẪU SỐ LÀ TAM THỨC BẬC HAI (tiếp theo) 
Khi đó Q(x) = ax2 + bx + c. Ta có ba khả năng xảy ra với Q(x). 
TH1: Q(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 
TH2: Q(x) = 0 có nghiệm kép 
Khi đó Q(x) được biểu diễn dưới dạng ( ) ( )
2
2
( )( ) = + → =
+
∫
P xQ x ax b I dx
ax b

 Nếu P(x) là hằng số thì ta sử dụng các biến đổi sau 
( )
2
1
1

= +


= − +
∫
dx d ax b
a
du C
uu

 Nếu ( )
( )
( ) ( )2 2 2( )
+ + −
+  
= + → = = = + − +  + + +
∫ ∫ ∫ ∫
m bm
ax b n
mx n m dx bm dxa aP x mx n I dx dx n
a ax b aax b ax b ax b
( ) ( )
( )2 2 2 2
1ln .
−+ +
− 
= + = + − + + + +
∫ ∫
bm
nd ax b d ax bm m na bma ax b C
ax b a ax ba a aax b

 Nếu P(x) có bậc lớn hơn hoặc bằng 2 thì ta chia đa thức, quy bài toán về hai trường hợp có bậc của P(x) như trên để 
giải. 
Chú ý: 
Ngoài cách giải đã nêu trên, dạng nguyên hàm này có cách giải tổng quát là đặt 
t b
x
t ax b a
dt adx
−
=
= + →
 =
Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 
a) 1 2
2
2 1
dxI
x x
=
− +∫ b) 2 26 9 1
dxI
x x
=
+ +∫
 c) 3 225 10 1
dxI
x x
=
− +∫ 
Hướng dẫn giải: 
a) 1 12 2 2
2 ( 1) 2 22 2 .
1 12 1 ( 1) ( 1)
dx dx d xI C I C
x xx x x x
−
= = = = − + → = − +
− −− + − −∫ ∫ ∫ 
 b) 2 22 2 2
1 (3 1) 1 1
.
6 9 1 (3 1) 3 (3 1) 3(3 1) 3(3 1)
dx dx d xI C I C
x x x x x x
+
= = = = − + → = − +
+ + + + + +∫ ∫ ∫
c) 3 32 2 2
1 (5 1) 1 1
.
25 10 1 (5 1) 5 (5 1) 5(5 1) 5(5 1)
−
= = = = − + → = − +
− + − − − −∫ ∫ ∫
dx dx d xI C I C
x x x x x x
Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 
a) 4 2
2 1
4 4 1
xI dx
x x
−
=
+ +∫ b) 
2
5 2
4 3
4 12 9
xI dx
x x
−
=
+ +∫
 c) 6 2
1 5
9 24 16
xI dx
x x
−
=
− +∫ 
Hướng dẫn giải: 
a) ( )4 2 2
2 1 2 1
4 4 1 2 1
x xI dx dx
x x x
− −
= =
+ + +
∫ ∫ 
Tài liệu bài giảng: 
04. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỶ - P2 
Thầy Đặng Việt Hùng 
 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 2 

 Cách 1: 
Đặt ( )4 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1 12 1 ln
2 2 2 22 1
x t x t dt dt dt
t x I dx t C
dt dx t tt tx
= − − −  
= + → → = = = − = + +  
=  +
∫ ∫ ∫ ∫ 
4
1 1ln 2 1 .
2 2 1
I x C
x
→ = + + +
+

 Cách 2: 
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
2
4 2 2 2 2 2 2
1 8 4 2 4 4 18 4 2 12 1 1 14 2
4 44 4 1 4 4 1 4 4 1 4 4 12 1 2 1
x d x xx d xx dxI dx dx dx
x x x x x x x xx x
+ − + ++ +
−
= = = − = −
+ + + + + + + ++ +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( )
( )
2
2
2 2
4 4 1 2 11 1 1 1 1ln 4 4 1 ln 2 1 .
4 4 2 1 2 2 14 4 1 2 1
d x x d x
x x C x C
x xx x x
+ + +
= − = + + + + = + + +
+ ++ + +
∫ ∫ 
b) ( )
( )
( )
2
5 2 22 2
2 34 3 12 12 61 12 6 .
4 12 9 4 12 9 2 32 3 2 3
d xx x dxI dx dx dx x x C
x x x x xx x
+
− + 
= = − = − = − = + + + + + + +  + +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
c) ( )6 2 2
1 5 1 5
9 24 16 3 4
x xI dx dx
x x x
− −
= =
− +
−
∫ ∫ 

