Chuyên đề luyện thi đại học về số phức

Chuyên đề luyện thi đại học về số phức 
Nguyễn Đức Toàn Thịnh – GV trường THPT Trung Giã Trang 1 
Dạng 1: Tìm phần thực, phần ảo, môđun và số phức liên hợp của mỗi số phức: 
Bài 1. Tìm phần thực, phần ảo, môđun và số phức liên hợp của mỗi số phức sau: 
1) z = 2 3(2 )(3 ) (1 2 )i i i− − − − 2) z = (2 + i)3 – (3 - i)3. 3) z = 5(4 2 ) 7 (8 5 )i i i− + − 
4) z = 2 5
(1 3 )( 2 )(1 )
i
i i i
− +
+ − − +
 5) z = 7 7
1 1
2
i
i i
 − 
 
 6) z = 1 3 1 3
1 2 1 2
i i
i i
+ −
+
− +
7) z = 2 3( 3 2 )(1 ) (1 2 ) (3 )i i i i− + − + − + 8) z = 2 2(4 ) (1 3 )i i− − − 9) z = 2 2( 2 5 ) (4 8 )i i− + + 
11) z = (2 ) (1 )(4 3 )
3 2
i i i
i
+ + + −
−
 12) z = 3 2
1
i i
i i
− +
−
+
 13) z = 
2
3
( 3 2 )(1 )
(1 2 ) (3 )
i i
i i
− + −
− +
15) z = (3 4 )(1 2 ) 4 3
1 2
i i i
i
− +
+ −
−
 16) (3 )(2 6 )
1
i i
i
+ +
−
 17) ( ) ( )
( ) ( )22
22
223
121
ii
iiz
+−+
−−+
= 
18) z = 4 4(2 7 ) [(1 2 )(3 )]i i i+ − − + 19) z = 75 (1 )i i− 20) z = 3 4(2 ) (2 )i i+ − 
Bài 2. Cho số phức z = 2 - 5i. Tìm phần thực, phần ảo và môđun: 1) z2 – 2z + 4i. 2) 
1
z i
iz
+
−
. 
Bài 3. Cho số phức z thỏa mãn 
2(1 3 )
1
iz
i
−
=
−
. Tìm môđun của số phức z iz+ . 
Bài 4. Cho các số phức z1 = 1 + 2i, z2 = -2 + 3i, z3 = 1 – i. Hãy tính và sau đó tìm phần thực, phần ảo, 
môđun và số phức liên hợp của mỗi số phức sau: 
1) 
2 2
1 2
2 2
2 3
z z
z z
+
+
 2) 1 2 2 3 3 1z z z z z z+ + 3) 1 2 3z z z 4) 
2 2 2
1 2 3z z z+ + 5) 31 2
2 3 1
zz z
z z z
+ + 
Bài 5. Tìm các số thực x, y sao cho: 
1) (1 – 2i)x + (1 + 2y)i = 1 + i 2) i
i
y
i
x
=
−
−
+
+
−
3
3
3
3 3) ( ) ( ) ( )iyxyxyxyixi 2222 23
2
142343 −+−=++− 
Bài 6. Cho ba số phức 1 2 31 4 ; 1 5 ; 3 3z i z i z i= + = − + = − − có các điểm biểu diễn lần lượt là A, B, C. Hãy tìm 
số phức z có điểm biểu diễn là: 
1) trọng tâm G của tam giác ABC. 2) D là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCD. 
3) trực tâm H của tam giác ABC. 4) tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC. 
Bài 7. Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức biểu diễn các số: 
1
4
−i
i ; (1 – i)(1 + 2i) ; 
i
i
−
+
3
62 . 
1) CMR: ∆ABC vuông cân. 2) Tìm số phức biểu diễn điểm D, sao cho ABCD là hình vuông 
Tính toán: 
1) Cho số phức 
i
iz
−
+
=
1
1 . Tính z2009. 2) Tính: 
2004
1
1






+ i
; 
21
321
335






−
+
i
i
; ( )
( )11
5
31
3
i
i
−
+ 
3) Tính giá trị biểu thức: 
816
1
1
1
1






+
−
+





−
+
=
i
i
i
iA 
66
2
31
2
31





 +
+




 +−
=
iiB 
Dạng 2: Tìm số phức z thoả mãn điều kiện: 
Bài 1. Tìm số phức z thoả mãn điều kiện: 
1) 2 1 3
1 2
i iz
i i
+ − +
=
− +
 2) 
4
1z i
z i
+  = − 
. 3) (9 3 ) (11 6 ) 5 7i i i
z
− − +
= − 4) 8
3
=





−
+
iz
iz 
5) (1 + i)z2 = -1 + 7i 6) ( ) 12 3 0
2
i z i iz
i
  + + + + =    
 7) 3 5 1 2 (1 )(4 3 )
1 3 2
i iz i i
i i
+ +
+ = − +
−
8) 3(1 2 ) (3 4 ) 2 3i z i i+ − − = − + 9) (2 ) 3 4i z i− = + 10) 2( 2 5 ) ( 2 7 ) (1 )(1 2 )i z i i i+ = − + − − − 
10) (i+1)2(2– i)z = 8 +i+(1+2i)z (CĐ’09) 11) 5(1 ) (3 2 )(1 3 )i z i i− = + + 12) ( 2 7 ) (14 ) (1 2 )i z i i z− + = − + − 
Bài 2. Tìm nghiệm phức của mỗi phương trình sau: 
1) 2 3 4z z i− = − . 2) 22 0z z+ = 3) 2z + 3 z =2+3i 4) z2 = z + 2 5) 2 0z z+ = . 
6) (2 ) 10z i− + = và . 25z z = (ĐH.B’09) 7) 2i ( )( )1 2z z i− + là số thực và 1 5z − = 
Chuyên đề luyện thi đại học về số phức 
Nguyễn Đức Toàn Thịnh – GV trường THPT Trung Giã Trang 2 
8) 1z = và phần thực bằng 2 lần phần ảo. 9) 



