Chuyên đề luyện thi đại học môn toán - Mở đầu về nguyên hàm (tiếp)

 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 1 
I. NHẮC LẠI KHÁI NIỆM VỀ VI PHÂN CỦA HÀM SỐ 
Vi phân của hàm số y = f(x) được kí hiệu là dy và cho bởi công thức = = =( ) ' '( )dy df x y dx f x dx 
Ví dụ: 

 d(x2 – 2x + 2) = (x2 – 2x + 2)′dx = (2x – 2)dx 

 d(sinx + 2cosx) = (sinx + 2cosx)′dx = (cosx – 2sinx)dx 
Chú ý: Từ công thức vi phân trên ta dễ dàng thu được một số kết quả sau 

 ( ) ( )12 2 2
2
d x dx dx d x= ⇒ = 

 ( ) ( )13 3 3
3
d x dx dx d x= ⇒ = 

 ( ) ( ) ( )2 2 2 21 1 12 2 2 2xxdx d d x d x a d a x = = = ± = − −    

 ( ) ( ) ( )32 3 3 31 1 13 3 3 3xx dx d d x d x a d a x = = = ± = − −    

 
( ) ( ) ( )ax1 1 ln ax ln
ax
d bdx dxd b d x
ax b a b a x
+
= = + → =
+ +

 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1 1 1sin ax sin ax ax cos ax sin 2 os2 ...
2
b dx b d b d b xdx d c x
a a
+ = + + = − + → = − 

 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1 1 1cos cos sin cos2 sin 2 ...
2
ax b dx ax b d ax b d ax b xdx d x
a a
+ = + + = + → = 

 ( ) ( ) ( )ax 2 21 1 1ax ...2b ax b ax b x xe dx e d b d e e dx d ea a+ + += + = → = 

 ( )
( )
( ) ( ) ( )2 2 2
ax1 1 1
tan tan 2 ...
2cos cos cos 2
d bdx dxd ax b d x
a aax b ax b x
+
= =  +  → = 
+ +

 ( )
( )
( ) ( ) ( )2 2 2
ax1 1 1
cot cot 2 ...
2sin sin sin 2
d bdx dxd ax b d x
a aax b ax b x
+
= = −  +  → = − 
+ +
II. KHÁI NIỆM VỀ NGUYÊN HÀM 
Cho hàm số f(x) liên tục trên một khoảng (a; b). Hàm F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) nếu F’(x) = f(x) và 
được viết là ( )f x dx∫ . Từ đó ta có : ( ) ( )f x dx F x=∫ 
Nhận xét: 
Với C là một hằng số nào đó thì ta luôn có (F(x) + C)’ = F’(x) nên tổng quát hóa ta viết ( ) ( )f x dx F x C= +∫ , khi đó 
F(x) + C được gọi là một họ nguyên hàm của hàm số f(x). Với một giá trị cụ thể của C thì ta được một nguyên hàm 
của hàm số đã cho. 
Ví dụ: 

 Hàm số f(x) = 2x có nguyên hàm là F(x) = x2 + C, vì (x2 + C)’ = 2x 

 Hàm số f(x) = sinx có nguyên hàm là F(x) = –cosx + C, vì (–cosx + C)’ = sinx 
III. CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA NGUYÊN HÀM 
Cho các hàm số f(x) và g(x) liên tục và tồn tại các nguyên hàm tương ứng F(x) và G(x), khi đó ta có các tính chất sau: 
a) Tính chất 1: ( )( ) ( )f x dx f x′ =∫ 
Chứng minh: 
Tài liệu tham khảo: 
01. MỞ ĐẦU VỀ NGUYÊN HÀM 
Thầy Đặng Việt Hùng 
 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 2 
Do F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) nên hiển nhiên ta có ( ) ( )( ) ( ) ( )f x dx F x f x′ ′= = ⇒∫ đpcm. 
b) Tính chất 2: [ ]( )( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx+ = +∫ ∫ ∫ 
Chứng minh: 
Theo tính chất 1 ta có, ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x dx g x dx f x dx g x dx f x g x′ ′ ′+ = + = +∫ ∫ ∫ ∫ 
Theo định nghĩa nguyên hàm thì vế phải chính là nguyên hàm của f(x) + g(x). 
Từ đó ta có [ ]( )( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx+ = +∫ ∫ ∫ 
c) Tính chất 3: ( ). ( ) ( ) , 0k f x dx k f x dx k= ∀ ≠∫ ∫ 
Chứng minh: 
Tương tự như tính chất 2, ta xét ( )( ) . ( ) . ( ) ( )k f x dx k f x k f x dx k f x dx′ = → = ⇒∫ ∫ ∫ đpcm. 
d) Tính chất 4: ( ) ( ) ( ) ..f x dx f t dt f u du= =∫ ∫ ∫ 
Tính chất trên được gọi là tính bất biến của nguyên hàm, tức là nguyên hàm của một hàm số chỉ phụ thuộc vào hàm, 
mà không phụ thuộc vào biến. 
IV. CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM 

