Chuyên đề Nhận dạng phương trình đường tròn. Tìm điều kiện để một phương trình là phương trình đường tròn

A. MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN.	
VẤN ĐỀ 1: NHẬN DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN. TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ MỘT PHƯƠNG TRÌNH LÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN.
1. Phương pháp giải.
Cách 1: 
Đưa phương tŕnh đă cho về dạng: (C) : x2 + y2-2ax -2by + c = 0 (1)
Xét dấu biểu thức P = a2 + b2 – c 
	+ Nếu P > 0 thì (1) là phương trình đường tròn (C) có tâm I(a;b) và bán kính R = 
	+ Nếu P £ 0 thì (1) không phải là phương trình đường tròn.
Cách 2: Đưa phương trình về dạng: (x-a)2 + (y-b)2 = P (2).
	+ Nếu P > 0 thì (2) là phương trình đường tròn có tâm I(a;b) và bán kính R = 
	+ Nếu P £ 0 thì (2) không phải là phương trình đường tròn.
2. Các ví dụ.	 
Ví dụ 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn đường tròn. Tìm tâm và bán kính nếu có.
x2 + y2+2x -4y + 9 = 0
x2 + y2-6x +4y + 13 = 0
2x2 + 2y2-8x -4y -6 = 0
5x2 + 4y2+x -4y + 1 = 0
Giải: a) Ta có: a2 + b2 – c = -4 < 0 Þ phương trình này không phải là phương trình đường tròn.
b) Ta có: a2 + b2 – c = 0 Þ phương trình này không phải là phương trình đường tròn.
c) Ta có: a2 + b2 – c = 8 Þ phương trình này là phương trình đường tròn tâm I(2/7;-3/7) và bán kính R = 
d) Phương trình đã cho không phải là phương trình đường tròn vì hệ số của x2 và y2 khác nhau.
Ví dụ 2: Cho đường cong (Cm): x2 + y2-2mx -4(m-2)y + 6 - m = 0 (1)
Tìm điều kiện của m để (1) là phương trình đường tròn.
Nếu (1) là phương trình đường tròn hãy tìm toạ độ tâm và bán kình theo m.
Giải: (1) là phương trình đường tròn Û a2 + b2 – c > 0 Û m2 – 3m + 2 > 0 Û 
Với điều kiện trên thì đường tròn có tâm I(m ; 2(m – 2)) và bán kính: R = 
Ví dụ 3: Cho (C): x2 + y2-2xcos a -2y sin a + cos 2 a = 0
a) CMR: (C) là đường tròn.
b) Xác định a để (C) có bán kính Max
c) Tìm quỹ tích tâm I khi a thay đổi.
Giải: 
a) a2 + b2 – c = 1 – cos2 a ³0 với mọi a 
	Khi a2 + b2 – c = 0 thì coi là đường tròn có bán kính bằng 0.
Có R2 = 2 sin2 a £ 2. Rmax = Û anpha = p /2 + k p 
Toạ độ tâm I: Khử anpha từ hệ này ta được toạ độ tâm I thoả mãn phương trình đường tròn: x2 + y2 = 1.
VẤN ĐỀ 2: LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
Dạng 1: Lập phương trình đường tròn đi qua các điểm.
Cách 1: 
	- Tìm toạ độ tâm I(a;b) của đường tròn (C)
	- Tìm bán kính R của đường tròn (C)
	- Viết phương trình của (C) theo dạng (x-a)2 + (y-b)2 = R2.
Cách 2: Giả sử phương trình đường tròn (C) là: x2 + y2-2ax -2by + c = 0.
Từ điều kiện của đề bài thành lập hệ phương trình với ba ẩn là a, b, c.
Giải hệ để tìm a, b, c từ đó tìm được phương trình đường tròn (C).
Chú ý: :
 	*) Đường tròn (C) đi qua các điểm A, B Û IA2 = IB2 = R2
	*) Trong dạng này có một bài toán rất hay gặp là "Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC", bài toán này cũng chính là bài toán viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng cho trước. Giải bài này ta làm theo cách 2. 
Ví dụ 4 : Lập phương trình đường tròn trong mỗi trường hợp sau:
Có tâm I(1; -5) và đi qua O(0;0).
Có đường kính AB: A( 1; 1), B( 7; 5).
