Chuyên đề Một số bài tập hình học phẳng cho học sinh giỏi - Năm học 2006 - 2007

Sở giáo dục - đào tạo bắc giang
Trường thpt chuyên bắc giang
.o0o.
 Chuyên đề : 
Một số bài tập hình học phẳng
cho học sinh giỏi 
Của : Nguyễn Anh Tuấn
 Đơn vị : Tổ Toán – tin
 Trường thpt chuyên bắc giang
 Năm học 2006 - 2007
 Một số bài tập hình học phẳng cho học sinh giỏi Nguyễn Anh Tuấn 
Mục lục 
Lời mở đầu(3)
$1- Một số bài toán về đường thẳng và đường tròn đi qua điểm cố định,
 điểm nằm trên đường thẳng cố định 
 và đường thẳng tiếp xúc với một đường tròn cố định.(4)
$2- Một số bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng 
 và ba đường thẳng đồng quy.....(7)
$3- Một số bài toán cực trị...(10)
$4- Một số bài toán chứng minh.(20)
$5- Một số bài toán tính toán và một số bài toán khác.(30)
$6- Một số bài toán hình học phẳng thi HSG Quốc gia (VMO)..(35)
$7- Tài liệu tham khảo.....(40)
 Một số bài tập hình học phẳng cho học sinh giỏi Nguyễn Anh Tuấn 
Lời mở đầu
 Toán học có một vẻ đẹp lôi cuốn và quyến rũ, ai đã đam mê thì mãi mãi đam mê Trong vẻ đẹp đầy huyền bí đó thì Hình học phẳng có nét đẹp thật sự quyến rũ và kì bí.
 Có lẽ vì lý do đó mà trong đề Toán của tất cả các kì thi Toán Quốc tế 
IMO( International Mathematics Olimpiad )
hay các kì thi HSG Quốc gia (VMO), các kì thi tỉnh, thi cấp thành phố, thi của chúng ta, bài toán hình học phẳng luôn hãnh diện có mặt để thách thức các nhà Toán học tương lai với dung nhan muôn hình, muôn vẻ 
 Thật là điều thú vị ! 
Chuyên đề : ‘’ Một số bài tập hình học phẳng cho học sinh giỏi ‘’
với mong muốn phần nào giúp các Thầy cô giáo dạy Toán, các em học sinh phổ thông trong các đội tuyển thi học sinh giỏi Toán có thể tìm thấy nhiều điều bổ ích và nhiều điều thú vị.
 Chuyên đề gồm 6 phần, được chia theo các chủ đề chính của Hình học phẳng. Các ví dụ và bài tập đều đòi hỏi sự thông minh và tính sáng tạo trong việc đi tìm lời giải. Các bài tập đều mới và mang tính cập nhật. Thông qua việc giải các bài tập trong Chuyên đề, một mặt học sinh rèn luyện được những kĩ năng chính để giải toán Hình học phẳng, mặt khác được thưởng thức những vẻ đẹp của từng bài toán. Trong Chuyên đề này, tôi nhấn mạnh đến tính hình học của từng bài toán (244 bài). Để giải mỗi bài toán thường các em phải kẻ thêm được những đường phụ nhằm đưa các đối tượng của bài toán có liên hệ với nhau. Tôi không đưa vào Chuyên đề những bài toán có tính toán phức tạp.
 Tôi viết Chuyên đề này với một tinh thần trách nhiệm cao. Tôi hi vọng rằng Chuyên đề sẽ để lại trong lòng Thầy cô và các em học sinh một ấn tượng tốt đẹp. Tuy nhiên Chuyên đề chắc chắn sẽ không tránh khỏi những điều không mong muốn. Tôi rất mong nhận được sự động viên và những ý kiến đóng góp chân thành của Quý Thầy cô và các em học sinh.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Bắc Giang, ngày 14.3.2007
 Một số bài tập hình học phẳng cho học sinh giỏi Nguyễn Anh Tuấn 
$1- Một số bài toán về đường thẳng và đường tròn đi qua điểm cố định, điểm nằm trên đường thẳng cố định và
đường thẳng tiếp xúc với một đường tròn cố định.