 Công thức 1: dx x C= +∫ 
Chứng minh: 
Thật vậy, do ( ) 1x C dx x C′+ = ⇒ = +∫ 
Chú ý: 
Mở rộng với hàm số hợp ( )u u x= , ta được du u C= +∫ 

 Công thức 2:
n 1
n xx dx C
n 1
+
= +
+∫
Chứng minh: 
Thật vậy, do 
1 1
1 1
n n
n nx xC x x dx C
n n
+ +′ 
+ = ⇒ = + 
+ + 
∫ 
Chú ý: 
+ Mở rộng với hàm số hợp ( )u u x= , ta được 
1
1
n
n uu du C
n
+
= +
+∫
+ Với 1 2 2 2
2 2
dx dx du
n x C u C
x x u
= − ⇒ = = + ←→ = +∫ ∫ ∫ 
+ Với 2 2
1 12 dx dun C C
x x u u
= − ⇒ = − + ←→ = − +∫ ∫ 
Ví dụ: 
a) 
3
2
3
x
x dx C= +∫ 
b) ( ) 54 4 22 2 5
x
x x dx x dx xdx x C+ = + = + +∫ ∫ ∫ 
c) 
1 1
22 2 2 23 3 3
33 312 2 2
3
x x x x x x xdx dx xdx x dx C x C
x x
−
−
= − = − = − + = − +∫ ∫ ∫ ∫ 
d) ( ) ( ) ( ) ( )
5
4 4 2 112 1 2 1 2 1
2 5
nu du xI x dx x d x I C
+
= + = + + → = +∫ ∫ 
 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 3 
e) ( ) ( ) ( ) ( )
2011
2010 2010 1 311 3 1 3 1 3
3 2011
nu du xI x dx x d x I C
−
= − = − − − → = − +∫ ∫ 
f) ( )
( )
( ) ( )
2
2 2
2 11 1 1 1
.
2 2 2 1 2 2 12 1 2 1
du
u
d xdxI I C C
x xx x
+
= = → = − + = − +
+ ++ +
∫ ∫ 
g) ( ) ( ) ( )3 32 21 1 2 34 5 4 5 4 5 . 4 5 4 5
4 4 3 8
I x dx x d x I x C x C= + = + + ⇒ = + + = + +∫ ∫ 

 Công thức 3: lndx x C
x
= +∫ 
Chứng minh: 
Thật vậy, do ( ) 1ln lndxx C x C
x x
′+ = ⇒ = +∫ 
Chú ý: 
+ Mở rộng với hàm số hợp ( )u u x= , ta được lndu u C
u
= +∫ 
+ 
( )
1 ln 21 1 2x 2ln ax
1ax ax ln 2
2 2
dx
x k Cd ax bdx kb C
dxb a b a k x C
k x