Đi qua 3 điểm: A( -2;4); B( 5;5); C(6; -2)
Giải: = 
a) Đường tròn này có bán kính là OI = = 
	àphương trình đường tròn có dạng (x-1)2 + (y+5)2 = 26 
b) Đường tròn này có tâm I là trung điểm của AB: I(4; 3), bán kính bằng AB/2 = 
	à Phương trình đường tròn: (x-4)2 + (y-3)2 = 13
Giả sử phương trình đường tròn (C) là: x2 + y2-2ax -2by + c = 0.
Từ điều kiện đề bài ta có hệ phương trình: 
Vậy phương trình đường tròn có dạng: x2 + y2+ 4x +y -20 = 0
Dạng 2: Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng.
Chú ý: 
	- Đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng D Û d(I, D ).= R
	- Đường tròn (C) đi qua A và tiếp xúc với đường thẳng D: tại A Û d(I, D ) = IA.= R
 	- Đường tròn (C) tiếp xúc với hai đường thẳng D1 và D2 Û d(I, D1 ) = d(I, D2 ) = R.
Ví dụ 5: Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau: 
(C)có tâm I(2;3) và tiếp xúc với 0x.
(C)có tâm I(-1;2) và tiếp xúc với đường thẳng D : x – 2y + 7 = 0.
Giải: 
Đường thẳng Ox có phương trình: y = 0 (D )
Ta có: R = d(I;;D ) = 
Vậy phương trình đường tròn (C) có dạng: (x-2)2 + (y – 3)2 = 9
Ta có: R = d(I;;D ) = 
Vậy phương trình đường tròn (C) có dạng: (x+1)2 + (y – 2)2 = 4/5
Ví dụ 6: Viết phương trình đường tròn đi qua A(2;-1) và tiếp xúc với hai trục toạ độ Ox và Oy
Giải: Vì điểm A nằm ở góc phần tư thứ tư,, nên đường tròn cần tìm cũng ở góc phần tư thứ tư. Do đó tâm của đường tròn có dạng: I(R; -R), với R là bán kính đường tròn.
	R = IA Þ (2 – R)2 + (-1+ R)2 = R2 Û R2 – 6R + 5 = 0 Þ
Vậy có hai đường tròn thoả mãn đầu bài là: (x-1)2 + (y+1)2 = 1 
	 (x-5)2 + (y+5)2 = 25 
Ví dụ 7: Cho hai đường thẳng d1 : 3x + 4y + 5 = 0 và d2 : 4x – 3y – 5 = 0. Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng d: x – 6y – 10 = 0 và tiếp xúc với hai đường thẳng d1 và d2.
Giải:
	Đường tròn cần tìm có tâm I nằm trên đường thẳng d 
	Þ toạ độ tâm I có dạng (6a +10; a)
	- Vì đường tròn tiếp xúc với d1, d2 nên khoảng cách từ tâm I đến hai đường thẳng này bằng nhau và bằng bán kính R.
	Þ Û 
*) Với a = 0 Þ I(10;0) và R = 7 Þ ptđt: (x-10)2 + y2 = 49
*) Với a = -70/33 Þ I ( -30/11; -70/33) và R = 97/33
 Þ phương trình đường tròn: (x+ 30/11)2 + (y+70/33)2 = (97/33)2
Ví dụ 8: Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng 7x – 7 – 5 = 0 ; x + y + 13 = 0 và với một trong hai đường thẳng đấy tại M(1;2).
 Giải: 
	Gọi I(x; y) là tâm của hai đường tròn cần tìm, ta có khoảng cách từ I đến hai đường thẳng đã cho và đến tiếp điểm M bằng nhau:
Þ 
Từ (1) Þ 
*) Với x = 3y + 35, thay vào (2) ta đươc: y2 + 4y + 4 = 0 Û y = -2 Þ x = 29; R = 20
	Phương trình đường tròn có dạng: (x-29)2 + (y+2)2 = 800
 *) Với y = -3x-15 thay vào (2) ta được: x2 + 12x + 36 = 0 Û x = -6 Þ y = 3 ; R = 5
	Phương trình đường tròn có dạng: (x+6)2 + (y-3)2 = 50
Ví dụ 9: Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với cả ba đường thẳng: 3x + 4y -35; 3x-4y – 35; x – 1 = 0
Giải: Gọi I(x; y) là tâm của hai đường tròn cần tìm, ta có khoảng cách từ I đến ba đường thẳng đã cho bằng nhau:
Þ 
	Từ (1) Þ Thay vào (2) ta được 
Vậy có bốn phương trình đường tròn thoả mãn đầu bài: 
	(x+25)2 + y2 = 256 
	(x-5)2 + y2 = 16 
	(x-35/3)2 + (y+40/3)2 =(32/3)2 
	(x-35/3)2 + (y-b=40/3)2 = (32/3)2 
Ví dụ 10: Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng x = 5 và tiếp xúc với hai đường thẳng: d1: 3x – y + 3 = 0, d2 = x – 3y + 9 = 0.
