Chuyên đề luyện thi đại học môn toán - Tích phân các hàm hữu tỉ

 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn 
I. MỘT SỐ CÁC VÍ DỤ GIẢI MẪU 
1. xI dx
x x
2 2
2
1 7 12
=
− +
∫ 
Ta có I dx
x x
2
1
16 91
4 3
 
= + − 
− − ∫
 = ( )x x x 2116 ln 4 9 ln 3+ − − − = 1 25ln2 16 ln3+ − . 
2. dxI
x x
2
5 3
1
=
+
∫ 
Ta có: x
xx x x x
3 2 3 2
1 1 1
( 1) 1
= − + +
+ +
⇒ I x x
x
2
2
21 1 3 1 3
ln ln( 1) ln2 ln5
2 2 2 812
 
= − − + + = − + + 
 
3. xdxI
x
1
0 3( 1)
=
+
∫ 
Ta có: x x x x
x x
2 3
3 3
1 1
( 1) ( 1)
( 1) ( 1)
− −
+ −
= = + − +
+ +
 I x x dx
1 2 3
0
1( 1) ( 1)
8
− − ⇒ = + − + = ∫ 
4. I x x dx
1
5 3 6
0
(1 )= −∫ 
Đặt 
dt t t
t x dt x dx dx I t t dt
x
1 7 8
3 2 6
2
0
1 1 11 3 (1 )
3 3 7 8 1683
 
−
= − ⇒ = − ⇒ = ⇒ = − = − = 
 ∫
5. I dx
x x
4 3
4
1
1
( 1)
=
+
∫ 
Đặt t x2= ⇒ 
t
I dt
t t
3
2
1
1 1 1 3ln
2 4 21
 
= − = 
+ 
∫ 
6. dxI
x x
2
10 2
1 .( 1)
=
+
∫ 
Ta có x dxI
x x
2 4
5 10 2
1
.
.( 1)
=
+
∫ . Đặt t x
5
= ⇒ 
dt
I
t t
32
2 2
1
1
5 ( 1)
=
+
∫ 
7. xI dx
x x
2 7
7
1
1
(1 )
−
=
+
∫ 
Ta viết lại I dưới dạng x xI dx
x x
2 7 6
7 7
1
(1 ).
.(1 )
−
=
+
∫ . Đặt t x
7
= ⇒ 
t
I dt
t t
128
1
1 1
7 (1 )
−
=
+∫
Tài liệu bài giảng: 
13. TÍCH PHÂN CÁC HÀM HỮU TỈ 
Thầy Đặng Việt Hùng 
 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn 
8. dxI
x x
3
6 2
1 (1 )
=
+
∫ 
Đặt : x
t
1
= ⇒ 
t
I dt t t dt
t t
3
163
4 2
2 2
1 3
3
11
1 1
 
= − = − + − 
+ + 
∫ ∫ = 
117 41 3
135 12
pi−
+ 
9. xI dx
x
2 2
4
1
1
1
+
=
+
∫ 
Ta có: x x
x x
x
2 2
4 2
2
11
1
11
+
+
=
+ +
. Đặt t x dt dx
x x
2
1 11
 
= − ⇒ = + 
 
⇒ 
dt
I dt
t tt
3 3
2 2
2
1 1
1 1 1
2 2 2 22
 
= = − 
− +−  
∫ ∫
t
t
3
1 2 1 2 1
.ln ln2
2 2 2 2 2 2 11
 
− −
= =  
 + + 
10. xI dx
x
2 2
4
1
1
1
−
=
+
∫ 
Ta có: x x
x x
x
2 2
4 2
2
1 1
1
11
−
−
=
+ +
. Đặt t x dt dx
x x
2
1 11
 
