Chuyên đề luyện thi đại học môn toán - Bài 7: Nguyên hàm lượng giác (tiếp)

 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn 
Dạng 3. Nguyên hàm lượng giác của hàm tan và cot 
Cách giải: 

 Các nguyên hàm chứa tanx hay cotx thì ta thường dùng hằng đẳng thức 
2 2
2 2
2 2
2 2
1 11 tan tan 1
cos cos
1 11 cot cot 1
sin sin
x x
x x
x x
x x
 
= + = −  
→ 
 
= + = −
  

 Nguyên hàm mà mẫu số là đẳng cấp bậc hai với sinx và cosx: 2 2sin sin .cos .cosA x B x x C x+ + thì ta chia cả tử và 
mẫu cho cos2x hoặc sin2x. 
Ví dụ 1. Tính các nguyên hàm sau: 
a) 21 tanI x dx= ∫ b) 32 tanI x dx= ∫ c) ( )33 tan tanI x x dx= +∫ d) 4 4cos
dxI
x
= ∫ 
Hướng dẫn giải: 
a) 21 2
1
tan 1 tan .
cos
I x dx dx x x C
x
 
= = − = − + 
 
∫ ∫ 
b) Xét 32 tanI x dx= ∫ 
Cách 1: 
2
3 2
2 2 2
1 tan sin
tan tan .tan 1 tan tan . tan
cos cos 2 cos
dx x x dxI x dx x x dx x dx x xdx
x x x
 
= = = − = − = − = 
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
2 2tan ( os ) tan ln cos .
2 cos 2
x d c x x
x C
x
= + = + +∫ 
Cách 2: 
( )23 23
2 3 3 3 3 2
1 os . (cos )sin sin .sin (cos ) (cos ) 1
tan ln cos .
cos cos cos cos cos 2cos
c x d xx x xdx d x d xI x dx dx x C
x x x x x x
−
= = = = − = − + = + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Bình luận: 
Nhìn vào hai kết quả thu được từ hai phương án tính khác nhau, thoạt nhìn gây chúng ta cho cảm giác không biết 
cách nào đúng, cách nào sai. Nhưng quan sát kĩ, và thực hiện một phép biến đổi đơn giản ta thu được ngay cùng kết 
quả. 
Thật vậy, tan ln cos ln cos ln cos .
cos cos
2
2 2
x 1 1 1 1
x C 1 x C x C
2 2 x 2 x 2
 
+ + = − + + = + + − 
 
Do ( )1 0
2
C C
′  ′
− = = 
 
 nên thực chất hai nguyên hàm có cùng kết quả. 
c) ( )3 3 23 21tan tan tan tan tan .tan tan 1 .tan tancosI x x dx x dx x dx x x dx x dx x dx x dxx = + = + = + = − + =  ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
2
2
tan
tan . tan tan .
cos 2
dx x
x x dx x dx C
x
= − + = +∫ ∫ ∫ 
Bình luận: 
Cách giải bài trên là dựa vào cách giải truyền thống cho dạng toán này. Với các nguyên hàm có chứa tannx thì thông 
thường ta tách theo sơ đồ: 2 2 2 2 22 2
1 1
tan tan .tan tan . 1 tan . tan ...
cos cos
n n n n nx x x x x x
x x
− − − −
 
= = − = − 
 
với n > 2. 
Quá trình tách cứ tiếp diễn đến cuối cùng xuất hiện tanx hoặc tan2x, mà cách nguyên hàm này đều có công thức tính. 
Tuy nhiên, với bài toán trên có một đặc điểm riêng mà ta có thể trình bày cách giải ngắn gọn hơn như sau: 
Tài liệu bài giảng: 
07. NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC – P4 
Thầy Đặng Việt Hùng 
 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn 
( ) ( ) ( ) 23 23 2 tantan tan tan 1 tan tan . tan . tan .cos 2
dx xI x x dx x x dx x x d x C
x
= + = + = = = +∫ ∫ ∫ ∫ 
d) ( ) ( ) 324 4 2 21 tan1 tan tan tan .cos cos cos 3
dx dx xI x d x x C
x x x
= = = + = + +∫ ∫ ∫ 
Bình luận: 
Với những nguyên hàm có xuất hiện tanx kèm theo cos2nx ở mẫu số thì ta sử dụng phép phân tích như sau 
( )
( )
12
2 2 2 2 2
2
1 1 1 1
. tan 1 .
cos cos cos cos
tan
cos
n
n n
x
x x x x
dx d x
x
−
−