Giải: Tâm I của đường tròn nằm trên đường thẳng x = 5 nên toạ độ của tâm I có dạng I (5;b).Gọi R là bán kính đường tròn.
	Khoảng cách từ I đến d1 là: R = .
	Khoảng cách từ I đến d2 là: R = .
Þ 
	Vậy có hai đường tròn thoả mãn yêu cầu đề bài là:
	(x-5)2 + (y+2)2 = 40 
	(x-5)2 + (y-8)2 = 10 
Dạng 3: Lập phương trình đường tròn nội tiếp tam giác.
Cách1: 
Tính diện tích tam giác và các cạnh của tam giác để suy ra bán kính đường tròn nội tiếp tam giác: r = 
Gọi I(x;y) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác Þ Khoảng cách từ tâm I đến ba cạnh bằng nhau và bằng r. Từ đó thành lập được hệ phương trình hai ẩn x và y.
Giải hệ phương trình đó tìm được x, y từ đó có phương trình đường tròn phải tìm.
Cách 2: 
Viết phương trình đường phân giác trong của hai góc của tam giác.
Tìm giao điểm hai đường phân giác đó ta được toạ độ tâm I.
Tính khoảng cách từ tâm I đến một trong ba cạnh của tam giác ta được bán kính đường tròn nội tiếp tam giác.
Ví dụ 11: Cho hai điểm A(8; 0) và B(0; 6).
Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác )AB.
Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB
 (Đại học Mỹ thuật công nghiệp 1998)
Giải: 
a) Nhận xét: Tam giác OAB vuông ở O nên tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền AB Þ I(4;3)
Bán kính R = IA = 5
Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là: 
(x-4)2 + (y-3)2 = 25
b) 	Diện tích tam giác OAB là S = ½. 8.6 = 24
	Cạnh huyền AB = 10
	Nửa chu vi p = 12 Þ r = =2
	Vì đường tròn này tiếp xúc với hai trục toạ độ nên tâm J(r;r) = (2;2)
	Vậy phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB là: (x-2)2 + (y-2)2 = 4
Ví dụ 12: Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC tạo bởi ba đường thẳng: 
4x-3y-65 = 0; 7x-24y+55 = 0; 3x+ 4y – 5= 0
Giải: Gọi ABC là tam giác đã cho với các cạnh là: 
	AB: 4x-3y-65 = 0;
	BC: 7x-24y+55 = 0
 	CA: 3x+ 4y – 5= 0
	Þ A(11;-7); B(23;9); C( -1;2) và dễ thấy tam giác ABC vuông ở A.
	AB = 20; BC = 25; CA = 15
	Diện tích tam giác là: S = 150
 	Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác là: r = 5.
	Gọi tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC là I(x;y) Þ khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng đã cho đều bằng r = 5 nên ta có: 
	Giải hệ này ta tìm được I(10;0)
	Vậy phương trình đường tròn cần tìm là : (x-10)2 + y2 = 25 
VẤN ĐỀ 3: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN.
Dạng 1: Xét vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn. Tìm toạ độ giao điểm.
	Cho đường thẳng D : Ax + By + C = 0 (1) (A2 + B2 ¹ 0) 
 và đường tròn (C): x2 + y2-2ax -2by + c = 0 (2). (C) có tâm I(a;b) và bán kính R.
	Để xét vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn ta có hai phương pháp:
Phương pháp 1: Xét số giao điểm của D và (C). Số giao điểm của D và (C) là số nghiệm của hệ phương trình: 
	- Nếu hệ vô nghiệm thì D và (C) không có giao điểm nào Þ D không cắt đường tròn.
	- Nếu hệ có duy nhất một nghiệm thì D và (C) có một giao điểm Þ D tiếp xúc với đường tròn.
	- Nếu hệ có hai nghiệm phân biệt thì D và (C) có hai giao điểm Þ D cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt
Nhận xét: D và (C) có điểm chung Û D cắt hoặc tiếp xúc với (C)
Phương pháp 2: So sánh khoảng cách từ tâm I đến D với bán kính R.
	Bước 1: Tìm toạ độ I(a;b); R 
	Bước 2: Tính khoảng cách từ I đến D Þ h = 
	TH1: h> R Û D không cắt đường tròn Þ D và (C) không có giao điểm nào. 
