Chuyên đề luyện thi đại học môn toán - Nguyên hàm lượng giác

 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn 
I. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC THƯỜNG SỬ DỤNG 

 Các hằng đẳng thức lượng giác: 
2 2
2
2
2
2
sin cos 1
1 1 tan
cos
1 1 cot
sin
tan .cot 1
x x
x
x
x
x
x x
+ =
= +
= +
=

 Công thức góc nhân đôi: 
2 2 2 2cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin
sin 2 2sin .cos
x x x x x
x x x
= − = − = −
=

 Công thức hạ bậc hai: 
2
2
1 cos2
cos
2
1 cos 2
sin
2
x
x
x
x
+
=
−
=

 Công thức cộng: 
( )
( )
sin sin .cos sin .cos
cos cos .cos sin .sin
a b a b b a
a b a b a b
± = ±
± = ∓
(Sin thì cùng dấu khác loài, Cos thì khác dấu nhưng loài giống nhau) 
Chú ý: 
- Trong trường hợp a = b ta được công thức góc nhân đôi: 2 2 2 2
sin 2 2sin .cos
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin
a a a
a a a a a
=

= − = − = −
- Trong trường hợp 2a = b ta được công thức góc nhân ba:
3
3
sin3 3sin 4sin
cos3 4cos 3cos
a a a
a a a
 = −

= −

 Công thức biến đổi tích thành tổng: 
[ ]
[ ]
[ ]
1
cos .cos cos( ) cos( )
2
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
= + + −
= − − +
= + + −
Chú ý: ( )( )
sin sin
cos cos
x x
x x
 − = −

− =
Tài liệu bài giảng: 
07. NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC – P1 
Thầy Đặng Việt Hùng 
 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn 

 Công thức biến đổi tổng thành tích: 
sin sin 2sin .cos
2 2
sin sin 2cos .cos
2 2
cos cos 2cos .cos
2 2
cos cos 2sin .sin
2 2
a b a b
a b
a b a b
a b
a b a b
a b
a b a b
a b
+ −
+ =
+ −
− =
+ −
+ =
+ −
− = −

 Công thức biến tính theo 
2
22
2
2
sin
sin 21
tan tan
2 cos 11
cos
1

= +
= ⇒ ⇒ = =
−−
=
 +
t
x
x x tt
t x
x tt
x
t

 Một số các công thức cần nhớ nhanh 
3 3sin cos (sin cos )(1 sin .cos )+ = + −x x x x x x ; 3 3sin cos (sin cos )(1 sin .cos )− = − +x x x x x x 
4 4 2 2 21 3 1sin cos 1 2sin .cos 1 sin 2 cos4
2 4 4
+ = − = − = +x x x x x x 
6 6 2 2 23 5 3sin cos 1 3sin .cos 1 sin 2 cos4
4 8 8
+ = − = − = +x x x x x x 
pi pi
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
   
+ = + = −   
   
x x x x ; pi pisin cos 2 sin 2 cos
4 4
   
− = − = − +   
   
x x x x 
cos( )1 tan .tan
cos .cos
−
+ =
a b
a b
a b
; 2tan cot
sin 2
+ =x x
x
II. CÁC NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC THƯỜNG SỬ DỤNG 

 1 sin cosI x dx x C= = − +∫ 
 ( ) ( )8 2
1
tan
cos
dxI ax C
ax a
= = +∫ 

 ( ) ( )2 1sin cosI ax dx ax C
a
= = − +∫ 
 9 2 cotsin
dxI x C
x
= = − +∫ 

 3 cos sinI x dx x C= = +∫ 
 ( ) ( )10 2
1
cot
sin
dxI ax C
ax a
= = − +∫ 

 ( ) ( )4 1cos sinI ax dx ax C
a
= = +∫ 
 11
sin
tan ln cos
cos
x dxI x dx x C
x
= = = − +∫ ∫ 

 
2
5
1 os2 sin 2
sin
2 2 4
c x x xI x dx dx C−= = = − +∫ ∫ 
 12
cos
cot ln sin
sin
x dxI x dx x C
x
= = = +∫ ∫ 

 
2
6
1 cos 2 sin 2
cos
2 2 4
x x xI x dx dx C+= = = + +∫ ∫ 
 
2
13 2
1
tan 1 tan
cos
I x dx dx x x C
x
 
= = − = − + 
 
∫ ∫ 

 7 2 tancos
dxI x C
x
= = +∫ 
 
2
14 2
1
cot 1 cot
sin
I x dx dx x x C
x
 
= = − = − − + 
 
∫ ∫ 
 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn 
III. CÁC DẠNG NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 
Dạng 1. Nguyên hàm dùng công thức lượng giác thuần túy 
Ví dụ 1. Tính các nguyên hàm sau: 
a) 21 sin 2I x dx= ∫ b) 22 cos 4I x dx= ∫ c) 2 43 cos .sin= ∫I x x dx 
Hướng dẫn giải: 
a) ( )21 1 cos4 1 1 1 1sin 2 1 cos 4 sin 4 sin 4 .2 2 2 4 2 8
x xI x dx dx x dx x x C x C−  = = = − = − + = − + 
 