 Đối với bài toán chứng minh liên quan đến yếu tố cố định, một vấn đề rất quan trọng là dự đoán được yếu tố cố định nói trên. Muốn dự đoán được điểm cố định, đường thẳng cố định hay đường tròn cố định thoả mãn đầu bài ta thường sử dụng các phương pháp sau:
1) Giải bài toán trong các trường hợp đặc biệt để thấy được yếu tố cố định cần tìm. Từ đó suy ra trường hợp tổng quát.
 2) Xét những đường thẳng đặc biệt của họ để suy ra yếu tố cố định cần tìm.
 3) Dựa vào tính đối xứng, sự bình đẳng của các đối tượng (nếu có) để hạn chế được phạm vi có thể có của yếu tố cố định.
 4) Dùng phép suy diễn để khẳng định: Nếu họ các đường thẳng đi qua một điểm cố định hay tiếp xúc với một đường tròn cố định thì điểm cố định cần tìm hay đường tròn cố định cần tìm, cũng như với bài toán tìm đường thẳng cố định thì yếu tố cần tìm bắt buộc phải là một đối tượng cụ thể nào đó. 
Bài 1. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi M là điểm nào đó 
trên cạnh AC với M khác A và C. Đường thẳng BM cắt đường tròn lần nữa tại N. 
Đường thẳng qua A vuông góc với AB và đường thẳng qua N vuông góc với NC 
cắt nhau tại điểm Q. 
Chứng minh rằng: Đường thẳng QM luôn đi qua một điểm cố định 
khi M di chuyển trên cạnh AC. 
Bài 2. Cho tứ giác lồi ABCD và M là trung điểm P thuộc đoạn thẳng AC 
sao cho hai đường thẳng MP và BC cắt nhau, gọi giao điểm đó là T. 
Gọi Q là điểm thuộc đoạn thẳng BD sao cho . 
Chứng minh rằng: Đường thẳng TQ luôn đi qua một điểm cố định 
khi P chạy trên đoạn AC.
Bài 3. Cho hình bình hành ABCD. 
Lấy điểm M trên cạnh AB và điểm N trên cạnh CD. 
Gọi P là giao điểm của AN và DM. 
Gọi Q là giao điểm của BN và CM. 
Chứng minh rằng: PQ luôn đi qua một điểm cố định 
khi M và N theo thứ tự di chuyển trên AB và CD. 
Bài 4. Hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B. 
Một điểm P thay đổi trên đường tròn (O), P khác A và B. 
Các đường thẳng PA, PB lại cắt (O’) theo thứ tự tại D và E. 
Gọi M là trung điểm DE. 
Chứng minh rằng: Đường thẳng PM đi qua một điểm cố định.
 Một số bài tập hình học phẳng cho học sinh giỏi Nguyễn Anh Tuấn 
Bài 5. Cho tam giác ABC. Lấy điểm M nằm trong tam giác. 
AM cắt BC tại điểm E, CM cắt AB tại điểm F. 
Gọi N là điểm đối xứng của B qua trung điểm của EF.
Chứng minh rằng: Đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định 
khi M di động bên trong tam giác ABC.
Bài 6. Cho đường tròn (O) đường kính MN cố định và một điểm A nằm trong 
đoạn MN. Gọi (d) là tiếp tuyến của đường tròn với tiếp điểm N. 
Đường tròn tâm T nào đó thuộc (d), đi qua A, cắt đường tròn (O) tại E và F, 
cắt (d) tại B và C. 
Chứng minh rằng khi điểm T di chuyển trên (d) thì:
 1) Đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định.
 2) Đường thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố định, 
trong đó P, Q là các giao điểm của MB, MC với đường tròn (O).
Bài 7. Cho tam giác ABC có AB = AC. 
Từ điểm M trên BC kẻ MP vuông góc với AB và MQ vuông góc với AC 
sao cho P, Q lần lượt nằm trên các đường thẳng AB, AC. 
Chứng minh rằng: Đường trung trực của PQ luôn đi qua một điểm cố định 
khi M di động trên cạnh BC.
