Chuyên đề Phân tích những sai lầm khi giải toán

GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà 3 
 1
chuyên đề 
phân tích những Sai lầm khi giải toán 
Chỉ ra những sai lầm trong lời giải của học sinh là điều cần thiết song điều quan trọng 
hơn là phân tích đ−ợc nguyên nhân chính dẫn đến sai lầm đó. Việc thấy đ−ợc những sai 
lầm có ý nghĩa đặc biệt về mặt phơng pháp vì chúng giúp học sinh chống lối hiểu hình 
thức, đi sâu vào bản chất của vấn đề. 
Những sai lầm hạn chế năng lực học toán của học sinh, vì vậy qua việc phân tích 
những sai lầm, ng−ời giáo viên cần làm cho học sinh nhận diện đ−ợc các sai lầm, thấy đ−ợc 
nguyên nhân chính dẫn đến sai lầm. Từ đó học sinh sẽ tránh đ−ợc những sai lầm, nắm kiến 
thức một cách vững chắc hơn. 
Chuyên đề này chỉ phân tích những sai lầm có tính điển hình mà học sinh th−ờng mắc. 
1.1. Những khó khăn và những sai lầm học sinh th−ờng mắc khi ứng dụng đạo hàm để 
tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. 
* Do không nắm vững kiến thức có nhiều học sinh khi dùng đạo hàm để tìm GTLN, 
GTNN của hàm số đã mắc sai lầm nh sau: 
Ví dụ 1 Với bài toán: 
'' Tìm GTLN và GTNN của hàm số: y =
3
1
x
x + trên [-2 ; 0] '' 
 + Một số học sinh đã giải nh sau: y' = 
2
2
(2 3)
( 1)
x x
x
+
+ 
Lập bảng biến thiên của y với x ∈ [-2 ; 0] 
 x - 2 - 3/2 0 
 y' - 0 + 
 y 8 0 
4
27 
Từ bảng biến thiên ta có: y = 8; = 
[ ]2;0max− [ ]2;0min−
27
4
+ Sai lầm: Học sinh đã quên không xét tập xác định của hàm số do vậy đã lập sai bảng 
biến thiên. Đây là sai lầm th−ờng gặp khi học sinh lập bảng biến thiên của hàm số dới dạng 
phân thức. 
GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà 3 
 2
+ Lời giải đúng: 
Bảng biến thiên của hàm số y =
3
1
x
x + Với x ∈ [-2 ; 0] là: 
 x - 2 -
2
3 -1 0 
 y' - 0 + + 
 y 8 + ∞ 0 
4
27 - ∞ 
Vậy GTLN và GTNN của hàm số không tồn tại. 
* Cũng có nhiều học sinh do không hiểu định nghĩa nên sau khi đã lập đúng đợc bảng 
biến thiên nhng kết luận lại sai. 
Ví dụ 2 Với bài toán: 
 ''Tìm GTLN, GTNN của hàm số: y = f(x) = 5x x− − '' 
+ Có học sinh giải nh sau: 
Điều kiện 
0
5 0
x
x
≥⎧⎨ − ≥⎩ 5x⇒ ≥
f'(x) = 5 0
2 ( 5)
x x
x x
− 
lim
x→+∞
f(x) = lim
x→+∞
5
5x x+ − = 0 
Bảng biến thiên: 
 x 5 + ∞ 
 f'(x) - 
 f(x) 5 
 0 
Do đó: f(x) = f(5) = 
[ ]5;max+∞ 5 ; [ ]5;min+∞ f(x) = 0 
+ Sai lầm: Học sinh không hiểu rõ định nghĩa, nhầm lẫn giữa hai khái niệm minf(x) 
và limf(x) nên mặc dù bảng biến thiên lập đúng nhng kết luận vẫn sai. 
GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà 3 
 3
+Lời giải đúng 
 Căn cứ vào bảng biến thiên ta thấy 0 < f(x) ≤ 5 với 5x∀ ≥ 
⇒ GTLN của f(x) là 5 còn GTNN của f(x) không tồn tại. 
* Khi sử dụng phơng pháp đạo hàm để tìm GTLN, GTNN của hàm số do không nắm 
vững khái niệm GTLN, GTNN nên rất nhiều học sinh nhầm lẫn giữa các khái niệm cực đại, 
cực tiểu với GTLN, GTNN của hàm số. 
Ví dụ 3 Với bài toán : 
 '' Tìm GTLN, GTNN của hàm số: y = f(x) = 3 24
3 2
x x 1+ + trên đoạn [-1;1]'' 
+ Có học sinh giải nh sau: 
 y' = 24 2x x+ 
 y' = 0
0
1
2
x
x
=⎡⎢⇔ −⎢ =⎣
Bảng biến thiên: 
 x - 1 - 1
2
 0 1 
 y' + 0 - 0 + 
 y 7
12
 1
2
Ta có: f(x) = 
[ ]1;1max−
7
12
; f(x) = 
[ ]1;1min−
1
2
+ Sai lầm: Học sinh này đã nhầm lẫn giữa bài toán tìm GTLN, GTNN với bài toán tìm 
cực đại và cực tiểu của hàm số. 
