Chuyên đề Nâng cao chất lượng của học sinh trong việc chứng minh, tính toán các đại lượng hình học cơ bản

CHUYÊN ĐỀ: 
NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG CỦA HỌC SINH TRONG VIỆC CHỨNG MINH,
TÍNH TOÁN CÁC ĐẠI LƯỢNG HÌNH HỌC CƠ BẢN.
PHẦN I – MỞ ĐẦU
1/ Lý do chọn đề tài:
	Toán học nói chung và hình học nói riêng có một vai trò rất quan trọng trong đời sống và trong các nghành khoa học, nó có khả năng rất lớn trong việc phát triển trí tuệ của học sinh thông qua việc rèn luyện các thao tác tư duy lĩnh hội các khái niệm trừu tượng năng lực suy luận logic.
	Trong quá trình dạy học toán cũng như dạy bất cứ môn học nào ở trường phổ thông điều quan trọng nhất là hình thành một cách vững chắc cho học sinh một hệ thống khái niệm. Đó là cơ sở của toàn bộ kiến thức toán học của học sinh, là tiền đề quan trọng để xây dựng cho học sinh khả năng vận dụng kiến thức đã học để giải toán trong chương trình bậc THCS. Để giải tốt một bài toán hình học việc trước tiên học sinh phải hiểu được đề bài ( Học sinh phải nắm được đề bài cho cái gì và ta phải tìm cái gì ?) sau đó học sinh phải vẽ được hình chính xác, sau đó chứng minh bài toán ( Khi chứng minh học sinh phải nắm được dạng chứng minh nào ..v..v….
	Với mục đích giúp học sinh yêu thích và thấy được sự hấp dẫn của môn hình học, giúp cho không khí của một tiết hình học nhẹ nhàng, giúp cho học sinh chứng minh một bài toán hình một cách đơn giản .Từ đó giúp học sinh học tốt môn hình học và nâng cao chất lượng học tập môn toán. Tôi xin đưa ra một số phương pháp chứng minh hình học nhằm nâng cao chất lượng giải toán hình học ở bậc THCS.	
2 . Ñoái töïông nghieân cöùu 
-Qua thực tế quá trình giảng dạy, thực tế tình trạng học tập của học sinh trên lớp qua nhiều năm của học sinh THCS các lớp 6, 7,8,9.
- Hoïc sinh cấp THCS Triệu Giang vaø ôû tröôøng THCS Trấm
3 . Phaïm vi nghieân cöùu 
	Qua nhiều năm giảng dạy đổi mới phương pháp giảng dạy theo hướng tích cực . Học sinh tích cực phát huy khả năng tìm tòi sáng tạo cuûa mình vaø treân thöïc teá giaûng daïy ôû tröôøng THCS töø naêm 2001 ñeán nay ñaõ thaáy ñöôïc söï khaû quan trong vieäc học sinh tự phaân tích vaø giaûi baøi tập hình học. Hoïc sinh höùng thuù trong hoïc taäp, hieåu saâu, nhôù saâu hôn. Cho neân vieäc höôùng daãn cho hoïc sinh chöùng minh moät vaán ñeà naøo ñoù maø phaân tích ñöa baøi toaùn veà daïng baøi toaùn ñaõ bieát thì hoïc sinh laøm baøi ñaït ñöôïc hieäu quaû cao hôn .
-Qua thực tế quá trình giảng dạy, thực tế tình trạng học tập của học sinh trên lớp qua nhiều năm của học sinh THCS các lớp 6, 7,8,9.
- Những bài toán có kĩ năng vẽ hình phân tích, chứng minh.
- Cơ sở lí luận việc rèn kĩ năng chứng minh hình học cho học sinh 
- Bài tập theo chương trình sách giáo khoa, một số sách tham khảo khác.
- Tham khảo những tài liệu có liên quan trên mạng.
- Dự giờ học hỏi ,trao đổi với đồng nghiệp ….