= = +


=

Dựa trên phép phân tích như trên ta có thể mở rộng thêm một số bài toán như sau: 

 ( ) ( )2 5 3221 6 4 2 2 21 1 tan 2 tan. 1 tan tan tan .cos cos cos cos cos 5 3
dx dx dx x xJ x d x x C
x x x x x
 
= = = = + = + + + 
 
∫ ∫ ∫ ∫ 

 ( ) ( )2010 2013 20112010 2010 22 4 2 2tan 1 tan tantan . . tan . 1 tan tan .cos cos cos 2013 2011
x dx x xJ dx x x x d x C
x x x
= = = + = + +∫ ∫ ∫ 
Ví dụ 2. Tính các nguyên hàm sau: 
a) 5 3 5sin .cos
dxI
x x
= ∫ b) 6 3 5sin .cos
dxI
x x
= ∫ 
c) 7 2 22sin 5sin cos 3cos
dxI
x x x x
=
− −
∫ d) ( )8 2cos 3 sin
dxI
x x
=
−
∫ 
 Hướng dẫn giải: 
a) ( )
( )
( )
( )
33 2
5 3 5 3 3 2 2 3
8
1 1 1 tan
tan
sin .cos tan cos cossin tancos
cos
dx dx dx xI d x
x x x x xx xx
x
+ 
= = = = = 
 ∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( )
2 4 6
33
3
1 3tan 3tan tan 3tan tantan 3tan tan
tantan
x x x d x d xx x x
xx
−
+ + +  
= = =+ + +  ∫ ∫
2 4 2 4
52 2
1 3tan tan 1 3tan tan3ln tan 3ln tan .
2 4 2 42tan 2tan
x x x x
x C I x C
x x
= − + + + + → = − + + + + 
b) ( )
( ) ( ) ( )5 23 36 25 5 23 3
3
1 3 3
tan tan tan .
2cossinsin .cos 2 tan
cos
dx dxI x d x x C C
xxx x x
x
− −
−
= = ⋅ = = − + = +∫ ∫ ∫ 
Bình luận: 
Trong cả hai nguyên hàm I5 và I6 ở trên chúng ta dễ dàng nhận thấy đặc điểm chung của hai nguyên hàm là mẫu số 
có chứa sinx và cosx với tổng lũy thừa là một số chắn. Phương pháp giải trên là cách giải tổng quát cho dạng nguyên 
hàm này. Tuy nhiên, nếu tổng lũy thừa quá lớn thì bài toán sẽ trở nên phức tạp hơn nhiều! 
c) 7 2 22sin 5sin cos 3cos
dxI
x x x x
=
− −
∫ 
Ở mẫu số ta thấy có dạng biểu thức đẳng cấp bậc hai với sinx và cosx. Trong chuyên đề về phương trình lượng giác ta 
cũng biết cách giải cho loại phương trình đẳng cấp bậc hai này, với nguyên hàm cũng tương tự. Chia cả tử và mẫu số 
cho cos2x ta được: ( )27 2 2 2 2
2 2 2
tancos ; ( tan ).
2sin 5sin cos 3cos 2 tan 5tan 3 2 5 3
cos cos cos
dx
d x dtxI t x
x x x x x x t t
x x x
= = = =
− − − −
− −
∫ ∫ ∫ 
7
(2 1) 2( 3) 1 1 2 1 3 1 tan 3ln ln .( 3)(2 1) 7.( 3)(2 1) 7 3 7 2 1 7 2 1 7 2 tan 1
dt t t dt dt t xI dt C C
t t t t t t t x
+ − − − −
→ = = = − = + = +
− + − + − + + +∫ ∫ ∫ ∫
d) ( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
2
8 2 2 2 2
1 3 tantan 1 1cos
.
3 3 1 3 tancos 3 sin 1 3 tan 1 3 tan 1 3 tan
dx
d xd xdx xI C
xx x x x x
−
−
= = = = = +
−
− − − −
∫ ∫ ∫ ∫ 
 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn 
Bình luận: 
Mẫu số trong nguyên hàm trên có dạng là một biểu thức lượng giác khá đặc biệt, thế nên ta cũng có thể tìm ra một 
cách giải đặc biệt khác. Thật vậy, 1 3 picos 3 sin 2 cos sin 2cos .
2 2 3
x x x x x
   
− = − = +       
Từ đó ( )8 2 2 2
pi
1 1 pi3 tan .
pi pi4 4 3cos 3sin 4cos cos
3 3
d x
dx dxI x C
x x x x
 