 Cách 1: 
Đặt ( )6 2 2 2
5( 4)4 11 5 1 5 1733 4 3
3 93 43
tt
x x dt t
t x I dx dt
t txdt dx
++
−
=
− +
= − → → = = = −
− =
∫ ∫ ∫ 
6
1 17 1 17 5 175ln 5ln 3 4 ln 3 4 .
9 9 3 4 9 9(3 4)t C I x C x Ct x x
   
= − − + → = − − − + = − − + +   
− −   

 Cách 2: 
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )6 2 2 2 2
5 173 4 3 4 3 41 5 5 17 5 173 3
3 3 4 3 9 3 4 93 4 3 4 3 4 3 4
x d x d xx dx dxI dx dx
x xx x x x
− − −
− −
−
= = = − − = − −
− −
− − − −
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
( )6
5 17 1 5 17ln 3 4 . ln 3 4 .
9 9 3 4 9 9 3 4
x C I x C
x x
= − − + + → = − − + +
− −
TH3: Q(x) = 0 vô nghiệm 
Khi đó, Q(x) được biểu diễn dưới dạng ( )
2 2
22 24( )
2 4
− 
= + + = + + ≡ + + 
 
b ac bQ x ax b c a x mx n k
a a

 Nếu P(x) là hằng số thì ta sử dụng các biến đổi sau 
( )
2 2
1
1
arctan

= +

  = +  +  
∫
dx d ax b
a
du u C
a au a

 Nếu P(x) = αx + β thì ta có phân tích sau: 
( ) ( )
2 2 2 2
α α2 β 2α β α α2 2 β
2 2
+ + − ++  
= = = + − 
+ + + + + + + + 
∫ ∫ ∫ ∫
b
ax b ax b dxx b dxa aI dx dx dx
a aax bx c ax bx c ax bx c ax bx c
( )2 2
2 2 22 2
2
α
βα α α 2β ln
2 2 24 4
2 4 2 4
−+ +  
= + − = + + + 
+ +   − −   
+ + + +   
   
∫ ∫ ∫
b
d ax bx c b dx dxadx ax bx c
a a a aax bx c b ac b b ac b
a x x
a a a a
2 2
2 2 2 2
2
αα 2 ββα α 22 22ln ln arctan .
2 24 4 4
2 4
b bb d x
ax ba aaax bx c ax bx c C
a a ab ac b ac b ac b
x
a a
   
