Chuyên đề luyện thi đại học môn toán - Mở đầu về tích phân

 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn 
Ví dụ 1. Tính các tích phân sau: 
1) ( )4 3
1
4 .x x dx+∫ 2) ( )
4
3
0
2 2 1 .x x dx+ +∫ 3) 
9
1
12 x + .
x
dx  
 
∫ 4) 
( )24
3
1
1
.
x
dx
x
−
∫ 
Hướng dẫn giải: 
1) ( )
4 44 34 4 4 4
3 3 3 32
1 11
2 8 4 8 1 8 9894 4. 4 1
4 3 4 3 4 3 4 3 12
x x
x x dx x x
       
+ = + = + = + − + =        
      
∫ 
2) ( ) ( )4 4 42 243 33
0 00
3 1 32 2 1 2. 2 . . 2 24 0 24
2 4 2 2 2
x x
x x dx x x x x x
   
+ + = + + = + + = − =   
   
∫ 
3) 
9 9 9 91 1 3 1
3 3 32 2 2 2
1 11 1
1 2 4 4 4 1162 x + 2 +x 2. 2 2 9 2 9 1 2 1
3 3 3 3 3x
dx x dx x x x x
−          
= = + = + = + − + =          
          
∫ ∫ 
4) ( )
2
4 4 4 4 45 3
3 22 2
3 3 2 3 25
11 1 1 1
1 2 1 1 2 1 1 1 2 12 2.
3 2
x x xdx dx dx x x dx x x
x x x x x xx
− −
− −
−      
− +
= = − + = − + = − + −     
    
∫ ∫ ∫ ∫ 
4
2 2 23 3 3
1
1 4 1 1 4 1 4 1 11 1 51
2 4 2.4 2.1 96 6 963 3 4 3 1x xx
     
= − + − = − + − − − + − = − + =     
    
Ví dụ 2. Tính các tích phân sau: 
1) 
4
2
0
sin .
2
x dx
pi
∫ 2) 
4
2
0 cos
dx
x
pi
∫ 3) 
3
2
4
tan
cos
x dx
x
pi
pi
∫ 4) 
23
4
0
tan
cos
x dx
x
pi
∫ 
Hướng dẫn giải: 
1) ( ) ( ) ( )
4 4
42
0 0 0
1 1 1 1 2
sin 1 cos sinx sin 0 sin 0
2 2 2 2 4 4 2 8 4
x dx x dx x
pi pi
pi
pi pi pi 
= − = − = − − − = − 
 ∫ ∫
2) ( )
4
4
2
0 0
tan tan tan 0 1
4cos
dx
x
x
pi
pi
pi
= = − =∫ 
3) ( )
23 3 3
2
4 4 4
tan tan 3 1
tan . tan 1
cos 2 2 2
x dx x
x d x
x
pi pi pi
pi pi pi
= = = − =∫ ∫ 
4) ( ) ( )
2 22 5 3 5 33 3 3
34 2
4 2
0 0 0 0
tan tan 1tan tan tan 3 3 14 3
tan tan (tan )
cos cos 5 3 5 3 5
x x dxx dx x x
x x d x
x x
pi pi pi
pi
+  
= = + = + = + = 
 
∫ ∫ ∫ 
Ví dụ 3. Tính các tích phân sau: 
1) 
4 2
2
2 5
.
1
x x dx
x
− +
−
∫ 2) 
2
1
ln
.
e
x dx
x∫ 3) 
2
2
1
1 1
.
e
x x dx
x x
 
+ + + 
 
∫ 
Hướng dẫn giải: 
Tài liệu bài giảng: 
10. MỞ ĐẦU VỀ TÍCH PHÂN 
Thầy Đặng Việt Hùng 
 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn 
1) 
( ) ( )4 4 4 42 2
22 2 2
2 1 1 62 5 62 1 6ln 1 20 6ln3 6 14 6ln 3
1 1 1
x x xx x dx dx x dx x x x
x x x
− + − +
− +  
= = + + = + + − = + − = + 
− − − ∫ ∫ ∫
2) 
2 3
2
11 1
ln ln 1 1ln . (ln ) 0
3 8.3 24
e e ex xdx x d x
x
 