= + ++  +
= = + + →
+ + 
= − − +

−
∫
∫ ∫
∫
Ví dụ: 
a) 
4
3 31 1 1 2 ln
4
dx x
x dx x dx dx x x C
x xx x
 
+ + = + + = + + + 
 
∫ ∫ ∫ ∫ 
b) ( )3 21 1 ln 3 2
3 2 3 3 2 3
du
u
d xdxI I x C
x x
+
= = → = + +
+ +∫ ∫
c) ( )2 2 22 12 3 3 3 32 2 3 ln 2 1
2 1 2 1 2 1 2 2 1 2
d xx x dxdx x dx xdx x x x C
x x x x
++ +  
= + = + = + = + + + + + + + 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 

 Công thức 4: sinx cosdx x C= − +∫ 
Chứng minh: 
Thật vậy, do ( )cos sin x sinx cosx C dx x C′− + = ⇒ = − +∫ 
Chú ý: 
+ Mở rộng với hàm số hợp ( )u u x= , ta được sinu cosdu u C= − +∫ 
+ ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1sin ax sin ax ax cos ax sin 2 os2
2
b dx b d b b C xdx c x C
a a
+ = + + = − + + → = − +∫ ∫ ∫ 
Ví dụ: 
a) ( )32 2 11 1sinx sinx cos
2 1 2 1 2 2 1
d xdx
x x dx x xdx dx x dx x
x x x
− 
+ + = + + = − + = 
− − − 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
5
22 1
cos ln 2 1
5 2
x
x x C= − + − + 
b) ( ) ( )4 33 1 3 1 3sin 2 sin 2 3 sin 2 2 os2 ln 4 3
4 3 4 3 2 4 4 3 2 4
d xdx
x dx xdx xd x c x x C
x x x
− 
+ = + = + = − + − + 
− − − 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
c) sin sinx sin3
2
x
x dx + + 
 
∫ 
Ta có ( ) ( ) ( ) ( )1 1 12 ; 2 2 2 ; 3 3 3
2 2 2 2 3
x xd dx dx d d x dx dx d x d x dx dx d x   = ⇒ = = ⇒ = = ⇒ =   
   
Từ đó : 
( ) ( )1 1sin sinx sin3 sin sin 2 sin3 2 sin sin 2 2 sin3 3
2 2 2 2 2 3
x x x x
x dx dx xdx xdx d xd x xd x   + + = + + = + +   
   
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 4 
1 12cos os2 os3
2 2 3
x
c x c x C= − − − + 

 Công thức 5: cos sinxdx x C= +∫ 
Chứng minh: 
Thật vậy, do ( )in cos cosx inxs x C x dx s C′+ = ⇒ = +∫ 
Chú ý: 
+ Mở rộng với hàm số hợp ( )u u x= , ta được cosu sindu u C= +∫ 
+ ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1os ax os ax ax sin ax os2 sin 2
2
c b dx c b d b b C c xdx x C
a a
+ = + + = + + → = +∫ ∫ ∫ 
Ví dụ: 
a) 4 1 5cos sin cos sin x 4 sinx cos 4 5ln 1
1 1
x
x x dx xdx dx dx x x x C
x x
−   
− + = − + − = + + − + +   + +   
∫ ∫ ∫ ∫ 
b) ( )
21
cos 2 sin x os2 sinx sin 2 cos
2 2
x
x x dx c xdx dx xdx x x C+ − = + − = − − +∫ ∫ ∫ ∫ 
c) ( )2 1 os2 1 1 1 1 1 1sin os2 os2 2 sin 2
2 2 2 2 4 2 4
c x
xdx dx c x dx x c xd x x x C−  = = − = − = − + 
 
∫ ∫ ∫ ∫ 

 Công thức 6: 2 tancos
dx
x C
x
= +∫ 
Chứng minh: 
Thật vậy, do ( ) 2 21tan tan xcos cos
dx
x C C
x x
′+ = ⇒ = +∫ 
Chú ý: 
+ Mở rộng với hàm số hợp ( )u u x= , ta được 2 tan uos
du C
c u
= +∫ 
+ ( )
( )
( ) ( )2 2 2
1 1 1
tan tan 2
cos cos cos 2 2
d ax bdx dx
ax b C x C
ax b a ax b a x
+
= = + + → = +
+ +∫ ∫ ∫
Ví dụ: 
a) 2 2
1 1
cos sin 2 cos sin 2 tan sin cos2
cos cos 2
dx
x x dx xdx xdx x x x C
x x
 
