Chuyên đề Một số phương pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số

Một số phương pháp xác định cơng thức tổng quát của dãy số 
 - 1 - 
MỤC LỤC 
MỤC LỤC .................................................................................................................... 1 
LỜI MỞ ðẦU............................................................................................................... 2 
I. SỬ DỤNG CSC – CSN ðỂ XÂY DỰNG CÁCH TÌM CTTQ CỦA MỘT SỐ 
DẠNG DÃY SỐ CĨ CƠNG THỨC TRUY HỒI ðẶC BIỆT.................................... 3 
II. SỬ DỤNG PHÉP THẾ LƯỢNG GIÁC ðỂ XÁC ðỊNH CTTQ CỦA DÃY SỐ 23 
III. ỨNG DỤNG BÀI TỐN TÌM CTTQ CỦA DÃY SỐ VÀO GIẢI MỘT SỐ 
BÀI TỐN VỀ DÃY SỐ - TỔ HỢP..........................................................................29 
BÀI TẬP ÁP DỤNG....................................................................................................40 
KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ.........................................................................................44 
TÀI LIỆU THAM KHẢO...........................................................................................45 
Một số phương pháp xác định cơng thức tổng quát của dãy số 
 - 2 - 
LỜI MỞ ðẦU 
 Trong chương trình tốn học THPT các bài tốn liên quan đến dãy số là một phần 
quan trọng của đại số và giải tích lớp 11 , học sinh thường gặp nhiều khĩ khăn khi giải 
các bài tốn liên qua đến dãy số và đặc biệt là bài tốn xác định cơng thức số hạng tổng 
quát của dãy số . Hơn nữa ở một số lớp bài tốn khi đã xác định được cơng thức tổng 
quát của dãy số thì nội dung của bài tốn gần như được giải quyết. Do đĩ xác định cơng 
thức tổng quát của dãy số chiếm một vị trí nhất định trong các bài tốn dãy số. 
 Chuyên đề “Một số phương pháp xác định cơng thức tổng quát của dãy số ” 
nhằm chia sẻ với các bạn một số kinh nghiệm giải bài tốn tìm CTTQ của dãy số mà bản 
thân đúc rút được trong quá trình học tập và giảng dạy. 
 Nội dung của chuyên đề được chia làm bốn mục : 
 I: Sử dụng CSC – CSN để xây dựng phương pháp tìm CTTQ của một số dạng dãy số 
cĩ dạng cơng thức truy hồi đặc biệt. 
 II: Sử dụng phương pháp thế lượng giác để xác định CTTQ của dãy số 
 III: Sử dụng phương pháp hàm sinh để xác định CTTQ của dãy số 
 IV: Ứng dụng của bài tốn xác định CTTQ của dãy số vào giải một số bài tốn về 
dãy số - tổ hợp . 
 Một số kết quả trong chuyên đề này đã cĩ ở một số sách tham khảo về dãy số, tuy 
nhiên trong chuyên đề các kết quả đĩ được xây dựng một cách tự nhiên hơn và được sắp 
xếp từ đơn giản đến phức tạp giúp các em học sinh nắm bắt kiến thức dễ dàng hơn và 
phát triển tư duy cho các em học sinh. 
 Trong quá trình viết chuyên đề, chúng tơi nhận được sự động viên, giúp đỡ nhiệt 
thành của BGH và quý thầy cơ tổ Tốn Trường THPT BC Lê Hồng Phong. Chúng tơi 
xin được bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc. 
 Vì năng lực và thời gian cĩ nhiều hạn chế nên ở chuyên đề sẽ cĩ những thiếu sĩt. Rất 
mong quý Thầy – Cơ và các bạn đồng nghiệp thơng cảm và gĩp ý để chuyên đề được tốt 
hơn. 
Một số phương pháp xác định cơng thức tổng quát của dãy số 
 - 3 - 