ở đây 7
12
 và 1
2
 tơng ứng là giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số y trên [-1;1] nhng 
không phải là GTLN, GTNN của y trên [-1;1]. 
Học sinh đã quên một bớc quan trọng là không so sánh các cực trị của f(x) với các giá 
trị f(-1) và f(1). 
GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà 3 
 4
+ Lời giải đúng: 
Xét hàm số y = f(x) = 3 24
3 2
x x 1+ + liên tục trên đoạn [-1;1] 
 f'(x) = 24 2x x+ ; f'(x) = 0
10 (0)
2
1 1( )
2 2
x f
x f
⎡ = ⇒ =⎢⇔ ⎢ − −⎢ 7
12
= ⇒ =⎢⎣
Bảng biến thiên: 
1
2
x - 1 - 0 1 
 f'(x) + 0 - 0 + 
 f(x) 7
12
 17
6
 1
6
 1
2
Vậy f(x) = 
[ ]1;1max−
17 ; f(x) = 
6 [ ]1;1min−
1
6
* Một sai lầm điển hình mà nhiều học sinh thờng mắc nữa là chuyển đổi không tơng 
đơng đối với những bài toán cần phải đổi biến số để tìm GTLN, GTNN. 
Ví dụ 4 Với bài toán : 
 '' Tìm GTLN và GTNN của hàm số y = 
6 6
4 4
1 sin cos
1 sin cos
x x
x x
+ +
+ + '' 
+ Một số học sinh giải nh sau: 
sin4 + cos4x = (sin2x + cos2x)2 - 2sin2xcos2x = 1 - 1
2
sin2 2x 
sin6x + cos6x = (sin2x)3 + (cos2x)3 = sin4x + cos4x - sin2xcos2x 
 = 1 - 3
4
sin22x 
Vậy y = 
2
2
32 sin 2
4
12 sin 2
2
x
x
−
−
 = 
2
2
3sin 2 8
2sin 2 8
x
x
−
− 
Đặt t = sin22x ta có y = f(t) = 3 8
2 8
t
t
−
− xác định với ∀ t ≠ 4 
GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà 3 
 5
f'(t) = ( )2
8
2 8t
−
− < 0 ⇒ f(t) nghịch biến trên khoảng (- ∞; 4) và (4; +∞) 
Bảng biến thiên: 
 x - ∞ 4 + ∞ 
 f'(x) - + 
 f(x) 3
2
 + ∞ 
 - ∞ 3
2
Vậy không tồn tại GTLN, GTNN của f(t) ⇒ không tồn tại GTLN, GTNN của y. 
+ Sai lầm: Học sinh đã chuyển về bài toán không t−ơng đ−ơng cho rằng GTNN, 
GTNN của f(x) trùng với GTLN, GTNN của g(t) với ∀ t ∈ R nên sau khi đổi biến đã 
không tìm miền xác định của f(t). 
+ Lời giải đúng: 
Biến đổi nh trên ta đợc y = 
2
2
3sin 2 8
2sin 2 8
x
x
−
− 
Đặt t = sin22x thì t ∈ [0; 1] 
Ta có: f(t) = 3 8
2 8
t
t
−
− liên tục trên đoạn [0; 1] 
f'(t) = ( )2
8
2 8t
−
− < 0 với ∀ t ∈ [0; 1] ⇒ f(t) nghịch biến trên [0; 1] 
Ta lại có: f(0) = 1 và f(1) = 5
6
Bảng biến thiên: 
 t - ∞ 0 1 + ∞ 
 f'(t) 
 f(t) 1 
 5
6
Từ bảng biến thiên ta có: ( ) (0) 1max
R
f x f= = ; 5( ) (1)
6minR f x f= = 
GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà 3 
 6
* Ngoài những sai lầm điển hình trên khi giải bài toán tìm GTLN, GTNN bằng phơng 
pháp đạo hàm học sinh cũng hay mắc sai lầm do không nắm vững những nội dung kiến 
thức liên quan nên th−ờng bỏ xót tr−ờng hợp. 
Ví dụ 5 Với bài toán: 
'' Cho hàm số y = với m > 0 .Tìm GTNN của y với x ∈ [0; m]'' 4 22x mx− + 4
+Có học sinh đã giải nh sau: 
 y' = ( )24x x m− ; y' = 0
0x
x m
x m
=⎡⎢⇔ =⎢⎢ = −⎣
Bảng biến thiên: 
 x - ∞ - m 0 m + ∞ 
 y' - 0 + 0 - 0 + 
 y 
Vậy y= y(
[ ]0;mmin m ) = 4 - m
2
+ Sai lầm: Học sinh này là đã cho rằng với m > 0 thì m < m nên đã bỏ xót tr−ờng 
hợp khi 0 < m 1 thì m ≤ m≤ 
+ Lời giải đúng: 
Sau khi lập đ−ợc bảng biến thiên cần xét hai tr−ờng hợp: 
- Nếu m m≤ 0 < m 1 thì y = y(m) = m⇔ ≤
[ ]0;mmin
4 - 2m3 + 4 
 - Nếu m m> m > 1 thì y = y(⇔
[ ]0;mmin m ) = 4 - m
2 
Vậy kết quả là: 
[ ]0;mmin y = 
4 3
2 
m - 2m + 4 0 < m 1
4 - m 1m
⎧ ⇔ ≤⎪⎨ ⇔ >⎪⎩
Kết luận 
Nh− vậy chúng ta thấy rằng khi sử dụng ph−ơng pháp đạo hàm để tìm GTLN, GTNN 
của hàm số học sinh th−ờng mắc sai lầm do cha hiểu rõ định nghĩa về GTLN, GTNN 
GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà 3 
 7
ch−a nắm chắc cách tìm GTLN, GTNN bằng công cụ đạo hàm; do nhầm lẫn khái niệm cực 
đại, cực tiểu với GTLN, GTNN của hàm số. Đặc biệt là với những bài toán khi tìm GTLN, 
GTNN của hàm số mà phải tiến hành đổi biến học sinh th−ờng bỏ qua bớc quan trọng là 
tìm miền xác định của hàm số mới sau khi đổi biến. Học sinh còn mắc sai lầm do không 
nắm vững kiến thức toán học cơ bản liên quan đến bài toán tìm GTLN, GTNN. 