4 . Muïc ñích cuûa giaûi phaùp 
	Vieäc giaûi moät baøi taäp hình hoïc cuûa hoïc sinh coù hoïc löïc trung bình hay yeáu quaû laø moät vaán ñeà khoù khaên lôùn ñoái vôùi hoïc sinh. Caùc em khoâng bieát döïa vaøo caùi gì ñeå ñi chöùng minh, khoâng bieát baét ñaàu töø ñaâu, khoâng bieát dung töø nhö theá naøo …. Chứng tỏ rằng kỷ năng phân tích đề bài của học sinh còn hạn chế
	Vì vaäïy muïc ñích chính cuûa toâi khi nghieân cöùu laø nhaèm giuùp cho hoïc sinh naém ñöôïc caùch phaân tích baøi toaùn ñeå ñöa baøi toaùn veà nhöõng daïng baøi toaùn cô baûn maø hoïc sinh ñaõ bieát caùch giaûi hay coøn goïi laø nhöõng baøi toaùn thoâng thöôøng.

PHẦN II - NỘI DUNG 

A . CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỂN 
	Đã qua khỏang thời gian làm công tác giáo dục. được trực tiếp truyền thụ kiến thức cho các em học sinh. Bản thân tôi nhận thấy đa số rất ít học sinh có khả năng giải tốt một bài toán , nhất là loại toán hình ở trường phổ thông nói chung và bậc THCS nói riêng. Nguyên nhân của tình trạng trên là :
 1/ Về phía giáo viên:
	Khi giảng dạy truyền thụ kiến thức cho học sinh thường thì giáo viên ít chú ý đến việc tổng hợp kiến thức đó thành một phương pháp chứng minh.
 
2/ Về phía học sinh:	
	Hiện nay khả năng chứng minh một bài toán hình của học sinh vô cùng khó khăn bởi lẽ:
	Năng lực tư duy phân tích của học sinh với sự nhạy cảm trong quá trình xác lập tính logic toán học và phương pháp cụ thể trong quá trình chứng minh hình học, khả năng phán đoán một bài toán chứng minh có thể bị hạn chế do nội dung bài học còn mang nặng tính lí thuyết, kinh viện.
	Học sinh nắm các kiến thức cơ bản về hình học chưa sâu, kỉ năng vận dụng kiến thức vào bài làm bài tập còn rất hạn chế.
	Học sinh chưa biết hệ thống cũng như kết nối giữa kiến thức nầy với kiến thức kia để giải một bài tập.
	Học sinh chưa biết phân tích một bài toán để đưa bài toán đó về dạng bài toán cơ bản đã biết cách giải.
	Do ý thức học tập của học sinh chưa cao chưa thật sự tập trung chú ý để ghi nhớ các định lý, các tính chất, các hệ quả nên khi chứng minh một bài toán học sinh không nhớ kiến thức nào để vận dụng. Học sinh ít có sự liên hệ giữa bài tập nầy với bài tập khác. Học sinh còn mang tính chất học vẹt nên khi gặp bài toán tương tự như bài đã sửa hôm trước vẫn không làm được.
Một lý do khách quan nữa là do đặc thù của môn học. Môn hình học là môn học có tính suy luận cao và mang tính trừu tượng. Đòi hỏi học sinh phải biết tư duy, sáng tạo, phân tích tổng hợp… thì mới giải được bài tập.
	Nguyên nhân để dẫn đến chất lượng của bộ môn hình học còn yếu thì có nhiều . Song bằng một số kinh nghiệm giảng dạy của mình. Tôi xin được tham gia đóng góp để nâng chất lượng đại trà cho học sinh . Giúp các em hiểu , biết cách làm, biết vận dụng vào thực tế .

B . GIẢI PHÁP CHUNG
I . Học sinh phải nắm được những yêu cầu cơ bản để giải một bài toán hình học .
