Chuyên đề luyện thi đại học môn toán - Phương pháp từng phần tìm nguyên hàm

 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn 
CƠ SỞ PHƯƠNG PHÁP: 
Công thức nguyên hàm từng phần ( ). ( )I P x Q x dx udv uv vdu= = = −∫ ∫ ∫ 
Độ ưu tiên khi lựa chọn đặt u: 
Hàm logarith, lnx → hàm đa thức → hàm lượng giác = hàm mũ. 

 Nếu I có chứa [ ]ln ( )n g x thì đặt [ ] [ ]( )ln ( ) ln ( ) 'n nu g x du g x= → = 
 Nếu I có chứa hàm đa thức (không chứa hàm loga) thì đặt u = P(x) 
 Nếu I có chứa cả hàm lượng giác và hàm mũ thì ta có thể đặt tùy ý, tuy nhiên qua trình tính sẽ gồm các vòng lặp. 
Để việc tính toán đúng thì trong mỗi vòng lặp, các thao tác đặt u phải cùng dạng hàm với nhau. 

Chú ý: 
Với các bài toán tìm nguyên hàm từng phần, chúng ta có thể sử dụng cách giải truyền thống (đặt u, tìm v) hoặc cách 
giải nhanh(chuyển nguyên hàm cần tính về dạng udv∫ ) mà không cần đặt u, v. Tuy nhiên cách giải nhanh chỉ có thể 
dùng được khi học sinh phải rất thành thạo vi phân. 
Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 
a) 1 sinI x x dx= ∫ b) 32 xI xe dx= ∫ c) 23 cosI x x dx= ∫ d) 4 lnI x x dx= ∫ 
Hướng dẫn giải: 
a) 1 sinI x x dx= ∫ 
 Cách 1: Đặt 
sin cos
u x du dx
xdx dv v x
= = 
←→ 
= = − 
1 sin cos cos cos sin .I x xdx x x xdx x x x C→ = = − + = − + +∫ ∫ 
 Cách 2: 1 sin (cos ) cos cos cos sinI x xdx xd x x x x dx x x x C = = − = − − = − + + ∫ ∫ ∫ 
---------------------------------------------------- 
b) 32 xI xe dx= ∫ 
 Cách 1: Đặt 33 1
3
xx
du dx
u x
v ee dx dv
=
= 
←→ 
== 
3 3 3 3 3 3 3
2
1 1 1 1 1 1(3 )
3 3 3 9 3 9
x x x x x x xI xe dx xe e dx xe e d x xe e C→ = = − = − = − +∫ ∫ ∫ 
 Cách 2: ( )3 3 3 3 3 3 3 32 1 1 1 1 1 1(3 )3 3 3 3 3 3x x x x x x x xI xe dx x d e xe e dx xe e d x xe e C    = = = − = − = − +       ∫ ∫ ∫ ∫ 
------------------------------------------------------------ 
c) 23 cosI x x dx= ∫ 
 Cách 1: Đặt 
2 2
sincos
du xdxu x
v xx dx dv
 ==
←→ 
== 
Khi đó 2 2 23 cos sin 2 sin sin 2I x x dx x x x x dx x x J= = − = −∫ ∫ 
Xét sin .J x x dx= ∫ Đặt cos cos cos sinsin cos
u x du dx
J x x xdx x x x
x dx dv v x
= = 
←→ → = − + = − + 
= = − 
∫ 
( )23 sin 2 cos sin .I x x x x x C→ = − − + + 
 Cách 2: 2 2 2 2 23 cos (sin ) sin sin ( ) sin 2 sinI x x dx x d x x x x d x x x x x dx= = = − = −∫ ∫ ∫ ∫ 
Tài liệu bài giảng: 
08. PP TỪNG PHẦN TÌM NGUYÊN HÀM 
Thầy Đặng Việt Hùng 
 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn 
2 2 2sin 2 (cos ) sin 2 cos 2 cos sin 2 cos 2sin .x x xd x x x x x x dx x x x x x C= + = + − = + − +∫ ∫ 
------------------------------------------------------------ 
d) 4 lnI x x dx= ∫ 
 Cách 1: Đặt 
2 2 2 2
42
ln
ln ln . ln .
2 2 2 4
2
dxdu
u x x x dx x xx I x x dx x x C
x dx dv xx
v

=
= 
←→ → = = − = − + 
= 
=

∫ ∫ 
 Cách 2: ( )
2 2 2 2 2 2 2
4 ln ln ln ln ln ln .2 2 2 2 2 2 4
x x x x x dx x xI x xdx x d x d x x x C
x
 
= = = − = − = − + 
 
∫ ∫ ∫ ∫ 
Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 
a) 25 lnI x x dx= ∫ b) ( )26 ln 1I x x dx= +∫ 
c) ( )27 ln 1I x x dx= + +∫ d) 8 sinxI e xdx= ∫ 
Hướng dẫn giải: 
a) 25 lnI x x dx= ∫ 
 Cách 1: Đặt 
3 3 3 3
2
52 3
ln
ln ln . ln .
3 3 3 9
3
dxdu
u x x x dx x xx I x x dx x x C
xx dx dv x
v

