Chuyên đề luyện thi đại học môn toán - Phương pháp đổi biến số tìm nguyên hàm (tiếp)

 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 1 
Dạng 1. Đổi biến số cho các hàm vô tỉ 
Phương pháp giải: 
Nếu hàm f(x) có chứa ( )n g x thì đặt 1( ) ( ) . '( )n nnt g x t g x n t g x dx−= ⇔ = → = 
Khi đó, ( ) ( )I f x dx h t dt= =∫ ∫ , việc tính nguyên hàm ( )h t dt∫ đơn giản hơn so với việc tính ( ) .f x dx∫ 

 MỘT SỐ VÍ DỤ MẪU: 
Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 
a) 1 4 1
xdxI
x
=
+∫
 b) 3 22 2I x x dx= +∫ c) 
2
3 1
x dxI
x
=
−
∫ 
Hướng dẫn giải: 
a) Đặt 
2
2 22
1
12 4
. 14 24 1 4 1 ( 1)1 84 1
4
t tdttdt dx
xdx
t x t x I t dtt txx
−
=

= + ⇔ = + → → = = = −
−
+=

∫ ∫ ∫ 
33 (4 1)1 1 4 1 .
8 3 8 3
xt
t C x C
 + 
 = − + = − + +      
b) Đặt 2 2 2 2 2 3 2 22 2 2 2 2 . ( 2).t x t x x t xdx tdt x dx x xdx t tdt= + ⇔ = + → = − ⇔ = → = = − 
Khi đó ( ) ( ) ( ) ( )
5 32 25 3
2 3 2 4 2
2
2 2 2
2 . . 2 2 2.
5 3 5 3
x xt tI x x dx t t tdt t t dt C C
+ +
= + = − = − = − + = − +∫ ∫ ∫ 
c) Đặt ( )
( )2222 2
2 32 2
2 1 .
1 1 1 2
1 1
dx tdt t tdtx dx
t x t x x t I
tx t x
= −
−
= − ⇔ = − ⇔ = − → → = = −
= − −
∫ ∫ 
( ) ( ) 5 35 322 4 2 (1 ) 2 (1 )22 1 2 2 1 2 2 15 3 5 3
x xt t
t dt t t dt t C x C
   − −
 = − − = − − + = − − + + = − − + − + 
    
∫ ∫ 
Khi đó ( ) ( ) ( ) ( )
5 32 25 3
2 3 2 4 2
2
2 2 2
2 . . 2 2 2. .
5 3 5 3
x xt tI x x dx t t tdt t t dt C C
+ +
= + = − = − = − + = − +∫ ∫ ∫ 
Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 
a) 4
ln
1 ln
x dxI
x x
=
+∫
 b) 
2
5 3
ln
2 ln
xdxI
x x
=
−
∫ c) 6
ln 3 2lnx x dxI
x
+
= ∫ 
Hướng dẫn giải: 
a) Đặt ( )
2 2
2
4
ln 1 1 .2ln1 ln 1 ln
1 ln2
x t t tdtx dx
t x t x Idx
x txtdt
x
 = −
−
= + ⇔ = + → → = =
+=

∫ ∫ 
( ) 3 332 4(1 ln ) 2 (1 ln )2 1 2 2 1 ln 2 1 ln .3 3 3
x xt
t dt t C x C I x C
 + + 
 = − = − + = − + + → = − + +      
∫ 
b) Đặt 
3
2 3 2 2
33
52 3
ln 2 ln (2 ) .32 ln 2 ln .
2 ln3
x t
x dx t t dt
t x t x Idx
x txt dt
x
 = −
−
= − ⇔ = − → → = =
−=

∫ ∫ 
Tài liệu bài giảng: 
03. PP ĐỔI BIẾN SỐ TÌM NGUYÊN HÀM – P1 
Thầy Đặng Việt Hùng 
 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 2 
( ) 8 58 5 3 37 4 2 23(2 ln ) 4 (2 ln )43 4 4 3 2 3 2 (2 ln )8 5 8 5
x xt t
t t t dt t C x C
 
− − 
 = − + = − + + = − + − +      
∫ 
c) Đặt 
2
2
3ln
23 2ln 3 2ln
2 2
t
x
t x t x
dx
tdt
x

−
=
= + ⇔ = + →

=

Từ đó ta có ( )2 4 26 ln 3 2ln 3 1ln 3 2ln . . . 32 2x x dx dx tI x x t tdt t t dtx x
 + −
= = + = = − 
 
∫ ∫ ∫ ∫ 
( ) ( ) ( ) ( )5 3 5 35 5 33
6
3 2ln 3 2ln 3 2ln 3 2ln1
.
2 5 10 2 10 2 10 2
x x x xt t t
t C C C I C
+ + + + 
= − + = − + = − + → = − + 
 