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ðỊNH 
CƠNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ 
I. SỬ DỤNG CSC – CSN ðỂ XÂY DỰNG CÁCH TÌM CTTQ CỦA MỘT SỐ 
DẠNG DÃY SỐ CĨ CƠNG THỨC TRUY HỒI ðẶC BIỆT. 
Trong mục này chúng tơi xây dựng phương pháp xác định CTTQ của một số dạng dãy 
số cĩ cơng thức truy hồi dạng đặc biệt. Những phương pháp này được xây dựng dựa trên 
các kết quả đã biết về CSN – CSC , kết hợp với phương pháp chọn thích hợp. Trước hết 
chúng ta nhắc lại một số kết quả đã biết về CSN – CSC . 
1. Số hạng tổng quát của cấp số cộng và cấp số nhân 
 1.1: Số hạng tổng quát của cấp số cộng 
ðịnh nghĩa: Dãy số ( )
n
u gọi là cấp số cộng nếu cĩ một số thực d sao cho với mọi số 
nguyên 2n ≥ ta cĩ: 1n nu u d−= + . 
d : gọi là cơng sai của CSC; 
1
u : gọi số hạng đầu, 
n
u gọi là số hạng tổng quát của cấp số 
ðịnh lí 1: Cho CSC ( )
n
u . Ta cĩ : 1 ( 1)nu u n d= + − (1). 
ðịnh lí 2: Gọi 
n
S là tổng n số hạng đầu của CSC ( )
n
u cĩ cơng sai d. Ta cĩ: 
 1
S [2 ( 1) ]
2n
n
u n d= + −
 (2). 
 1. 2: Số hạng tổng quát của cấp số nhân 
ðịnh nghĩa: Dãy số ( )
n
u cĩ tính chất 
1
. *
n n
u q u n+ = ∀ ∈ ℕ gọi là cấp số nhân cơng 
bội q 
ðịnh lí 3: Cho CSN ( )
n
u cĩ cơng bội q. Ta cĩ: 11
n
n
u u q −=
 (3). 
ðịnh lí 4: Gọi 
n
S là tổng n số hạng đầu của CSN ( )
n
u cĩ cơng bội q . Ta cĩ: 
1
1 -
1 -
n
n
q
S u
q
=
 (4). 
Một số phương pháp xác định cơng thức tổng quát của dãy số 
 - 4 - 
2. Áp dụng CSC – CSN để xác định CTTQ của một số dạng dãy số đặc biệt 
Ví dụ 1.1: Xác định số hạng tổng quát của dãy số ( )
n
u được xác định bởi 
1 1
1, 2 2
n n
u u u n
−
= = − ∀ ≥ . 
Giải: 
Ta thấy dãy ( )
n
u là một CSC cĩ cơng sai 2d = − . Áp dụng kết quả (1) ta cĩ: 
1 2( 1) 2 3
n
u n n= − − = − + . 
Ví dụ 1.2: Xác định số hạng tổng quát của dãy số ( )
n
u được xác định bởi 
1 1
3, 2 2
n n
u u u n
−
= = ∀ ≥ . 
Giải: 
Ta thấy dãy ( )
n
u là một CSN cĩ cơng bội 2q = . Ta cĩ: 13.2n
n
u −= . 
Ví dụ 1.3: Xác định số hạng tổng quát của dãy ( )
n
u được xác định bởi: 
1 1
2, 3 1 2
n n
u u u n
−
= − = − ∀ ≥ . 
Giải: 
Trong bài tốn này chúng ta sẽ gặp khĩ khăn vì dãy ( )
n
u khơng phải là CSC hay CSN! 
Ta thấy dãy ( )
n
u khơng phải là CSN vì xuất hiện hằng số 1− ở VT. Ta tìm cách làm 
mất 1− đi và chuyển dãy số về CSN. 
Ta cĩ: 3 11
2 2
− = − + nên ta viết cơng thức truy hồi của dãy như sau: 
1 1
1 3 1
3 3( )
2 2 2n n n
u u u
− −
− = − = − (*). 
ðặt 1
1 5
2 2n n
v u v= − ⇒ = − và 13 2n nv v n−= ∀ ≥ . Dãy ( )nv là CSN cơng bội 3q = 
1 1
1
5
. .3
2
n n
nv v q
− −⇒ = = − . Vậy 1 5 1.3
2 2 2
n
n nu v= + = − + 1,2, ..., ..n∀ = . 
Nhận xét: Mẫu chốt ở cách làm trên là ta phân tích 3 11
2 2
− = − + để chuyển cơng thức 
truy hồi của dãy về (*), từ đĩ ta đặt dãy phụ để chuyển về dãy ( )
n
v là một CSN. Tuy 
nhiên việclamf trên cĩ vè khơng tự nhiên lắm! Làm thế nào ta biết phân tích 
3 1
1
2 2
− = − + ? Ta cĩ thể làm như sau: 
ðặt .
n n
u k v l= + ; ,k l là các hằng số và 0k ≠ ( ta sẽ chọn ,k l sau). 
Khi đĩ, ta cĩ: 
1
2 1
. 3 . 3 1 3
n n n n
l
k v l k v l v v
k−
−
+ = + − ⇔ = + . 
Một số phương pháp xác định cơng thức tổng quát của dãy số 
 - 5 - 
Ta chọn 2 1 1, : 0
2
l
k l l
k
−
= ⇔ = và 0k ≠ bất kì nên ta chọn: 
1
1
2
k
l
 =