Bài 8. Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng và cắt nhau tại điểm K 
và một điểm M nằm ngoài ,. Một đường thẳng d đi qua M cắt và 
lần lượt tại A và B (khác K). Kẻ AP tại P, kẻ BQ tại Q. 
Chứng minh rằng: Đường thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố định khi 
đường thẳng d thay đổi nhưng luôn đi qua M.
Bài 9. Giả sử M là một điểm nằm trong tam giác nhọn ABC thỏa mãn 
điều kiện . Gọi K, L theo thứ tự là chân đường vuông góc 
hạ từ M tới AB, AC. Chứng minh rằng: 
 1) Hai điểm K, L cách đều trung điểm của cạnh BC. 
 2) Trung tuyến xuất phát từ M của tam giác MKL luôn đi qua một điểm cố định 
khi M thay đổi bên trong tam giác ABC. 
Bài 10. Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm D trên cạnh AB và điểm E trên 
cạnh AC sao cho DE = BD + CE. Tia phân giác của cắt cạnh BC tại I.
 1) Tính độ lớn của .
 2) Chứng minh rằng: Đường thẳng DI luôn đi qua một điểm cố định 
khi D và E di động trên các cạnh AB và AC tương ứng. 
Bài 11. Cho tam giác ABC. Lấy điểm D trên cạnh BC, D khác B, C. 
Đường trung trực của DB, DC theo thứ tự cắt các đường thẳng AB, AC tại M, N. 
Chứng minh rằng: Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN luôn đi qua một điểm 
cố định khác A khi điểm D di động trên đoạn BC.
 Một số bài tập hình học phẳng cho học sinh giỏi Nguyễn Anh Tuấn 
Bài 12. Cho tam giác ABC. P là điểm nằm trên đường thẳng BC. 
Trên tia đối của tia AP lấy điểm D sao cho . 
Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của DB và DC. 
Chứng minh rằng: Đường tròn đường kính EF luôn đi qua một điểm cố định 
khi P di động trên đường thẳng BC.
Bài 13. Cho tam giác ABC (AB = AC). 
Lấy điểm P nào đó trên đường thẳng BC (P khác B, C). 
Gọi M, N lần lượt là điểm đối xứng của P qua AB, AC. 
Dựng hình bình hành MNPQ. 
Chứng minh rằng: Điểm Q luôn nằm trên một đường thẳng cố định 
khi P di chuyển trên đường thẳng BC.
Bài 14. Cho đường tròn tâm O và hai điểm A, B thuộc đường tròn này. 
Một đường tròn thay đổi nhưng luôn đi qua A và B có tâm là Q. 
Gọi P là điểm đối xứng của Q qua đường thẳng AB. 
Đường thẳng AP cắt đường tròn tâm O lần nữa tại E. 
Đường thẳng BE (khi E khác B) cắt đường tròn tâm Q lần nữa tại F. 
Chứng minh rằng: Điểm F luôn nằm trên một đường thẳng cố định 
khi đường tròn tâm Q thay đổi.
Bài 15. Cho tam giác ABC với các đường cao AM, BN và nội tiếp đường tròn (O). 
Điểm D nằm trên đường tròn đó nhưng khác A, B và DA không song song với BN. Các đường thẳng DA và BN cắt nhau tại Q. 
Các đường thẳng DB và AM cắt nhau tại P. 
Chứng minh rằng: Khi D di động trên đường tròn (O) thì trung điểm của đoạn PQ luôn nằm trên một đường thẳng cố định. 
Bài 16. Hai đường tròn tâm O bán kính R và tâm O’ bán kính R’ (R > R’) 
tiếp xúc với nhau tại điểm A. 
Tia Ax của góc vuông xAy cắt đường tròn tâm O lần nữa tại B 
và tia Ay cắt đường tròn tâm O’ lần nữa tại C. 
Gọi H là hình chiếu của A trên BC. 
Chứng minh rằng: Khi góc vuông xAy quay quanh điểm A thì điểm H chạy trên 
một đường tròn. 
 Một số bài tập hình học phẳng cho học sinh giỏi Nguyễn Anh Tuấn 
$ 2- một số bài toán Chứng minh ba điểm thẳng hàng 
và ba đường thẳng đồng quy.