Ví dụ 3. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 
a) 7
1x
dxI
e
=
−
∫ b) ( )
2
8 3
1
x
x
e dxI
e
=
+
∫ c) 9 2 4
dxI
x x
=
+
∫ d) 10 4 1
dxI
x x
=
+
∫ 
Hướng dẫn giải: 
a) Đặt 
2
2
2
2
11
1 1 2
2
1
x
x
x x
x
e t
e t
t e t e tdtdxe dx tdt
t
 = − = − 
= − ⇔ = − → ←→ 
== 
−
Khi đó 7 2 2
2 2 2 ( 1) ( 1)
( 1)( 1) ( 1)( 1) 1 1.( 1) 11x
dx tdt dt dt t t dt dtI dt
t t t t t tt t te
+ − −
= = = = = = −
− + − + − +− −
−
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
7
1 1 1 1 1ln 1 ln 1 ln ln ln .
1 1 1 1 1
x x
x x
t e e
t t C C C I C
t e e
− − − − −
= − − + + = + = + → = +
+
− + − +
b) Đặt 
( ) ( )
( )22 22
8 33 3
1 .21 .1 1
2 1 1
x x x x
x x
x
x x
t tdte t e dx e e dx
t e t e I
te dx tdt e e
− = −
= + ⇔ = + → → = = =
= + +
∫ ∫ ∫ 
( )2 2
3 2 2
1 .2 1 1 12 2 2 2 1 .
1
x
x
t tdt t dtdt dt t C e C
tt t t e
−  
−    
= = = − = + + = + + +          + 
∫ ∫ ∫ ∫ 
c) Đặt 
2 2
2 2
2 2 2
2 2
444 4
2 2
4
x t
x t
t x t x dx xdx tdt
xdx tdt
x x t
 = − = − 
= + ⇔ = + → ←→ 
= = = 
−
Khi đó, 9 2 22 2
1 1 1 ( 2) ( 2) 1
.
4 ( 2)( 2) 4 2 24 44 4
dx dx tdt dt t t dt dtI dt
x t t t t tt tx x x
+ − −  
= = = = = = − + − − +− −  + +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
( ) 2 292 21 1 2 1 4 2 1 4 2ln 2 ln 2 ln ln ln .4 4 2 4 44 2 4 2
t x x
t t C C C I C
t x x
− + − + −
= − − + + = + = + → = +
+ + + + +
d) Đặt 
4 2
4 2
4 2 4 3
3
4 2
1
1
1 1
4 2
2( 1)
x t
x t
t x t x dx x dx tdt
x dx tdt
x x t
 = −
 = − 
= + ⇔ = + → ←→ 
= == 
−
Khi đó, 10 2 24 4
1 1 1 1 ( 1) ( 1)
. .
2 4 ( 1)( 1)2( 1) 11 1
dx dx tdt dt t tI dt
x t t tt tx x x
+ − −
= = = = =
+ −− −+ +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
( ) 4
4
1 1 1 1 1 1 1ln 1 ln 1 ln ln .
4 1 1 4 4 1 4 1 1
dt dt t x
t t C C C
t t t x
− + − 
= − = − − + + = + = + 
− + +  + +
∫ ∫ 
Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 
 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 3 
a) 11 1 2 5
dxI
x
=
+ −∫
 b) 12 21 2
x dxI
x
=
− +
∫ 
c) 
3
13 3 24
x dxI
x
=
+
∫ d) 
2
14
1 4ln lnx xI dx
x
+
= ∫ 
Hướng dẫn giải: 
a) Đặt 2 22 5 2 5 2 5
5
tdt
t x t x tdt dx dx= − ⇔ = − ⇔ = − → = − 
Khi đó, ( )11 2 2 1 1 2 1 21 ln 15 1 5 1 5 1 51 2 5
dx t dt tI dt dt t t C
t t tx
+ −  
= = − = − = − − = − − + + + + ++ −  ∫ ∫ ∫ ∫
( )11 2 2 5 ln 2 5 1 .5I x x C→ = − − − − + + 
b) Đặt 2 2 22 2 2 2t x t x tdt xdx xdx tdt= + ⇔ = + ⇔ = → = 
Khi đó, 12 2
1 (1 ) 1 (1 )1 ln 1
1 1 1 11 2
x dx t dt t d tI dt dt dt t t C
t t t tx
− − − 
= = = = − = − − = − − − + 
− − − − 
− +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
2 2
12 ln 1 2 2 .I x x C→ = − − + − + + 
c) Đặt ( )
2 3
2 3
3 2 3 2 3 3 22
2
44 34 4 43 23 2
2
x t
x t
t x t x x dx t t dtt dt
t dt xdx xdx
 = − = − 
= + ⇔ = + → ←→ → = − 
= = 

( ) ( ) ( ) ( )
5 22 23 2 3 33 5
4 2
13 3 2
3 4 3 443 3 34 2 .
2 2 2 5 10 44
x xt t dtx dx tI t t dt t C C
tx
+ +
−  
→ = = = − = − + = − + 
+  
∫ ∫ ∫ 
d) Đặt 2 2 2 ln1 4ln 1 4ln 2 4.2ln .
4
dx x dx tdt
t x t x tdt x
x x
= + ⇔ = + ←→ = → = 
( )3232 2
14
1 4lnln 11 4ln . .
4 4 12 12
xx dx tdt tI x t t dt C C
x
+
→ = + = = = + = +∫ ∫ ∫ 

 BÀI TẬP TỰ LUYỆN: 
1) 1
4 3
1
xI dx
x
−
=
+∫
 2) 2 2 1
xdxI
x
=
+∫
3) 3
1xI dx
x
+
= ∫ 4) 4 1 1 3
dxI
x
=
+ +∫
5) 7 1 2 1
xdxI
x
=
+ −∫
 6) 3 26 1I x x dx= −∫ 
7) 37 4I x x dx= +∫ 8) 28 3 2I x x dx= −∫ 
9) 
3
9 3 21
x dxI
x
=
+
∫ 10) 10 3 1
dxI
x x
=
+
∫ 
11) 11 3 2 4
dxI
x x
=
+
∫ 12) 12
1 3ln lnx xI dx
x
+
= ∫ 
13) 
2
13
1 1
x
x
e dxI
e
=
+ −
∫ 14) ( )14 21
dxI
x x
=
+
∫