=

. 
1
1
3
( ) : 5
2
n n
n
v v
v
v
−
 =

⇒ 
= −

. Dễ thấy dãy ( )
n
v là CSN với cơng bội 3q = 
1 1
1
5
. .3
2
n n
n
v v q − −⇒ = = − . Suy ra: 
11 5.3 1
2 2 2
n
n n
u v
−
= + = − + . 
Ta thấy k bất kì, do đĩ khi đặt ta chọn 1k = . 
Với cách làm này ta xác định được CTTQ của dãy 1 0
1
( ) :
 2n
n n
u x
u
u au b n
−
 =

= + ∀ ≥
. 
Thật vậy: 
* Nếu 1a = thì dãy ( )
n
u là CSC cĩ cơng sai d b= nên 
1
( 1)
n
u u n d= + − . 
* Nếu 1a ≠ , ta viết 
1 1
ab b
b
a a
= −
− −
. Khi đĩ cơng thức truy hồi của dãy được viết như 
sau: 
1
( )
1 1n n
b b
u a u
a a−
+ = +
− −
, từ đây ta cĩ được: 1
1
( )
1 1
n
n
b b
u u a
a a
−+ = +
− −
Hay 
1
1
1
1
1
n
n
n
a
u u a b
a
−
−
−
= +
−
Vậy ta cĩ kết quả sau: 
Dạng 1: Dãy số 
1 0 1
( ) : , 2
n n n
u u x u au b n
−
= = + ∀ ≥ ( , 0a b ≠ là các hằng số) cĩ 
CTTQ là: 
1
1
1
1
( 1) khi 1
 1
. khi a 1
1
n
n n
u n b a
u a
u a b
a
−
−
 + − =

= 
−
+ ≠
 −
. 
Ví dụ 1.4: Xác định CTTQ của dãy ( )
n
u được xác định : 
1 1
2; 2 3 1
n n
u u u n
−
= = + − . 
Giải: Ở ví dụ này chúng ta khơng thể sử dụng kết quả 1 được vì ở VP của cơng thức 
truy hồi là một hàm bậc nhất biến n chứ khơng phải là hằng số. Tuy nhiên chúng ta cĩ 
thể bắt chước cách giải ở trên làm mất 3 2n + ở VP, muốn vậy ta viết : 
3 1 3 5 2 3( 1) 5n n n − = − − + − +  (*). 
Một số phương pháp xác định cơng thức tổng quát của dãy số 
 - 6 - 
Khi đĩ cơng thức truy hồi của dãy được viết như sau: 
3 5 2 3( 1) 5
n n
u n u n + + = + − +  . 
ðặt 3 5
n n
v u n= + + , ta cĩ: 
1
10v = và 1 1
1 1
2 2 .2 10.2n n
n n n
v v n v v − −
−
= ∀ ≥ ⇒ = = 
Vậy CTTQ của dãy ( ) : 3 5 5.2 3 5n
n n n
u u v n n= − − = − − . 
Chú ý : 1) ðể phân tích được đẳng thức (*), ta làm như sau: 
3 1 2 ( 1)n an b a n b − = + − − +  . Cho 1; 2n n= = ta cĩ: 
2 3
5 5
a b a
b b
 
− = = − 
⇔ 
− = = −  
. 
2) Trong trường hợp tổng quát dãy ( ) 1
1
:
( ) 2n
n n
u
u
u au f n n
−


= + ∀ ≥
, trong đĩ ( )f n 
là một đa thức bậc k theo n , ta xác định CTTQ như sau: 
Phân tích ( ) ( ) ( 1)f n g n ag n= − − (**) với ( )g n cũng là một đa thức theo n . Khi đĩ ta 
cĩ: 1
1 1
( ) ( 1) ... (1)n
n n
u g n a u g n a u g−
−
   
− = − − = = −    
Vậy ta cĩ: 1
1
(1) ( )n
n
u u g a g n− = − +  . 
Vấn đề cịn lại là ta xác định ( )g n như thế nào ? 
Ta thấy : 
*Nếu 1a = thì ( ) ( 1)g n ag n− − là một đa thức cĩ bậc nhỏ hơn bậc của ( )g n một bậc và 
khơng phụ thuộc vào hệ số tự do của ( )g n , mà ( )f n là đa thức bậc k nên để cĩ (**) ta 
chọn ( )g n là đa thức bậc 1k + , cĩ hệ số tự do bằng khơng và khi đĩ để xác định ( )g n 
thì trong đẳng thức (**) ta cho 1k + giá trị của n bất kì ta được hệ 1k + phương trình, 
giải hệ này ta tìm được các hệ số của ( )g n . 
* Nếu 1a ≠ thì ( ) ( 1)g n ag n− − là một đa thức cùng bậc với ( )g n nên ta chọn ( )g n là 
đa thức bậc k và trong đẳng thức (**) ta cho 1k + giá trị của n thì ta sẽ xác định được 
( )g n . 
Vậy ta cĩ kết quả sau: 
Dạng 2: ðể xác định CTTQ của dãy ( )
n
u được xác định bởi: 1 0
1
. ( )
n n
u x
u a u f n
−
 =

= +
, trong 
đĩ ( )f n là một đa thức bậc k theo n ; a là hằng số. Ta làm như sau: 
 Ta phân tích: ( ) ( ) . ( 1)f n g n a g n= − − với ( )g n là một đa thức theo n . Khi đĩ, ta đặt 
( )
n n
v u g n= − ta cĩ được: 1
1
(1) ( )n
n
u u g a g n− = − +  . 
Một số phương pháp xác định cơng thức tổng quát của dãy số 
 - 7 - 
 Lưu ý nếu 1a = , ta chọn ( )g n là đa thức bậc 1k + cĩ hệ số tự do bằng khơng, cịn nếu 
1a ≠ ta chọn ( )g n là đa thức bậc k . 
Ví dụ 1.5: Cho dãy số 1
1
2
( ) :
2 1n
n n
u
u
u u n
−
 =

