Chuyên đề luyện thi đại học môn toán - Nguyên hàm của hàm hữu tỷ

 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 1 
Xét nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ ( )( )
P xI dxQ x= ∫ 
Nguyên tắc giải: 
Khi bậc của tử số P(x) lớn hơn Q(x) thì ta phải chia đa thức để quy về nguyên hàm có bậc của tử số nhỏ hơn mẫu số. 
III. MẪU SỐ LÀ ĐA THỨC BẬC BA 
Khi đó Q(x) = ax3 + bx2 + cx + d. Ta có bốn khả năng xảy ra với Q(x). 
TH1: Q(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt x1; x2; x3 
TH2: Q(x) = 0 có 2 nghiệm: một nghiệm đơn, một nghiệm kép 
Khi đó ta có ( )( )23 2 1 2( ) = + + + = − −Q x ax bx cx d a x x x x 
Để đồng nhất được, ta phải phân tích theo quy tắc: ( )( ) ( )2 211 2 2
( ) ( )
( )
P x P x A Bx C
Q x x xa x x x x x x
+
= = +
−
− − −
Đồng nhất hệ số hai vế ta được A, B, C. Bài toán trở về các dạng cơ bản đã xét đến. 

Chú ý: Ngoài việc sử dụng đồng nhất, ta cũng có thể phân tích tử số theo đạo hàm của mẫu để giải. 
Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 
a) ( )1 2 2
dxI
x x
=
+∫ b) ( ) ( )2 2
1
1 2 3
xI dx
x x
−
=
+ −
∫ c) ( )
2
3 2
2 4
2 1
x xI dx
x x
+ +
=
−
∫ 
Hướng dẫn giải: 
a) Xét ( )1 2 2
dxI
x x
=
+∫ 
 Cách 1: (Đồng nhất hai vế) 
Ta có ( ) ( )( )
2
2 2
1
40
1 11 Ax 2 0 2
2 42
1 2 1
2
A
A B
A Bx C Bx C x B C B
xx x x C
C

=
= + 
+  
= + → ≡ + + + ⇔ = + → = − 
++  
= 
=

Khi đó, ( )1 2 2 2
1 1 1
1 1 1 1 2 14 4 2 ln .
2 4 2 4 2 4 22
xdx dx dx dx xI dx C
x x x x xx x x x
 
− +  +
= = + = − + = − + 
+ ++  
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
 Cách 2: (Sử dụng kĩ thuật phân tích nhảy tầng lầu ta được) 
( )
( )
( )
2 2
2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2
2 2
13 2 2 2 3 2 2
3 2
3 2
1 1 1 3 4 3 ( 2) 2 4 1 3 4 3 ( 2) 2 4
.
4 42 2 2 2 2 2
1 3 4 3 2 1 3 4 3 1
4 4 4 22 2 2
21 3 1 1ln ln
4 4 2 42
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x
x x dx x x dx dxI dx
x xx x x x x x x x
d x x
dx x
xx x
 + − + + + + + +
= = = − + = 
+ + + + + + 
 + +
= − + → = = − + = 
+ + + 
+
= − − =
+
∫ ∫ ∫ ∫
∫
3 2 3 2
1
3 1 1 3 12 ln ln 2 ln .
4 2 4 4 2
x x x C I x x x C
x x
+ − − + → = + − − +
b) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 2 2
1 2 21
2 51 2 1 5
x tI d x dt
t tx x
+ −
−
= + =
− + + − 
∫ ∫ , với t = x + 1. 
 Cách 1: (Đồng nhất hai vế) 
Tài liệu bài giảng: 
04. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỶ - P3 
Thầy Đặng Việt Hùng 
 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 2 
Ta có ( ) ( )( )
2
2 2
1
250 2
2 22 2 5 1 2 5
2 5 52 5
2 5 2
25
A
A C
t At B C
t At B t Ct B A B
tt t t
B
C

= −
= + 
− +  
= + → − ≡ + − + ⇔ = − → = 
−−  
− = − 
=

Từ đó ta được ( )
( )
2 2 2 2
1 2 2
2 52 1 2 125 5 25
2 5 25 5 25 2 52 5
t d tt dt dtI dt dt
t t tt t t t
 
− + 
−
−
= = + = − + + = 
− −−   
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
1 2 1 1 2 5 2 1 2 3 2ln ln 2 5 ln ln .
25 5 25 25 5 25 1 5( 1)
t x
t t C C C
t t t x x
− −
= − − + − + = − + = − +
+ +
 Cách 2: (Sử dụng kĩ thuật phân tích nhảy tầng lầu ta được) 
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
2
2 2 2
2
3 2 2
56 10 3 2 5 2 52 5 22 1 2 1 4 2
. .
2 5 5 2 5 252 5 2 5 2 5
1 1 2 4 6 10 3 5
. .
5 2 5 25 2 5 2
t t t t tt tt
t t t tt t t t t t
t t
t t tt t t
− − − − −
− −
−
= − = − − =
− −− − −
 