−=−
=−
|||1|
|||2|
izz
ziz
 11) 1 1z
z i
−
=
−
 và 3 1z i
z i
−
=
+
Dạng 3: Giải phương trình bậc hai - tìm số phức z. 
Bài 1. Giải phương trình trên tập số phức: 
1) z2 – z + 1 = 0. 2) x2 – 6x + 25 = 0 3) ( ) ( )2 22 1 3 0z z+ + + = 4) z2 + 2z +5 = 0 
5) 2 5 0x x− + − = 6) z2 – 3z + 3 + i = 0 7) x4+ 7x2 + 10 = 0 8) 4 25 4 0x x+ + = 
Bài 2. Giải các phương trình sau: 
1) ( ) ( )23 6 3 13 0z i z i+ − − + − + = 2) ( ) ( )22 24 12 0z z z z+ + + − = 3)
23 33. 4 0
2 2
iz iz
z i z i
+ +  − − = − − 
Bài 3. (ĐH.A’09) Cho z2 + 2z + 10 = 0 có hai nghiệm phức z1 và z2 là nghiệm. Tính giá trị 
2 2
1 2A z z= + . 
Bài 4. Giải phương trình sau trên tập số phức: 
1) 
2
4 3 1 0
2
zz z z− + + + = 2) 01
23
=+
+
−
+





+
−
+





+
−
iz
iz
iz
iz
iz
iz 3) 10)2)(3)(( 2 =++− zzzz 
4) z4 + 2z3 – z2 + 2z + 1 = 0 5) z4 – 4z3 + 6z2 – 4z – 15 = 0. 6) 4 2 23 (1 ) 4(1 ) 0z z z z− + − + = 
7) (z2 + 3z + 6)2 + 2z(z2 + 3z + 6) - 3z2 = 0 8) z6 + z5 – 13z4 – 14z3 – 13z2 + z + 1 = 0 
Bài 5. Giải các phương trình sau, biết chúng có một nghiệm thuần ảo: 
1) z3 + (2 – 2i)z2 + (5 – 4i)z – 10i = 0 2) z3 + (1 + i)z2 + (i – 1)z – i = 0 
Dạng 4: Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước. 
Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z thỏa mãn các điều kiện: 
1) 3 4z z+ + = 2) 1 2z z i− + − = 3) (3 4 ) 2z i− − = . (ĐH.D’09) 4) |z – 2| + |z + 2| = 10 
5) 2 2( ) 4z z− = 6) 3 2 1z i− + = 7) (1 3 ) 3 2z i z i+ − = + − 8) 2 2z i z z i− = − + 
9) |2i.z – 1| = 2|z+3| 10) 9. =zz 11) (3 2 )(1 ) 1z i i− + − = 12) |z + i| = |z – 2 – 3i| 
13) |z + 2| = |i – z| 14) 3(1 ) 1z i− − = 15) 2( )z i− là một số thực dương 16) 1222 −=− zzi 
17) 13 =
+
−
iz
iz 18) 4z i
z i
−
=
+
 19) 1 1
z i
=
+
 20) 
iz
z
+
− 2 là số thực 21) z i
z i
+
−
 là một số thực dương 
22) 2( 1 )z i− + là một số thuần ảo. 23) ( )2 ( )z i z− + là số thực tùy ý, 24) 1
1z −
là một số thuần ảo. 
Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn: 2 3z i z i− = − − . 
Trong các số phức thỏa mãn điều kiện trên, tìm số phức có mô đun nhỏ nhất. 
Dạng 5: Dạng lượng giác và Acgumen của số phức. 
Dạng lượng giác của số phức: ( )ϕϕ sincos irz += ; r ≥ 0. ϕ được gọi là agumen. r là môđun của z. 
Bài 1. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác: 
1) 31 i− 2) 1 + i 3) )1)(31( ii +− 4) 
i
i
+
−
1
31
 5) 
i22
1
+
 6) )3(2 ii − 
Bài 2. Viết dạng lượng giác của số phức z và của các căn bậc hai của z cho mỗi trường hợp sau: 
 1) |z| = 3 và một acgumen của iz là 
4
5π
 2) 
3
1
=z và một acgumen của 
i
z
+1
 là 
4
3π
− 
Bài 3. Gọi z1 và z2 là 2 nghiệm phức của phương trình: 04322 =−− izz .Viết dạng lượng giác của z1 và z2 
Một số bài tập: 
1. Tìm căn bậc hai của số phức: -8 + 6i; 3 + 4i ; i221− 
2. Xác định phần thực của số phức 
1
1
−
+
z
z
, biết rằng |z| = 1 và z ≠ 1. 
3. Chứng minh rằng: nếu 
1
1
−
+
z
z
 là số ảo thì |z| = 1.