= + +
. Tìm CTTQ của dãy ( )
n
u . 
Giải: Ta phân tích 2 22 1 ( ) ( 1) ( 1) ( 1)n g n g n a n n b n n   + = − − = − − + − −   
( trong đĩ 2( )g n an bn= + ). 
Cho 0, 1n n= = ta cĩ hệ: 2
1 1
( ) 2
3 2
a b a
g n n n
a b b
 
− + = = 
⇔ ⇒ = + + = =  
. 
Ví dụ 1.6: Cho dãy số 1
1
1
( ) :
3 2 ; 2,3,...nn
n n
u
u
u u n
−
 =

= + =
.Tìm CTTQ của dãy ( )
n
u . 
Giải: Ta vẫn bắt chước cách làm trong các ví dụ trên, ta phân tích: 
12 .2 3 .2n n na a −= − . Cho 1n = , ta cĩ: 12 2 2.2 3.2.2n n na −= − ⇒ = − + 
Nên ta cĩ: 1 1
1 1
2.2 3( 2.2 ) ... 3 ( 4)n n n
n n
u u u− −
−
+ = + = = + 
Vậy 1 15.3 2n n
n
u − += − . 
Chú ý : Trong trường hợp tổng quát dãy 
1
( ) : . . n
n n n
u u a u bα
−
= + , ta phân tích 
1. .n n nk akα α α −= − với ( )a α≠ . 
Khi đĩ: ( ) ( )1 11 1. . ...n n nn nu kb a u kb a u bkα α − −−− = − = = − 
Suy ra 1
1
( ) .n n
n
u a u bk bk α−= − + . 
Trường hợp aα = , ta phân tích 1. ( 1).n n nn nα α α α −= − − 
( )1 11 1. ( 1). ... ( )n n nn nu bn u b n u bα α α α α− −−⇒ − = − − = = − 
1
1
( 1) n n
n
u b n uα α −⇒ = − + . Vậy ta cĩ kết quả sau. 
Dạng 3: ðể xác định CTTQ của dãy 1
1
( ) :
. . 2nn
n n
u
u
u a u b nα
−


= + ∀ ≥
, ta làm như 
sau: 
Một số phương pháp xác định cơng thức tổng quát của dãy số 
 - 8 - 
 • Nếu 1
1
( 1) n n
n
a u b n uα α α −= ⇒ = − + . 
 • Nếu a α≠ , ta phân tích 1. .n n nk akα α α −= − . Khi đĩ: 1
1
( ) .n n
n
u a u bk bk α−= − + 
Ta tìm được: k
a
α
α
=
−
. 
Ví dụ 1.7: Tìm CTTQ của dãy 1
1
2
( ) :
5 2.3 6.7 12 ; 2,3,... n nn
n n
u
u
u u n
−
 = −

= + − + =
. 
Giải: Ta cĩ: 
1
1
3 .3 5 .3
7 .7 5 .7
n n n
n n n
k k
l l
−
−

= −

= −
 cho 1n = , ta được: 
3
2
7
2
k
l

= −

 =

Hơn nữa 12 3 5.3= − + nên cơng thức truy hồi của dãy được viết lại như sau: 
( )1 1 11 13.3 21.7 3 5 3.3 21.7 3 ... 5 ( 9 147 3)n n n n nn nu u u− − −−+ + + = + + + = = + + + 
Vậy 1 1 1157.5 3 3.7 3n n n
n
u − + += − − − . 
Ví dụ 1.8: Tìm CTTQ của dãy 1
1
1
( ) :
2 3 ; 2nn
n n
u
u
u u n n
−
 =

= + − ∀ ≥
. 
Giải: Ta phân tích: 
13 3.3 2.3.3
2 2 ( 1) 2
n n n
n n n
−
= −

 = − − + − +  
 nên ta viết cơng thức truy hồi của dãy 
như sau: 1 1
1 1
3.3 2 2 3.3 ( 1) 2 ... 2 ( 12)n n n
n n
u n u n u− −
−
 
− − − = − − − − = = −
 
Vậy 1 111.2 3 2n n
n
u n− += − + + + . 
Dạng 4: ðể xác định CTTQ của dãy 1
1
( ) :
. . ( ); 2nn
n n
u p
u
u a u b f n nα
−
 =

= + + ∀ ≥
, trong 
đĩ ( )f n là đa thức theo n bậc k , ta phân tích nα và ( )f n như cách phân tích ở dạng 2 
và dạng 3. 
Ví dụ 1.9: Xác định CTTQ của dãy 
0 1 1 2
( ) : 1, 3, 5 6 2.
n n n n
u u u u u u n
− −
= − = = − ∀ ≥ 
Một số phương pháp xác định cơng thức tổng quát của dãy số 
 - 9 - 
Giải: ðể xác định CTTQ của dãy số trên, ta tìm thay thế dãy ( )
n
u bằng một dãy số khác 
là một CSN. Ta viết lạicơng thức truy hồi của dãy như sau: 
1 1 2 1 1 2
. ( )
n n n n
u x u x u x u
− − −
− = − , do đĩ ta phải chọn 1 2
1 2
1 2
5
, :
6
x x
x x
x x
 + =