Ngoài những sai lầm đợc phân tích ở trên thì khi sử dụng ph−ơng pháp đạo hàm để tìm 
GTLN, GTNN học sinh còn gặp một số khó khăn và rất lúng túng khi giải những bài toán 
về tìm GTLN, GTNN đ−ợc cho d−ới dạng hình học hay tình huống thực tiễn. 
Ví dụ nh− bài toán: " Chứng minh rằng trong các hình chữ nhật nội tiếp trong hình 
tròn bán kính R thì hình vuông là hình có chu vi lớn nhất '', hay nh− bài toán " Nhà máy cá 
hộp sản xuất những hộp hình trụ tròn xoay kín hai đầu mà thể tích là V cm3. Muốn tốn ít 
vật liệu nhất khi làm hộp thì các kích th−ớc của hộp phải nh− thế nào?'' . 
1.2. Những khó khăn và một số sai lầm của học sinh khi ứng dụng đạo hàm vào chứng 
minh bất đẳng thức 
* Khi sử dụng ph−ơng pháp đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức học sinh th−ờng 
gặp những khó khăn sau : 
- Để giải đ−ợc bài toán chứng minh BĐT bằng ph−ơng pháp đạo hàm học sinh cần 
phải nắm chắc các kiến thức về đạo hàm và những ứng dụng của nó (nh xét tính đơn điệu, 
tìm cực trị của hàm số, xét chiều biến thiên của hàm số, xét tính lồi lõm của đồ thị hàm 
số,). Trong khi đó những kiến thức này là hoàn toàn mới đối với học sinh nên khi vận 
dụng chúng học sinh còn rất lúng túng. 
- Khi sử dụng tính đơn điệu của hàm số hoặc sử dụng GTLN, GTNN của hàm số hay 
sử dụng định lý Lagrange để chứng minh BĐT thì việc xác định đ−ợc hàm số trong mỗi bài 
toán là công việc khó khăn đối với nhiều học sinh. 
Sau đây là một số ví dụ minh họa. 
Ví dụ 1 Cho n là số nguyên và n ≥ 3. Chứng minh rằng: nn+1 > (n+1)n
Giải: 
Ta sẽ sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh BĐT trên. 
Nh−ng ở BĐT này cha thấy xuất hiện hàm số f(x). Việc xác định hàm số f(x) là t−ơng 
đối khó khăn với học sinh. 
GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà 3 
 8
Để xác định đ−ợc hàm số f(x) ở ví dụ này cần phải thực hiện một số b−ớc biến đổi: 
Ta có: nn+1 > (n+1)n ⇔ (n+1) lnn > nln(n+1) ⇔ 1
ln( 1) ln
n n
n n
+ >+ 
Vậy xác định đợc hàm số f(x) = 
ln
x
x
với x ≥ 3 
Xét tính đơn điệu của hàm số này và suy ra điều phải chứng minh. 
Ví dụ 2 Chứng minh rằng nếu 0 < b < a thì: lna b a a b
a b b
− −< < (1) 
Giải: 
Với bài toán này ta sẽ sử dụng định lý Lagrange để chứng minh đẳng thức (1) thì điều 
quan trọng cũng là phải nhận ra đ−ợc hàm số f(x). 
ở đây học sinh cũng sẽ gặp khó khăn vì tr−ớc hết cần phải hiểu rõ định lý Lagrange và 
biết đối chiếu BĐT cần phải chứng minh với điều kiện của định lý Lagrange để nhận ra 
hàm số f(x). 
Để dễ nhận ra đ−ợc hàm số f(x) học sinh có thể biến đổi nh sau: 
(1) ⇔ 1 1( ) ln ln ( )a b a b a b
a b
− < − < − 
Từ đó xác định đ−ợc hàm số f(x) = ln(x) với x > 0 
Tiếp tục áp dụng định lý Lagrange để rút ra điều phải chứng minh. 
Ví dụ 3 Cho a, b thỏa mãn điều kiện a + b = 2. 
Chứng minh rằng a4 + b4 ≥ 2. 