	TH2: h = R Û D tiếp xúc với đường tròn Þ D và (C) có duy nhất một giao điểm. 
	TH3: h< R Û D cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt Þ D và (C) có 2 giao điểm. 
Nhận xét:
	Nếu bài toán chỉ yêu cầu xét vị trí tương đối của (C) và d mà không cần quan tâm đến toạ độ giao điểm thì ta làm theo phương pháp 2.
Ví dụ 13: Cho d: x – 5y – 2 = 0 và (C)có tâm I(-1;2) và bán kính R = 
Viết phương trình đường tròn.
Tìm toạ độ giao điểm của (C) và d.
Giải: 
	Phương trình đường tròn là: (x+1)2 + (y-2)2 = 13.
	Để tìm toạ độ giao điểm của (C) và d ta sủ dụng cách 1.
	Toạ độ giao điểm của (C) và d là nghiệm của hệ phương trình: 
	Giải hệ này ta tìm được hai giao điểm A(2;0) và B(-3;-1)
Ví dụ 14: Biện luận số giao điểm của (C) và d trong đó:
 d: mx-y-3m-2=0
 (C): x2 + y2 -4x-2y = 0
Giải: Vì bài toán này không phải chỉ ra toạ độ giao điểm nên ta có thể sử dụng phương pháp 2 để giải.
	Tâm và bán kính của đường tròn này là: I(2;1) và R = 
	Khoảng cách từ tâm I đến d là h = 
TH1: 0 Û
	Þ h < R Þ d và (C) có 2 giao điểm. 
TH2: =Û (m+3)2 =5(m2 + 1) Û 4m2 – 6m-4= 0 Û
	Þ h = R Þ d và (C) có 1 giao điểm hay d tiếp xúc với (C). 
TH3: >Û (m+3)2 >5(m2 + 1) Û 4m2 – 6m-4< 0 Û -1/2 < m< 2
	Þ h > R Þ d và (C) không có giao điểm nào. 
Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt.
Ví dụ 15: Cho (C): x2 + y2 -4x + 6y – 12 = 0 và điểm D(1;1).
1) Viết phương trình đường thẳng D1 đi qua D và cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB đạt giá trị lớn nhất. 
1) Viết phương trình đường thẳng D2 đi qua D và cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB đạt giá trị nhỏ nhất. 
1) Viết phương trình đường thẳng D3 đi qua D và cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho DA=2DB
Giải: 
	Đường tròn này có tâm I(2;-3) và bán kính R = 5.
	Ta có ID = < 5 Þ D nằm trong đường tròn Þ mọi đường thẳng đi qua D đều cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt.
a) D1 đi qua D cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt A, B sao cho ABmax Û AB là đường kính của đường tròn này Þ D1 đi qua D và I Þ phương trình có dạng: 4x+y-5 = 0.
b) D2 đi qua D cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt A, B sao cho ABmin Û d(I;AB)max = ID Û AB ^ ID tại D Þ D1 đi qua D và nhận ID làm vectơ pháp tuyến Þ phương trình có dạng: x-4y+3 = 0.
c) Ta có: Phương tích của điểm D đối với đường tròn (C) là: P = =-2DA2 
mà P = ID2 – R2 = 17 – 25 = -8 Þ DA2 = 4
	Þ (xA – 1)2 + (yA – 1)2 =4 (1)
mà A Î (C) Þ xA2 + yA2 -4xA + 6yA – 12 = 0 (2)
	Từ (1) và (2) Þ A(-1;1) hoặc A(115/17;33/17)
	Vậy có hai đường thẳng thoả mãn là: y = 1 và 98x-15y-83=0	
Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn.
	Cho đường tròn (C): (x-a)2 + (y-b)2 = R2 . (C) có tâm I(a;b) và bán kính R
Bài toán 1:Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C) tại điểm M(x0;y0) Î (C).
	Giải: Gọi D là tiếp tuyến với đường tròn (C). Vì D tiếp xúc với (C) tại M Þ D đi qua M và nhận (x0 – a; y0 – b) làm vecctơ pháp tuyến Þ phương trình có dạng: 
	(x0 – a)(x- x0) + (y0 – a)(y- y0) = 0 (1)
Chú ý:
	+ Phương trình (*) có thể biến đổi về dạng sau: (x0 – a)(x- a) + (y0 – a)(y- b) = R2 (1a)
	+ Nếu phương trình đường tròn cho ở dạng : x2 + y2-2ax -2by + c = 0 thì tiếp tuyến của đường tròn tại điểm M(x0,y0) có dạng: xx0 + yy0 – (x+x0)a- (y+y0)b + c = 0 (1b) (Phương trình này được suy trực tiếp từ (1a)).