=
 hay 
1 2
,x x là 
nghiệm phương trình : 2 5 6 0 2; 3x x x x− + = ⇔ = = . Ta chọn 
1 2
2; 3x x= = . Khi đĩ: 
1 1
1 1 2 1 0
2 3( 2 ) ... 3 ( 2 ) 5.3n n
n n n n
u u u u u u− −
− − −
− = − = = − = 
1
1
2 5.3n
n n
u u −
−
⇒ = + . Sử dụng kết quả dạng 3, ta cĩ: 5.3 6.2n n
n
u = − . 
Chú ý : Tương tự với cách làm trên ta xác định CTTQ của dãy ( )
n
u được xác định bởi: 
0 1
1 2
; 
. . =0 2
n n n
u u
u a u b u n
− −


− + ∀ ≥
, trong đĩ ,a b là các số thực cho trước và 2 4 0a b− ≥ 
ta làm như sau: 
Gọi 
1 2
,x x là hai nghiệm của phương trình : 2 0 ( )x ax b− + = 1 ( phương trình này 
được gọi là phương trình đặc trưng của dãy). 
Khi đĩ: 1
1 1 2 1 1 2 2 1 1 0
. ( . ) ... ( . )n
n n n n
u x u x u x u x u x u−
− − −
− = − = = − . 
Sử dụng kết quả của dạng 3, ta cĩ các trường hợp sau: 
 • Nếu 
1 2
x x≠ thì 2 0 1 1 0
1 2
2 1
. .n n
n
x u u u x u
u x x
x x y x
− −
= +
− −
. Hay 
1 2
. .n n
n
u k x l x= + , trong đĩ 
,k l là nghiệm của hệ: 0
1 2 1
. .
k l u
x k x l u
 + =
 + =
. 
 • Nếu 
1 2
x x α= = thì 1 0 0
1
( )
2 2
n
n
u a au
u u nα −
 
= + − 
  
, hay 1( ) n
n
u kn l α −= + , trong 
đĩ ,k l là nghiệm của hệ: 0
1
.l u
k l u
α =
 + =
. 
Vậy ta cĩ kết quả sau: 
Dạng 5: ðể xác định CTTQ của dãy ( )
n
u : 0 1
1 2
; 
. . 0 2
n n n
u u
u a u b u n
− −


− + = ∀ ≥
 , trong 
đĩ , ,a b c là các số thực khác khơng; 2 4 0a b− ≥ ta làm như sau: 
Một số phương pháp xác định cơng thức tổng quát của dãy số 
 - 10 - 
Gọi 
1 2
,x x là nghiệm của phương trình đặc trưng: 2 0x ax b− + = . 
 • Nếu 
1 2
x x≠ thì 
1 2
. .n n
n
u k x l x= + , trong đĩ ,k l là nghiệm của hệ : 0
1 2 1
. .
k l u
x k x l u
 + =
 + =
. 
 • Nếu 
1 2
x x α= = thì 1( ) n
n
u kn l α −= + , trong đĩ ,k l là nghiệm của hệ: 0
1
.l u
k l u
α =
 + =
. 
Ví dụ 1.10: Cho dãy số ( )nu được xác định bởi : 0 1
1 1
1; 2
4 1
n n n
u u
u u u n+ −
 = =

= + ∀ ≥
. 
Hãy xác định CTTQ của dãy ( )
n
u . 
Giải: 
Phương trình 2 4 1 0x x− − = cĩ hai nghiệm 
1 2
2 5; 2 5x x= + = − . 
1 2
. .n n
n
u k x l x⇒ = + . Vì 
0 1
1; 2u u= = nên ta cĩ hệ: 
1
(2 5) (2 5) 2
k l
k l
 + =

+ + − =
1
2
k l⇔ = = . Vậy 1 (2 5) (2 5)
2
n n
n
u  = + + −
 
. 
Ví dụ 1.11: Xác định CTTQ của dãy: 0 1
1 2
1; 3
( ) :
4 4 0 2,3,...n
n n n
u u
u
u u u n
− −
 = =

− + = ∀ =
. 
Giải: 
Phương trình đặc trưng 2 4 4 0x x− + = cĩ nghiệm kép 2x = nên 1( )2n
n
u kn l −= + 
Vì 
0 1
1; 3u u= = nên ta cĩ hệ: 
2
1; 2
3
l
k l
k l
 =
⇔ = = + =
. 
Vậy 1( 2)2n
n
u n −= + . 
Ví dụ 1.12: Cho dãy 0 1 2
1 2
1; 3
( ) :
5 6 2 2 1; 2n
n n n
u u
u
u u u n n n
− −
 = − =