Trong những bài toán chứng minh BĐT có từ hai biến trở lên học sinh rất khó khăn khi 
xác định hàm số. Đây là bài toán chứng minh BĐT có tới hai biến, hai biến này ràng buộc 
với nhau theo một điều kiện đã cho nên việc xác định hàm số để xét chiều biến thiên của 
nó là t−ơng đối khó với học sinh. 
Với bài toán này có thể đặt: x = a ⇒ b = 2 - x. 
Xác định đợc hàm số f(x) = x4 + (2 - x)4 trên R 
Từ bảng biến thiên của hàm số f(x) mà rút ra đợc điều phải chứng minh. 
* Ngoài những khó khăn trên, khi sử dụng ph−ơng pháp đạo hàm vào chứng minh 
BĐT học sinh còn hay mắc một số sai lầm do không nắm vững những kiến thức về đạo hàm 
GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà 3 
 9
liên quan đến việc xét tính đơn điệu, tìm cực trị của hàm số, hay dùng đạo hàm để tìm 
GTLN, GTNN của hàm sốVà thậm chí mắc sai lầm cả do không nắm vững một số tính 
chất cơ bản của BĐT. Sau đây là một số ví dụ thể hiện sai lầm. 
Ví dụ 4 Chứng minh rằng với ∀ x > 0 thì sinx < x 
+ Một số học sinh giải nh sau: 
 Xét f(x) = x - sinx với x > 0 
 Ta có: f'(x) = 1 - cosx ≥ 0 ⇒ f(x) đồng biến với ∀ x > 0. 
 Từ x > 0 ⇒ f(x) > f(0) ⇒ x - sinx > 0 - sin0 = 0 
 Vậy sinx 0. 
+ Sai lầm: f(x) đồng biến trên miền ( 0; +∞ ) không chứa 0, nên không thể so sánh f(x) 
và f(0) khi x > 0. 
+ Lời giải đúng là: 
 Xét f(t) = t - sint trên R 
 f'(t) = 1- cost ≥ 0 với ∀ t ∈ R ⇒ f(t) đồng biến trên R. 
 Mà x > 0 ⇒ f(x) > f(0) ⇒ x - sinx > 0 - sin0 = 0 ⇒ x > sinx 
+Chú ý: Vậy qua sai lầm này cần chú ý cho học sinh: Nếu f(x) đồng biến với x ∈ [a;b] 
và a ≤ x1 f(x1) 
Ví dụ 5 Chứng minh rằng nếu x > -1 thì xex > 1
e
− 
+ Có học sinh giải nh sau: 
Ta có: f1(x) = x và f2(x) = e
x là các hàm số đồng biến trên R ⇒ f(x) = xex là tích hai 
hàm số đồng biến nên cũng đồng biến trên R. 
 Từ x > -1 ⇒ f(x) > f(-1) ⇒ xex > 1
e
− 
+Sai lầm: Học sinh đã mắc sai lầm vì cho rằng tích của hai hàm đồng biến là hàm 
đồng biến. 
+ Lời giải đúng: 
 Xét hàm số f(x) = xex với x > -1. Ta có f'(x) = ex(x+1) 
GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà 3 
 10
 Bảng biến thiên: 
 x - ∞ - 1 + ∞ 
f'(x ) - 0 + f(x) 
+ ∞ +∞ 
 - 1
e
Từ bảng biến thiên ta có: x > -1 thì f(x) > f(-1) ⇒ xex > 1
e
− 
+ Chú ý: Qua sai lầm này cần chú ý cho học sinh rằng: nếu các hàm đồng biến chỉ 
nhận các giá trị d−ơng thì mới có thể kết luận đ−ợc rằng tích của hai hàm số đồng biến là 
một hàm số đồng biến. 
Ví dụ 6 Chứng minh rằng nếu x ≥ y > 1 thì x + y y x≥ + 
+ Một số học sinh giải nh sau: 
Với x ≥ y > 1 ta có x ≥ y và x y≥ 
Trừ từng vế ta có: x x y y− ≥ − ⇒ x + y y x≥ + 
+ Sai lầm: Học sinh đã mắc sai lầm khi trừ từng vế của hai BĐT cùng chiều. 
+ Lời giải đúng: 
 Xét f(t) = t - t với t > 1 
 f'(t) = 1 - 1
2 t
 = 2 1 0
2
t
t
− > .Do đó f(t) đồng biến với t > 1 
 Mà x ≥ y > 1 nên f(x) ≥ f(y) ⇒ x x y y− ≥ − ⇒ x + y y x≥ + 
+ Chú ý: Qua sai lầm này cần chú ý cho học sinh: 
a b
a c b d
c d
≥⎧ ⇒ − ≥ −⎨ ≤⎩ 
* Ngoài những sai lầm và khó khăn trên thì nguyên nhân dẫn đến việc học sinh không 
giải đợc bài toán tìm GTLN, GTNN và chứng minh BĐT bằng ph−ơng pháp đạo hàm chỉ vì 
mắc sai lầm ở bớc tính đạo hàm, giải phơng trình, thực hiện các phép biến đổi đồng nhất 
GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà 3 
 11
1.3. Sai lầm khi giải các bài toán tam thức bậc hai 
Ví dụ1: 
Tìm m để ph−ơng trình: 
 (m-1)m2 + (2m-1)x + m + 5 = 0 có hai nghiệm phân biệt. 