+ − = + − = + + + 
 
∫ ∫ ∫ ∫ 
b) ( ) ( )
( )
( )
( )
2 2 2
2 1 5 41 2 1 22
cos 2 1 5 4 cos 2 1 5 4 2 cos 2 1 4 5 4
d x d xdx dxI dx
x x x x x x
 
− −
= + = + = −  
− − − − − − 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
( )2os 1 1tan 2 1 ln 5 4
2 2
du
c u x x C→ = − − − + 
c) ( )
( )
( ) ( )
2os
2 2
3 21 1
tan 3 2
cos 3 2 2 cos 3 2 2
du
c u
d xdxI I x C
x x
−
= = − → = − − +
− −
∫ ∫ 

 Công thức 7: 2 cot xsin
dx C
x
= − +∫ 
Chứng minh: 
Thật vậy, do ( ) 2 21cot cot xsin
dx
x C C
sin x x
′
− + = ⇒ = − +∫ 
Chú ý: 
+ Mở rộng với hàm số hợp ( )u u x= , ta được 2 cot usin
du C
u
= − +∫ 
+ ( )
( )
( ) ( )2 2 2
ax1 1 1
cot ax cot 2
sin ax sin ax sin 2 2
d bdx dxb C x C
b a b a x
+
= = − + + → = − +
+ +∫ ∫ ∫
Ví dụ: 
 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 5 
a) 
6
5 5
2 2
1 1
cos 2 2 cos 2 2 sin 2 cot
sin sin 2 3
dx x
x x dx xdx x dx x x C
x x
 
− + = − + = + + + 
 
∫ ∫ ∫ ∫ 
b) ( )
( )
( ) ( ) ( )
2sin
2 2
1 31 1 1
cot 1 3 cot 1 3
sin 1 3 3 sin 1 3 3 3
du
u
d xdxI I x C x C
x x
−
= = − → = − − −  + = − + 
− −
∫ ∫ 
c) 2sin
2 2
22 2cot
2
sin sin
2 2
du
u
xd
dx xI I C
x x
 
 
  
= = → = − + 
     
   
   
∫ ∫ 

 Công thức 8: x xe dx e C= +∫ 
Chứng minh: 
Thật vậy, do ( )x x x xe C e e dx e C′+ = ⇒ = +∫ 
Chú ý: 
+ Mở rộng với hàm số hợp ( )u u x= , ta được u ue du e C= +∫ 
+ ( )
2 2
2 2
1
1 1 2
ax
1
2
x k x k
ax b ax b ax b
k x k x
e dx e C
e dx e d b e C
a a
e dx e C
+ +
+ + +
− −

= +
= + = + →

= − +

∫
∫ ∫
∫
Ví dụ: 
a) ( ) ( )2 1 2 1 2 12 2 231 4 4 1 12 1 4.2sin 3 sin 3 2 3 sin 3
x x x
d xdx
e dx e dx dx e d x x
x x xx x
− + − + − + 
− + = − + = − − + − + 
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
2 11 1 cot 3 8
2 3
xe x x C− += − + + + 
b) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 3 2 3 24 14 os 1 3 4 os 1 3 3 2 os 1 3 1 33 3x x xe c x dx e dx c x dx e d x c x d x+ + ++ − = + − = + − − −∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
( )3 24 1 sin 1 3
3 3
xe x C+= − − + 

 Công thức 9:
ln
x
x aa dx C
a
= +∫ 
Chứng minh: 
Thật vậy, do ln
ln ln ln
x x x
x xa a a aC a a dx C
a a a
′ 
+ = = ⇒ = + 
 