 Gồm các yêu cầu cơ bản sau : 4 yêu cầu 
 1 . Phải nắm được các khái niệm, các định nghĩa, định lí, hệ quả, dấu hiệu … ở trong bài giảng phần lí thuyết. Học sinh cần xác định đây là một yêu cầu có tính chất cơ bản vì nếu không thì không có cơ sở để giải toán được . 
2 . * Để giải một bài toán , học sinh phải hiểu kĩ bài toán .
 - Thế nào là hiểu kĩ đề toán ? – Là trả lời được hai câu hỏi lớn :
	+ Đầu bài cho ta những dự kiện ( yếu tố ) nào ? 
	+ Ta phải chứng minh những gì ? 
 * Ta phải tiến hành phân tích những cái đã cho, những cái cần tìm. Trong quá trình này ta nên sử dụng một lời khuyên của một nhà toán học: “ Hãy thay cái được định nghĩa bằng cái định nghĩa ”.
 Ví dụ : Bài cho ta một tam giác ABC cân tại A. Ta có thể hiểu tương đương là : 
 - Hai cạnh bên AB = AC 
 - Hai góc ở đáy bằng nhau
 - AH đồng thời là đường cao, trung tuyến, trung trực, phân giác .
Biểu diễn cụ thể trên hình vẽ để có thể đánh giá học sinh đã hiểu được đề toán là tóm tắt được đề bài bằng cách biểu diễn đề dưới hình thức giả thiết và kết luận một cách đúng, gọn ghi đề dứơi dạng phục vụ cho đề toán về sau .
	* Biểu hiện tiếp nữa là học sinh minh họa được bằng một hình vẽ cụ thể. Hình vẽ phải đúng và chính xác. Học sinh phải hiểu được nếu vẽ được hình, vẽ đúng và chính xác thì sẽ tránh được sự ngộ nhận, sẽ dẫn đến kết luận sai với đề cho.
	3 . Nắm vững các phương pháp suy luận như suy diễn, quy nạp, tương tự. Nắm vững các thao tác tư duy, như trừu tượng hóa, cụ thể hóa, đặc biệt hóa, khái quát hóa, so sánh, đối chiếu và nhất là phân tích tổng hợp. Phân tích phải hợp với tổng hợp và phân tích để tổng hợp được sâu sắc, đúng đắn, nhanh chóng. 
	4 . Học sinh cần biết cách xử lý đối với từng loại bài tập và nắm được những thủ thuật sử dụng cho từng kiểu bài riêng biệt .
II GIẢI PHÁP CỤ THỂ:
Ôn lại các bước vẽ hình từ hình học lớp 6:
	- Thế nào là tia phân giác của góc. Cách vẽ tia phân giác
	- Vẽ tam giác theo yêu cầu đề bài
	- Điểm thuộc đường thẳng.
	- Vẽ đoạn thẳng, đường thẳng. tia
	- Chọn mặt phẳng.
	- Vẽ góc biết số đo
	- Vẽ đường thẳng song song, 2 tia đối nhau.
	- Nắm kĩ các khái niệm về hình học trong chương trình THCS.
Rèn kĩ năng vẽ hình:
Vẽ hình cần chính xác, rõ ràng,để tìm ra hướng giải toán, lưu ý học sinh tránh vẽ rơi vào trường hợp đặc biệt có khi khó chứng minh .
- Đọc kỹ đề bài toán vài lần, tiến hành vẽ theo yêu cầu của đề bài
- Ký hiệu các đại lượng bằng nhau ngay trên hình vẽ: góc, cạnh, đoạn thẳng, cung…
( Dựa vào định nghĩa, tính chất cơ bản của các hình để kí hiệu hình học)
 2.Rèn kĩ năng suy luận và chứng minh:
Khi muốn xét một vấn đề, ta phải xét tất cả các trường hợp có thể xảy ra.
* Bắt đầu dựa vào hình vẽ để phân tích: giả thiết- kết luận(kí hiệu toán học)
- Tùy từng bài toán mà GV chọn hướng phân tich, chứng minh, tính toán các đại lượng của hình học cho phù hợp.
