Chuyên đề luyện thi đại học môn toán - Bài 7: Nguyên hàm lượng giác

 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn 
III. CÁC DẠNG NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 
Dạng 1. Nguyên hàm dùng công thức lượng giác thuần túy 
Dạng 2. Nguyên hàm lượng giác của các hàm chỉ có sin, cosin 
Ví dụ 1. Tính các nguyên hàm sau: 
a) 34 sinI x dx= ∫ b) 55 cosI x dx= ∫ c) 43 cosI x dx= ∫ 
Hướng dẫn giải: 
a) ( ) ( ) 33 2 24 cossin sin .sin 1 cos cos cos .3
xI x dx x x dx x d x x C= = = − − = − + +∫ ∫ ∫ 
b) ( ) ( ) ( ) ( )25 4 2 25 cos cos .cos 1 sin sin 1 2sin sin sinI x dx x x dx x d x x x d x= = = − = − + =∫ ∫ ∫ ∫ 
3 3
2 2
5
sin sin
sin sin sin sin .
3 3
x x
x x C I x x C= − + + → = − + + 
c) Sử dụng liên tiếp công thức hạ bậc hai ta được: 
( ) ( )224 2 21 cos2 1 1 1 cos4 3 1 1cos cos 1 2cos2 cos 2 1 2cos 2 cos2 cos42 4 4 2 8 2 8
x x
x x x x x x x
+ +   
= = = + + = + + = + +   
   
Khi đó 43
3 1 1 3 1 1
cos cos 2 cos 4 sin 2 sin 4 .
8 2 8 8 4 32
xI x dx x x dx x x C = = + + = + + + 
 
∫ ∫ 
Ví dụ 2. Tính các nguyên hàm sau: 
a) 1 2
cos
sin 3sin 2
x dxI
x x
=
+ +∫
 b) 
2
2
sin
cos
xI dx
x
= ∫ 
c) 3
sin 3 sin
=
+∫
dxI
x x
 d) 4 3cos
dxI
x
= ∫ 
Hướng dẫn giải: 
a) Ta có 1 2 2
cos (sin )
sin 3sin 2 sin 3sin 2
x dx d xI
x x x x
= =
+ + + +∫ ∫
Đặt 
( ) ( )
( )( )1 2
2 1 1 sin 1
sin ln ln .
3 2 1 2 1 2 2 sin 2
t tdt dt dt t x
t x I dt C C
t t t t t t t x
+ − + + +
= → = = = − = + = +
+ + + + + + + +∫ ∫ ∫ ∫
b) 
2 2 2 2
2 2 2 2
sin sin .cos sin (sin ) sin (sin )
cos cos 1 sin sin 1
x x x dx x d x x d xI dx
x x x x
= = = − =
− −
∫ ∫ ∫ ∫ 
Đặt 
( ) ( )
( )( )
2 2
2 2 2 2 2
1 11 1 1 1
sin 1
1 1 1 1 2 1 1
t tt dt t dt
t x I dt dt t t dt
t t t t t t
+ − −
− +  
= → = = = + = + = + = 
− − − − + − 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
2
1 1 1 sin 1 1 sin 1ln sin ln sin ln .
2 1 2 sin 1 2 sin 1
t x x
t C x C I x C
t x x
− − −
= + + = + + → = + +
+ + +
c) ( )3 2 2 2 2 2
1 sin 1 (cos )
sin3 sin 2sin 2 .cos 4sin .cos 4 sin .cos 4 1 cos .cos
= = = = = −
+
−
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
dx dx dx x dx d xI
x x x x x x x x x x
Đặt ( )
( )
( )
2 2
3 2 22 2 2 2
11 1 1
cos
4 4 4 11 . 1 .
− +  
= → = − = − = − + 
−
− −  
∫ ∫ ∫ ∫
t tdt dt dt
x t I dt
t tt t t t
Mà ( ) ( )
( )( )
12
3
22
1
1 1 1 1ln .1 11 1 1 1 4 2 1ln
1 2 1 1 2 1 1 2 1
= − +
 +
→ = − − + + 
− + + +  − 
= = + = + 
− − + + − − 
∫
∫ ∫ ∫ ∫
dt C
t t tI C
t tdt dt dt t t tdt C
t t t t t t
Tài liệu bài giảng: 
07. NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC – P2 
Thầy Đặng Việt Hùng 
 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn 
Thay t = cosx vào ta được 3
1 1 1 1 cosln .
4 cos 2 1 cos
 +
= − − + + 
− 
xI C
x x
d) ( )4 23 4 2
cos (sin )
cos cos 1 sin
dx x dx d xI
x x x
= = = −
−
∫ ∫ ∫ 
Đặt ( ) ( )
( ) ( )
( )( )
2 2
4 2 22 2
1 1 1 1 1
sin
2 1 1 4 1 11 1
t tdt dt
t x I dt dt
t t t tt t
 + − −  
= → = − = − = = − =   + − − +  
− −  
∫ ∫ ∫ ∫ 
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
( )( )2 2
1 11 2 1 1 1 1 1 1 1ln .
4 1 1 4 1 1 1 1 4 1 1 11 1
t t dtdt dt dt t C
t t t t t t t t tt t
   + − −  −
= + + = − − + = − − + +     
− + − + − + − + +
− −        
∫ ∫ ∫ ∫ 
Thay t = sinx vào ta được 4
1 1 1 sin 1ln .
4 sin 1 sin 1 sin 1
xI C
x x x
 −
= − − + + 
− + + 
Ví dụ 3. Tính các nguyên hàm sau: 
a) 5
sin cos
dxI
x x
= ∫ b) 
3
6
4sin
1 cos
x dxI
x
=
+∫
 c) 7 3
sin
cos 1
x dxI
x
=
−
∫ 
Hướng dẫn giải: 
a) ( )5 2 2
cos (sin )
sin cos sin cos sin 1 sin
dx x dx d xI
x x x x x x
= = =
−
∫ ∫ ∫ 
Đặt ( )
( )
( )
( )2 2 2 2
5 2 22 2
1 11 1
sin ln ln 1 ln .
1 2 1 21 1
t t d tdt t dt dt
t x I dt t t t C
t t tt t t t
+ − −
= → = = = + = − + = − − + +
− −
− −
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
Thay t = sinx vào ta được 2 25
1 1ln 1 sin ln sin ln cos ln sin ln tan .
2 2
I x x C x x C x C= − − + + = − + + = + 
Vậy 5 ln tan .
sin cos
dxI x C
x x
= = +∫ 
b) Sử dụng phép biến đổi lượng giác ta có: 
( ) ( )
23 2 4 1 cos .sin4sin 4sin .sin 4 1 cos .sin 4sin 2sin 2 .
1 cos 1 cos 1 cos
x xx x x
x x x x
x x x
−
= = = − = −
+ + +
Từ đó ( )
3
6 6
4sin 4sin 2sin 2 4cos os2 4cos os2 .
1 cos
x dxI x x dx x c x C I x c x C
x
= = − = − + + → = − + +
+∫ ∫
c) 7 3 3
sin (cos )
cos 1 cos 1
x dx d xI
x x
= = −
− −
∫ ∫ 
Đặt t = cosx ta được 7 3 21 ( 1)( 1)
dt dtI
t t t t
= − = −
− − + +∫ ∫
Bằng kĩ thuật phân tích nhảy tầng lầu ta được ( )( )
( ) ( )
( )( )
2 2
2 2
3 3 1 3 11
1 1 6 1 1
t t t t
t t t t t t
− + + + −
=
− + + − − + +
Khi đó 
( ) ( )
( )( )
2 2 2
7 3 22
3 3 1 3 11 1 3 1 1
6 6 1 2 1 2 11 1
t t t t t dt dt dtI dt
t t t tt t t
− + + + −
= = − +
− − + +
− + +∫ ∫ ∫ ∫