Để giải bài toán chứng minh 3 điểm thẳng hàng và 3 đường thẳng đồng quy, 
ta thường sử dụng một trong các phương pháp sau:
 1) Sử dụng mối quan hệ về góc (hai góc bằng nhau, tổng hai góc bằng ,).
 2) Sử dụng tính chất đồng quy của 3 đường cao, 3 đường trung tuyến, 
3 đường trung trực và 3 đường phân giác.
 3) Dùng phương pháp diện tích.
 4) Chuyển bài toán chứng minh 3 đường thẳng đồng quy về việc chứng minh 3 điểm thẳng hàng và ngược lại ( Đồng quy là trá hình của thẳng hàng). 
Bài 1. Cho tam giác ABC có BC < AB với đường trung tuyến BD, 
đường phân giác BE. Đường thẳng qua C, vuông góc với BE ở F và cắt BD ở G. 
Gọi T là trung điểm của GE. 
Chứng minh rằng: Ba điểm D, T, F thẳng hàng. 
Bài 2. Cho tam giác ABC với các đường cao AD, BE, CF. 
Gọi và , và , và theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của D
lên AB và AC, của E lên BC và BA, của F lên CA và CB. 
Gọi giao điểm của BC và , AC và , AB và là M, N, P theo thứ tự . 
Chứng minh rằng: Ba điểm M, N, P thẳng hàng. 
Bài 3. Cho tứ giác lồi AA’C’C có hai đường thẳng AC và A’C’ cắt nhau tại I. 
Lấy điểm B trên cạnh AC và điểm B’ trên cạnh A’C’. Gọi O là giao điểm
của AC’ và A’C; P là giao điểm của AB’ và A’B; Q là giao điểm của BC’ và B’C.
Chứng minh rằng: Ba điểm P, O, Q thẳng hàng. 
Bài 4. Hai đường tròn tâm O bán kính R và tâm O’ bán kính R’ cắt nhau tại A và B. Từ điểm C trên tia đối của tia AB kẻ các tiếp tuyến CD và CE với đường tròn 
tâm O (D, E là các tiếp điểm và điểm E nằm trong đường tròn tâm O’). AD và AE 
cắt đường tròn tâm O’ lần nữa tại M và N tương ứng . Gọi T là trung điểm MN. 
Chứng minh rằng: Ba điểm D, E, T thẳng hàng.
Bài 5. Cho đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC với đường kính AD. 
Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Các đường thẳng AI và DI 
cắt đường tròn tâm O lần nữa tại H và T theo thứ tự. Kẻ IJ vuông góc với BC tại J.
Chứng minh rằng: Ba điểm H, T, J thẳng hàng. 
Bài 6. Cho đường tròn (O), hai dây cung CA, CB không đi qua tâm O và . Đường thẳng qua điểm A vuông góc với đường thẳng OB cắt đường thẳng CB 
tại điểm N. Gọi M là trung điểm của AN. Đường thẳng BM cắt đường tròn (O) 
lần nữa tại D. Gọi OE là đường kính của đường tròn đi qua các điểm B, D, O.
Chứng minh rằng: Ba điểm A, C, E thẳng hàng.
 Một số bài tập hình học phẳng cho học sinh giỏi Nguyễn Anh Tuấn 
Bài 7. Cho năm điểm A, B, C, D và E cùng nằm trên một đường tròn. 
Gọi M, N, P và Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của E 
xuống các đường thẳng AB, BC, CD và DA.
Chứng minh rằng: Hình chiếu vuông góc của E xuống 
các đường thẳng MN, NP, PQ và QM là bốn điểm thẳng hàng. 
Bài 8. Trong mặt phẳng cho đường thẳng xy 
và đoạn thẳng AB vuông góc với xy tại điểm A. 
Trên tia Ax lấy điểm C, trên tia Ay lấy điểm D (C, D khác A). 
Kẻ (E thuộc BC) và (F thuộc BD). Một đường thẳng đi qua 
trung điểm Q của AB lần lượt cắt các đường thẳng xy, BC, BD ở P, M, N.