= = = − = 
 
∫ ∫ 
3) 
2 3 2 3 3 2
2
2
11
1 1 1 1 1 1 1 7ln 1 1
2 3 2 3 2 3 3 2 6
e e
x x e e e e
x x dx x
x x x e e
    
+ + + = + − + = + − + − − + = + − −    
    
∫ 
BÀI TẬP LUYỆN TẬP: 
1) 
4
1
dx
x∫
 2) 
1 2
0
2 3
2
− +
−
∫
x x dx
x
 3) 
pi
3
0
pi
sin
2 3
 
+ 
 ∫
x dx 
4) 
pi
2
2
pi
4
sin 2∫ xdx 5) ( )
pi
3
2
0
cos2 sin−∫ x x dx 6) 
6
20 cos
2
pi
∫
dx
x
7) 
pi
2
4
pi
6
sin∫
dx
x
 8) 
pi
6
2pi
3
sin
2
−
−
∫
dx
x
 9) 
pi
24
2
pi
6
cot
sin∫
x dx
x
10) 
4
0 2 1+
∫
dx
x
 11) 
2
1
1
4 3
−
+∫
x dx
x
 12) 
2
0
4 1
3
+
−
∫
x dx
x
13) 
1
2
0
1
3 2
 
+ + 
∫ x dxx
 14) 
2
1
ln
∫
e
x dx
x
 15) 
ln 2
2
0
∫
xe dx 
16) 2
ln3
1
∫
xxe dx 17) 
2ln 2
1
∫
xe dx
x
 18) 
8
3 2
1
14
3
 
−  
 
∫ x dx
x
MỘT SỐ VÍ DỤ SỬ DỤNG PP VI PHÂN 
Ví dụ 1. Tính các tích phân sau: 
1) 
2
2 3
0
1 .x x dx+∫ 2) ( )
2
32
0
4 .x x dx+∫ 3) 
1 2
3
0
3
.
2
x dx
x +
∫ 4) 
19
3 2
0
.
8
x dx
x +
∫ 
Hướng dẫn giải: 
1) ( ) ( ) ( )
2 22 2 3 32 3 3 3 3 32
00 0 0
1 1 2 2 541 1 1 . 1 1 6.
3 3 3 9 9
x x dx x d x x x+ = + + = + = + = =∫ ∫ 
2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
522 2 5 2 23 32 2 2 2 2
0 00 0
41 1 2 128 2 324 4 4 . 4
2 2 5 5 5
x
x x dx x d x x
+
−
+ = + + = + = =∫ ∫ 
3) ( ) ( )1 12 13 33 3 00 03 1 2 2 2 2 3 2 22 2x dx d x xx x= + = + = −+ +∫ ∫ 
4) ( ) ( ) ( )
219 19 2 19 1922 233
3 32 2
0 0 0 0
81 1 3 3 27 15
. . 8 8 3
2 2 2 4 4 48 8
d xx dx
x x
x x
+
= = + = + = − =
+ +
∫ ∫ 
Ví dụ 2. Tính các tích phân sau: 
 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn 
1) 
3
3
0
sin
.
cos
x dx
x
pi
∫ 2) 
2
4
3
sin cos .x xdx
pi
pi
∫ 3) 
4
0
sin 4 os4 .x c x dx
pi
∫ 4) 
4
4
0
tan
.
cos
x dx
x
pi
∫ 
Hướng dẫn giải: 
1) ( )
3 3 3 2
3
3 2
0 0 0 0
sin tan tan 3
tan . tan
2 2cos cos
x x xdx dx x d x
x x
pi pi pi
pi
= = = =∫ ∫ ∫ 
2) ( )
52 2 5 2
4 4
33 3
sin 1 1 3 1 9 3
sin cos sin . sin .
5 5 5 2 5 160
x
x x dx x d x
pi pi pi
pipi pi
 