∫ ∫ ∫ 
b) ( )22 1 cos8 1 1 1 1cos 4 1 cos8 sin8 sin8 .2 2 2 8 2 16
x xI x dx dx x dx x x C x C+  = = = + = + + = + + 
 
∫ ∫ ∫ 
c) Sử dụng liên tiếp các công thức hạ bậc hai cho sin2x và cos2x ta được: 
( ) 2 222 4 2 2 1 cos 2 1 cos 2 1 cos2 1 cos2 1 cos2 1 cos 2 1 cos2cos .sin cos . sin . . .2 2 2 2 2 4 2
x x x x x x x
x x x x
+ − + − − − − 
= = = = = 
 
( )2 2 21 1 1sin 2 . 1 cos2 sin 2 sin 2 .cos2
8 8 8
x x x x x= − = − 
Khi đó ( )2 4 2 2 23 1 1 1 1 cos 4 1cos .sin sin 2 sin 2 .cos 2 sin 2 sin 28 8 8 2 16
−
= = − = − =∫ ∫ ∫ ∫ ∫
xI x x dx x dx x x dx dx x d x 
3
3
6
1 1 1 sin 2 1 1 1
sin 4 . sin 4 sin 2 .
16 64 16 3 16 64 48
x
x x C I x x x C= − − + → = − − + 
Ví dụ 2. Tính các nguyên hàm sau: 
a) 7 sin3 .cosI x x dx= ∫ b) 8 cos2 .cos3I x xdx= ∫ c) 9 sin 3 sin
dxI
x x
=
+∫
Hướng dẫn giải: 
a) Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng ta được ( )1sin3 .cos sin 4 sin 2
2
x x x x= + 
Từ đó ( ) ( )7 1 1 1 1 1 1 1sin 4 sin 2 sin 4 sin 2 os4 cos 2 os4 cos 2 .2 2 2 4 2 8 4I x x dx x x dx c x x C c x x C
 
= + = + = − − + = − − + 
 
∫ ∫ 
b) ( )8 1 1 1 1 1cos 2 .cos3 cos5 cos sin5 sin sin5 sin .2 2 5 10 2I x x dx x x dx x x C x x C
 
= = + = + + = + + 
 
∫ ∫ 
c) ( )9 2 2 2 2 2
1 sin 1 (cos )
sin3 sin 2sin 2 .cos 4sin .cos 4 sin .cos 4 1 cos .cos
dx dx dx x dx d xI
x x x x x x x x x x
= = = = = −
+
−
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
Đặt ( )
( )
( )
2 2
9 2 22 2 2 2
11 1 1
cos
4 4 4 11 . 1 .
t tdt dt dt
x t I dt
t tt t t t
− +  
= → = − = − = − + 
−
− −  
∫ ∫ ∫ ∫ 
Mà ( ) ( )
( )( )
12
9
22
1
1 1 1 1ln .1 11 1 1 1 4 2 1ln
1 2 1 1 2 1 1 2 1
dt C
t t tI C
t tdt dt dt t t tdt C
t t t t t t
= − +
 +
→ = − − + + 
− + + +  − 
= = + = + 
− − + + − − 
∫
∫ ∫ ∫ ∫
Thay t = cosx vào ta được 9
1 1 1 1 cosln .
4 cos 2 1 cos
xI C
x x
 +
= − − + + 
− 
 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn 
Ví dụ 3. Tính các nguyên hàm sau: 
a) 1 sin .sin 2 .cos5= ∫I x x x dx b) 2
sin 3 .cos 4
tan 2 cot 2
=
+∫
x xI dx
x x
 c) 
3
3
sin
3sin 4 sin 6 3sin 2
=
− −
∫
xI dx
x x x
Ví dụ 4. Tính các nguyên hàm sau: 
a) 31 cos .cos3= ∫I x x dx b) 22 cos .cos 2= ∫I x x dx 
c) 4 4 6 63 (sin cos )(sin cos )= + +∫I x x x x dx 
Ví dụ 5. Tính các nguyên hàm sau: 
a) 1 sin cos 2= ∫I x x dx b) 2 sin 3 cos= ∫I x x dx 
c) 2 23 (2sin sin .cos cos )= − −∫I x x x x dx