Chứng minh rằng: Các điểm P, E, F thẳng hàng 
khi và chỉ khi Q là trung điểm của MN.
Bài 9. Cho tam giác ABC với điểm M nằm trong tam giác. 
Các tia AM, BM, CM cắt các cạnh BC, CA, AB tương ứng tại D, E, F. 
Gọi K là giao điểm của DE và CM, gọi H là giao điểm của DF và BM. 
Chứng minh rằng: Các đường thẳng AD, BK, CH đồng quy.
Bài 10. Cho tam giác ABC với đường cao AH (H khác B, C). 
Kẻ HE // AC và sao cho E, M nằm trên đường thẳng AB. 
Kẻ HF // AB và sao cho F, N nằm trên đường thẳng AC. 
Chứng minh rằng: Các đường thẳng EF, MN, BC đồng quy.
Bài 11. Trên mặt phẳng cho tam giác ABC và một đường thẳng d. 
Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B, C trên đường thẳng d. 
Gọi lần lượt là hình chiếu của 
trên các đường thẳng BC, CA, AB tương ứng. 
Chứng minh rằng: Các đường thẳng đồng quy. 
Bài 12. Cho lục giác lồi có các cạnh đối diện song song với nhau. 
Gọi lần lượt là giao điểm của từng cặp 
đường chéo và , và , và . 
Gọi lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng ,,. 
Chứng minh rằng: Các đường thẳng đồng quy.
Bài 13. Cho đường tròn tâm O đường kính EF. 
Lấy hai điểm N, P trên đường thẳng EF sao cho ON = OP. 
Từ điểm M nào đó nằm bên trong đường tròn mà không thuộc EF, 
kẻ đường thẳng MN cắt đường tròn tại A và C, 
đường thẳng MP cắt đường tròn tại B và D sao cho B và O nằm khác phía đối với AC. 
Gọi K là giao điểm của OB và AC, Q là giao điểm của EF và CD. 
Chứng minh rằng: Các đường thẳng KQ, BD, AO đồng quy.
 Một số bài tập hình học phẳng cho học sinh giỏi Nguyễn Anh Tuấn 
Bài 14. Giả sử các đường tròn cùng tiếp xúc trong 
với đường tròn lần lượt tại và đôi một tiếp xúc ngoài với nhau. 
Gọi là tiếp điểm của và , của và , của và 
theo thứ tự. 
Chứng minh rằng: Các đường thẳng đồng quy.
Bài 15. Cho tam giác cân ABC với góc . 
Gọi D là giao điểm của đường thẳng BC với tiếp tuyến tại A của đường tròn 
ngoại tiếp tam giác ABC. 
Đường thẳng qua D và qua tâm O của đường tròn lần lượt cắt AB và AC tại E và F. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB và AC.
Chứng minh rằng: Các đường thẳng AO, MF, NE đồng quy.
Bài 16. Cho hai đường tròn không bằng nhau 
và tiếp xúc ngoài với nhau tại T. 
Kẻ tiếp xúc với tại A; tiếp xúc với tại B 
sao cho các điểm A, B cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ . 
Lấy điểm H thuộc và điểm K thuộc sao cho BH, AK cùng 
vuông góc với . 
TH cắt lần nữa tại E, TK cắt lần nữa tại F. EF cắt AB tại S. 
Chứng minh rằng: Các đường thẳng , , TS đồng quy.
 Một số bài tập hình học phẳng cho học sinh giỏi Nguyễn Anh Tuấn 
$ 3- Một số bài toán cực trị.
Sử dụng những bất đẳng thức quen thuộc và không quen thuộc trong tam giác 
đồng thời vận dụng thành thạo những bất đẳng thức cổ điển như BĐT Cô-si,
BĐT Bunhiacopxki v.vđể gắn vào một bài toán cụ thể.
Bài 1. Cho tam giác ABC có diện tích bằng 1. 
Gọi R và r tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC.
Chứng minh rằng: . 
Đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài 2. Cho tam giác ABC. 
Gọi MN, PR, QS là hình chiếu vuông góc của AB, BC, CA 
lên các đường phân giác ngoài của các góc C, A, B tương ứng. 