- Nên bắt đầu từ giả thiết suy luận dần về kết luận( các bài toán đơn giản, cơ bản)
-Phân tích ngược từ kết luận dến giả thiết (áp dụng cho các bài toán vận dụng, ứng dụng, nâng cao)
-Từ cách phân tích hướng đi của bài toán. GV hướng dẫn cho học sinh vận dụng những kiến thức nào, tính chất, định lí, dấu hiệu nhận biết để tiến hành giải bài toán.
Rèn kỹ năng vận định lí:
 Là kĩ năng nhận dạng và vận dụng định lý:
 Nhận dạng định lí là phát hiện xem một tình huống cho trước có khớp với một định lí nào đó hay không ? Vận dụng định lí là xem xét trong bài toán đang giải có những tình huống nào khớp với các định lí đã học.
Ví dụ: cho tam giác ABC vuông tại A, từ điểm M thuộc BC, vẽ đường thẳng vuông góc với AB tại N. Chứng minh MN // AC.
 Ta nghĩ ngay đến định lí hai đường thẳng MN và AC cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba AB thì chúng song song nhau, và trình bày bài chứng minh 
 3.Rèn kĩ năng sử dụng phương pháp phân tích và tổng hợp:
 Để hướng dẫn học sinh tìm ra lời giải, ta thường dùng phương pháp phân tích( từ kết luận đi đến giả thiết) và lúc trình bày lời giải thì theo phương pháp tổng hợp ( từ giả thiết đến kết luận). Vậy khi trình bày một lời giải thường sử dụng phương pháp phân tích để tìm cách chứng minh, rối dùng phương pháp tổng hợp để viết phần chứng minh.
 Qui tắc suy luận:
 Khi dạy giải một bài tập thì giáo viên cần chú ý dạy cho học sinh các qui tắc suy luận. Trong quá trình giải toán, ta thường gặp hai qui tắc suy luận là qui tắc qui nạp cà qui tắc diễn dịch.
Qui nạp là suy luận đi từ cái riêng đến cái chung ,từ cụ thể đến tổng quát ,qui nạp thường là qui nạp hoàn toàn, ta phải xét hết các trường hợp có thể xảy ra.
Diễn dịch là đi từ cái chung đến cái riêng, từ tổng quát đến cụ thể.
4.Kĩ năng đặc biệt hóa:
Chuyển trường hợp chung sang trường hợp riêng, rồi sang trường hợp đặc biệt ví dụ thay biến số bởi hằng số , ví dụ thay góc α bởi α = 900 , thay các điều kiện bài toán bởi các điều kiện hẹp hơn ví dụ thay tam giác ABC có bởi tam giác ABC có . 
5. Kĩ năng tổng quát hóa:
 Là từ trường hợp đặc biệt chuyển sang trường hợp tổng quát hơn.
 6. GV rèn kĩ năng trình bày một bài toán hình học: ngắn gọn, đầy đủ,chính xác, logic.(Bắt đầu, kết thúc)
7. Rèn khã năng ứng dụng kết quả của chứng minh trước vận dụng vào các vấn đề chứng minh tiếp theo hoặc áp dụng những trường hợp tương tự.

III . Học sinh phải nắm được một số kiểu toán hình học ở bậc THCS sau : 
 1 . Loại bài chứng minh các tính chất .
 1.1 . Chứng minh sự bằng nhau :
	- Chứng minh đoạn thẳng bằng nhau :
	- Chỉ rõ chúng là những yếu tố tương ứng của các hình bằng nhau ( Ví dụ : cạnh , đường cao , trung tuyến , phân giác … ) 
	- Chỉ rõ chúng là các cạnh của tam giác cân, đường trung tuyến thuộc cạnh huyền của tam giác vuông, nửa cạnh huyền .