	Cách thành lập phương trình tiếp tuyến ở dạng(1a) và (1b)gọi là "phương pháp phân đôi toạ độ". 
Bài toán 2: Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn kẻ từ một điểm M(x0; y0) không thuộc đường tròn.
Bài toán này có hai cách giải như sau: 
Cách 1: 
	+/ Xét đường thẳng D đi qua M và vuông góc với Ox. Khi đó D có phương trình là x = x0.
	D là tiếp tuyến của đường tròn Û d(I;D ) = R. Từ đẳng thức này sẽ suy ra được D có phải là tiếp tuyến của đường tròn hay không.
	+/ Xét đường thẳng D đi qua M và có hệ số góc là k. Phương trình của D có dạng: y = k(x-x0) + y0.
	D tiếp xúc với (C) Û d(I;D ) = R. Giải điều kiện này ta sẽ tìm được k.
Chú ý: Để chứng minh một điểm M nằm ngoài đường tròn ta làm như sau: 
Tính IM.
So sánh IM với R: 	+ Nếu IM > R thì M nằm ngoài đường tròn
	+ Nếu IM < R thì M nằm trong đường tròn.
	+ Nếu IM = R thì M nằm trên đường tròn.	
Cách 2: 
	- Đường thẳng D đi qua M có phương trình: a(x-x0) + b(y-y0) = 0 trong đó a2 + b2 ¹ 0.
	- D là tiếp tuyến với đường tròn (C) Û d(I;D ) = R (*)
	- Từ điều kiện (*), tìm mối liên hệ giữa a và b. Vì a và b không đồng thời bằng 0 nên có thể chọn a một giá trị thích hợp rồi suy ra b hoặc ngược lại.
Bài toán 3: Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn biết tiếp tuyến có hệ số góc là k.
Giải: 
	- Phương trình đường thẳng D có hệ số góc k có dạng: y = kx + m.
	- D tiếp xúc với (C) Û d(I;D ) = R. Giải điều kiện này ta sẽ tìm được m.
Chú ý: 
	- Nếu tiếp tuyến D song song với đường thẳng: ax+ by+ c = 0 thì phương trình D sẽ có dạng: ax+by + c' = 0 (c' ¹ c).
	- Nếu tiếp tuyến D vuông góc với đường thẳng ax+ by+ c = 0 thì phương trình D sẽ có dạng: -bx+ay + c' = 0 (c' ¹ c).
Ví dụ 16: Cho đường tròn (C) có phương trình x2 + y2-6x +2y + 6 = 0 và điểm A (1;3)
Chứng minh rằng điểm A ở ngoài đường tròn.
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ A.
Giải: 
	Đường tròn (C) có tâm I(3; -1) bán kính R = 2.
Ta có: IA = 2> R Þ A nằm ngoài đường tròn (C).
Ta giải bài toán này theo hai cách.
Cách 1: Phương trình đường thẳng đi qua A có vectơ pháp tuyến là (a; b) có dạng: 
	a(x – 2) + b( y – 6) = 0 (a2 + b2 ¹ 0)
Đường thẳng này là tiếp tuyến của đường tròn Û d(I,d) = R
Û =2 Û (a - 2b)2 = (a2 + b2) Û 3b2 -4ab = 0 Û .
*) Nếu b = 0, vì a ¹ 0 chọn a = 1 Þ phương trình tiếp tuyến có dạng: x = 1.
*) Nếu b=a. Chọn a = 3, b = 4
	phương trình tiếp tuyến có dạng: 3x -4y-15=0
Vậy qua A kẻ được hai tiếp tuyến với (C) là: x = 1
	3x – 4y – 15 = 0.
Cách 2: 
*) Xét D đi qua A và vuông góc với Ox Þ phương trình D : x = 1 hay x – 1 = 0.
	D là tiếp tuyến của (C) Û d(I;D ) = R Û =2. Đẳng thức này đúng nên x = 1 là tiếp tuyến của (C).
*) Xét D đi qua A và có hệ số góc là k. Phương trình của D là: y = k(x – 1) + 3 hay kx – y + 3 – k = 0.