Gọi S, r lần lượt là diện tích và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. 
Chứng minh rằng: . 
Đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài 3. Cho tam giác ABC. 
Gọi O và I lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác đó. 
Các tia AI, BI, CI cắt đường tròn tâm O tương ứng tại A’, B’, C’. 
Gọi là bán kính các đường tròn bàng tiếp của tam giác ABC 
ứng với các góc A, B, C. 
Gọi là bán kính các đường tròn bàng tiếp của tam giác A’B’C’ 
ứng với các góc A’, B’, C’. 
Chứng minh rằng : .
Bài 4. Cho tam giác ABC nội tiếp một đường tròn. 
Đường phân giác trong AD và trung tuyến AM theo thứ tự ấy 
cắt đường tròn lần nữa tại P và Q. 
Hãy so sánh DP và MQ.
Bài 5. Gọi I và r là tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. 
Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 
Chứng minh rằng :.
Bài 6. Cho tam giác ABC với AB AC và AD là đường phân giác trong. 
Lấy điểm M trên cạnh AB và điểm N trên cạnh AC 
sao cho BM.CN = k không đổi (k < ).
Xác định vị trí của M, N sao cho diện tích của tứ giác AMDN là lớn nhất.
 Một số bài tập hình học phẳng cho học sinh giỏi Nguyễn Anh Tuấn
Bài 7. Cho tam giác ABC với AB < AC. 
Gọi AD và AM lần lượt là phân giác và đường trung tuyến của tam giác. 
Đường thẳng qua D và vuông góc với AD cắt cạnh AC ở điểm E. 
So sánh diện tích hai tam giác ADM và CEM.
Bài 8. Cho tam giác ABC và điểm M nằm trong tam giác. 
Đường thẳng qua M cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại D, E. 
Chứng minh rằng: .
Xác định vị trí của M để đẳng thức xảy ra.
Bài 9. Cho tam giác ABC với I là tâm đường tròn nội tiếp và G là trọng tâm. 
Biết rằng AIIG. 
Chứng minh rằng: AB + AC > 2BC.
Bài 10. Cho tam giác ABC với I là tâm đường tròn nội tiếp và G là trọng tâm. 
Gọi theo thứ tự là bán kính đường tròn 
ngoại tiếp các tam giác IBC, ICA, IAB. 
Gọi theo thứ tự là bán kính đường tròn 
ngoại tiếp các tam giác GBC, GCA, GAB. 
Chứng minh rằng: .
Bài 11. Cho tam giác ABC, trung tuyến AD và BE cắt nhau ở G và .
Chứng minh rằng: AC + BC > 3AB.
Bài 12. Gọi AD, BE, CF là các đường phân giác trong của tam giác ABC vuông ở A. Đoạn thẳng AD cắt EF tại K. 
Đường thẳng qua K song song với BC cắt AB và AC lần lượt tại M và N. 
Chứng minh rằng: 
Bài 13. Gọi là các đường phân giác trong của tam giác ABC 
và theo thứ tự là các tiếp điểm của đường tròn 
nội tiếp tam giác ABC với các cạnh BC, CA và AB. 
Kí hiệu theo thứ tự là diện tích của các tam giác ABC,. 
Chứng minh rằng: .
Bài 14. Cho tam giác ABC và điểm M nằm trong tam giác. 
Các điểm theo thứ tự thuộc các cạnh BC, CA, AB 
và thoả mãn điều kiện 
Chứng minh rằng: trong đó S là diện tích tam giác.
 Một số bài tập hình học phẳng cho học sinh giỏi Nguyễn Anh Tuấn 
Bài 15. Gọi S, R, r lần lượt là diện tích, bán kính đường tròn ngoại tiếp 
và nội tiếp của tam giác ABC. 
Đặt a = BC, b = CA, c = ABC. 
Chứng minh rằng: .
Đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài 16. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. 
Các đường cao cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác 
lần nữa tại tương ứng. 
Chứng minh rằng: .
Bài 17. Chứng minh rằng : , trong đó p, R, r lần lượt là nửa chu vi, 
bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của một tam giác. 
