Chuyên đề luyện thi đại học môn toán - Nguyên hàm của hàm hữu tỷ (tiếp)

 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 1 
Xét nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ ( )( )
P xI dxQ x= ∫ 
Nguyên tắc giải: 
Khi bậc của tử số P(x) lớn hơn Q(x) thì ta phải chia đa thức để quy về nguyên hàm có bậc của tử số nhỏ hơn mẫu số. 
I. MẪU SỐ LÀ BẬC NHẤT 
Khi đó Q(x) = ax + b. 

 Nếu bậc của P(x) lớn hơn thì ta chia đa thức. 

 Khi P(x) là hằng số (bậc bằng 0) thì ta có ( ) (ax ) ln ax .( ) ax ax
P x k k d b kI dx dx b CQ x b a b a
+
= = = = + +
+ +∫ ∫ ∫
Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 
a) 1
4
2 1
I dx
x
=
−
∫ b) 2
1
1
xI dx
x
+
=
−
∫ c) 3
2 1
3 4
xI dx
x
+
=
−
∫ d) 
2
4
4
3
x xI
x
+ +
=
+∫
Hướng dẫn giải: 
a) Ta có 1
4 4 (2 1) 2ln 2 1 .
2 1 2 2 1
d xI dx x C
x x
−
= = = − +
− −
∫ ∫ 
b) 2
1 1 2 21 2 2ln 1 .
1 1 1 1
x x dxI dx dx dx dx x x C
x x x x
+ − +  
= = = + = + = + − + 
− − − − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
c) 
( )
( )
( )
3
1 53 4 3 42 1 1 5 1 5 1 52 2
3 4 3 4 2 2 3 4 2 2 3 4 2 8 3 4
x d xx dxI dx dx dx x x
x x x x x
− − +  
−+
= = = − + = − + = − −  
− − − − − 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
3
1 5 1 5ln 3 4 ln 3 4 .
2 8 2 8
x x C I x x C= − − − + → = − − − + 
d) ( ) ( )
2 2
4
34 102 2 10 2 10ln 3 .
3 3 3 2
d xx x xI x dx x dx x x C
x x x
++ +  
= = − + = − + = − + + + + + + 
∫ ∫ ∫ ∫ 
Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 
a) 
3
5
7
2 5
x xI dx
x
− +
=
+∫
 b) 
3 2
6
3 3 2
1
x x xI dx
x
+ + +
=
−
∫ c) 
4 2
7
4 3 2
2 1
x x xI dx
x
+ + +
=
+∫
Hướng dẫn giải: 
a) Chia tử số cho mẫu số ta được 
3
2
49
7 1 5 21 8
2 5 2 4 8 2 5
x x
x x
x x
− +
= − + −
+ +
Khi đó 
3
2 2
5
49
7 1 5 21 1 5 21 498
2 5 2 4 8 2 5 2 4 8 8 2 5
x x dxI dx x x dx x x dx
x x x
 
 
− +  
= = − + − = − + −   + + +  
 
∫ ∫ ∫ ∫ 
( )3 2 3 22 51 5 21 49 5 21 49
. . ln 2 5 .
2 3 4 2 8 16 2 5 6 8 8 16
d xx x x x x
x x C
x
+
= − + − = − + − + +
+∫
b) Ta có 
3 2
2 3 2
6
3 3 2 93 6 7 3 7 9ln 1 .
1 1
x x xI dx x x dx x x x x C
x x
+ + +  
= = + + + = + + + − + 
− − 
∫ ∫ 
c) Chia tử số cho mẫu số ta được 
4 2
3 2
5
4 3 2 1 22 2
2 1 2 2 1
x x x
x x x
x x
+ + +
= − + − +
+ +
Tài liệu bài giảng: 
04. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỶ - P1 
Thầy Đặng Việt Hùng 
 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 2 
Khi đó 
4 2
3 2 3 2
7
5
4 3 2 1 1 522 2 2 2
2 1 2 2 1 2 2 2 1
x x x dxI dx x x x dx x x x dx
x x x
 
 + + +  
= = − + − + = − + − +   + + +  
 
∫ ∫ ∫ ∫ 
( )4 3 4 32 22 11 5 1 52. ln 2 1 .
4 3 2 4 2 1 2 3 2 4
d xx x x x
x x x x x C
x
+
= − + − + = − + − + + +
+∫
BÀI TẬP LUYỆN TẬP: 
1) 1
2 1
3
xI dx
x
−
=
+∫
 2) 
2
2
3 1
1
x xI dx
x
+ −
=
+∫
 3) 
3 2
3
3 3 2
1
x x xI dx
x
+ + +
=
−
∫ 
4) 
3
4
7
2 5
x xI dx
x
− +
=
+∫
 5) 5
1
4 3
xI dx
x
+
=
−
∫ 4) 
4 2
6
5 3
3 1
x x xI dx
x
− +
=
+∫
II. MẪU SỐ LÀ TAM THỨC BẬC HAI 
Khi đó Q(x) = ax2 + bx + c. Ta có ba khả năng xảy ra với Q(x). 
TH1: Q(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 

 Nếu P(x) là hằng số thì ta sử dụng thuật phân tích tử số có chứa nghiệm của mẫu số. 