	D tiếp xúc với (C) Û d(I;D ) = R Û =2
	(k+2)2 = k2 + 1 Û k =- Þ ta được tiếp tuyến: y = -(x–1) + 3 Û 3x + 4y – 15 = 0
Nhận xét: Trong cách giải 2: ta phải xét hai trường hợp nhưng lời giải của mỗi trường hợp lại khá ngắn gọn và đơn giản. Phù hợp với đối tượng học sinh mà kỹ năng tính toán còn hạn chế. Một sai lầm mà học sinh thường mắc phải khi giải theo cách này đó là không xét trường hợp thứ nhất tức là tiếp tuyến vuông góc với Ox (đường thẳng không có hệ số góc) và do đó bài toán sẽ mất nghiệm.
Ví dụ 17: Cho đường tròn có phương trình là: x2 + y2+4x +4y -17 = 0.
Viết phương trình tiếp tuyến d của đường tròn trong các trường hợp sau: 
Điểm tiếp xúc là M(2;1)
d đi qua A(3;6)
d song song với đường thẳng 3x-4y -2008 = 0
Giải: 
	Đường tròn này có tâm I(-2;-2), bán kính R = 5
a) Đây là bài toán tiếp tuyến thứ nhất.
	Theo phương pháp phân đôi toạ độ Þ Phương trình tiếp tuyến với đường tròn tại M(2;1) là: 
	2x +1.y +2(x + 2) + 2(y+1) -17 = 0
	Û 4x + 3y-11 = 0.
b) Đây là bài toán tiếp tuyến thứ hai.
	Phương trình đường thẳng đi qua A có vectơ pháp tuyến là (a; b) có dạng: 
a(x – 2) + b( y – 6) = 0
Đường thẳng này là tiếp tuyến của đường tròn Û d(I,d) = R
Û =5 Û (5a + 8b)2 = 25(a2 + b2) Û 39 b2 +80ab = 0.
*) Nếu b = 0, vì a ¹ 0 chọn a = 1 Þ phương trình tiếp tuyến có dạng: x = 2.
*) Nếu b ¹ 0: Þ a = -39/80.b. Chọn a = -39, b = 80
	phương trình tiếp tuyến có dạng: -39x + 80y-402=0.
	Vậy có hai tiếp tuyến thoả mãn đầu bài.
c) Đây là bài toán tiếp tuyến thứ ba.
	Phương trình đường thẳng song song với đường thẳng 3x- 4y – 2008 = 0 có dạng: 3x – 4y + c = 0.
	Đường thẳng này là tiếp tuyến với đường tròn Û d(I;d3) = R Û =5 Û =25 Þ c = 23 hoặc c = -27.
	Vậy có hai tiếp tuyến thoả mãn là: 3x – 4y + 23 = 0 hoặc 3x – 4y – 27 = 0.
Ví dụ 18: Cho đường tròn x2 + y2-2x -6y + 6 = 0 và điểm M(2;4).
Viết phương trình đường thẳng đi qua M cắt đường tròn tại hai điểm A, B sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn có hệ số góc k = -1.
 Đại học Tài chính kế toán- 1997
Giải: 
	Đường tròn này có tâm I(1;3) và bán kính R = 2.
a) Ta có: IM = < 2 = R Þ M nằm trong đường tròn. Vậy mọi đường thẳng đi qua M đều cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt.
	Đường thẳng D đi qua M cắt đường tròn tại hai điểm A và B sao cho M là trung điểm của AB Þ IM ^ AB Þ D nhận (1;1) làm vectơ pháp tuyến Þ phương trình của D: 
	x-2+y-4 = 0 Û x + y – 6 = 0.
b) Phương trình của D có hệ số góc là k=-1: y = -x+m hay x + y – m = 0
	D tiếp xúc với (C) Û d(I;D ) = R Û =2
	(4-m)2 = 8 Û 
	Vậy có hai tiếp tuyến thoả mãn đầu bài là:	x + y -4+2= 0
 	x + y -4-2= 0
Ví dụ 19: Cho đường tròn (C): x2 + y2+2x -4y -4 = 0 và điểm A(2; 5).
Lập phương trình tiếp tuyến kẻ từ A tới đường tròn. Giả sử tiếp tuyến này tiếp xúc với đường tròn tại hai điểm M, N. Hãy tính độ dài MN.
 Đại học Ngoại thương- 1997
Giải: 
	Qua A ta kẻ được hai tiếp tuyến với đường tròn là: x = 2 và y = 5.
	Toạ độ của điểm M là nghiệm của hệ phương trình: 
	Û Þ M(2; 2)
	Toạ độ của điểm N là nghiệm của hệ phương trình: 
	Û Þ N(-1; 5)
	Þ MN = 
Ví dụ 20: Cho (C): x2 + y2-2x +2y -3 = 0. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến cắt tia Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho D ABC có diện tích bằng 4.
