Chuyên đề luyện thi đại học môn toán - Bài 7: Nguyên hàm lượng giác (phần 6)
Bạn đang xem nội dung tài liệu Chuyên đề luyện thi đại học môn toán - Bài 7: Nguyên hàm lượng giác (phần 6), để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn Dạng 7. Nguyên hàm dùng biến đổi vi phân → → +← ← 2 2 x dx 1 xd tan 1 tan dx x2 2 22cos 2 Cách giải: Xét nguyên hàm = + +∫1 Asin cos dxI x B x C Để tính nguyên hàm trên ta xét hai trường hợp: Nếu ( )2 2 2 2 2 2 2 2sin cos sin cos cos φC A B A x B x C A x B x A B A B x A B= ± + → + + = + ± + = + + ± + Ở đây, ta đã biết phép biến đổi lượng giác ( ) ( ) 2 2 2 2 os α Asin cos os β A B c x x B x A B c x + + + = + + Khi đó ( ) ( ) 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 α2cos 21 1cos α 1cos α α2sin 2 dx xA B dx dxI dxxA B x A B A B xA B + + = = = −+ ±+ + ± + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ Nếu 2 2C A B≠ ± + thì ta đặt 2 2 2 2 2 2 1 1 21 tan 2 2 2 1cos 2 2 tan sin 2 1 1 cos 1 dx x dtdt dx dx x t x t t x t t x t = = + → = + = → = + − = + Thay vào ta tính được I1 là nguyên hàm theo ẩn t. Chú ý: Một số công thức tính nhanh: pi pi sin x cos x 2 sin x 2 cos x 4 4 pi pi3 sin x cos x 2 sin x 2cos x 6 3 pi pi sin x 3 cos x 2 sin x 2cos x 3 6 + = + = − + = + = − − = − = − + Ví dụ 1. Tính các nguyên hàm sau: a) 1 sin cos 2 dxI x x = + +∫ b) 2 3 sin cos 2 dxI x x = − − ∫ c) 3 3sin cos 1 dxI x x = + +∫ d) 4 sin cos 1 dxI x x = − − ∫ Hướng dẫn giải: a) 1 sin cos 2 dxI x x = + +∫ Ta có 2 2 1 1 pi1 1 2 sin cos 2 sin cos 2 cos . 42 2 x x x x x + = → + = + = − Tài liệu bài giảng: 07. NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC – P6 Thầy Đặng Việt Hùng LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn 1 2 2 pi 1 1 1 1 pi2 8 tan . pi pi pi pi 2 82 2 2 22 cos 2 1 cos 2cos 2cos 4 4 2 8 2 8 xd dx dx dx xI C x x x x − = = = = = − + − + + − − − ∫ ∫ ∫ ∫ Vậy 1 1 pi tan . 2 82 xI C = − + Bình luận: Trong nguyên hàm trên, ở biểu thức sinx + cosx ta thống nhất chuyển về hàm cos để sử dụng công thức lượng giác 2 2 a dx dx1 cos a 2cos a2 1 cos a 2cos 2 + = → = +∫ ∫ b) Ta có 3 1 pi3 sin cos 2 sin cos 2cos . 2 2 3 x x x x x − = − = − + 2 2 pi 1 1 1 pi2 6 tan . pi pi pi2 2 2 2 63 sin cos 2 2cos 2 1 cos cos 3 3 2 6 xd dx dx dx xI C xx x x x + = = = − = − = − + + − − − + − + + + ∫ ∫ ∫ ∫ c) Đặt 2 2 2 1 1 2 tan 1 tan 2 2 2 2 1cos 2 x dx x dt t dt dx dx x t = ⇒ = = + → = + Ta có 2 2 2 2 1 sin ; cos 1 1 t t x x t t − = = + + Khi đó 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 1 (6 2) 1 11 ln 6 2 ln 6 tan 2 . 6 1 6 1 1 6 2 3 6 2 3 3 21 1 1 ++ = = = = = + + = + + − + − + + + + + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ dt dt dt d t xtI t C C t t t t t t t t t d) Đặt 2 2 2 1 1 2 tan 1 tan 2 2 2 2 1cos 2 x dx x dt t dt dx dx x t = ⇒ = = + → = + Ta có 2 2 2 2 1 sin ; cos 1 1 t t x x t t − = = + + Khi đó 2 4 2 2 2 2 2 2 21 ln ln tan . sin cos 1 22 1 2 1 11 1 1 dt dx dt dt xtI t C C x x tt t t t t t t + = = = = = + = + − − − − + − − − − + + ∫ ∫ ∫ ∫ Ví dụ 2. Tính các nguyên hàm sau: a) 1 3sin cos 3= − +∫ dxI x x b) 2 2sin cos 2= − −∫ dxI x x c) 3 sin 3 cos 2 = − +∫ dxI x x d) 4 1 sin= +∫ dxI x Xét nguyên hàm + += ′ ′ ′+ +∫2 Asin cos A sin cos x B x CI dx x B x C Với dạng nguyên hàm này ta sẽ sử dụng phương pháp đồng nhất như với nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ đã xét bằng việc phân tích: ( ) ( )cos sin sin cossin cos sin cos sin cos m A x B x n A x B x C pA x B x C A x B x C A x B x C ′ ′ ′ ′ ′− + + + ++ + = ′ ′ ′ ′ ′ ′+ + + + Đồng nhất theo các hệ số của sinx và cosx ta được A mB nA m B mA nB n C nC p p ′ ′= − + ′ ′= + → ′= + Từ đó ta được ( )2 cos sinAsin cosA sin cos sin cos sin cos m A x B x dxx B x C dxI dx n dx p x B x C A x B x C A x B x C ′ ′−+ + = = + + = ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′+ + + + + +∫ ∫ ∫ ∫ LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn ln sin cos sin cos dx m A x B x C nx p A x B x C ′ ′ ′= + + + + ′ ′ ′+ +∫ Ví dụ 3. Tính các nguyên hàm sau: a) 1 sin 3cos 1 sin cos 2 x xI dx x x + − = + +∫ b) ( )2 2 7sin 5cos 3sin 4cos x xI dx x x − = + ∫ Hướng dẫn giải: a) Ta có phân tích 1 1 sin 3cos 1 (cos sin ) (sin cos 2) 3 2 sin cos 2 sin cos 2 1 2 5 A B A x x A x x B x x C A B B x x x x B C C = − + = + − − + + + + = → = + ⇔ = + + + + − = + = − Từ đó 1 (cos sin ) 2(sin cos 2) 5 (cos sin ) 2 5 sin cos 2 sin cos 2 sin cos 2 x x x x x x dx dxI dx dx x x x x x x − + + + − − = = + − = + + + + + +∫ ∫ ∫ ∫ (sin cos 2) 2 5 ln sin cos 2 2 5 . sin cos 2 d x x x J x x x J x x + + = + − = + + + − + +∫ Xét sin cos 2 dxJ x x = + +∫ . Đặt 2 2 2 2 2 2 1 1 21 tan 2 2 2 1cos 2 2 tan sin 2 1 1 cos 1 dx x dtdt dx dx x t x t t x t t x t = = + → = + = → = + − = + Khi đó ( ) ( ) ( ) 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 12 21 2 1sin cos 2 2 1 2 2 2 3 1 22 1 1 dt d tdx dt dttJ t tx x t t t t t t t t ++ = = = = = = −+ + + − + + + + + ++ + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 1 1 tan 1 tan 12 1 2 2arctan 2 arctan ln sin cos 2 2 5 2 arctan . 2 2 2 2 x x t C C I x x x C + + + = + = + → = + + + − + b) Ta có phân tích ( ) ( ) ( ) ( )2 2 43 7 4 33cos 4sin 3sin 4cos7sin 5cos 25 5 3 4 13sin 4cos 3sin 4cos 25 AA BA x x B x xx x A Bx x x x B = −= − +− + + − = → ⇔ − = ++ + = Từ đó ta có ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 43 13cos 4sin 3sin 4cos7sin 5cos 25 25 3sin 4cos 3sin 4cos x x x x x xI dx dx x x x x − − + + − = = = + + ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( )2 2 3cos 4sin 3sin 4cos43 1 43 1 25 25 3sin 4cos 25 25 3sin 4cos3sin 4cos 3sin 4cos x x dx d x xdx dxdx x x x xx x x x − + = − + = − + = + ++ + ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) 43 1 . 25 3sin 4cos 25 J x x = + + Xét . 3sin 4cos dxJ x x = +∫ Đặt 2 2 2 2 2 2 1 1 21 tan 2 2 2 1cos 2 2 tan sin 2 1 1 cos 1 dx x dtdt dx dx x t x t t x t t x t = = + → = + = → = + − = + LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn 2 2 2 2 2 2 1 (2 1) 2( 2)1 3sin 4cos (2 1)( 2) 5 (2 1)( 2)6 4(1 ) 2 3 2 1 1 dt dx dt dt t ttJ dt x x t t t tt t t t t t − − ++ = = = = = − = + − + − +− + − − + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 1 1 2 tan 11 2 1 1 1 2 1 1 2ln 2 ln 2 ln 2 1 ln ln . 5 5 2 1 5 5 5 2 5 tan 2 2 x dt t t t t C C C xt t − − = − + + = − + + − + = + = + − + + ∫ Vậy ( )2 2 tan 143 1 2ln . 25 3sin 4cos 125 tan 2 2 x I C xx x − = + + + + Ví dụ 4. Tính các nguyên hàm sau: a) 1 8cos sin 3 3sin 2cos 3 − + = + +∫ x xI dx x x b) 2 5cos sin 2 sin cos 1 − + = + +∫ x xI dx x x c) 3 2 4sin 3cos 3 (2sin cos 2) − + = + +∫ x xI dx x x b) 4 5sin 2 2sin cos 1 − = − − ∫ xI dx x x Ví dụ 5. Tính các nguyên hàm sau: a) 1 sin 3cos 2 2sin cos 2 − + = − − ∫ x xI dx x x b) 2 2 4cos 3sin 2 (sin 2cos 2) − + = + +∫ x xI dx x x c) 2 3 sin sin cos = +∫ xI dx x x d) 2 4 cos sin 3 cos = − ∫ xI dx x x e) 5 sin cos 1 sin 2cos 3 − + = + +∫ x xI dx x x f) 6 sin 3cos 1 sin cos 2 + − = + +∫ x xI dx x x
File đính kèm:
- 07_Nguyen ham luong giac_p6.pdf