Chuyên đề luyện thi đại học môn toán - Nguyên hàm lượng giác (phần 5)

 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn 
Dạng 5. Nguyên hàm dùng biến đổi vi phân ( )

→± ± ←

→+ − ←
∓
2 2
4 4
d( Asin x Bcos x C ) ( A B )sin 2x dx
d sin x cos x sin4 x dx
Cách giải: 

 Ta có ( )24 4 2 2 2 2 21 1 1 cos 4 3 1sin cos sin cos 2sin .cos 1 sin 2 1 . cos4 .2 2 2 4 4
x
x x x x x x x x
−
+ = + − = − = − = + 
Từ đó ( )4 4 3 1sin os os4 sin 4 .4 4d x c x d c x x dx + = + = −   

 Dạng nguyên hàm này thường được “ngụy trang” vào các hàm số có vẻ phức tạp, nên các bạn hãy cố gắng nhớ được 
vi phân của nó. 

 Với các nguyên hàm lượng giác mà mẫu số có vẻ “dài dòng” thì một kinh nghiệm là các em hãy lấy vi phân của 
mẫu số xem tử số có quan hệ gì với vi phân đó hay không ? 
Chú ý: Ngoài hai công thức trên, dạng nguyên hàm này cũng có thể chứa + = −6 6 23sin x cos x 1 sin 2x.
4
Ví dụ 1. Tính các nguyên hàm sau: 
a) 1 2 2
sin 2
cos 4sin
xI dx
x x
=
+
∫ b) 2 2 2
sin 2
2sin 4cos 2 5cos
x dxI
x x x
=
− +∫
 Hướng dẫn giải: 
 a) Ta có ( ) ( )2 2cos 4sin 2sin .cos 8sin .cos 6sin .cos 3sin 2d x x x x x x dx x x dx x dx+ = − + = = 
( )2 21sin 2 cos 4sin .3x dx d x x→ = + 
Từ đó 
( ) ( )2 2 2 2 2 2
1 2 2 2 2 2 2
cos 4sin cos 4sinsin 2 1 2 2
cos 4sin .
3 3 3cos 4sin cos 4sin 2 cos 4sin
d x x d x xxI dx x x C
x x x x x x
+ +
= = = = + +
+ + +
∫ ∫ ∫ 
Bình luận: 
Ngoài cách giải như trên, chúng ta có thể mạnh dạn vận dụng kiến thức lượng giác để biến đổi mẫu số gọn gàng hơn 
như sau + −+ = + = − +2 2 1 cos2x 1 cos2x 3 5cos x 4 sin x 4. cos2x
2 2 2 2
Khi đó 
   
− + − +   
   
= = = = − + +
− + − + − +
∫ ∫ ∫1
3 5 3 5d cos2x d cos2x
sin 2x dx 1 2 2 3 52 2 2 2I cos2x C.
3 3 3 2 23 5 3 5 3 5
cos2x cos2x 2 cos2x
2 2 2 2 2 2
Rõ ràng hai kết quả thu được hoàn toàn giống nhau! 
b) Ta có ( ) ( )2 2 5 5 72sin 4cos 2 5cos 1 cos 2 4cos 2 1 cos 2 cos 2
2 2 2
x x x x x x x− + = − − + + = − + 
Khi đó ( )2 5cos 2 7sin 2 sin 2 2 22 ln 5cos 2 7 .5 7 5cos 2 7 5 5cos 2 7 5
cos 2
2 2
d xx dx x dxI x C
x x
x
−
= = − = = − +
− −
− +
∫ ∫ ∫ 
Ví dụ 2. Tính các nguyên hàm sau: 
a) 1 4 4
2sin 4
sin cos
x dxI
x x
=
+
∫ b) ( )2 20104 4
sin 4
sin cos
x dxI
x x
=
+
∫ 
c) 3 4 4
sin 2 2cos 2
sin cos
x xI dx
x x
+
=
+∫
 d) 4 6 6
sin cos
sin cos
x xI dx
x x
=
+∫ 
 Hướng dẫn giải: 
Tài liệu bài giảng: 
07. NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC – P5 
Thầy Đặng Việt Hùng 
 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn 
Bình luận: 
Ngoài cách giải truyền thống cho loại nguyên hàm này bằng cách lấy vi phân trực tiếp cho biểu thức ở mẫu số, ở đây 
thầy giới thiệu cách làm thiên về biến đối lượng giác kết hợp với vi phân. 
a) Ta có 4 4 2 1
1 1 1 cos 4 3 1 2sin 4 4sin 4
sin cos 1 sin 2 1 . cos 4
2 2 2 4 4 3 1 3 cos4
cos4
4 4
x x dx x dx
x x x x I
x
x
−
+ = − = − = + → = = =
+
+
∫ ∫ 
1
(cos 4 ) (3 cos4 )2 2 3 cos4 2 3 cos4 .
3 cos4 2 3 cos4
d x d x
x C I x C
x x
+
= − = − = − + + → = − + +
+ +∫ ∫
b) Tương tự, thay ( )4 4 2 2010 2010cos 43 1 sin 4 1sin cos cos 44 4 43 1 3 1
cos 4 cos 4
4 4 4 4
d xx dx
x x x I
x x
+ = + → = = − =
   