Giải: (C)có tâm I(1;-1) và bán kính R = 
	Giả sử A(a;0), B(0; b) trong đó a > 0 và b> 0.
	Phương trình đường thẳng AB có dạng: Û bx + ay – ab = 0
	SAOB = 4 Þ =4 Þ ab = 8.
	AB tiếp xúc với (C) Þ d(I,AB) = R Û =Þ b – a = -2 Þ 
	Vậy phương trình AB: x + 2y – 4 = 0
Dạng 4: Một số bài toán khác về vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn.
Ví dụ 21: Cho đường thẳng d: x – y + 1 = 0 và đường tròn (C): x2 + y2 + 2x – 4y = 0. Tìm điểm M Î d sao cho qua M vẽ được hai đường thẳng tiếp xúc với (C) tại A và B sao cho góc AMB = 600
Giải: 
	(C): (x+1)2 + (y-2)2 = 5.
Þ Đường tròn có tâm I(-1;2) và có bán kính .
	Từ góc AMB bằng 600 Þ AMI = 300
	Þ MI = 2AI = 2R = 2 .
Gọi toạ độ của M(x;y).
	Ta có hệ phương trình
Giải hệ này ta được: x = -3, y = -2
	x = 3, y = 4.
Vậy có hai điểm M thoả mãn M1 (-3;-2) và M2 (3;4)
VẤN ĐỀ 4: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN.
Dạng 1: Xét vị trí tương đối của hai đường tròn.
	Cho hai đường tròn: (C1): x2 + y2-2a1x -2b1y + c1 = 0
	(C2): x2 + y2-2a2x -2b2y + c2 = 0
	Để xét vị trí tương đối của (C) và (C) ta có hai phương pháp như sau: 
Phương pháp 1: Xét số giao điểm của (C1) và (C2). Số giao điểm của (C1) và (C2) là số nghiệm của hệ phương trình: 
	- Nếu hệ vô nghiệm thì (C1) và (C2) không có giao điểm nào Þ(C1) không cắt (C2).
	- Nếu hệ có duy nhất một nghiệm thì (C1) và (C2) có một giao điểm Þ(C1) tiếp xúc với (C2)
.	- Nếu hệ có hai nghiệm phân biệt thì (C1) và (C2) có hai giao điểm .
	- Nếu hệ có vô số nghiệm thì (C1) trùng (C2)
Phương pháp 2: 
	- (C1) có tâm I1 (a1; b1) và bán kính R1
	- (C2) có tâm I2 (a2; b2) và bán kính R2
	- Tính I1I2 = d
	- Biện luận vị trí tương đối:
	+ Nếu thì (C1) và (C2) cắt nhau tại hai điểm phân biệt. 
	+ Nếu thì (C1) và (C2) tiếp xúc ngoài nhau.
	+ Nếu thì (C1) và (C2) tiếp xúc trong nhau. 
	+ Nếu thì (C1) và (C2) ngoài nhau.
	+ Nếu thì (C1) và (C2) chứa trong nhau. 
Nhận xét: 
	- Đối với phương pháp 1 ta chỉ ra được hai đường tròn có cắt nhau hay không và còn chỉ ra được toạ độ giao điểm của hai đường tròn nhưng trong trường hợp hai đường tròn tiếp xúc nhau thì không chỉ ra được tiếp xúc trong hay ngoài.
	- Đối với phương pháp 2: Ta chỉ ra được vị trí tương đối của hai đường tròn một cách cụ thể tuy nhiên không tìm được toạ độ tiếp điểm nếu có.
	Tuỳ từng bài toán cụ thể để lựa chọn phương pháp giải phù hợp hoặc có thể phải phối hợp hai phương pháp.
Ví dụ 22: Xét vị trí tương đối của hai đường tròn sau: (C) x2 + y2-2x -6y +-15 = 0
(C) x2 + y2-6x -2y -3 = 0
Giải: 
	(C1) có tâm I1(1;3) và bán kính R1 = 5
	(C2) có tâm I2(3;1) và bán kính R2 = 
	I1I2 = 2
	Ta thấy: Þ hai đường tròn cắt nhau.
Ví dụ 23: Cho hai đường tròn: (C): x2 + y2 = 1 và (Cm): x2 + y2-2(m+1)x +4my -5 = 0
Xác định m để (Cm) tiếp xúc với (C).
Giải: 
	(C) có tâm O(0;0) và bán kính R = 1.
	(Cm) có tâm I(m+1; -2m) và bán kính R' = 
	Ta thấy OI = < R' Þ điểm O nằm trong đường tròn tâm I Þ (C) và (Cm) chỉ có thể tiếp xúc trong nhau.