 
( )32 3
13 3
13 ln 1
1 1
d tt dt
t C
t t
−
= = − +
− −
∫ ∫ 

 2ln 11
dt
t C
t
= − +
−

 3 322 2
1
1 2 2 12arctan arctan
1 3 3 3 31 3
2 22 2
tdt dt tC C
t t
t
 
+  + 
 = = + = + + +        + +        
∫ ∫ 
Từ đó 3 37
1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1ln 1 ln 1 . arctan ln 1 ln 1 arctan .
6 2 2 6 23 3 3 3
t tI t t C t t C+ +   = − − − + + = − − − + +   
   
 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn 
Bình luận: 
Ngoài cách sử dụng kĩ thuật nhảy tầng lầu trực tiếp như trên, chúng ta có thể biến đổi theo hướng khác như sau 
( )
−
= − = − = − = −
− − + +  − − + − + + + 
∫ ∫ ∫ ∫7 3 2 2 2
dt dt d( t 1 ) duI
t 1 ( t 1)( t t 1 ) ( t 1 ) ( t 1 ) 3( t 1) 3 ) u u 3u 3
( )
( ) ( )
( ) ( )
+ + − + + +
− − +
→ = = = − +
+ + + ++ + + + + +
2 2 2
3 2 3 22 2 2
3u 6u 3 3 u 3u 3 3u1 1 1 1 3u 6u 1 1
. .
u 3u 3u 6 6 u 3u 3u 2uu u 3u 3 u u 3u 3 2 u 3u 3
Thay vào ta được : 
+ 
= + + − + = + + − + + 
   
+ +   
   
∫
3 2 3 2
7 22
1 1 1 du 1 1 1 2u 3I ln u 3u 3u ln u ln u 3u 3u ln u arctan C.
6 2 2 6 2 2 3 33 3
u
2 2
Ví dụ 4. Tính các nguyên hàm sau: 
a) 61 cos= ∫I x dx b) 2 2sin .cos= ∫
dxI
x x
c) 23 sin 2 (2 sin= +∫I x xdx d) 4
sin 4
2cos 4 1
=
−
∫
xdxI
x
Ví dụ 5. Tính các nguyên hàm sau: 
a) 1 3sin= ∫
dxI
x
 b) 
3
2 5
cos
sin
= ∫
x dxI
x
c) 3 sin cos 2= ∫I x x dx d) 4 6sin cos= ∫
dxI
x x
Ví dụ 6. Tính các nguyên hàm sau: 
a) 1 2
1 sin 2
cos
+
= ∫
xI dx
x
 b) 2
sin 2 .cos
3 cos
=
+∫
x xI dx
x
c) 3
sin 2
1 cos
=
+∫
xI dx
x
 d) 4
cos
2 cos 2
=
+∫
xI dx
x
Ví dụ 7. Tính các nguyên hàm sau: 
a) 21 cos .cos 4= ∫I x xdx b) 3 52 1 cos .sin .cos= −∫I x x x dx 
c) 23 sin .cos (1 cos )= +∫I x x x dx d) 4
cos 2
1 sin cos
=
+∫
xI dx
x x
Ví dụ 8. Tính các nguyên hàm sau: 
a) 4 41 cos 2 (sin cos )= +∫I x x x dx b) 
3
2 2
sin
1 cos
=
+∫
xI dx
x
c) 3 33 (sin cos )= +∫I x x dx