+ −
−     +   
= + + + = + + + +
−  − −
+ + 
 
∫ 
 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 3 

 Nếu P(x) có bậc lớn hơn hoặc bằng 2 thì ta chia đa thức, quy bài toán về hai trường hợp có bậc của P(x) như trên để 
giải. 
Nhận xét: 
Nhìn vào biểu thức của bài toán tổng quát trên có thể ban đầu làm cho các bạn phát hoảng, nhưng đừng quá bận tâm 
đến nó, bạn chỉ cần nắm được ý tưởng thực hiện của nó là phân tích tử số có chứa đạo hàm của mẫu số, rồi tách 
thành hai bài toán nhỏ hơn đều thuộc dạng đơn giản đã học. 
Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 
a) 1 2 2 3
dxI
x x
=
+ +∫ b) 2 24 4 2
dxI
x x
=
+ +∫
 c) 3 29 24 20
dxI
x x
=
+ +∫ 
Hướng dẫn giải: 
a) ( )
( )
( ) ( )1 2 2 22
1 1 1
arctan .
2 3 2 21 2 1 2
d xdx dx xI C
x x x x
+ + 
= = = = + 
+ + + +  + +
∫ ∫ ∫ 
b) ( )
( )
( ) ( )2 2 22 2
2 11 1
arctan 2 1 .
4 4 2 2 22 1 1 2 1 1
d xdx dxI x C
x x x x
+
= = = = + +
+ + + + + +
∫ ∫ ∫ 
c) ( )
( )
( )3 2 2 2 2
3 4 1 3 4
arctan .
2 29 24 20 3 4 4 3 4 2
d xdx dx xI C
x x x x
+ + 
= = = = + 
+ +  + + + +
∫ ∫ ∫ 
Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 
a) 4 2
3 5
2 10
xI dx
x x
+
=
+ +∫ b) 5 2
4 1
6 9 4
xI dx
x x
−
=
+ +∫
 c) 
4
6 2
2
2 7
x xI dx
x x
−
=
+ +∫ 
Hướng dẫn giải: 
a) 
( ) ( )
4 2 2 2 2
3 174 1 4 13 5 3 174 4
4 42 10 2 10 2 10 2 10
x x dxx dxI dx dx
x x x x x x x x
+ + ++
= = = +
+ + + + + + + +∫ ∫ ∫ ∫ 
( ) ( )
2
2
2 2
2
2 103 17 3 17ln 2 10
4 8 4 82 10 1 795
2 4 16
d x x dx dx
x x
xx x x x
+ +
= + = + + +
+ +  + + + + 
 
∫ ∫ ∫ 
( ) ( )2 222
1
3 17 3 17 4 4 14ln 2 10 ln 2 10 . arctan .
4 8 4 8 79 791 79
4 4
d x
x
x x x x C
x
 
+   + 
= + + + = + + + + 
   
+ +        
∫ 
Vậy ( )24 3 17 4 1ln 2 10 arctan .4 2 79 79
xI x x C += + + + + 
 
b) 
( ) ( )
5 2 2 2 2
1 12 9 4 12 94 1 13 4
6 9 4 6 9 4 3 6 9 4 6 9 4
x x dxx dxI dx dx dx
x x x x x x x x
+ − +
−
= = = −
+ + + + + + + +∫ ∫ ∫ ∫
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
2
2 22 2
6 9 4 3 11 1 44 ln 6 9 4
3 6 9 4 3 33 1 3 3 1 3
d x x d xdxdx x x
x x x x
+ + +
= − = + + −
+ + + + + +
∫ ∫ ∫ 
( ) ( )2 251 4 1 3 1 1 4 3 1ln 6 9 4 . arctan ln 6 9 4 arctan .3 3 33 3 3 3 3
x x
x x C I x x C+ +   = + + − + → = + + − +   
   
c) 
4 3
2 2
6 2 2 2
2 25 7 2 25 72 4 1 2
32 7 2 7 2 7
x x x x xI dx x x dx x x dx
x x x x x x
− − − 
= = − + + = − + + 
+ + + + + + ∫ ∫ ∫
Đặt 
( ) ( )
2 2 2 2
25 2 2 32 2 225 7 252 32
22 7 2 7 2 7 2 7
x x dxx dxJ dx dx dx
x x x x x x x x
+ − +
−
= = = −
+ + + + + + + +∫ ∫ ∫ ∫ 
 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 4 
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
2
2 2 22
2 7 125 2532 ln 2 7 32
2 22 7 1 6 1 6
d x x d xdxdx x x
x x x x
+ + +
= − = + + −
+ + + + + +
∫ ∫ ∫ 
( ) ( )32 2 2625 32 1 2 25 32 1ln 2 7 arctan 2 ln 2 7 arctan .2 3 26 6 6 6
x x x
x x I x x x x C + ++ + − → = − + + + + − + 
 
Tổng kết: 
Qua ba phần trình bày về hàm phân thức có mẫu số là bậc hai, chúng ta nhận thấy điểm mấu chốt giải quyết bài toán 
là xử lý mẫu số. 
Nếu 
( )( )
( )
( )
2
1 2 2
1 2
22 2
2 2 2
22
2
( ) 1
( ) 1
arctan
α αα
1
 