	Điều kiện để hai đưòng tròn tiếp xúc trong là R' – R = OI
	Û -1 =
	Giải phương trình này ta được: m = -1 hoặc m = 3/5
	Chú ý: Để chứng minh hai đường tròn tiếp xúc nhau thông thường ta phải xét hai trường hợp tiếp xúc trong và tiếp xúc ngoài.
Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn.
	Để viết phương trình tiếp tuyến chung D của hai đường tròn ta làm như sau: 
	*) Kiểm tra xem đường thẳng có dạng x = m( đường thẳng không có hệ số góc) có phải là tiếp tuyến chung của hai đường tròn không.
	*) Xét D : y = ax+ b. 
	Đường thẳng này là tiếp tuyến chung của hai đường tròn Û khoảng cách từ I1 đến D = R1 và khoảng cách từ I2 đến D = R2 Û 
	Giải hệ này ta sẽ tìm được a và b.
Ví dụ 24: Tìm toạ độ giao điểm của hai đường tròn: 
(C1): x2 + y2-8x -2y + 7 = 0 , (C2): x2 + y2-3x -7y + 12 = 0 và viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn ấy.
Giải: 
	Toạ độ giao điểm của hai đường tròn là nghiệm của hệ phương trình: 
Giải hệ này ta được hoặc 
Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn.
*) Xét đường thẳng x = m Û x – m = 0.
	Đường thẳng này là tiếp tuyến chung của hai đường tròn Û hệ này vô nghiệm Þ đường thẳng dạng x = m không phải là tiếp tuyến chung của hai đường tròn.
*) Xét đường thẳng D có dạng: y = ax + b Þ ax – y + b = 0
	D là tiếp tuyến chung của hai đường tròn Û 
	Giải hệ này ta được: Þ có 2 tiếp tuyến thoả mãn là: y = -3x + 3 và y = -1/3 x + 17/3
VẤN ĐỀ 5: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HỌ ĐƯỜNG TRÒN
	Trong vấn đề này ta thường gặp một số bài toán liên quan đến họ đường tròn như sau: 
	Cho họ đường tròn (Cm) : f(x, y, m) = 0	
Bài toán 1: Tìm tập hợp tâm của đường tròn (Cm)
Phương pháp giải: 
	- Tìm điều kiện để phương trình đã cho là phương trình đường tròn.
	- Tìm toạ độ tâm I của đường tròn đã cho (theo m) .
	- Từ hệ trên khử m để tìm mối liên hệ giữa xI và yI.
	- Kết hợp với điều kiện tìm được ở trên để giới hạn quỹ tích tìm được.
Bài toán 2: Tìm điểm cố định mà họ đường tròn luôn đi qua với mọi m.
Phương pháp giải: 
	- Giải sử A(x0;y0)) là điểm cố định mà họ đường tròn luôn đi qua với mọi m	
	Û phương trình f(x0, y0, m) = 0 đúng với mọi m.
	- Viết phương trình trên dưới dạng phương trình ẩn m sau đó cho tất cả các hệ số của m bằng 0 kể cả hệ số tự do.
	- Giải hệ đó ta sẽ tìm được x0 và y0.
Bài toán 3: Tìm điểm mà họ đường tròn không bao giờ đi qua với mọi m.
Phương pháp giải: 
	- Giải sử A(x0;y0)) là điểm mà họ đường tròn không bao giờ đi qua với mọi m	
	Û phương trình f(x0, y0, m) = 0 vô nghiệm m.
	- Viết phương trình trên dưới dạng phương trình ẩn m sau đó cho tất cả các hệ số của m bằng 0 còn hệ số tự do khác 0.
	- Giải hệ đó ta sẽ tìm được điều kiện của x0 và y0.
Ví dụ 26: Cho (Cm): x2 + y2+2mx -2(m-1)y + 1 = 0
Tìm m để (Cm) tiếp xúc với đường thẳng: D : x + y + 1 + 2= 0
Tìm m để từ điểm A(7;0) có thể kẻ được 2 tiếp tuyến với (Cm) vuông góc với nhau.
Tìm m để từ điểm A(7;0) có thể kẻ được 2 tiếp tuyến với (Cm) và tạo với nhau góc 600.
Giải: 	
	Điều kiện để (Cm) là đường tròn là: m2 + (m-1)2 – 1 > 0 Û 
	Với điều kiện trên thì đường tròn này có tâm I(-m; m-1) và bán kính R = 
I
A
K
K