∫ 
Chú ý: 
+ Mở rộng với hàm số hợp ( )u u x= , ta được u ua du a C= +∫ 
+ ( )1 1kx m kx m kx ma dx a d kx m a C
k k
+ + +
= + = +∫ ∫ 
Ví dụ: 
a) ( ) ( ) ( ) 3 23 2 3 2 3 21 1 2 32 3 2 3 2 3 3 23 2 3ln 2 2ln3
u
x x
a dux x x x x xI dx dx dx d x d x I C= + = + = + → = + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
b) ( ) ( ) ( ) 1 21 2 4 3 1 2 4 3 1 2 4 3 4 31 3 2 32 2 3 2 1 2 4 32 4 2ln 2 4
x
x x x x x x xe dx dx e dx d x e d x e C
−
− + − + − + +
− = − = − − − + = − + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
BÀI TẬP LUYỆN TẬP: 
1) ( )51 2I x x dx= +∫ 2) 3 52 71 3I x dxx = −  ∫ 3) ( )5 2 3 33 4 2I x x x dx= − +∫ 
 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 6 
4) 34 25
1 24 xI x dx
xx
 
= − +  
 
∫ 5) 5
1
x + dx
x
I  =  
 
∫ 6) 
4
6 2
2 3xI dx
x
+
= ∫ 
7) ( )
2
7
1x
I dx
x
−
= ∫ 8) ( )238 2 1I x dx= −∫ 9) ( )
22
9 2
4x
I dx
x
+
= ∫ 
10) 
4 3 2
10 2
3 2 1x x xI dx
x
+ − +
= ∫ 11) 
2
11
x x x xI dx
x
− −
= ∫ 12) 12 3
1 1I dx
x x
 
= − 
 
∫ 
13) 
3
13
1I x dx
x
 
= − 
 
∫ 14) 
2
14 3
1I x dx
x
 
= + 
 
∫ 15) 
( )23
15
2 3x x
I dx
x
−
= ∫ 
16) ( )( )416 2I x x x x dx= − −∫ 17) 17 51(2 3)I dxx= −∫ 18) 18 41( 3)xI dxx += −∫ 
19) 19
pi
sin
2 7
xI dx = + 
 ∫
 20) 20 sin 2 sin 3
xI x dx = + 
 ∫
 21) 21 sin 2
xI x dx = + 
 
∫ 
22) 22
pi 1
sin 3 sin
4 2
xI x dx + = + −  
  
∫ 23) 223 cos 2
xI dx= ∫ 24) 224 sin 2
xI dx= ∫ 
26) 26 2cos 4
dxI
x
= ∫ 27) ( )27 2cos 2 1
dxI
x
=
−
∫ 28) ( )228 tan 2I x x dx= +∫ 
29) 429 tanI x dx= ∫ 30) 230 cotI x dx= ∫ 31) ( )31 2sin 2 3
dxI
x
=
+∫
32) 32 1 cos6
dxI
x
=
−
∫ 33) 2 233 2
1
cot dxI x x
x
 
= + + 
 
∫ 34) 234
1 dx
3 2
I x
x
 
= + + 
∫ 
35) 235
1
sin
2 5
I x dx
x
 
= − 
− 
∫ 36) 36
2 dx
3
xI
x
+
=
−
∫ 37) 37
2 1
4 3
xI dx
x
−
=
+∫
38) 38 6 5
xI dx
x
=
−
∫ 39) 
2
39
11
3
x xI dx
x
+ +
=
+∫
 40) 
2
40
2 5
1
x xI dx
x
− +
=
−
∫ 
41) 
3 2
41
3 2 1
2
x x xI dx
x
+ + +
=
+∫
 42) 
3 2
42
4 4 1
2 1
x xI dx
x
+ −
=
+∫
 43) 
2
43
4 6 1
2 1
x xI dx
x
+ +
=
+∫
44) 2x 344I e dx− += ∫ 45) 3 145 cos(1 ) xI x e dx− = − + ∫ 46) 
2 1
46 .
xI x e dx− += ∫ 
47) 47 2
2
sin (3 1)
xI e dx
x
−
 
= + 
+ 
∫ 48) 48 22 cos
x
x eI e dx
x
− 
= + 
 
∫ 49) ( )1 2 4 349 2 x xI e dx− += −∫ 
50) 50
1
2x
I dx= ∫ 51) 51
2
7
x
x
I dx= ∫ 52) 2 152 3 xI dx+= ∫