Đẳng thức xảy ra khi nào? 
Bài 18. Cho tam giác ABC gọi theo thứ tự là độ dài trung tuyến xuất phát từ các đỉnh A, B, C và theo thứ tự là bán kính đường tròn bàng tiếp 
ứng với các góc có đỉnh A, B, C. 
Chứng minh rằng: . 
Đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài 19. Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. 
Gọi O và R lần lượt là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 
Gọi lần lượt là tâm đường tròn bàng tiếp ứng với các góc đỉnh A, B, C. 
Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. 
Chứng minh rằng: .
Bài 20. Cho tam giác ABC. 
Gọi theo thứ tự là bán kính đường tròn bàng tiếp 
ứng với các góc có đỉnh A, B, C. 
Chứng minh rằng: . 
Bài 21. Cho tam giác ABC có góc không nhọn với BC = a, CA = b, AB = c. 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
 Một số bài tập hình học phẳng cho học sinh giỏi Nguyễn Anh Tuấn 
Bài 22. Cho tam giác ABC. 
Trên các tia đối của tia BA, CA lấy các điểm E, F (khác B, C) theo thứ tự. 
Đường thẳng BF cắt CE tại điểm M. 
Chứng minh rằng: .
Đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài 23. Giả sử điểm M nằm trong tam giác nhọn ABC 
có độ dài các cạnh là BC = a, CA = b và AB = c. 
Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu của M trên các cạnh BC, CA, AB. 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
và xác định vị trí điểm M khi đó.
Bài 24. Trên đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC lấy điểm M. 
Gọi K, H, J lần lượt là hình chiếu của điểm M trên các đường thẳng AB, BC, CA. 
Hãy xác định vị trí của điểm M để tổng đạt: 
 1) Giá trị lớn nhất.
 2) Giá trị nhỏ nhất.
Bài 25. Cho tam giác ABC vuông tại A. Dựng hình chữ nhật EFGD sao cho E, F 
là các điểm trên cạnh BC, còn G, D lần lượt là các điểm trên cạnh AC, AB.
Gọi và là bán kính đường tròn nội tiếp các tam giác BDE, CGF và ADG 
theo thứ tự. 
Chứng minh rằng: Diện tích EFGD lớn nhất khi và chỉ khi .
Bài 26. Tam giác ABC có . Một đường thẳng đi qua trọng tâm G của tam giác ABC, cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại E, F. 
Hãy xác định vị trí điểm E sao cho AE + AF đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 27. Giả sử điểm M nằm trong tam giác ABC. 
Gọi lần lượt là khoảng cách từ M tới các đường thẳng BC, CA, AB. 
Gọi R và r tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC. 
Chứng minh rằng: .
Bài 28. Dây cung DE của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
cắt đường tròn nội tiếp tam giác này tại các điểm M và N. 
Chứng minh rằng: 
Bài 29. Đường tròn tâm I bán kính r nội tiếp tam giác ABC. 
Một tiếp tuyến của đường tròn tâm I 
cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại M và N. 
Chứng minh rằng: . 
 Một số bài tập hình học phẳng cho học sinh giỏi Nguyễn Anh Tuấn 
Bài 30. Cho tam giác nhọn ABC, nội tiếp trong đường tròn tâm O bán kính R. 
Gọi D, E, F lần lượt là giao điểm của các đường thẳng AO với BC, BO với CA 
và CO với AB. 
Chứng minh rằng: .
Bài 31. Cho tam giác nhọn ABC. Gọi AD, BE, CF là các đường cao của tam giác đó. 
Các cặp đoạn thẳng AD và EF, BE và FD, CF và DE cắt nhau tại M, N, P theo thứ tự. 
Kí hiệu S là diện tích tam giác. 
Chứng minh rằng: .
Bài 32. Cho tam giác ABC có AB > AC, chân đường cao AH nằm trong cạnh BC. Đường phân giác của góc ABC và góc ACB cắt AH theo thứ tự tại E và F. 
Chứng minh rằng: BE > EF + FC. 
Bài 33. Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I.
Gọi R và r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác đó. 
Chứng minh rằng: .