+ + = − − → = + 
− −+ +  
+ + = + + → = +
+ + +
+ + = + → = − +
∫
∫
P x A B
ax bx c a x x x x
a x x x xax bx c
P x du u
ax bx c mx n k C
ax bx c u
du
ax bx c mx n C
uu
BÀI TẬP LUYỆN TẬP: 
7) 7 2
4 1
2 1
xI dx
x x
−
=
+ +∫
 8) 8 2
3 7
4 4 1
xI dx
x x
+
=
+ +∫
 9) 
2
9 2
3 1
9 6 1
xI dx
x x
+
=
+ +∫
10) 
2
10 2
4 3 1
4 4 1
x xI dx
x x
− +
=
− +∫
 11) 
2
11 2
2 3 2
4 4
x xI dx
x x
+ +
=
− +∫
 12) 12 2
3 2
6 9
xI dx
x x
−
=
− +∫
13) 13 2
2 3
4 5
xI dx
x x
−
=
− +∫
 14) 14 2
3 1
2
xI dx
x x
+
=
+ +∫
 15) 15 22 1
dxI
x x
=
− +∫
16) 16 2
2 1
4
xI dx
x x
−
=
− +∫
 17) 17 2
1
4 1
xI dx
x x
+
=
+ +∫
 18) 18 2
4 1
1
xI dx
x x
+
=
− +∫
III. MẪU SỐ LÀ ĐA THỨC BẬC BA 
Khi đó Q(x) = ax3 + bx2 + cx + d. Ta có bốn khả năng xảy ra với Q(x). 
TH1: Q(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt x1; x2; x3 
Tương tự như trường hợp mẫu số là bậc hai có hai nghiệm phân biệt. Ta có cách giải truyền thống là phân tích và 
đồng nhất hệ số. Ngoài ra ta còn có thể sử dụng phương pháp biến đổi tử số chứa đạo hàm của mẫu (tùy thuộc vào 
biểu thức của tử số là bậc mấy) 
Ta có ( )( )( )3 2 1 2 3
1 2 3
( )( ) ax ( )
P x A B CQ x bx cx d a x x x x x x Q x x x x x x x= + + + = − − − → = + +− − − 
Đồng nhất hệ số hai vế ta được A, B, C. Bài toán quy về nguyên hàm có mẫu số là bậc nhất đã xét ở trên. 
Chú ý: 
Để việc đồng nhất được, thì ta vẫn phải tuân thủ nguyên tắc là biến đổi sao cho bậc của tử số phải nhỏ hơn bậc của 
mẫu số. 
Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 
a) ( )( )1 22 9
dxI
x x
=
− −
∫ b) ( )
2
2 2
6 2
1
x xI dx
x x
+ −
=
−
∫ c) ( )
4 2
3 2
3 3 7
2
x x xI dx
x x x
− + −
=
+ −∫
Hướng dẫn giải: 
a) ( )( ) ( )( )( )1 2 2 3 32 9
dx dxI
x x xx x
= =
− + −
− −
∫ ∫ 
Ta có ( )( )( )
21 1 ( 9) ( 2)( 3) ( 2)( 3)
2 3 3 2 3 3
A B C A x B x x C x x
x x x x x x
= + + → ≡ − + − − + − +
− + − − + −
 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 5 
1
50
10 5
30
1 9 6 6 1
6
A
A B C
B C B
A B C
C

= −
= + + 
 
⇔ = − + ⇔ = 
 
= − + − 
=

Nhận xét: 
Ngoài cách giải truyền thống trên, chúng ta có thể biến đổi cách khác như sau mà không mất nhiều thời gian cho việc 
tính toán, suy nghĩ: 
( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )1
1 ( 3) ( 3) 1 1
2 3 3 6 2 3 3 6 2 3 6 2 3
+ − −
= = = −
− + − − + − − − − +∫ ∫ ∫ ∫
dx x x dx dxI dx dx
x x x x x x x x x x
Đến đây, bài toán trở về các dạng biến đổi đơn giản đã xét đến! 
b) ( ) ( )( )
2 2
2 2
6 2 6 2
1 11
x x x xI dx dx
x x xx x
+ − + −
= =
+ −
−
∫ ∫ 