Lời giải 
 Ph−ơng trình có hai nghiệm phân biệt ∆⇔ >0 
 ⇔ (2m-1)2-4(m-1) (m+5)>0 
 ⇔ - 20m +21>0 
 ⇔ m<
20
21 
Ví dụ 2: 
 Tìm m để biểu thức 
33)1(2)1( 2 −+−−+ mxmxm có nghĩa với mọi x 
Lời giải 
Biểu thức có nghĩa với mọi x ⇔ f(x) = (m+1)x2-2(m-1)x+3m-3 x∀≥ 0
 1
2
1
1
0)2)(1(2
1
0'
0 ≥⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎢⎣
⎡
−≤
≥
−>
⇔
⎩⎨
⎧
≥+−
−>⇔
⎩⎨
⎧
≤∆
>⇔ m
m
m
m
mm
ma
Ví dụ 3: 
 Biết rằng (x;y) là nghiệm của hệ ph−ơng trình 
⎩⎨
⎧
+−=+
=+
6222 myx
myx
Tìm GTLN và GTNN của F = xy-6(x + y) 
Lời giải 
Ta có 62)(6 22222 +−=−+⇔+−=+ mxyyxmyx
 32 −=⇔ mxy
Do đó: F = 1212)3(36 22 −≥−−=−− mmm
Vậy MinF = -12 m=3 còn F không có GTLN vì F là hàm bậc hai với hệ số a = 
1>0 
⇔
Ví dụ 4: 
Tìm m sao cho ph−ơng trình: 
 chỉ có một nghiệm thoả mãn x > 3 0)12( 22 =++− mxmx
Lời giải 
Cách 1: Ph−ơng trình có nghiệm duy nhất 0=∆⇔ . Khi đó ph−ơng trình có nghiệm 
221
Sxx == . Do đó ph−ơng trình chỉ có một nghiệm x > 3. 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
=∆
⇔
3
2
0
S ⎪⎩
⎪⎨
⎧
>+
=−+
⇔
3
2
12
04)12( 22
m
mm
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
=+
⇔
2
5
014
m
m
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>
−=
⇔
2
5
4
1
m
m
Vậy không có giá trị nào của m thoả mãn yêu cầu bài toán. 
Cách 2: Xét hai tr−ờng hợp 
GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà 3 
 12
TH1: 3<x1 = x2 ⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
=∆
⇔
3
2
0
S ⎪⎩
⎪⎨
⎧
>+
=−+
⇔
3
2
12
04)12( 22
m
mm
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
=+
⇔
2
5
014
m
m
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>
−=
⇔
2
5
4
1
m
m
 Suy ra không có giá trị nào của m thoả mãn tr−ờng hợp này. 
TH2: x1 < x3≤ 2 ⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
≤
⇔
3
2
0)3(
S
af
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
≤+−
⇔
2
5
0662
m
mm
33
2
5 +≤<⇔ m 
 Vậy với 33
2
5 +≤3. 
Cách nào đúng, cách nào sai? Nguyên nhân và cách khắc phục? 
Ví dụ 5: 
Tìm m sao cho ph−ơng trình 
 mx2 - 2(m+1) x + m + 1 = 0 không có nghiệm ở ngoài khoảng (-1; 1) 
Lời giải 
Ph−ơng trình không có nghiệm ở ngoài khoảng (-1; 1) 11 21 <≤<−⇔ xx 
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
<<−
>
>−
≥∆
⇔
1
2
1
0)1(
0)1(
0
S
af
af
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
<+<−
>−
>+
≥+−+
⇔
111
0)1(
0)34(
0)1()1( 2
m
m
m
mm
mmm
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
<+<−
<
⎢⎢⎣
⎡
−<
>
−≥
⇔
111
0
4
3
0
1
m
m
m
m
m
m
4
31 −<≤−⇔ m 
Vậy - 1
4
3−<≤ m thì ph−ơng trình không có nghiệm ở ngoài (-1;1) 
Vậy bài toán giải đúng hai sai? Nguyên nhân và cách khắc phục nó? 
Ví dụ 6: 
Chứng minh rằng ph−ơng trình: 
(x - 95) (x-96) + (x - 96) (x - 97) + (x - 97) (x- 95) = 0 có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 95 
Lời giải 
Gọi vế trái của ph−ơng trình là f(x) thì: 
f(x) = 3x2 – 2(95 + 96 + 97) x + 95.96 + 96.97 + 97.95 
Do đó:af(95) = 3(95-96)(95-97)>0 và 
2
s -95 =
3
979695 ++ - 95 =1> 0. 