+ +   
   
∫ ∫ 
( )2010 2009 20094 4
1 3
cos4
1 14 4
.
3 1 3 1 2009 sin cos
cos4 2009 cos4
4 4 4 4
d x
C C
x x
x x
 
+ 
 
= − = + = +
    ++ +   
   
∫ 
c) 3 4 4 2 2 2
2
sin 2 2cos 2 sin 2 2cos2 2sin 2 4cos 2 2sin 2 4cos 2
1sin cos 2 sin 2 2 sin 2 2 sin 21 sin 2
2
x x x x x x x xI dx dx dx dx dx
x x x x x
x
+ + +
= = = = +
+ − − −
−
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 

 ( ) ( ) 12 2 22
2sin 2 2sin 2 2sin 2 (cos 2 )
arctan cos 2 .
2 sin 2 1 cos 2 1 cos 22 1 cos 2
x x x d xdx dx dx x C
x x xx
= = = − = +
− + +
− −
∫ ∫ ∫ ∫ 

 
( ) ( )
( )( )2 2 2
2 24cos2 (sin 2 ) 2 1 1 12 2
2 sin 2 2 sin 2 2 2 2 2 2 22 2
t tx d x dtdx dt dt
x x t t tt t
+ − −
− −  
= = = = − = 
− − −
− + − +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
2 2
1 2 1 sin 2 2ln ln .
2 2 2 sin 2 2
t xC C
t x
− − − −
= + = +
+ +
Từ đó ta được ( ) ( )3 1 21 sin 2 2 1 sin 2 2arctan os2 ln arctan os2 ln .2 sin 2 2 2 sin 2 2
x xI c x C C c x C
x x
− − −
= + + + = − +
+ +
d) Ta có 4 2 2
26 6 2
1 1
sin cos sin 2 sin 2 2sin 2 (cos2 )2 2
.33 4 3sin 2 4 3 3cos 21 sin 2sin cos 1 sin 2 44
x x x x
x d xI dx dx
x xxx x x

=
−
→ = = =
− − +
−+ = −

∫ ∫ ∫ 
Đặt 
( )
( )
( ) ( ) ( )4 2 2 2
31 1 1
cos2 arctan 3 arctan 3 cos 2
1 3 3 3 33 1 3 1
d tdt dt
t x I t C x C
t t t
−
= → = = − = − = − + = − +
+ + +
∫ ∫ ∫ 
Ví dụ 3. Tính các nguyên hàm sau: 
a) 1 2 2
sin 2
3sin x cos
x dxI
x
=
+∫
 b) 2 2 2 2 2
cos sin
sin cos
x xdxI
a x b x
=
+
∫ 
c) 3 4 4
sin 4
sin cos
=
+∫
x dxI
x x
 d) ( )4 2 4 4
sin 4
cos sin cos
=
+∫
x dxI
x x
e) ( )5 4 4
sin 4
tan sin cos
=
+∫
x dxI
x x
Dạng 6. Nguyên hàm lượng giác mẫu số có dạng sina.sinb; cosa.cosb; sina.cosb 
Cách giải: 

 Nếu mẫu số có chứa sina.sinb thì ta phân tích tử số theo sin(a – b) 

 Nếu mẫu số có chứa cosa.cosb thì ta phân tích tử số theo sin(a – b) 

 Nếu mẫu số có chứa sina.cosb thì ta phân tích tử số theo cos(a – b) 
 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn 
Ví dụ. Tính các nguyên hàm sau: 
a) 1 pi
sin .cos
4
=
 
+ 
 
∫
dxI
x x
 b) 2 pi pi
cos .cos
6 3
=
   
+ +   
   
∫
dxI
x x
c) 3 pi
cos .sin
6
=
 
+ 
 
∫
dxI
x x
 d) 4 pi
sin .sin
6
=
 
+ 
 
∫
dxI
x x