+ 
  
= = = = + + 
     
− + +   
   
∫ ∫ ∫ 
Bằng phép biến đổi lượng giác cho cách giải trên, hoặc khai triển công thức lượng giác cho cách giải dưới ta sẽ thu 
được cùng một kết quả. Nếu các em không tự tin với khẳng định đó thì thầy sẽ chứng minh điều này. 
Thật vậy, 
( )
( )
1 1pi 1 3 tan 3tan tan1 pi 1 1 tan 3 3 33tan . .
pi4 3 4 4 1 3 tan 4 1 3 tan1 tan .tan
3
xx
x
x C C C C
x xx
− − + ++
+ 
+ + = + = + = + = 
−  −
−
( ) ( )
4
1 1 13
4 3 4 34 1 3 tan 3 1 3 tan
C C
x x
= − + + = + −
− −
, rõ ràng ( )1 0.
4 3
C C
′  ′
− = = 
 
Ví dụ 3. Tính các nguyên hàm sau: 
a) 49 cotI x dx= ∫ b) 10 5
cos
sin
x dxI
x
= ∫ c) 11 1 sin 2
dxI
x
=
+∫
 Hướng dẫn giải: 
a) 4 2 2 2 2 29 2 2
1
cot cot .cot 1 cot cot cot
sin sin
dxI x dx x x dx x dx x x dx
x x
 
= = = − = − = 
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
( ) 3 32 2 2 21 cot cotcot cot 1 cot .sin 3 sin 3
x dx x
x d x dx dx x x C
x x
− − 
= − − − = − + = + + + 
 
∫ ∫ ∫ ∫ 
2) Xét 10 5
cos
sin
x dxI
x
= ∫ 
Cách 1: 
10 5 5 4
cos (sin ) 1
.
sin sin 4sin
x dx d xI C
x x x
−
= = = +∫ ∫ 
Cách 2: 
( ) 4 2210 5 4 2 2cos cos 1 cot cot. cot . . cot . 1 cot . (cot ) .sin sin sin sin sin 4 2
x dx x dx dx x xI x x x d x C
x x x x x
= = = = − + = − − +∫ ∫ ∫ ∫ 
Bình luận: 

 Bằng phép xử lý lượng giác đơn giản ta cũng thu được cùng kết quả với hai cách giải trên. 

 Tương tự như nguyên hàm của tanx, với nguyên hàm cotx mà có chứa sin2nx thì ta cũng sử dụng thủ thuật phân tích 
( )
( )
12
2 2 2 2 2
2
1 1 1 1
. 1 cot .
sin sin sin sin
cot
sin
n
n n
x
x x x x
dx d x
x
−
−

= = +


= −

 để đưa về nguyên hàm cơ bản có chứa cotx và cot2x đã biết. 
c) ( )11 2 2 2
pi
1 1 pi4
cot
pi pi1 sin 2 2 2 4sin cos 2sin sin
4 4
d x
dx dx dxI x
x x x x x
 
+ 
  
= = = = = − + +      + + +   
   
∫ ∫ ∫ ∫ 
Dạng 4. Nguyên hàm dùng biến đổi vi phân
( ) ( )
( ) ( )
 + + = −

− + = +
d Asin x B cos x C Acos x B sin x dx
d A' sin x B' cos x C' A' cos x B' sin x dx
Cách giải: 
 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn 

 Các nguyên hàm dạng này thường sử dụng một số công thức lượng giác ( )
2
2 2
1 sin 2 sin cos
cos2 cos sin
x x x
x x x
 ± = ±

