Chuyên đề Một cách dạy khái niệm giới hạn dãy số (dãy số có giới hạn 0)

MỘT CÁCH DẠY KHÁI NIỆM GIỚI HẠN DÃY SỐ
(Dãy số có giới hạn 0)
Khái niệm giới hạn là cơ sở của giải tích toán học, giải tích bắt đầu bằng khái niệm giới hạn. Có một khó khăn nhất định về tâm lý trong việc hình thành khái niệm giới hạn cho học sinh, vì trước khi học giới hạn, học sinh quen tư duy kiểu hữu hạn, rời rạc nay mới làm quen với vô hạn, giới hạn, liên tục. Vạn sự khởi đầu nan, học sinh hiểu khái niệm của dãy số, sau này học giới hạn của hàm số sẽ nhàn.
Theo tôi thì trước khi vào bài có thể kể câu chuyện thần Asin không đuổi kịp Rùa (để học sinh bớt căng thẳng): Giả sử lúc đầu Rùa ở vị trí R, Asin ở vị trí A. Khi Asin chạy đến vị trí R thì Rùa đã chạy đến vị trí mới là R1, Asin chạy đến vị trí R1 thì rùa đã lại chạy đến vị trí R2,... với lập luận như vậy, Asin không bao giờ đuổi kịp Rùa. Trên thực tế thì chắc chắn Asin đuổi kịp Rùa. Vậy sai lầm trong lập luận trên là gì? Ta có thể trả lời được dựa vào khái niệm giới hạn.
* Định nghĩa SGK: Ta nói dãy số (un) có giới hạn là 0 nếu với mọi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó.
Khi đó ta viết
lim(un) = 0 hoặc limun = 0 hoặc un à 0.
Khái niệm này có thể không khó, nhưng đối với học sinh lớp 11, lần đầu tiếp xúc chưa hiểu được ngay cũng là chuyện bình thường. Vì vậy theo tôi, cần có sự chuẩn bị chu đáo trước khi đưa ra định nghĩa này cho học sinh. Hãy để cho học sinh thực hiện những hoạt động đơn giản, hoặc quen thuộc, trên cơ sở những hoạt động đó, dần dần cho học sinh làm quen với những yếu tố của khái niệm giới hạn.
* Bài toán mở đầu: Cho dãy số (un) với un = 1/n
a) Biểu diễn 5 số hạng đầu của dãy trên trục số
b) Tìm n để: 
i) Khoảng cách từ un đến 0 nhỏ hơn 1/2 (Tức là tìm n để )
ii) Khoảng cách từ un đến 0 nhỏ hơn 1/1000; 1/1000000;
iii) Tổng quát, tìm n để khoảng cách từ un đến 0 nhỏ hơn với là số dương nhỏ tùy ý.
Học sinh dễ dàng làm được bài toán trên vì là một bài toán giải bất phương trình của lớp 10. 
GV hỏi: Có mối liên hệ gì giữa giá trị của số tự nhiên n và khoảng cách từ un đến 0?
HS nhận xét: Khi n càng tăng, khoảng cách từ un đến 0 càng nhỏ.
GV dẫn dắt (dùng trục số): Dãy số (un) không có số hạng nào bằng 0, nhưng khi n càng tăng, các phần tử của dãy số càng tiến dần đến 0. Khoảng cách từ un đến 0 có thể nhỏ tùy ý miễn là chọn được n đủ lớn. Ta nói dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần đến vô cực. Ta viết lim 1/n = 0.
*Sau bài toán mở đầu này đưa ra định nghĩa trong SGK, và cho học sinh một số ví dụ đơn giản.