== 
←→ → = = − = − + 
= 
=

∫ ∫ 
 Cách 2: ( )
3 3 3 3 3 3 3
2
5 ln ln ln ln ln ln .3 3 3 3 3 3 9
x x x x x dx x xI x x dx x d x d x x x C
x
 
= = = − = − = − + 
 
∫ ∫ ∫ ∫ 
------------------------------------------------------------ 
b) ( )26 ln 1I x x dx= +∫ 
Ta có ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 22 2 2 26 ln 1 ln 1 ln 1 ln 12 2 2x x xI x x dx x d x d x
 
= + = + = + − + 
 
∫ ∫ ∫ 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
2 2 22ln 1ln 1 . ln 1 ln 1 ln 1
2 2 1 2 1 2
xx x x x x
x dx x x dx x J
x x
+
= + − = + − + = + −
+ +∫ ∫ 
Xét ( ) ( ) ( )
2 2( 1) 1 1ln 1 ln 1 1 ln 1
1 1 1
− +  
= + = + = − + + = + + + ∫ ∫ ∫
x xJ x dx x dx x x dx
x x x
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )21 ln 1 ln 1 ln 1 ln 1 ln 11 2
dx x
x x dx x x d x x d x
x
 
= − + + + = + − + + + = 
+  
∫ ∫ ∫ ∫ 
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2 2ln 1 ln 11 2ln 1 ln 1 ln 12 2 2 2 2 1 2
x xx x x x x
x x x d x x x dx
x
    +   +
−
= − + − − + + = − + − +     
+     
∫ ∫ 
Xét 
2 22 33 3 3ln 1
1 1 2
x x xK dx x dx x x
x x
−  
= = − + = − + + + + ∫ ∫
( ) ( )
22 2 ln 11ln 1 3 3ln 1 .
2 2 2 2
xx xJ x x x x C
    +
→ = − + − − + + + +   
   
Từ đó ta được ( ) ( ) ( )
2 2 22 2
6
ln 1 ln 11ln 1 3 3ln 1 .
2 2 2 2 2
x x xx xI x x x x C
+     +
= − − + + − + + − +   
   
------------------------------------------------------------ 
c) ( )27 ln 1I x x dx= + +∫ 
 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn 
Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 2 27 2
1
1ln 1 ln 1 ln 1 ln 1
1
x
xI x x dx x x x xd x x x x x xdx
x x
+
+ 
= + + = + + − + + = + + −
   + +
∫ ∫ ∫ 
( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 22 211ln 1 ln 1 ln 1 1 .21 1
d xx dx
x x x x x x x x x x C
x x
+
= + + − = + + − = + + − + +
+ +
∫ ∫ 
Vậy ( )2 27 ln 1 1 .I x x x x C= + + − + + 
------------------------------------------------------------ 
d) 8 sinxI e xdx= ∫ 
Ta có ( ) ( ) ( )8 sin sin sin sin sin cos sin cosx x x x x x x xI e x dx x d e e x e d x e x e x dx e x x d e= = = − = − = −∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
( ) ( )sin cos sin cos cos sin cos sinx x x x x x x xe x x d e e x e x e d x e x e x e x dx   = − = − − = − +   ∫ ∫ ∫ 
8 8 8
sin cos
sin cos sin cos .
2
x x
x x x x e x e xe x e x I e x e x I I C− = − + = − − → = +  
Nhận xét: Trong nguyên hàm I8 chúng ta thấy rất rõ là việc tính nguyên hàm gồm hai vòng lặp, trong mỗi vòng ta đều 
nhất quán đặt u là hàm lượng giác (sinx hoặc cosx) và việc tính toán không thể tính trực tiếp được. 
BÀI TẬP LUYỆN TẬP: 
1) 1
1 lnI x x dx
x
 
= + 
 
∫ 2) 22 ln(3 )I x x dx= +∫ 
3) 23 ( 2 )sinI x x x dx= +∫ 4) ( )24 lnI x x dx= +∫ 
5) 25 ln( 1)I x x dx= +∫ 6) 26 tanI x x dx= ∫ 
7) 2 27 ln( 1)= +∫I x x dx 8) 8 sin= ∫I x x dx 
9) 9 2
ln( 1)
(2 1)
−
=
+∫
xI dx
x
 10) 10 2
ln(2 1)
(1 3 )
+
=
−
∫
xI dx
x
11) 211 .sin .cos= ∫I x x x dx 12) 
2
12 2( 2)= +∫
xx eI dx
x
13) 13
1
.ln
1
+
=
−
∫
xI x dx
x
 14) 214 ln( 1 )= + +∫I x x dx 
15) 
2
15 2
ln( 1 )
1
+ +
=
+
∫
x x xI dx
x
 16*) 
2
16 2
ln( 1 )
1
+ +
=
+ +
∫
x x xI dx
x x
17) 217 ln( 1 )= + +∫I x x x dx 18) 18 2 2
ln
( 1)= +∫
x xI dx
x
19) 19 cos(ln )= ∫I x dx 20) 20 2
1 1
ln ln
 
= − 
 
∫I dxx x