	- Chỉ rõ chúng là các cạnh đối của hình bình hành, hình chữ nhật, hình vuông, hình thoi , các đường chéo hình chữ nhật, hình thang cân, …
- Chỉ rõ chúng là những khoảng cách từ một điểm trên đường phân giác của một góc đến hai cạnh của góc ấy .
	- Chỉ rõ chúng là những giây cung căng các cung bằng nhau hoặc là những tiếp tuyến vẽ từ một điểm đến một đường tròn .
	- Chỉ rõ chúng bằng đoạn thứ ba .
......
	1.1.2 . Chứng minh các góc bằng nhau:
	- Chúng có só đo bằng nhau
	- Chĩ rõ chúng là các góc tương ứng trong tứ giác, tam giác bằng nhau...
	- Chỉ rõ chúng là các góc ở đáy của hình tam giác cân, hình thang cân, các góc đối của hình bình hành, hình thoi...
	- Chỉ rõ chúng là các góc cùng bằng, cùng bù, cùng phụ với góc thứ ba hoăc các góc bằng nhau .
	- Chỉ rõ chúng là những góc cùng tù, cùng nhọn, có cạnh tương ứng song song, hoặc vuông góc, chúng là những góc so le trong, đối đỉnh, đồng vị .
	- Chỉ rõ chúng là những góc nội tiếp chắn một cung hay hai cung bằng nhau .
.......
1.2 . Chứng minh tính song song :
- Tạo với một cát tuyến các góc so le trong hoặc so le ngoài bằng nhau , đồng vị bằng nhau hoặc góc trong hay ngoài cùng phía bù nhau .
 - . Hai đường thẳng cùng song song hoặc cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba .
 - Đường trung bình của một tam giác , một hình thang đối với cạnh đáy .
- . Các cạnh đối của hình bình hành , hình chữ nhật , thoi , vuông .
 1.3 . Chứng minh tính vuông góc :
 - Chúng là những đường phân giác của hai góc kề bù .
 - Các cạnh còn lại của hai góc nhọn ( hoặc tù ) bằng nhau mà đã có một cặp cạnh vuông góc .
 - Đường nay song song với một đường thẳng vuông góc với đường kia .
 - Chúng là đường chéo của hình vuông , hình thoi .
 - Chúng là hai cạch của góc nội tiếp chắn nửa đường tròn .
 - Là tiếp tuyến của một đường tròn với bán kính đi qua tiếp điểm .
 - Sử dụng tính chất của tam giác vuông : có 1 góc = 1v . Có các cạnh mà độ dài của nó thỏa mãn định lí Pitago.
 - Sử dụng tính chất trực tâm trong một tam giác .
.......
1.4 . Chứng minh tính đồng quy của ba đường thẳng :
	-Chứng minh đường thẳng thứ ba đi qua giao điểm của hai đường thẳng kia .
	- Chứng minh chúng là những đường đặc biệt trong một tam giác ( đường cao , trung tuyến … ) .
	- Ba đường thẳng định trên hai đoạn thẳng song song những đoạn tương ứng tỷ lệ thì đồng quy . 
1.5 . Chứng minh tính thẳng hàng : 
	- Chứng minh có hai góc kề bù
	- Chứng minh AB là đường kính của đường tròn tâm O 
 - Chứng minh OA, OB cùng song song với một đường thẳng (Ơclit)
	- Sử dụng tính chất góc đối đỉnh .
	- Chứng minh chúng cùng có những tính chất chung để thuộc về một đường thẳng .
1.6 . Chứng minh các tính chất chung của các hình : 
	- Quy về việc chứng minh các tính chất trên .
2 . Loại bài tính toán các yếu tố 
	2.1 . Tính độ dài các đoạn thẳng : Dùng 
	-Định lý đoạn thẳng tỷ lệ .
	- Định lý PITAGO .
	-Tỷ số lượng giác.
	- Có số đo bằng nhau.