− 
= − − − − −  
− −   
( ) ( ) ( )3 22
2 3 2 2 3 2 2
2 52 5 2 51 1 4 6 10 12 2 7 1 4 2
5 5 2 5 25 25 5 25 5 2 5 25 52 5 2 5
d t td t d tdt t t dt dt dt dtI dt
t t t t tt t t t t t
−
− −
−
= − + − + + = + − + =
− −− −
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
3 2
2
7 1 4 2 1 1 2 1 2 5 2ln ln 2 5 ln 2 5 ln ln 2 5 ln .
25 5 25 5 25 25 5 25 5
t
t t t t C I t t C C
t t t t
−
= + − − − − + → = − + − − + = − + 
Thay lại t = x + 1 ta được 2
1 2 3 2ln .
25 1 5( 1)
xI C
x x
−
= − +
+ +
c) ( )
2
3 2
2 4
2 1
x xI dx
x x
+ +
=
−
∫ 
 Cách 1: (Đồng nhất hai vế) 
Ta có ( ) ( )( )
2
2 2
2 2
2 2 9
2 4 Ax 2 4 Ax 2 1 1 2 4
2 12 1 4 20
A C A
x x B C
x x B x Cx A B B
xx x x
B C
= + = − 
+ + +  
= + → + + ≡ + − + ⇔ = − + → = − 
−−  
= − = 
( )
2
3 2 2 2
2 4 9 4 20 20 49 4 9ln 10ln 2 1 .
2 1 2 12 1
x x x dx dxI dx dx dx x x C
x x x xx x x x
+ + − − 
→ = = + = − − + = − + + − + 
− −−  ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
 Cách 2: (Sử dụng kĩ thuật phân tích nhảy tầng lầu ta được) 
Ta có ( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
2 22
2 2 2
6 2 6 2 12 1 22 4 2 1 4 2 4.
2 1 2 1 2 1 2 12 1 2 1 2 1
x x x xx xx x
x x x x x xx x x x x x
− − + −
− −+ +
= + + = − − =
− − − −− − −
( ) ( )
( )
2 2
33 2 2 2 2
3 2
6 2 6 22 1 2 24 4 1 28 44. 4.
2 1 2 1 2 1 2 12 2 1
4 4ln 4ln 2 14ln 2 1 9ln 10ln 2 1 .
x x x x
I dx
x x x x x xx x x x x x
x x x x C x x C
x x
 
− −
 = − + − + − → = − − + − =
 − − − −− −
 
= − − − + − + + = − + − + +
∫
TH3: Q(x) = 0 có 1 nghiệm đơn 
Khi đó ta có ( )( )3 2 21( ) = + + + = − + +Q x ax bx cx d x x mx nx p , trong đó 2 0mx nx p+ + = vô nghiệm. 
Để đồng nhất được, ta phải phân tích theo quy tắc: ( )( ) 22 11
( ) ( )
( )
P x P x A Bx C
Q x x x mx nx px x mx nx p
+
= = +
− + +
− + +
Đồng nhất hệ số hai vế ta được A, B, C. Bài toán trở về các dạng cơ bản đã xét đến. 

Chú ý: 
 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 3 
- Nguyên hàm  = + 
+  
∫ 2 2
du 1 u
arctan C.
u au a
- Ngoài việc sử dụng đồng nhất, ta cũng có thể phân tích tử số theo đạo hàm của mẫu để giải. 
Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 
a) ( )1 2 1
dxI
x x
=
+∫
 b) ( )( )2 2
2 3
1 4
xI dx
x x
+
=
− +∫
 c) ( )
2
3 2
1
1
x xI dx
x x x
− +
=
+ −∫
Hướng dẫn giải: 
a) ( )1 2 1
dxI
x x
=
+∫
 Cách 1: (Đồng nhất hai vế) 
( ) ( ) ( )
2
22
0 1
1 1 1 0 1
11 1 0
A B A
A Bx C A x Bx C x C B
x xx x A C
= + = 
+  
= + → ≡ + + + ⇔ = → = − 
++  
= = 
Khi đó, ( )
( ) ( )
2
2
1 2 2 22
11 1 1ln ln ln 1 .
2 21 1 11
d xdx x dx xI dx dx x x x C
x xx x xx x
+
− − 
= = + = + = − = − + + 
+ + + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫
 Cách 2: (Sử dụng kĩ thuật phân tích nhảy tầng lầu ta được) 
( )
( )
( ) ( )
2 2
2
12 22 2
11 1 1ln ln 1 .
21 11 1
x x x dx xdxI dx x x C
x xx xx x x x
+ −
= = − → = − = − + +
+ ++ + ∫ ∫
b) ( )( )2 2
2 3
1 4
xI dx
x x
+
=
− +∫
 Cách 1: (Đồng nhất hai vế) 
( )( ) ( ) ( )( )
2
22
3
50
2 3 32 3 4 1 2
1 541 4 3 4 7
5
A
A B
x A Bx C
x A x Bx C x B C B
x xx x A C
C