− + = + + ∀ ≥
. Xác định 
CTTQ của dãy ( )
n
u . 
Giải: 
Một số phương pháp xác định cơng thức tổng quát của dãy số 
 - 11 - 
Với cách làm tương tự như Ví dụ 1.4, ta phân tích: 22 2 1n n+ + = 
2 2 2( ) 5 ( 1) ( 1) 6 ( 2) ( 2)kn ln t k n l n t k n l n t   = + + − − + − + + − + − +
   
 (*) 
Ở (*) cho 0; 1; 2n n n= = = ta cĩ hệ: 
19 7 2 1 1
7 5 2 5 8
3 2 13 19
k l t k
k l t l
k l t t
 
− + = =
 
− + = ⇔ = 
 
− − + = = 
. 
ðặt 2
0 1
8 19 20; 25
n n
v u n n v v= − − − ⇒ = − = − và 
1 2
5 6 0
n n n
v v v
− −
− + = 
.3 .2n n
n
v α β⇒ = + . Ta cĩ hệ: 20 15
3 2 25 35
α β α
α β β
 + = − = 
⇔ + = − = −  
215.3 35.2 15.3 35.2 8 19n n n n
n n
v u n n⇒ = − ⇒ = − + + + . 
Chú ý : ðể xác định CTTQ của dãy số: 0 1
1 1
;
( ) :
. . ( ) ; 2n
n n n
u u
u
u a u b u f n n+ −

 + + = ∀ ≥
, 
( trong đĩ ( )f n là đa thức bậc k theo n và 2 4 0a b− ≥ ) ta làm như sau: 
 • Ta phân tích ( ) ( ) ( 1) ( 2)f n g n ag n bg n= + − + − (*) rồi ta đặt ( )
n n
v u g n= − 
Ta cĩ được dãy số 0 0 1 1
1 2
(0); (1)
( ) :
0 2n
n n n
v u g v u g
v
v av bv n
− −
 = − = −
 + + = ∀ ≥
. ðây là dãy số mà ta đã xét 
trong dạng 5. Do đĩ ta sẽ xác định được CTTQ của 
n n
v u⇒ . 
 • Vấn đề cịn lại là ta xác định ( )g n như thế nào để cĩ (*) ? 
Vì ( )f n là đa thức bậc k nên ta phải chọn ( )g n sao cho ( ) ( 1) ( 2)g n ag n bg n+ − + − là 
một đa thức bậc k theo n . Khi đĩ ta chỉ cần thay 1k + giá trị bất kì của n vào (*) ta sẽ 
xác định được ( )g n . 
Giả sử 1
1 1 0
( ) ...m m
m m
g n a n a n a n a−
−
= + + + + ( 0
m
a ≠ ) là đa thức bậc m . Khi đĩ hệ 
số của mx và 1mx − trong VP là: .(1 )
m
a a b+ + và 
1
( 2 ) . (1 )
m m
a b ma a b a
−
 
− + + + +  . 
Do đĩ : 
)i Nếu PT: 2 0x ax b+ + = (1) cĩ nghiệm hai nghiệm phân biệt khác 1 thì 
1 0a b+ + ≠ nên VP(*) là một đa thức bậc m . 
)ii Nếu PT (1) cĩ hai nghiệm phân biệt trong đĩ cĩ một nghiệm 1x = 1 0a b⇒ + + = 
và 
1
( 2 ) . (1 ) ( 2 ). . 0
m m m
a b ma a b a a b ma
−
− + + + + = − + ≠ nên VP(*) là một đa thức bậc 
1m − . 
Một số phương pháp xác định cơng thức tổng quát của dãy số 
 - 12 - 
)iii Nếu PT (1) cĩ nghiệm kép 1x = 2; 1a b⇒ = − = nên VP(*) là một đa thức bậc 
2m − . 
Vậy để chọn ( )g n ta cần chú ý như sau: 

 Nếu (1) cĩ hai nghiệm phân biệt, thì ( )g n là một đa thức cùng bậc với ( )f n 

 Nếu (1) cĩ hai nghiệm phân biệt, trong đĩ một nghiệm bằng 1 thì ta chọn 
( ) . ( )g n n h n= trong đĩ ( )h n là đa thức cùng bậc với ( )f n . 

 Nếu (1) cĩ nghiệm kép 1x = thì ta chọn 2( ) . ( )g n n h n= trong đĩ ( )h n là đa thức 
cùng bậc với ( )f n . 
Dạng 6: ðể tìm CTTQ của dãy 0 1
1 2
;
( ) :
. . ( ) ; 2n
n n n
u u
u
u a u b u f n n
− −