 Nếu P(x) bậc nhất thì ta có phân tích ( )( ) ( )( )1 2 1 2 1 2
( ) ( ) 1( ) ( )
P x P x A BQ x a x x x x Q x a x x x x a x x x x
 
= − − → = = + 
− − − − 
Đồng nhất hệ số ở hai vế ta được A, B. Từ đó, quy về bài toán nguyên hàm có mẫu số là hàm bậc nhất đã xét ở trên. 

 Nếu P(x) có bậc lớn hơn hoặc bằng 2 thì ta chia đa thức, quy bài toán về hai trường hợp có bậc của P(x) như trên để 
giải. 
Chú ý: 

 Việc phân tích đa thức thành nhân tử với các phương trình bậc hai có hệ số a khác 1 phải theo quy tắc 
( )( )2 1 2+ + = − −ax bx c a x x x x 
Ví dụ: 2
( 1)(3 1) : '.
3 4 1 1( 1) : .
3
x x dung
x x
x x sai
− −
− + =  
− − 
 

 Khi tử số là bậc nhất thì ngoài cách đồng nhất ở trên, ta có thể phân tích tử số có chứa đạo hàm của mẫu, rồi tách 
thành 2 nguyên hàm (xem các ví dụ dưới đây). 
Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 
a) 1 2 2 3
dxI dx
x x
=
− −
∫ b) 2 2
2
3 4 1
dxI
x x
=
− + −∫
c) 3 2
2 3
3 4
xI dx
x x
+
=
− −
∫ d) 4 2
3 4
5 6 1
xI dx
x x
+
=
+ +∫
Hướng dẫn giải: 
a) 1 2
1 ( 1) ( 3) 1 1 3ln .( 1)( 3) 4 ( 1)( 3) 4 3 1 4 12 3
dx dx x x dx dx xI dx dx C
x x x x x x xx x
+ − − − 
= = = = − = + + − + − − + +− −  ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
b) 2 2 2
2 2 (3 1) 3( 1)2 2
3 4 1 3 4 1 ( 1)(3 1) 4 ( 1)(3 1)
dx dx dx x xI dx
x x x x x x x x
− − − −
= = − = − =
− + − − + − − − −∫ ∫ ∫ ∫
1 1 1 (3 1) 1 1 1 3 13 ln 1 ln 1 ln 3 1 ln .
2 1 3 1 2 2 3 1 2 2 2 1
dx dx d x x
x x x C C
x x x x
− − 
= − − = − − + = − − + − + = + 
− − − − 
∫ ∫ ∫ 
c) 3 2
2 3
3 4
xI dx
x x
+
=
− −
∫ 

 Cách 1: 
Nhận thấy mẫu số có hai nghiệm x = –1 và x = 4, khi đó ( )( )2
2 3 2 3
1 4 1 43 4
x x A B
x x x xx x
+ +
= = +
+ − + −− −
Đồng nhất ta được ( ) ( )
1
2 52 3 4 1
3 4 11
5
AA B
x A x B x
A B B

= −= + 
+ ≡ − + + → ←→ 
= − + 
=

 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 3 
Từ đó 3 2
1 11
2 3 1 11 1 115 5 ln 1 ln 4 .
1 4 5 1 5 4 5 53 4
x dx dxI dx dx x x C
x x x xx x
 
− +
= = + = − + = − + + − + 
+ − + −− −   
 
∫ ∫ ∫ ∫ 
Vậy 3
1 11ln 1 ln 4 .
5 5
I x x C= − + + − + 

 Cách 2: 
Do mẫu số có đạo hàm là 2x – 3 nên ta sẽ phân tích tử số có chứa đạo hàm của mẫu như sau: 
( )2
3 2 2 2 2 2
3 42 3 2 3 6 (2 3) 6 6 ( 1)( 4)3 4 3 4 3 4 3 4 3 4
d x xx x x dx dx dxI dx dx
x xx x x x x x x x x x
− −+ − + −
= = = + = +
+ −− − − − − − − − − −∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
2 2 26 ( 1) ( 4) 6 6 4ln 3 4 ln 3 4 ln 3 4 ln .
5 ( 1)( 4) 5 4 1 5 1
x x dx dx x
x x dx x x x x C
x x x x x
+ − − − 
= − − + = − − + − = − − + + + − − + + ∫ ∫ ∫
Nhận xét: 
Nhìn hai cách giải, thoạt nhìn chúng ta lầm tưởng là bài toán ra hai đáp số. Nhưng, chỉ bằng một vài phép biến đổi 
logarith đơn giản ta có ngay cùng kết quả. 
Thật vậy, theo cách 2 ta có: 
2 6 4 6 6 1 11ln 3 4 ln ln 4 ln 1 ln 4 ln 1 ln 1 ln 4 .
5 1 5 5 5 5
x
x x x x x x C x x
x
−
− − + = − + + + − − + + = − + + −
+
Rõ ràng, chúng ta thấy ngay ưu điểm của cách 2 là không phải đồng nhất, và cũng không cần dùng đến giấy nháp ta 
có thể giải quyết nhanh gọn bài toán, và đó là điều mà tôi mong muốn các bạn thực hiện được! 
 d) 4 2
3 4 3 4
5 6 1 ( 1)(5 1)
x xI dx dx
x x x x
+ +
= =
+ + + +∫ ∫