 Suy ra 95< x1< x2 (ĐPCM) 
1.4. Sai lầm khi giải ph−ơng trình và bất ph−ơng trình . 
Ví dụ1: 
Giải ph−ơng trình 3x3- 6x2- 9x = 9(x2- 2x- 3) (*) 
Lời giải 
PT(*) )32(9)32(3 22 −−=−−⇔ xxxxx
GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà 3 
 13
 393 =⇔=⇔ xx
Ví dụ2: 
Giải ph−ơng trình 233 −+− xx + 1+x = 2 
Lời giải 
Điều kiện để căn thức có nghĩa là:
⎩⎨
⎧
≥+
≥−+−
01
0233
x
xx ⇔
⎩⎨
⎧
−≥
≤+−
1
0)2()1( 2
x
xx ⇔ ⎩⎨
⎧
−≥
≤+
1
02
x
x
Vậy không tồn tại giá trị nào của x để hai căn thức đồng thời có nghĩa nên ph−ơng trình vô 
nghiệm. 
Ví dụ3: 
Giải ph−ơng trình 12 −x - 1+x =x+1 
Lời giải 
Điều kiện căn thức có nghĩa: 
⎩⎨
⎧
≥+
≥−
01
012
x
x ⇔ ⎩⎨
⎧
≥+
≥+−
01
0)1)(1(
x
xx
⎩⎨
⎧
≥+
≥−⇔
01
01
x
x
1≥⇔ x 
Khi đó ph−ơng trình có dạng )1)(1( +− xx - 1+x = x+1. Vì x nên 1≥ 1+x >0,chia hai vế 
của ph−ơng trình cho 1+x ta có: 1−x -1< 1+x . 
Vì x nên 1≥ 1−x 1+≤ x .Suy ra 1−x -1< 1+x .Vậy ph−ơng trình vô nghiệm. 
Ví dụ4: 
Giải và biện luận ph−ơng trình a-5+
2
52
−
+
x
a =0(*) theo tham sốa 
Lời giải 
Điều kiện x Khi đó (*).2≠ 052)2)(5( =++−−⇔ axa 
 52)2)(5( +=−−⇔ axa 
 (5-a)x = 15 ⇔
Nếu a thì x=5≠
a−5
15 
Nếu a=5 thì ph−ơng trình vô nghiệm. 
Vậy bài toán giải đúng hay sai?Nguyên nhân và cách khắc phục nó? 
Ví dụ5: 
Giải ph−ơng trình : 2x+ 3−x =16(*) 
Lời giải 
Điều kiện x . Ta có: 3≥
(*)⇔ 3−x =16 - 2x x-3 = 256 - 64x + 4x⇔ 2⇔ 4x2- 65x + 259 =0 ⎢⎢⎣
⎡
=
=
⇔
4
37
7
x
x
( thoả mãn 
x 3).Vậy ph−ơng trình có nghiệm x=7 và x=≥
4
37 
Ví dụ6: 
Giải ph−ơng trình: 3 1−x + 3 12 −x =1 
Lời giải 
GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà 3 
 14
PT 3 1( −⇔ x + 3 12 −x )3=1 3x-2+3.⇔ 3 1−x . 3 12 −x ( 3 1−x + 3 12 −x )=1 
 3x - 2 +3⇔ )12)(1(3 −− xx =1(vì 3 1−x + 3 12 −x =1) 
 3 )12)(1( −−⇔ xx =-(x-1) 0)1()1()12)(1( 23 =−⇔−−=−−⇔ xxxxx
 ⎢⎣
⎡
=
=⇔
1
0
x
x
Ví dụ7: 
Giải bất ph−ơng trình
5
1
32
1
2 +<−− xxx (*) 
Lời giải 
BPT(*) 325 2 −−<+⇔ xxx 
 32)5( 22 −−<+⇔ xxx
3
702812 −<⇔<+⇔ xx 
Ví dụ8: 
Tìm m để ph−ơng trình sau có nghiệm 1+x + x−4 + )4)(1( xx −+ =m(*) 
Lời giải 
Đặt t= 1+x + x−4 (t 0), ta có≥ )4)(1( xx −+ =
2
52 −t 
Khi đó ph−ơng trình (*) viết thành t+
2
52 −t =m (**) 02522 =−−+⇔ mtt
Đặt f(x)=t2+2t-5-2m.PT(*)có nghiệm⇔ PT(**)có nghiệm 210 tt ≤≤ 
 ⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≥
≥
≥∆
⇔
0
2
0)0(
0'
s
af
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥−
≥−−
≥+
01
025
062
m
m
 Vô nghiệm 
Vậy không có giá trị nào của m để ph−ơng trình vô nghiệm. 
Vậy bài toán giải đúng hay sai? Nguyên nhân và cách khắc phục nó? 
Vậy ph−ơng trình có nghiệm x=2. 
Ví dụ9: 
Giải ph−ơng trình log2x2=2log2(3x+4) (*) 
Lời giải 
Điều kiện:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−>
≠
⇔
⎩⎨
⎧
>+
>
3
4
0
043
02
x
x
x
x
Khi đó PT (*) 
243
)43(loglog)43(log2log2 2222
−=⇔+=⇔
+=⇔+=⇔
xxx
xxxx 
GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà 3 
 15
Giá trị này không thoả mãn điều kiện đã đặt nên ph−ơng trình vô nghiệm. 
Ví dụ10: 
Tìm m để ph−ơng trình lg(x2+2mx)- lg(x-1) = 0(*) có nghiệm duy nhất. 