= −

 Để tìm nguyên hàm, ta thường tìm vi phân của mẫu số: ( ) ( )sin cos cos sind A x B x C A x B x dx+ + = − 
Ví dụ . Tính các nguyên hàm sau: 
a) 1
cos sinx
sinx cos
xI dx
x
−
=
+∫
 b) 2
cos 2
1 sin 2
x dxI
x
=
+∫
c) ( )3 3
cos 2
sin cos
x dxI
x x
=
+
∫ d) 
( )
4
sin 2 2cos 4
cos 2 sin 4
x x dx
I
x x
+
=
−
∫ 
 Hướng dẫn giải: 
a) Ta có ( ) ( ) ( )1 sin cossin cos cos sin ln sin cos .
sin cos
d x x
d x x x x dx I x x C
x x
+
+ = − → = = + +
+∫
b) ( )
( )2 2
2 2
sin coscos 2 cos sin cos sin ln sin cos .
1 sin 2 sin cos sin cossin cos
d x xx dx x x x xI dx dx x x C
x x x x xx x
+
− −
= = = = = + +
+ + ++
∫ ∫ ∫ ∫ 
Bình luận: 
Do ( ) ( )= = +1 1cos2xdx d sin2x d 1 sin2x
2 2
 nên ta còn có thể giải theo cách lấy vi phân trực tiếp như sau: 
( ) ( )+= = = + + = + + = + +
+ +∫ ∫
2
2
d 1 sin2xcos2x dx 1 1 1I ln 1 sin2x C ln sin x cos x C ln sin x cos x C.
1 sin2x 2 1 sin2x 2 2
c) ( ) ( ) ( )
( )
( )
2 2
3 3 3 2 2
sin coscos 2 cos sin cos sin 1
.
sin cossin cos sin cos sin cos sin cos
d x xx dx x x x xI dx dx C
x xx x x x x x x x
+
− − −
= = = = = +
++ + + +
∫ ∫ ∫ ∫ 
d) Xét ( )4 sin 2 2cos 4
cos 2 sin 4
x x dx
I
x x
+
=
−
∫ 
Vi phân mẫu số ta có ( ) ( ) ( ) ( )cos 2 sin 4cos 2 sin 4 2sin 2 4cos 4 sin 2 2cos 4
2
d x x
d x x x x dx x x dx
−
− = − − → + = − 
Từ đó ta được ( ) ( )4 sin 2 2cos 4 cos 2 sin 41 1 ln cos 2 sin 4 .
cos 2 sin 4 2 cos 2 sin 4 2
x x dx d x x
I x x C
x x x x
+ −
= = − = − − +
− −
∫ ∫ 
BÀI TẬP LUYỆN TẬP: 
1) 
2
1 2
sin
1 cos
xI dx
x
=
+∫
 2) 2 3 3sin cos
dxI
x x
= ∫ 3) 3 2(sin 2cos )
dxI
x x
=
−
∫ 
4) 4 2 2sin 6cos
dxI
x x
=
−
∫ 5) 5 2 2sin 9cos
dxI
x x
=
−
∫ 6) 6 2 2sin 2cos 1
dxI
x x
=
− +∫ 
7) ( )37 cot cotI x x dx= +∫ 8) 8 2cos 3sin2sin 3cos 1
x xI dx
x x
−
=
− +∫
 9) 9 2sin 4= −∫
dxI
x
 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn 
Ví dụ 1. Tính các nguyên hàm sau: 
a) 1
sin 2 sin
1 sin
=
−
∫
x xI dx
x
 b) ( ) 22 sin 4 sin 2 cos 3= + +∫I x x x dx 
Ví dụ 2. Tính các nguyên hàm sau: 
a) 1 2
tan
4 cos
=
+
∫
xdxI
x
 b) 2 2tan 3 cos
=
+
∫
dxI
x x
c) 3 2 2
3sin 4cos
3sin 4cos
+
=
+∫
x xI dx
x x
 d) 
3
4 2
sin .cos
1 cos
=
+∫
x xI dx
x
Ví dụ 3. Tính các nguyên hàm sau: 
a) ( )2sin1 tan cos= +∫ xI x e xdx b) ( )sin2 cos .cos= +∫ xI e x x dx 
c) 23 sin 2 .cos (2 cos )= +∫I x x x dx d) 
3
4 2
sin
1 cos
=
+∫
xI dx
x
Ví dụ 4. Tính các nguyên hàm sau: 
a) 6 61 cos 4 (sin cos )= +∫I x x x dx b) 
3
2 2
sin
3 sin
=
+∫
xI dx
x
c) 3
cos
5 cos 2
=
+∫
xdxI
x
 d) 4
sin 2 sin
1 2cos
+
=
+∫
x xI dx
x
Ví dụ 5. Tính các nguyên hàm sau: 
a) 1
cos3
sin
= ∫
xI dx
x
 b) 
3
2 2
sin .cos
1 cos
=
+∫
x xI dx
x
c) 
3
3
4sin
1 cos 4
=
+∫
xdxI
x
 d) 4
3sin 2 sin
6cos 5
+
=
−
∫
x xI dx
x
Ví dụ 6. Tính các nguyên hàm sau: 
a) 1 1 tan .tan sin2
 
= + 
 
∫
xI x xdx b) ( )3 22 cos 1 cos= −∫I x xdx 
c) 3
cos sin .cos
2 sin
+
=
+∫
x x xI
x
 d) 
3
4
sin 3 sin
1 cos3
−
=
+∫
x xI dx
x