 Cách 1: 
Ta có 
1
3 53 4 43 4 (5 1) ( 1)
4 17( 1)(5 1) 1 5 1
4
AA Bx A B
x A x B x
A Bx x x x B

= −= ++ 
= + → + ≡ + + + ←→ → 
= ++ + + +  
=

Từ đó 4
3 4 1 17 1 17
( 1)(5 6) 4( 1) 4(5 1) 4 1 4 5 1
x dx dxI dx dx
x x x x x x
 +
= = − + = − + 
+ + + + + + 
∫ ∫ ∫ ∫ 
4
1 17ln 1 ln 5 1 .
4 20
I x x C→ = − + + + + 

 Cách 2: 
Do mẫu số có đạo hàm là 10x + 6 nên ta sẽ phân tích tử số có chứa đạo hàm của mẫu như sau: 
( ) ( )
4 2 2 2 2
3 2210 6 10 63 4 3 2210 10
5 6 1 5 6 1 10 5 6 1 10 5 6 1
x xx dxI dx dx dx
x x x x x x x x
+ + ++
= = = +
+ + + + + + + +∫ ∫ ∫ ∫
( )2 2
2
5 6 13 22 3 22 (5 1) 5( 1)ln 5 6 1
10 5 6 1 10 (5 1)( 1) 10 40 (5 1)( 1)
d x x dx x x
x x dx
x x x x x x
+ + + − +
= + = + + −
+ + + + + +∫ ∫ ∫
2 23 22 5 3 11 1ln 5 6 1 ln 5 6 1 ln .
10 40 1 5 1 10 20 5 1
dx dx x
x x x x C
x x x
+ 
= + + − − = + + − + + + + 
∫ ∫ 
Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 
a) 
3
5 2
4 2 1
1
x xI dx
x
+ −
=
−
∫ b) 6 2
5
3 2
xI dx
x x
−
=
− −
∫ 
Hướng dẫn giải: 
a) Do tử số có bậc lớn hơn mẫu nên chia đa thức ta được 
3
5 2 2
4 2 1 6 14
1 1
x x xI dx x dx
x x
+ − − 
= = + 
− − 
∫ ∫ 
Ta có 2
7
66 1 6 1 26 1 ( 1) ( 1)
1 51 ( 1)( 1) 1 1
2
AA Bx x A B
x A x B x
A Bx x x x x B

== +− − 
= = + → − ≡ − + + ⇔ ⇔ 
− = − +− − + + −  
=

 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 4 
( ) ( )
2
5
7 5 7 54 2 ln 1 ln 1 .
2 1 2 1 2 2
I x dx x x x C
x x
 
→ = + + = + + + − +  + − 
∫ 
b) Ta có 2 2
5 5 5 5 ( 3) ( 1)
3 2 2 3 ( 1)( 3) 1 3
x x x A B
x A x B x
x x x x x x x x
− − −
= = = + → − ≡ + + −
− − + − − + − +
6 2
1 1 5 1 2 2
5 3 2 1 3 1 33 2
A B A x dx dxI dx dx
A B B x x x xx x
= + = −  − − 
→ ⇔ → = = + = − +   
− = − = − + − +− −   
∫ ∫ ∫ ∫ 
( ) ( )2 2
6
3 3
ln 1 2ln 3 ln ln .
1 1
x x
x x C C I C
x x
− −
= − − + + + = + → = +
− −
BÀI TẬP LUYỆN TẬP: 
1) 1 2
2 1
3 2
xI dx
x x
−
=
+ +∫
 2) 2 2
3 4
5 6 1
xI dx
x x
+
=
+ +∫
 3) 
2
3 2
3 1
2 3 1
xI dx
x x
+
=
+ +∫
4) 4 2
5 4
3 2
xI dx
x x
+
=
− −
∫ 5) 5 2
5 3
2 1
xI dx
x x
+
=
− −
∫ 6) 6 2
1 5
4 5 1
xI dx
x x
−
=
+ +∫