Lời giải 
Cách1: 
PT (*) (**) 01)12()1lg()2lg( 22 =+−+⇔−=+⇔ xmxxmxx
Ph−ơng trình có nghiệm duy nhất⇔ PT(**) có nghiệm duy nhất 
2
3
m hoặc =−=⇔
=−−⇔
=−−⇔=∆⇔
2
1
0344
04)12(0
2
2
m
mm
m
Cách 2: 
PT(*) (**) 
⎩⎨
⎧
=+−+
>⇔−=+⇔
01)12(
1
)1lg()2lg(
2
2
xmx
x
xmxx
Ph−ơng trình có nghiệm duy nhất⇔ PT(**)có nghiệm duy nhất x>1 
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
−<
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=
−=
⇔
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
>−
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=
−=
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
=∆
⇔
2
1
2
3
2
1
1
2
21
2
3
2
1
1
2
0
m
m
m
m
m
m
s Vô nghiệm 
Vậy cách nào đúng?Cách nào sai? Nguyên nhân và cách khắc phục? 
Ví dụ11: 
Giải bất ph−ơng trình x.ex>
2
1− (1) 
Lời giải 
Ta có f1(x)=x và f2(x) = e
xlà các hàm đồng biến trên R⇒ f(x) = x.ex là tích của hai hàm 
đồng biến nên cũng đồng biến trên R 
Ta có f(-1) = -1(e-1) = 
e
1− . Do đó(1)⇔ f(x)> f(-1) 
 ⇔ x>-1 
1.5.Sai lầm khi tính tích phân 
Ví dụ12. 
 CMR: F(x) = - (1+x)e-x là một nguyên hàm của hàm số f(x) = xe-x? 
Từ đó hãy tìm nguyên hàm của hàm số g(x) = (x-1)e-x? 
Bạn A làm nh− sau: 
F’(x) = -e-x+(1+x)e-x = x.e-x = f(x)⇒F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x). 
Ta có: ∫ ∫ ∫ ∫ −−− −=−= dxedxexdxexdxxg xxx .)1()( 
 = [ ]cex x ++− −)1( - ⎣ ⎦ce x +− − 
 = -(1+x)e-x+e-x=-xe-x. 
Vậy bài toán sai ở đâu? Nguyên nhân và cách khắc phục? 
GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà 3 
 16
Phân tích:Sai lầm của lời giải trên t−ơng tự nh− sai lầm khi giải hệ ph−ơng trình l−ợng giác 
ở lớp 11: 
zk
y
kx
kyx
kyx
yx
yx ∈
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=
+=
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=−
=+
⇔⎩⎨
⎧
=−
=+
4
4
2
0)cos(
0)sin(
π
ππ
ππ
π
ở hệ trên, chỉ vì viết chung ký hiệu k với k∈z cho hai ph−ơng trình nên khi trừ từng vế hai 
ph−ơng trình đã làm triệt tiêu số hạng kπ và dẫn tới mất nghiệm của hệ. 
Đối với việc lấy nguyên hàm cũng vậy, các em hay viết hằng số C cho mọi phép tính 
nguyên hàm nên dẫn tới sai lầm. Ta cần sửa lại đoạn cuối ở lời giải trên. 
Lời giải đúng: ∫ ∫ ∫ ∫ −−− −=−= dxedxexdxexdxxg xxx .)1()( 
 = [ ]1)1(1 Cex x ++− − - [ ]2Ce x +− − 
 =-1(1+x)e-x+C1- C2= -xe
-x+C (với C = C1 - C2 ) 
Ví dụ13: 
 Tính tích phân I= ∫ −
2
0 1x
dx 
Bạn B làm nh− sau: 
Theo công thức Newton- Leibnitz: 
Ta có I = 011
0
2
1
1
)1(
1
2
0
2
0
=−−=−=−
−=− ∫∫ LnLnxLnxxdxdx 
Vậy bài toán sai ở đâu? nguyên nhân và cách khắc phục? 
Phân tích: 
Hàm số f(x) = 
1
1
−x gián đoạn tại x=1 [ ]2;0∈ nên không sử dụng đ−ợc công thứcNewton- 
Leibnitz để tính tích phân nh− trên đ−ợc. Vì trên đoạn [ ]2;0 hàm số f(x)=
1
1
−x không liên tục 
không tồn tại tích phân I = ∫ −
2
0 1x
dx 
Ví dụ14: 
Tính tích phân I = ∫
−
+
0
2
2)1( dxx
Bạn C làm nh− sau: 
Đặt u = (x+1) 2
u
du
x
dudxdxxdu
2)1(2
)1(2 =+=⇒+=⇒ 
Với x=-2 thì u = -1. 
Với x= 0 thì u=1. Do đó I = ∫∫ ∫ ==+
−
1
1
0
2
1
1
2
2
1
2
)1( u
u
ududxx du=0 
Vậy bài toán sai ở đâu? Nguyên nhân và cách khắc phục? 
Phân tích : Nhận thấy rằng u =(x+1)2 không phải là hàm số đơn điệu trên đoạn [ ]0;2− nên 
không thể đổi biến, đổi cận nh− lời giải trên đ−ợc . 
GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà 3 
 17
Hơn nữa lời giải trên còn sai lầm khi viết dx =
u
du
x
du
2)1(2
=+ . 
Nh− vậy đã từ u = (x+1)2 suy ra x+1= u ,điều này chỉ viết đ−ợc khi x 1−≥
Lời giải đúng: 
Cách 1: Ta có I=
3
2
3
1
3
1
2
0
3
)1()1()1()1(
0
2
0
2
3
22 =+=−
+=++==+∫ ∫
− −
xxdxIdxx 
Cách 2:Ta có I= ∫ ∫ ∫
−
−
− −
+++=+
0
2
1
2
0
1
222 )1()1()1( dxxdxxdxx
Xét I1= đặt u= (x+1)∫−
−
+
1
2
2 ,)1( dxx 2
.)1(2 dxxdu +=⇒ Do x nên x+1[ 1;2 −−∈ ] 0≤ 
Vậy x+1 = -
u
dudxu
2−=⇒ . Khi x=-2 thì u = -1; Khi x=-1 thì u= 0. 
Do đó I1= 3
1
0
1
322
)1(
1
0
1
2
0
1
2 ===−=+ ∫∫ ∫−
−
uuduu
u
ududxx 
Xét I2= T−ơng tự nh− trên ta có I∫
−
+
1
1
2 .)1( dxx 2= 3
1 
Vậy I=I1+I2= 3
2 
Ví dụ15: 
Xét tích phân I = ∫
−
−
0
2
2 2coscos
π
xdxx 
Bạn D làm nh− sau: 
Hiển nhiên, ta có: xx 2coscos2 − 0≥ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−∈∀ 0;
2
πx do đó I 0≥
Mặt khác I= ∫
−
−
0
2
2 2coscos
π
xx dx= ∫
−
−−
0
2
22 )1cos2(cos
π
xx dx 
 = ∫
−
−
0
2
2cos1
π
x dx = 1
2
0
cossin
0
2
−=−−=∫
−π
πxxdx 
 Vậy -1 (!) 0≥
Vậy bài toán sai ở đâu? Nguyên nhân và cách khắc phục? 
Phân tích: Lời giải sai lầm khi biến đổi biểu thức x2cos1− =sinx. 
AA =2Nhớ rằng: 
Lời giải đúng: 
Ta có :I= ∫
−
−
0
2
2 2coscos
π
xx dx= ∫
−
−−
0
2
22 )1cos2(cos
π
xx dx 
GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà 3 
 18
 = ∫
−
−
0
2
2cos1
π
x dx= 1
2
0
cossinsin
0
2
0
2
=−== ∫∫
−− ππ
πxxdxdxx 
Chú ý: các bài toán t−ơng tự: 
 2. ∫
−
−
2
2
2sin1
π
π
x dx 3. ∫ +π
0
2cos1 x dx ∫ +π2
0
sin1 xdx 1. 
Ví dụ16 : 
Xét tích phân I = ∫ gxdxcot
Khi tính tích phân I = . Một học sinh làm nh− sau: ∫ gxdxcot
Ta có : I = dx
x
xgxdx∫ ∫= 2sincoscot , áp dụng ph−ơng pháp tìm nguyên hàm từng phần bằng 
cách đặt 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
−=⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
xv
dx
x
xdu
xdxdv
x
u
sin
sin
cos
cos
sin
1
2 ta đ−ợc: 
I= )(!101.
sin
cos1
sin
cos.sinsin
sin
1
2 =⇒+=+=+ ∫∫ IHayIdxxxdxx xxxx 
Vậy bài toán sai ở đâu? Nguyên nhân và cách khắc phục? 
Phân tích lời giải trên là sai. Vì các nguyên hàm của một hàm số khác nhau một hằng số, 
nên khi áp dụng ph−ơng pháp tìm nguyên hàm từng phần mà không chú ý đến hằn số thì 
số đó sẽ dẫn tới điều vô lý 0=1(!) 
Chú ý: T−ơng tự sai lầm ở trên các em cũng dẫn tới điều vô lý “Mọi số tự nhiên đều bằng 
nhau” 
Giả sử: F(x) là một nguyên hàm của f(x).Ta có I= ∫ += CxFdxxf )()( 
Trong đó C là hằng số tuỳ ý, lần l−ợt cho C bằng các số tự nhiên tuỳ ý m, n ta đ−ợc: 
I =F(x)+ m =F(x)+ n⇒m = n(!) 
Vậy mọi số tự nhiên đều bằng sao? 
Ví dụ17: 
Tính tích phân I = ∫ +
π
0 sin1 x
dx 
Ta làm nh− sau: Đặt t = tg
2
x thì dx= 21
2
t
dt
+ 
Do đó I = Cxtg
C
t
tdt
t
dt
x
dx +
+
−=++
−=++=+=+ ∫∫∫ −
2
1
2
1
1.2)1()1(2
)1(
2
sin1
2
2 
Theo công thức Newton- Leibnitz, ta có: I =
01
2
2
1
2
0
2
1
2
sin10 tgtgxtgx
dx
+++
−=
+
−=+∫ π
ππ
Vì tg
2
π không xác định nên tích phân