Bài 34. Cho tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c nội tiếp đường tròn bán kính R. Gọi là độ dài ba đường phân giác và là bán kính các đường tròn 
bàng tiếp tương ứng với các góc A, B, C. 
Chứng minh rằng: .
Bài 35. Xét các tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c 
có chu vi a + b + c = 2p (không đổi). 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: .
Bài 36. Cho tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c
sao cho thỏa mãn hệ thức . 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: , 
trong đó p là nửa chu vi của tam giác ABC.
Bài 37. Cho tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c có diện tích S. 
Gọi lần lượt là độ dài các đường trung tuyến xuất phát từ A, B, C.
Chứng minh rằng: . 
 Một số bài tập hình học phẳng cho học sinh giỏi Nguyễn Anh Tuấn 
Bài 38. Cho tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c có diện tích S. 
Chứng minh rằng: . 
Đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài 39. Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I. 
Gọi lần lượt là độ dài các đường trung tuyến xuất phát từ A, B, C.
Chứng minh rằng: .
Bài 40. Cho tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c ngoại tiếp đường tròn tâm I. Đặt . 
Chứng minh rằng: . 
Bài 41. Cho tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c 
ngoại tiếp đường tròn tâm I bán kính r. 
Gọi lần lượt là tiếp điểm của đường tròn ( I ) với các cạnh BC, CA, AB. 
Các tia IA, IB, IC cắt đường tròn ( I ) tại theo thứ tự. 
Đặt (i = 1, 2).
Chứng minh rằng: . 
Đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài 42. Cho tam giác nhọn ABC có ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H 
sao cho AH > HD, BH > HE, CH > HF.
Chứng minh rằng: .
Bài 43. Cho tam giác ABC. 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: .
Bài 44. Cho tam giác ABC có . 
Gọi lần lượt là chiều cao xuất phát từ đỉnh A, B, C của tam giác ABC.
Chứng minh rằng: .
Bài 45. Cho tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c. 
Gọi lần lượt là chiều cao xuất phát từ đỉnh A, B, C và p là nửa chu vi 
của tam giác ABC. Lấy điểm trên cạnh BC sao cho đường tròn 
nội tiếp tam giác bằng nhau và gọi bán kính các đường tròn đó là . 
Ta cũng định nghĩa tương tự cho . 
Chứng minh rằng: . 
 Một số bài tập hình học phẳng cho học sinh giỏi Nguyễn Anh Tuấn 
Bài 46. Cho tam giác ABC không tù có các đường cao và trực tâm H.
Chứng minh rằng: .
Bài 47. Cho tam giác nhọn ABC với trực tâm là H.
Chứng minh rằng: . 
Đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài 48. Cho BC là dây cung cố định (không là đường kính) của đường tròn. 
Trên cung lớn BC lấy một điểm A bất kì không trùng với B và C. 
Gọi H là trực tâm tam giác ABC. 
Giao điểm thứ hai của đường thẳng BC với các đường tròn ngoại tiếp tam giác ABH và ACH lần lượt là E và F. 
Đoạn thẳng EH cắt cạnh AC tại M, FH cắt cạnh AB tại N. 
Hãy xác định vị trí điểm A sao cho độ dài đoạn MN là ngắn nhất. 
Bài 49. Cho tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c. 
Lấy điểm M bất kì, gọi lần lượt là các khoảng cách từ M 
đến các đường thẳng BC,CA,AB. 
Tìm vị trí của điểm M để tích đạt giá trị lớn nhất 
và tính giá trị lớn nhất đó theo a, b, c.
Bài 50. Gọi lần lượt là độ dài các đường phân giác trong 
xuất phát từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC và p là nửa chu vi tam giác đó.
Chứng minh rằng: 
.
Bài 51. Cho tam giác ABC bất kì. 
Chứng minh rằng: 
 1) . 
 2) .
Bài 52. Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp một đường tròn. 
Điểm P chạy trên cung BC không chứa A. 
Gọi M và N lần lượt là giao điểm của BC với PA và PD.
Tính độ dài lớn nhất của MN.
Bài 53. Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp đường tròn bán kính R 
và ngoại tiếp đườn