 + + = ∀ ≥
, 
( trong đĩ ( )f n là đa thức theo n bậc k và 2 4 0b ac− ≥ ) ta làm như sau: 
Xét ( )g n là một đa thức bậc k : 
1 0
( ) ...k
k
g n a n a k a= + + + . 
 • Nếu phương trình : 2 0 (1)x ax b+ + = cĩ hai nghiệm phân biệt, ta phân tích 
( ) ( ) ( 1) ( 2)f n g n ag n bg n= + − + − rồi đặt ( )
n n
v u g n= − . 
 • Nếu (1) cĩ hai nghiệm phân biệt trong đĩ một nghiệm 1x = , ta phân tích 
( ) . ( ) ( 1) ( 1) ( 2) ( 2)f n n g n a n g n b n g n= + − − + − − rồi đặt . ( )
n n
v u n g n= − . 
 • Nếu (1) cĩ nghiệm kép 1x = , ta phân tích 
2 2 2( ) . ( ) ( 1) . ( 1) ( 2) . ( 2)f n n g n a n g n b n g n= + − − + − − rồi đặt 2. ( )
n n
v u n g n= − . 
Ví dụ 1.13: Xác định CTTQ của dãy 0 1
1 2
1; 4
( ) :
3 2 2 1 2n
n n n
u u
u
u u u n n
− −
 = =

− + = + ∀ ≥
. 
Giải: 
Vì phương trình 2 3 2 0x x− + = cĩ hai nghiệm 1; 2x x= = nên ta phân tích 
2 1 ( ) 3( 1) ( 1) 2( 2) ( 2)n n kn l n k n l n k n l   + = + − − − + + − − +    , cho 0; 1n n= = ta 
cĩ hệ: 
5 1
1; 6
3 3
k l
k l
k l

− =
⇔ = − = −
− =
. 
ðặt 
0 1
( 6) 1; 11
n n
v u n n v v= + + ⇒ = = và 
1 2
3 2 0
n n n
v v v
− −
− + = 
Một số phương pháp xác định cơng thức tổng quát của dãy số 
 - 13 - 
.2 .1n n
n
v α β⇒ = + với 1, : 10; 9
2 11
α β
α β α β
α β
 + =
⇔ = = − + =
1 210.2 9 5.2 6 9 0,1,2,...n n
n n
v u n n n+⇒ = − ⇒ = − − − ∀ = . 
Ví dụ 1.14: Tìm CTTQ của dãy số 0 1
1 2
1; 3
( ) :
4 3 5.2 2nn
n n n
u u
u
u u u n
− −
 = − =

− + = ∀ ≥
. 
Giải: Ta phân tích 1 22 .2 4 .2 3 .2n n n na a a− −= − + . 
Cho 2n = ta cĩ: 4 4 8 3 4a a a a= − + ⇔ = − 
ðặt 
0 1
5.4.2 19; 43n
n n
v u v v= + ⇒ = = và 
1 2
4 3 0
n n n
v v v
− −
− + = 
Vì phương trình 2 4 3 0x x− + = cĩ hai nghiệm 1, 3x x= = nên .3 .1n n
n
v α β= + 
Với 
19
, : 12; 7 12.3 7
3 43
n
n
v
α β
α β α β
α β
 + =
⇔ = = ⇒ = + + =
. 
Vậy 1 24.3 5.2 7 1,2,...n n
n
u n+ += − + ∀ = . 
Chú ý : Với ý tưởng cách giải trên, ta tìm CTTQ của dãy số ( )
n
u được xác định bởi: 
0 1
1 2
;
. . . 2n
n n n
u u
u a u b u c nα
− −


+ + = ∀ ≥
 (với 2 4 0a b− ≥ ) như sau: 
Ta phân tích 1 2. . . .n n n nk a k b kα α α α− −= + + (1). 
Cho 2n = thì (1) trở thành: 2 2( . )k a bα α α+ + = 
Từ đây, ta tìm được 
2
2
k
a b
α
α α
=
+ +
 khi α khơng là nghiệm của phương trình : 
2 0x ax b+ + = (*). 
Khi đĩ, ta đặt . n
n n
v u kcα= − , ta cĩ dãy 0 0 1 1
1 2
;
( ) :
. 0 2n
n n n
v u kc v u kc
v
v a v bv n
α
− −
 = − = −
 + + = ∀ ≥
1 2 1 2
. . ( ,n n
n
v p x q x x x⇒ = + là hai nghiệm của (*)). 
1 2
. . .n n n
n
u p x q x kcα⇒ = + + . 
Vậy nếu x α= là một nghiệm của (*), tức là: 2 0a bα α+ + = thì ta sẽ xử lí thế nào ? 
Nhìn lại cách giải ở dạng 3, ta phân tích : 
Một số phương pháp xác định cơng thức tổng quát của dãy số 
 - 14 - 
1 2. . ( 1) ( 2)n n n nkn a k n bk nα α α α− −= + − + − (2). 
Cho 2n = ta cĩ: 2(2 ) (2 ) ( )
2 2
a
k a k a k
a
α
α α α α α α
α
+ = ⇔ + = ⇔ = ≠ −
+
. 
(2)⇒ cĩ nghiệm k α⇔ là nghiệm đơn của phương trình (*). 
Khi đĩ: 
1 2
. . .n n n
n
u p x q x kcnα⇒ = + + . 
Cuối cùng ta xét trường hợp 
2
a
x α= = − là nghiệm kép của (*). Với tư tưởng như trên, 
ta sẽ phân tích: 2 2 1 2 2. . ( 1) ( 2)n n n nkn a k n bk nα α α α− −= + − + − (3). 
Cho 2n = ta cĩ: 2 2 1(3) 4 . .
4 2
k ak k
a
α
α α α
α
⇔ = + ⇒ = =
+
. 
Khi đĩ: 2
1 2
1
. . .
2
n n n
n
u p x q x cn α⇒ = + + . 
Vậy ta cĩ kết quả sau: 
Dạng 7: Cho dãy số ( )
n
u xác định bởi: 0 1
1 2
;
. . . ; 2n
n n n
u u
u a u b u c nα
− −