=
= + 
+ +  
= + → + ≡ + + + − ⇔ = − + → = − 
− +
− +  
= − 
=

Khi đó ta có ( )( )2 2 2 22
2 3 3 1 3 7 3 3 7
. ln 1
5 1 5 5 5 54 4 41 4
x dx x x dx dxI dx x
x x x xx x
+ − +
= = + = − − + =
− + + +
− +∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( )2 23 3 7 1 3 3 7ln 1 ln 4 . arctan ln 1 ln 4 arctan .5 10 5 2 2 5 10 10 2x xx x C x x C   = − − + + + = − − + + +       
 Cách 2: (Sử dụng kĩ thuật phân tích nhảy tầng lầu ta được) 
Ta có ( )( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )222 2 2
2 1 32 3 2 3 2 3
; 1
2 51 4 2 5 2 51 1 2 1 5
xx t
t x
t tx x t t t t t tx x x
− ++ +
= = = + = −
  + +
− + + + + +
− − + − +
 
Mà ( )
( ) ( )
( )
2 2 2
3 2 22 2
3 4 3 2 5 23 1 1 3 4 3 2 1
. . .
5 5 5 52 5 2 52 5 2 5
t t t t t t t
tt t t tt t t t t t
+ − + + + +
= − = − + −
+ + + ++ + + +
Suy ra 
( )
2 2
2 3 2 2 2 3 2 22
2 3 1 3 4 3 2 1 2 1 3 4 3 8 1
. . . .
5 5 5 5 5 52 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 52 5
t t t t
t tt t t t t t t t t t t tt t t
+ +
+ = − + − + = − + −
+ + + + + + + + + + + ++ +
Thay vào ta được ( )( ) ( ) ( )
2
2 3 2 22 2
2 3 2 3 1 3 4 3 8
. .
5 5 52 51 4 2 5 1 4
x t t t dt dtI dx dt dt
tt tx x t t t t
+ + +
= = = − + − =
+ +
− + + + + +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
3 2 3 21 3 8 1 1 1 3 8 1 1ln 2 5 ln . arctan ln 2 5 ln . arctan .
5 5 5 2 2 5 5 5 2 2
t t
t t t C t t t C+ +   = − + + + − + = − + + + − +   
   
TH4: Q(x) = 0 có 1 nghiệm bội ba: Trường hợp này dễ, thầy bỏ qua! 
 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 4 
BÀI TẬP LUYỆN TẬP: 
 Phương trình bậc ba có hai nghiệm (một nghiệm đơn, một nghiệm kép): 
7) 7 2
1
( 1)
xI dx
x x
−
=
+∫
 8) 
2
8 2
3
( 2) (2 1)
xI dx
x x
+
=
+ −∫
 9) 
2
9 2
2 1
( 2 1)
xI dx
x x x
+
=
+ +∫
10) 10 2
4 1
(2 1)( 1)
xI dx
x x
+
=
− +∫
 11) 11 2
4
2 (3 2 )
xI dx
x x
−
=
−
∫ 12) 12 2
5
( 2) ( 3)
xI dx
x x
+
=
+ +∫
 Phương trình bậc ba có một nghiệm bội ba: 
13) 10 3
2
( 2)
xI dx
x
−
=
+∫
 14) 14 3
3 2
(2 1)
xI dx
x
−
=
+∫
 15) 
2
15 3
(3 2 )
(4 3)
x x dxI
x
+
=
+∫
16) 
4
16 3( 2)
xI dx
x
=
+∫
 17) 
3
17 3
1
( 1)
xI dx
x
−
=
+∫
 18) 
2
18 3
4
( 1)
xI dx
x
−
=
−
∫ 
 Phương trình bậc ba có một nghiệm đơn: 
19) 19 2
2 5
( 1)
xI dx
x x x
+
=
+ +∫
 20) 20 3
3 4
1
xI dx
x
+
=
−
∫ 21) 21 3
2
1
x dxI
x
=
+∫
22) 
2
22 2
1
( 3)
xI dx
x x
+
=
+∫
 23) 23 2
2
(2 3)( 1)
xI dx
x x
+
=
+ −∫
 24) 
2
24 2
4 3
(3 1)(1 2 )
xI dx
x x
−
=
+ −∫