 Cách 1: Ta có ( )( )
2
2 26 2 6 2 ( 1) ( 1) ( 1)
1 1 1 1
x x A B C
x x A x Bx x Cx x
x x x x x x
+ −
= + + → + − ≡ − + − + +
+ − + −
2
2 3 56
3 2 3 52 21 2ln ln 1 ln 1 .
2 1 1 2 2
2 5
2
AA B C
B C B I dx x x x C
x x x
A
C

 =  = + +    
⇔ = − + ⇔ = → = + + = + + + − +  
+ −  
− = −  
=
∫ 

 Cách 2: ( )
( ) ( ) ( ) ( )2 22
2 3 3 3 32
2 3 1 1 1 3 1 16 2 2
1
x x x dx x dxx x dxI dx dx dx
x x x x x x x xx x
− + − + −
−+ −
= = = + + =
− − − −
−
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
( )3 3
32 2ln( 1) ( 1)( 1)
d x x dx dxdx x x J K
x x x x xx x
−
= + + = − + +
+ − +−∫ ∫ ∫ 
Với ( 1) 1 1 ln ln 1 ln( 1) ( 1) 1 1
dx x x xJ dx dx x x
x x x x x x x
+ −  
= = = − = − + = + + + + ∫ ∫ ∫
( 1) ( 1) 1 ( 1) ( 1)
( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1) ( 1)( 1) ( 1) 2 ( 1)( 1)
dx x x dx dx x x x xK dx dx dx
x x x x x x x x x x x x x x
+ − − − + − −
= = = − = − =
− + − + − + − − + −∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
( 1) 1 ( 1) ( 1) 1 1 1 1 1 1 1 1ln ln( 1) 2 ( 1)( 1) 1 2 1 1 2 1
x x x x x xdx dx dx dx
x x x x x x x x x x
− − + − − − −   
= − = − − − = −   
− + − − − + +   ∫ ∫ ∫ ∫
Từ đó ta được 32
1 1 12ln ln ln ln .
1 2 1
x x xI x x C
x x x
− −
= − + + − +
+ +
Nhận xét: Cách phân tích như trên vẫn chưa thực sự tối ưu, các em hãy tìm lời giải khác thông minh hơn nhé! 
c) ( ) ( )
4 2 2 2
3 2 2
3 3 7 8 3 7 33 3 3
22 2
x x x x x xI dx x dx x J
x x x x x x
 
− + − − + = = − + = − +
 + − + −
 
∫ ∫ 
Với ( ) ( )( )
2 2
2
8 3 7 8 3 7
1 22
x x x xJ dx dx
x x xx x x
− + − +
= =
− ++ −∫ ∫
Ta có ( )( )
2
28 3 7 8 3 7 ( 1)( 2) ( 2) ( 1)
1 2 1 2
x x A B C
x x A x x Bx x Cx x
x x x x x x
− +
= + + → − + ≡ − + + + + −
− + − +
7
7 158 2 4 7 152 23 2 4 ln 4ln 1 ln 2 .
1 2 2 2
7 2 15
2
AA B C
A B C B J dx x x x C
x x x
A C

= −  = + +
− 
⇔ − = + − ⇔ = → = + + = − + − + + +  
− +  
= −   =

∫ 
 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 6 
Vậy 
2
3
3 7 153 ln 4ln 1 ln 2 .
2 2 2
xI x x x x C= − − + − + + + 
BÀI TẬP LUYỆN TẬP: 
1) 1 2( 1)
dxI
x x
=
−
∫ 2) 2 2
2 1
( 1)( 9)
xI dx
x x
+
=
+ −∫
 3) 
2
3 2
1
( 2)( 4 3)
x xI dx
x x x
+ +
=
+ + +∫
4) 4 2
5 2
(1 )(4 )
xI dx
x x
+
=
+ −∫
 5) 5 2
1
( 4)
xI dx
x x
+
=
−
∫ 6) 
2
6 2( 1)( 2)
xI dx
x x
=
− +∫