= + ⇒ = − 
 
 ⇒ 
dt
I
t
5
2
2
2 2
= −
+
∫ . 
Đặt 
du
t u dt
u
2
2 tan 2
cos
= ⇒ = ; u u u u1 2
5 5tan 2 arctan2; tan arctan
2 2
= ⇒ = = ⇒ = 
⇒ 
u
u
I du u u
2
1
2 1
2 2 2 5( ) arctan arctan2
2 2 2 2
 
= = − = − 
 
∫ 
11. 
x
I dx
x x
2 2
3
1
1−
=
+
∫ 
Ta có: xI dx
x
x
2 2
1
1 1
1
−
=
+
∫ . Đặt t x
x
1
= + ⇒ I
4ln
5
= 
12. xI dx
x
1 4
6
0
1
1
+
=
+
∫ 
 Ta có: x x x x x x x x
x x x x x x x x
4 4 2 2 4 2 2 2
6 6 2 4 2 6 2 6
1 ( 1) 1 1
1 1 ( 1)( 1) 1 1 1
+ − + + − +
= = + = +
+ + + − + + + +
⇒ 
d x
I dx dx
x x
1 1 3
2 3 2
0 0
1 1 ( ) 1 .
3 4 3 4 31 ( ) 1
pi pi pi
= + = + =
+ +
∫ ∫ 
13. xI dx
x
3
23
4
0 1
=
−
∫ 
 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn 
Ta có xI dx dx
x x x x
3 3
23 3
2 2 2 2
0 0
1 1 1 1 ln(2 3)
2 4 12( 1)( 1) 1 1
pi 
= = + = − + 
− + − + 
∫ ∫ 
14. xdxI
x x
1
4 2
0 1
=
+ +
∫ . 
Đặt t x2= ⇒ 
dt dt
I
t t
t
1 1
2 220 0
1 1
2 2 6 31 1 3
2 2
pi
= = =
+ +   
+ +   
   
∫ ∫ 
15. xI dx
x x
1 5
22
4 2
1
1
1
+
+
=
− +
∫ 
Ta có: x x
x x x
x
2 2
4 2 2
2
11
1
11 1
+
+
=
− + + −
. Đặt t x dt dx
x x
2
1 11
 
= − ⇒ = + 
 
⇒ 
dt
I
t
1
2
0 1
=
+
∫ . Đặt 
du
t u dt
u
2
tan
cos
= ⇒ = ⇒ I du
4
0 4
pi
pi
= =∫ 
II. BÀI TẬP LUYỆN TẬP 
Bài 1. Tính các tích phân sau: 
a) 
3 2
4
1
1
1
x dx
x
+
+∫
 b) 
3
4
1
1
1
dx
x +∫
 c) 
1
4 2
0
1
4 3
dx
x x+ +∫
Bài 2. Tính các tích phân sau: 
a) 
3 4
2
0
1
9
x dx
x
−
+∫
 b) 
2
3
1
1 dx
x x+∫
 c) ( )
1
3
0 1 2+
∫
x dx
x
Bài 3. Tính các tích phân sau: 
a) ( )
3 2
9
2 1−
∫
x dx
x
 b) ( )23 2
0
3 2
1
+
+∫
x
dx
x
 c) 
2 3 2
2
0
2 4 9
4
+ + +
+∫
x x x dx
x
Bài 4. Tính các tích phân sau: 
a) 
31
2
0
1
1
+ +
+∫
x x dx
x
 b) ( )
20102
2010
1
1
1
−
+
∫
x dx
x x
 c) ( )
43
222 1−
∫
x dx
x
Bài 5. Tính các tích phân sau: 
a) 
41
2
0
2
1
−
+∫
x dx
x
 b) 
1
2 2
0
1
( 2) ( 3)+ +∫ dxx x c) ( )
2
4
1
1
1+∫
dx
x x
Bài 6. Tính các tích phân sau: 
a) 
1
4 2
0 1+ +
∫
dx
x x
 b) 
4
3
3 4−
∫
dx
x x
 c) 
4
2
2 ( 1)−∫
dx
x x