= = = − = −  
 
∫ ∫ 
3) ( ) ( )
34 4
4 432
0 0 0 0
1 1 2 1
sin 4 os4 sin 4 sin 4 . sin 4 sin 4 0
4 4 3 6
x c x dx x d x x x
pi pi
pi pi
= = = =∫ ∫ 
4) ( ) ( ) 7 34 4 42 2 24
0 0 0
tan 2 2 20
tan tan 1 tan tan tan
cos 7 3 21
x dx x x d x x x
x
pi pi
pi
 
= + = + = 
 
∫ ∫ 
Ví dụ 3. Tính các tích phân sau: 
1) 
2ln 3
1
.
xe dx
x∫
 2) 
4 2tan
2
0
.
cos
pi
∫
x
e dx
x
 3) ( )1 .3ln 2
e dx
x x +∫ 4) 1
1 ln
.
e
xdx
x
+
∫ 
Hướng dẫn giải: 
1) ( )
2 2 2 2ln 3 ln 3 ln 3 ln 3
11 1 1
2. 2. 2 6 2
2
x x
x xe edx dx d e e e
x x
= = = = −∫ ∫ ∫ 
2) ( )
pi pi pi
pi4 4 42tan
2 tan 2 tan 2 tan 24
2 0
0 0 0
1 1 1(tan ) (2 tan ) 1
2 2 2cos
= = = = −∫ ∫ ∫
x
x x xe dx e d x e d x e e
x
3) ( )
( )
11 1
3ln 21 1 ln5 ln 2 1 5ln 3ln 2 .ln
3ln 2 3 3ln 2 3 3 3 2
e e ed xdx
x
x x x
+
−
= = + = =
+ +∫ ∫
4) ( ) ( ) ( )3 32
1 11 1
1 ln 2 2 4 2 21 ln . 1 ln . 1 ln 1 ln
3 3 3
e e e e
xdx x d x x x
x
+ −
= + + = + = + =∫ ∫
BÀI TẬP LUYỆN TẬP: 
1) 
3 4
2 3
0
5+∫ x x dx 2) 
1
2
2
0
1−∫ x x dx 3) 
4
0 2 1+
∫
dx
x
4) 
6
3
1 2− +
∫
dx
x
 5) 
1
2
2
5 2
−
−∫ x dx 6) 
22
3
3
1
3 5+∫ x dx 
7) ( )
1
22
0
5
4+
∫
x dx
x
 8) 
1
2
2
0 1−
∫
x dx
x
 9) 
2 2
3 3
0
3
1+
∫
x dx
x
10) 
4
2
0
9+∫ x x dx 11) 
pi
2
pi
4
cos
∫
x dx
x
 12) 
pi
2
0
cos sin∫ x x dx 
 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn 
13) 
pi
2
3
pi
6
sin cos∫ x x dx 14) 
pi
2
3
0
sin cos∫ x x dx 15) 
pi
33
2
0
tan
cos∫
x dx
x
16) 
pi
32
2
pi
4
cot
sin∫
x dx
x
 17) 
pi
6
2
pi
4
cot
sin∫
x dx
x
 18) ( )
pi
2
2
pi
6
3cos
1 5sin−∫
x dx
x
19) 
pi
2
pi
6
cos
4sin x 1−∫
xdx
 20) 
3
1
ln
∫
e
x dx
x
 21) 
pi
2
0
sin
1 3cos+∫
x dx
x
22) 2
1
1
0
.
+
∫
x
x e dx 23) 
pi
2 tan2
2
0 cos
∫
xe dx
x
 24) ( )
pi
2
sinx
0
cos cos+∫ e x x dx 
25) 
2ln 3
1
+
∫
e xe dx
x
 26) 
pi
2
0
cos 1 4sin+∫ x x dx 27) 
2
1
1 ln+
∫
e
x dx
x
28) 
1
2 ln
2
+
∫
e
x dx
x
 29) ( )
pi
6
3
0
cos
2sin 1+∫
xdx
x
 30) 
pi
2
pi
3
6cos 1sin+∫ x x dx