	- Hai hình bằng nhau, các đại lượng bằng nhau
	2.2 . Tính độ lớn của các góc : Sử dụng
	- Số đo góc, cùng bù, cùng phụ .... 
	-Tính chất các góc trong tam giác .
	-Tính chất các góc trong tứ giác .
	- Định lý về góc ngoài trong một tam giác .
	- Định lý về góc nội tiếp .
	-.Định lý về góc ở tâm .
	-.Định lý về góc có đỉnh ở trong hay ngoài đường tròn.
3 . Loại bài toán quỹ tích 
 3.1- Quỹ tích là đường thẳng : 
 - Những điểm có khoảng cách đến một đường thẳng cố định bằng một độ dài cho trước là hai đường thẳng song song với đường thẳng ấy .
 - Quỹ tích những điểm cách đều hai điểm cố định là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm ấy . 
 - Quỹ tích những điểm cách đều hai cạnh của một góc là đường phân giác của góc ấy .
 3.2 . Quỹ tích là đường tròn :
	- Quỹ tích những điểm có khoảng cách đến một điểm cố định bằng một độ dài cho trước là đường tròn có tâm là điểm cố định và bán kính bằng độ dài cho trước .
 - Quỹ tích những điểm nhìn đoạn AB dưới 1 góc cho trước là hai cung chứa góc a vẽ trên AB . Nếu thì quỹ tích là đường tròn đường kinh AB .
 3.3. Quỹ tích của một điểm :
 Quỹ tích một điểm là đưa về một trong năm quỹ tích cơ bản nói trên .
 4 . Loại bài toán dựng hình :
	1 . Phải nắm được tính chất của hình phải dựng (phân tích trên hình vẽ được).
	2 . Phải nắm được điều kiện để xác định hình đó .
PHẦN III - KẾT LUẬN 
	- Qua nghiên cứu và tìm kiếm các giải pháp cho việc rèn luyện khả năng tư duy phân tích và tư duy tổng hợp toán của học sinh tôi thấy rằng học sinh của chúng ta năng lực tư duy chưa cao. Có lẽ năng lực tư duy của các em hạn chế bởi chịu sự chi phối của nhiều mặt như giới tính , gia đình xã hội môn học ở trường quá đa dạng phong phú ...
	- Để giúp các em có khả năng tư duy phân tích và năng lực xác lập tính quy luật toán học của học sinh, trong quá trình dạy học cần hướng dẫn cho học sinh chúng ta thực hiện các thao tác tư duy logíc, phải tạo mọi điều kiện để phát triển tư duy trừu tượng, phân tích phán đoán nhanh nhẹn hợp lý .
	- Ngày nay với chương trình sách giáo khoa và phương pháp giảng dạy mới, phương tiện dạy học ngày càng đa dạng phục vụ thiết thực cho việc giảng dạy. Việc quan tâm đến khả năng tư duy của học sinh càng được coi trọng vì vậy tôi cũng mạnh dạn viết tập tài liệu này mong các bạn đồng nghiệp coi đây chỉ là vấn đề đặt ra để bản thân tôi và tất cả chúng ta cùng có ý kiến tham khảo, rút kinh nghiệm mỗi người mỗi ý sao cho tự bản thân mỗi giáo viên có thêm một biện pháp nhỏ, với mục đích nâng cao hơn nữa chất lượng của bộ môn toán hình ở bậc THCS và để phần nào phát hiện ra những học sinh có năng khiếu trong nhà trường chúng ta đồng thời giúp các em phát huy được khả năng tư duy.

	Trên đây chỉ là một số giải pháp đưa ra để quý thầy cô giáo, bạn bè đồng nghiệp tham khảo. Rất mong sự đóng góp chân tình để cùng nhau có những giải pháp công hiệu nhất, nhằm nâng cao chất lượng môn hình học cho học sinh, nhất là phân môn hình học ở bậc THCS


Cam Thủy, tháng 12 năm 2013
Người viết