Chuyên đề luyện thi đại học môn toán - Phương pháp từng phần tính tích phân

 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn 

 Công thức tích phân từng phần ( )= = −∫ ∫
b b
b
a
a a
I udv uv vdu 

 Thứ tự ưu tiên khi đặt u : Hàm loga, ln → Hàm đa thức→ Hàm lượng giác = Hàm mũ. 
Ví dụ 1: Tính các tích phân sau: 
a) 
1
1
0
sinxI e xdx= ∫ b) 2 2
1
ln
( 1)
e
e
xI dx
x
=
+∫
 c) 23
1
ln
e
I x xdx= ∫ 
d) 
1
2
4
0
ln(1 )I x x dx= +∫ e) 
1
2
5
0
xI x e dx= ∫ 
Hướng dẫn giải: 
a) Đặt ( ) ( )1 11 11 0 0
0 0
sin cos cos . cos
sin cos
x x
x x x xe u e dx du I e xdx e x x e dx e x J
xdx dv x v
 = =
⇒ ⇒ = = − + = − + 
= − = 
∫ ∫ 
Đặt ( )1 11 10 1' 0
0 0
cos sinx
cos sin sin sinx x x x
x x
xdx dv v
J xe dx e x xe dx e x I
u e du e dx
= = 
⇒ ⇒ = = − = − 
= = 
∫ ∫ 
( ) ( )1 11 10 0 1 (sin1 cos1)2 sin cos 1 (sin1 cos1) 2x x
eI e x e x e I − −⇒ = − = − − ⇒ = 
b) Đặt 2 2 11 12
ln
ln ln
1 ( 1) 1 ( 1)( 1)
1
ee e
e
e e
dx
x u du
x x dxx I dxdx dv x x x x
vx
x

= = 
⇒ ⇒ = = − + 
= + + + 
= −+  +
∫ ∫ 
1
1 11 1
ln ln ln 1 1 0.
1 ( 1) 1 1
e ee e
e
e
e e
e e
x dx dx x x
x x x x x
= − + − = − + = − + =
+ + + +∫ ∫
c) Đặt 
2 2 2
2 2 2 2
32
1 1 11 1
2ln
ln ln ln ln ln ln
2 2
2
e e
e e e
dxdu x
x u x dx xx I x xdx x x x x x xdx
xxdx dv x
v

=    = 
⇒ ⇒ = = − = −     
=     
=

∫ ∫ ∫ 
Xét 
1
ln .
e
J x xdx= ∫ Đặt 
2 2 2
2
11 1
ln 1ln ln
2 2 2 4
2
e e
e
dxdu
u x x x xx J x xdx x
xdx dv x
v

==     
⇒ ⇒ = − = −     
=    
=

∫ 
2 2 2 2
2
3
1
1ln ln .
2 2 4 4
e
x x x eI x x
  −
→ = − + = 
 
d) Đặt 
2 2
2
2
ln(1 ) 1
2
xdxdu
x u x
xdx dv x
v

= + =  +
⇒ 
= 
=

( )
1 11 1 12 3 2
2 2 2
4 2 2
0 0 00 0
1 1 1 1 112 2 2 2
2 2 2
2
0 00 0 0 0
ln(1 ) ln(1 ) ln(1 )
2 1 2 1
1 1ln(1 ) ln(1 ) ln 1 ln 2
2 2 1 2 2 2 2
x x dx x xI x x dx x x x dx
x x
x x xdx x x
x x x
x
     
⇒ = + = + − = + − − =     + +    
         
= + − + = + − + + = −         +         
∫ ∫ ∫
∫
Tài liệu bài giảng: 
11. PP TỪNG PHẦN TÍNH TÍCH PHÂN 
Thầy Đặng Việt Hùng 
 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn 
e) Đặt ( ) ( )2 1 11 12 2 25 0 0
0 0
2
2 2x x x x
xx
du xdxx u
I x e dx x e xe dx x e J
v ee dx dv
= = 
⇒ ⇒ = = − = − 
== 
∫ ∫ 
Xét 
1
0
.
xJ xe dx= ∫ Đặt ( ) ( )
1 11 1
0 0
0 0
x x x x x
x x
x u du dx
xe dx xe e dx xe e
e dx dv v e
= = 
⇒ ⇒ = − = − 
= = 
∫ ∫ 
Vậy ( ) ( ) ( )1 1 12 25 0 0 02 2 1.x x x xI x e J x e xe e e= − = − − = − 
Ví dụ 2: Tính các tích phân sau: 
a) 
2
1
1
( 1) ln= −∫I x xdx b) 2 2
1
ln
= ∫
e
xI dx
x
 c) 
2
3 2
1
ln
= ∫
e
xI dx
x
Ví dụ 3: Tính các tích phân sau: 
a) 
2
1 2
1
ln( 1)
(2 1)
+
=
−
∫
xI dx
x
 b) 
1
2
2
0
(2 1)= −∫ xI x e dx c) 
24
3
0
2 cos
1 sin 2
pi
+
=
+∫
x xI dx
x
Ví dụ 4: Tính các tích phân sau: 
a) 
2
2
1
1
ln( )= +∫I x x x dx b) 
3
2 2
0
sin
cos
pi
= ∫
x xI dx
x
 c) 
6
2 2
3
0
2 cos .sin
pi
= ∫I x x xdx 
Ví dụ 5: Tính các tích phân sau: 
a) 
1
1 2
0 ( 1)
=
+∫
xxeI dx
x
 HD: Đặt = xu xe 
b) 
2 2
2 2
0 ( 2)
=
+∫
xx eI dx
x
 HD: Đặt 2= xu x e 
c) 
4
3
0
sin ( 1)cos
sin cos
pi
+ +
=
+∫
x x x xI dx
x x x
 HD: Đạo hàm biểu thức của mẫu số để tìm mối quan hệ với tử số. 
d) 
1 2 2
3
0
2
1 2
+ +
=
+∫
x x
x
x e x eI dx
e
Ví dụ 6: Tính các tích phân sau: 
a) 
4
1 2 2
0
tan
cos (tan 1)
pi
+
=
+∫
x xI dx
x x
 b) 
6
2 2
0
tan tan 2
cos 2
pi
+
= ∫
x x xI dx
x
 c) 3
0 1 sin
pi
=
+∫
xI dx
x
Ví dụ 7: Tính các tích phân sau: 
a) 
2
1 2
1 1
ln ln
 
= − 
 
∫
e
e
I dx
x x
 b) 
4
2 2
3
sin 2 ln(sin )
cos
pi
pi
+
= ∫
x x xI dx
x
 c) 
2
4
3
4
sin
pi
pi
= ∫I xdx 
Ví dụ 8: Tính các tích phân sau: 
a) 
2
1 2
2 ln
2ln
−
= ∫
e
e
x x xI dx
x
 b) 
4
2 2
0
ln(sin cos )
cos
pi
+
= ∫
x xI dx
x
 c) 
2
3
1
1 ln
2ln
+
=
+∫
e
x xI dx
x x