Chuyên đề luyện thi đại học môn toán - Các phương pháp tính tích phân

 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn 
DẠNG 1. PP LƯỢNG GIÁC HÓA 

 Nếu f(x) có chứa sin2 2
2 2 2 2 2
cos
sin cos
x a t
dx a tdt
a x
a x a a t a t
=
=
− →
− = − =

 Nếu f(x) có chứa 
22 2
tan
2 2 2 2 2 2 2
cos
tan
cos
x a t
adtdx
ta x
aa x a x a a t
t
=

= + 
→ 
+  + = + =


 Nếu f(x) có chứa 
2
2 2 sin
2
2 2 2
2
cos
sin
cot
sin
a
x
t
a dtdx
t
x a
a
x a a a t
t
=
−
=

− →

− = − =

Chú ý: Sau khi đặt ẩn phụ ta phải đổi cận theo ẩn phụ vừa đặt 
Ví dụ 1: Tính các tích phân sau 
a) 
1
2
2
1
0
1I x dx= −∫ b) 
3 2
2 2
1
9 3xI dx
x
+
= ∫ c) 
2
22
3 2
0 1
xI dx
x
=
−
∫ 
d) 
3
4 2
0 9
dxI
x
=
+∫
 e) 
4
3 2
5 3
2
4xI dx
x
−
= ∫ 
Hướng dẫn giải: 
a) Đặt 
2 2
cos
sin
1 1 sin cos
dx tdt
x t
x t t
=
= ⇒ 
− = − =
Đổi cận : 
0 0
cos cos1 pi
2 6
x t
t t
x t
= ⇒ =

→ =
= ⇒ =
pi pi pi1 pi
6 6 62 62 2 2
1
00 0 0 0
1 1 1 pi 31 1 sin cos cos (1 cos2 ) sin 2
2 2 4 12 8
I x dx t tdt tdt t dt x t ⇒ = − = − = = + = + = + 
 
∫ ∫ ∫ ∫ 
b) Đặt 
2
2 2
3
cos3 tan
39 3 9 9 tan
cos
dtdx
t
x t
x t
t

=

= ⇒
 + = + =

Đổi cận : 
pi1
6
cos cos
pi3
4
x t
t t
x t

= ⇒ =
→ =

= ⇒ =

Tài liệu bài giảng: 
12. CÁC PP TÍNH TÍCH PHÂN – P1 
Thầy Đặng Việt Hùng 
 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn 
pi pi pi pi
3 2 24 4 4 4
2 22 2 2 2 2 2
2pi pi pi pi1
26 6 6 6
pi pi
4 4
2 2 2 2
pi pi
6 6
9 3 9 9 tan cos3 3 3 3
sin3tan cos cos .sin cos .sin
cos .cos
cos
(sin ) 1 1 1 13 3 (sin ) 3(1 sin ).sin 1 sin sin 2(1 sin ) 2(1 si
x t dt dt tdtI dx dt
tx t t t t t t
t t
t
d t d t
t t t t t
+ +
= = = = = =
 
= = + = + 
− − − + 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
pi
3
2
pi
6
1 (sin )
n ) sin d tt t
 
+ = 
 
∫
pi pi pi pi pi
4 4 4 4 4
2
pipipi pi pi
666 6 6
3 (sin ) 3 (sin ) (sin ) 3 1 sin 3 3 2 2 63 ln ln ln3 6
2 1 sin 2 1 sin sin 2 1 sin sin 2 2 2 2
d t d t d t t
t t t t t
 + +
= + + = − = − + −  
− + −
− 
∫ ∫ ∫ 
c) Đặt 
2 2
cos
sin
1 1 sin cos
dx tdt
x t
x t t
=
= ⇒ 
− = − =
Đổi cận : 
0 0
cos cos2 pi
2 4
x t
t t
x t
= ⇒ =

