Chuyên đề Một số bài toán áp dụng tính chất biến thiên của hàm số

Một số bài toán áp dụng tính chất biến thiên của hàm số
Bài toán 1. Chứng minh bất đẳng thức
Bài 1. Chứng minh rằng : 
 HD : Xét f(x) = ex – 1 – x .
Bài 2. CMR : với 
 HD : Đặt VT = f(x) , tính f’, f”. Khi x > 0 thì f” < 0.
 Xét tại x = 1 ( f’ = 0) hs đạt cực đại. Lập bảng biến thiên suy ra đpcm.
Bài 3. CMR : .
 HD : Xét VT = f(x). ta có : 
 Vậy f’ = 0, x = 1/2.
 hs đạt cực tiểu tại x =1/2
 Vậy suy ra đpcm.
Bài 4.CMR với , ta có : 
HD : Đặt 
Với 
Với - 1 < x < 1 ta có : 
 Suy ra f’(x) = 0 thì x = 0
Vậy và suy ra đpcm.
Bài toán 2. Giải và biện luận phương trình
Bài 1. Tìm m = ? để phương trình có nghiệm thỏa 
 mãn bất phương trình .
 HD : Xét trên [-1;4] , tính f’ , lập bảng biến thiên.
 Kết luận .
Bài 2. Tìm m = ? để phương trình có nghiệm.
 HD: Đk : . Đặt 
 PT : t2 – t + 5 = m . Xét f(t) = t2 - t + 5 với t [0;2]
 f’(t) = 2t -1 = 0 , t = 1/2 . Lập bảng biến thiên. Kết luận : 
Bài 3. Giải phương trình : 
 HD : Xét với 
 Tính Suy ra f(x) tăng trên và 
 f(1/2) = 0 suy ra phương trình có nghiệm duy nhất : x = 1/2 .
Bài 4. Giải phương trình : 
 HD : Đk . Xét hàm số trên 
 Ta có : suy ra f(x) NB trên 
 Ta thấy f(2) = 0 , vậy pt có duy nhất nghiệm x = 2. 
Bài 5. ( ĐH khối A – 2007)
 Tìm m = ? để phương trình có nghiệm thực : 
 HD: Đk : , pt trở thành : (1) , đặt 
 Khi đó (1) trở thành : -3t2 + 2t = m (2)
 Xét hàm số f(t) = -3t2 + 2t , từ bảng biến thiên suy ra : 
Bài 6.( ĐH khối B – 2007)
 CMR với phương trình sau có 2 nghiệm thực phân biệt: 
 HD : Đk : . PT trở thành: .
 YCBT C/m pt : có nghiệm trong khoảng .
 Xét sự biến thiên của hàm số , suy ra đpcm.
Bài 7.( ĐH khối A – 2008)
Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt
Bài 8.( ĐH khối B Dự trữ– 2007)
 Tỡm m để phương trỡnh: cú nghiệm.
Xột hàm số (điều kiện: x ³ 0)
	, "x > 0
	Vỡ 
Ta cú f giảm trờn và nờn ta cú 
.	
Vậy, phương trỡnh (1) cú nghiệm 
Û miền giỏ trị của f trờn đoạn Û 0 < m Ê 1
Bài 9.( ĐH khối B – 2007)
 Tỡm m để phương trỡnh : cú đỳng 1 nghiệm
Phương trỡnh: (1)
	(1)	
	ycbt Û đường thẳng y = –m cắt phần đồ thị f(x) = 4x3 – 6x2 – 9x – 1 với x Ê 1 tại 1 điểm
	f(x) = 4x3 – 6x2 – 9x – 1
	TXĐ: x Ê 1
	f'(x) = 12x2 – 12x – 9 = 3(4x2 – 4x – 3)
	f'(x) = 0 Û 4x2 – 4x – 3 = 0 Û 
	x –Ơ	 –1/2	 1	 –3/2	 +Ơ
	f'	 + 0 –	 	 –	0 +
	f 	 CĐ	 	 +Ơ
	 –Ơ	 	 –12	CT	 	
	Từ bảng biến thiờn ta cú: 
ycbt