+ + = ∀ ≥
. 
ðể xác định CTTQ của dãy ( )
n
u ta làm như sau: 
Xét phương trình : 2 0 (*)x ax b+ + = 
 • Nếu phương trình (*) cĩ hai nghiệm phân biệt khác α thì 
1 2
. . .n n n
n
u p x q x kcα= + + với 
2
2
k
a b
α
α α
=
+ +
. 
 • Nếu phương trình (*) cĩ nghiệm đơn x α= thì 
1 2
. . .n n n
n
u p x q x kcnα= + + với 
2
k
a
α
α
=
+
. 
 • Nếu x α= là nghiệm kép của (*) thì : 21( ).
2
n
n
u p qn cn α= + + . 
Ví dụ 1.15: Xác định CTTQ của dãy 0 1
1 2
1; 3
( ) :
5 6 5.2 2nn
n n n
u u
u
u u u n
− −
 = − =

− + = ∀ ≥
. 
Giải: 
Phương trình 2 5 6 0x x− + = cĩ hai nghiệm 
1 2
2; 3x x= = , do đĩ 
Một số phương pháp xác định cơng thức tổng quát của dãy số 
 - 15 - 
.2 .3 5 .2n n n
n
u p q kn= + + . 
Với 
2
2
2 4 5
1 2; 26; 25
2 3 10 3
k
a
p q k p q
p q k
α
α

= = = − + −
+ = − ⇔ = − = − =
 + + =


. 
Vậy 126.2 25.3 10 .2 25.3 2 (5 13)n n n n n
n
u n n+= − + − = − + 1,2,...n∀ = . 
Ví dụ 1.16: Tìm CTTQ của dãy 
− −
 = =

− + =
0 1
1 2
1; 3
( ) :
4 4 3.2nn
n n n
u u
u
u u u
. 
Giải: 
Phương trình 2 4 4 0x x− + = cĩ nghiệm kép 2x = nên 23( )2
2
n
n
u p qn n= + + 
Dựa vào 
0 1
,u u ta cĩ hệ: 
1
1; 1
0
p
p q
p q
 =
⇔ = = − + =
. 
Vậy 2 1(3 2 2)2 1,2,...n
n
u n n n−= − + ∀ = . 
Với cách xây dựng tương tự ta cũng cĩ được các kết quả sau: 
Dạng 8: Cho dãy ( ) :nu 0 1 2
1 2 3
, ,
0 3
n n n n
u u u
u au bu cu n
− − −

 + + + = ∀ ≥
.ðể xác định CTTQ 
của dãy ta xét phương trình: 3 2 0x ax bx c+ + + = (1) . 
 • Nếu (1) cĩ ba nghiệm phân biệt 
1 2 3 1 2 3
, , n n n
n
x x x u x x xα β γ⇒ = + + . Dựa vào 
0 1 2
, ,u u u ta tìm được , ,α β γ . 
 • Nếu (1) cĩ một nghiệm đơn, 1 nghiệm kép: 
1 2 3 1 3
( ) .n n
n
x x x u n x xα β γ= ≠ ⇒ = + + 
Dựa vào 
0 1 2
, ,u u u ta tìm được , ,α β γ . 
 • Nếu (1) cĩ nghiệm bội 3 2
1 2 3 1
( ) n
n
x x x u n n xα β γ= = ⇒ = + + . Dựa vào 
0 1 2
, ,u u u 
ta tìm được , ,α β γ . 
Một số phương pháp xác định cơng thức tổng quát của dãy số 
 - 16 - 
Ví dụ 1.17: Tìm CTTQ của dãy ( ) :
n
u 1 2 3
1 2 3
0, 1, 3,
7 11. 5. , 4
n n n n
u u u
u u u u n
− − −
 = = =

= − + ∀ ≥
Giải : Xét phương trình đặc trưng : 3 27 11 5 0x x x− + − = 
Phương trình cĩ 3 nghiệm thực: 
1 2 3
1, 5x x x= = = 
Vậy 5n
n
a nα β γ= + + 
Cho 1, 2, 3n n n= = = và giải hệ phương trình tạo thành, ta được 
1 3 1
, , 
16 4 16
α β γ= − = = 
Vậy ( ) 11 3 11 .5
16 4 16
−
= − + − + nna n . 
Ví dụ 1.18: Tìm CTTQ của dãy số 0 1 1
0 1 1
2; 2
( ),( ) : 1
1; 2
n n n
n n
n n n
u u u v
u v n
v v u v
− −
−