→ =
= ⇒ =

pi pi pi pi pi pi
2 2 24 4 4 4 4 4
2
3 2 2
0 0 0 0 0 0
sin cos sin cos 1 1 1 pi 1
sin (1 cos2 ) sin 2 .
cos 2 2 4 8 41 1 sin
x dx t t t tI dt dt tdt t dt t t
tx t
 
= = = = = − = − = − 
 
− −
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
d) Đặt ( )
( )
2
2
2 2
3 3 1 tan
cos3tan
9 9 1 tan
dtdx t dt
tx t
x t

= = +
= ⇒ 
 + = +
Đổi cận : 
pi pi
3 24 4
4 2 2
00 0
0 0 (1 tan ) 1 pi3pi 9 9 9 tan 3 123
4
x t dx t dtI t
x tx t
= ⇒ =
+
→ = = = =
+ += ⇒ =
∫ ∫ 
e) Đặt 
2
2
2
2
2cos
sin2
sin os4 4 2 cot
sin
tdtdx
t
x
t c t
x t
t

= −

= ⇒ 

− = =

Đổi cận : 
pi2
2
cot cot4 pi
33
x t
t t
x t

= ⇒ =
→ =
 = ⇒ =

( )
4 pi pi pi pi
3 2 3 2 2 2
2
5 3
pi2pi pi pi2
332 3 3
4 2cos .2cos 1 1 1 1 pi 3
cos 1 cos 2 sin 28 2 4 4 2 24 16
sin .sin .
sin
x t tI dx dt tdt t dt t t
x t t
t
−  
= = − = = + = + = − 
 
∫ ∫ ∫ ∫ 
Ví dụ 2: Tính các tích phân sau : 
a) 
1
2
2
0
1−∫ x dx b) 
2
22
2
0 1−
∫
x dx
x
 c) 
1
2
2
0 1−
∫
dx
x
Ví dụ 3: Tính các tích phân sau : 
a) 
2
2 2
1
4 −∫ x x dx b) 
3
2
2 3
0 (1 )−∫
dx
x
 c)
1 2
2
2
2
1−
∫
x dx
x
Ví dụ 4: Tính các tích phân sau : 
 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn 
a) 
1
2
0 4
dx
x−
∫ b) 
1 2
2
0 4
x dx
x−
∫ c) 
3
22
2
0 9 −
∫
x dx
x
Ví dụ 5: Tính các tích phân sau : 
a) 
3
2
2 2
2
2
1−∫ x x dx b) 
2
2
0
2 −∫ x x x dx c) 
2
0
2
2
−
+∫
x dx
x
Ví dụ 6: Tính các tích phân sau : 
a) 
1 2
6
0 4 −
∫
x dx
x
 b) 
1 2
2
0 3 2+ −
∫
x dx
x x
 c) 
1
2
2
0
1 2 1− −∫ x x dx 
Đ/.s: a) 
18
pi
=I b) 3 3 4
2 2
pi
= + −I 
Ví dụ 7: Tính các tích phân sau: 
a) 
3
2
0 9 +
∫
dx
x
 b) 
1
2 3
0 (1 )+∫
dx
x
 c) 
1
4 2
0 1+ +
∫
xdx
x x
Ví dụ 8: Tính các tích phân sau: 
a) 
1
4 2
0 4 3+ +
∫
dx
x x
 b) 
1
2 2
0 (1 )+∫
dx
x
 c) 
0
2
1 2 2− + +
∫
dx
x x
Ví dụ 9: Tính các tích phân sau: 
a) 
2 2
1
1x dx
x
−
∫ b) 
6 2
3
9x dx
x
−
∫ c) ( )
1
320
1
1
dx
x+
∫ 
Ví dụ 10: Tính các tích phân sau 
a) 
3 3
2 2
3
1
9
dx
x x −
∫ b) 
1 2 2 2
3
2 1
1
x x dx
x
+
− −
−
∫ c) 
5
2
0 4
x dx
x +
∫