Chuyên đề Phát triển tư duy toán học cho học sinh lớp 8 từ định lý ta lét đến chứng minh các đường thẳng đồng quy nhằm phát hiện và bồi dưỡng hs khá, giỏi

chuyên đề
phát triển tư duy toán học cho học sinh lớp 8
từ định lý ta lét đến chứng minh các đường thẳng đồng quy nhằm phát hiện và bồi dưỡng hs khá, giỏi

a/ Đặt vấn đề :

Bước vào thế kỷ XXI, cuộc cách mạng khoa học công nghệ tiếp tục phát triển với bước tiến nhảy vọt, trở thành động lực đầu tầu cho sự phát triển kinh tế – xã hội, đưa xã hội loài người bước sang thời đại văn minh mới mà nền tảng của nó là văn minh tri thức .
Việt Nam là nước thuộc khu vực Châu á - Thái bình dương là khu vực phát triển năng động, có tốc độ tăng trưởng kinh tế cao và ổn định. Điều đó đặt đật nước ta đứng trước cơ hội và thách thức mới trong xu thế quốc tế hoá toàn cầu , cạnh tranh , hội nhập hoá kinh tế quốc tế mà cốt lõi là trí tuệ loài người – nền văn minh trí tuệ, đồng thời cũng tác động mạnh mẽ đến nền kinh tế xã hội nước ta .
Ngày nay sức mạnh của một quốc gia không chỉ đo bằng giá trị thặng dư, bằng nguồn ngoại tệ và những toà nhà cao trọc trời, sức mạnh tiềm lực ấy được đo bằng tri thức, bằng nội lực chất xám thể hiện qua mặt bằng giáo dục , trình độ dân trí . Do đó Đảng ta đã nhận định :” Cùng với khoa học và công nghệ cần phải đưa giáo dục thành quốc sách hàng đầu trong công cuộc phát triển đất nước . Giáo dục phải trở thành chiến lược phát triển quốc gia ,nâng cao dân trí ,đào tạo nhân lực,bồi dưỡng nhân tài cho đất nước .Giáo dục phải đào tạo những con người có trình độ cao về tri thức , phát triển cao về trĩ tuệ, thích ứng nhanh với sự phát triển mạnh mẽ của xã hội”. Đảng cũng chỉ rõ giáo dục phải 
“ đưa nước ta ra khỏi tình trạng kém phát triển, nâng cao rõ rệt đời sống vật chất , tinh thần của nhân dân, tạo nền tảng đến năm 2010 nước ta cơ bản trở thành nước CNH-HĐH”
( trích văn kiện đại hội Đảng IX).
Sự nghiệp CNH-HĐH đất nước muốn thành công đòi hỏi người Việt Nam phải có năng lực mới ,có kiến thức, có thể chất ,tinh thần phong phú , Đạo đức trong sáng mới có khả năng tham gia góp sức vào công cuộc xây dựng nước nhà , mới là động lực của sự phát triển đáp ứng moi yêu cầu của xã hội cả về nhân cách và tài năng . Đó là nguồn nhân lực cần thiết giúp Việt Nam có thể đi tắt , đón đầu, rút ngắn khoảng cách lạc hậu so với các nước phát triển trong khu vực và triên thế giới. Giáo dục –Đào tạo phải được ưu tiên, phải đi trước đón đầu cho sự phát triển.

Vậy làm thế nào để người Việt Nam đáp ứng được nhu cầu của sự phát triển xã hội ? Tiếp thu trí thức, làm chủ trí thức trong thời đại bùng nổ thông tin. Điều đó đã đặt ra cho ngành giáo dục đào tạo nước ta nhiệm vụ mới – thay đổi phương pháp dạy học . 


Đây là việc làm cấp thiết hiện nay của ngành giáo dục và của xã hội được Đảng và nhà nước quan tâm và ban hành thành luật ở điều 24.2 – Luật giáo dục : Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực , tự giác chủ động sáng tạo của học sinh phù hợp với đặc điểm của từng môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn tác động đến tình cảm đem lại niềm vui hứng thú trong học tập cho học sinh .

 Hiện nay nước ta đã và đang tiến hành cuộc cách mạng trong giáo dục, nội dung, chương trình giảng dạy đã được đổi mới, chất lượng bước đầu đã được cải thiện theo phương châm : “ ... cơ bản , hiện đại mà hài hoà phù hợp với thực tiễn Việt Nam” 
[ Nghị định 02/2003 của chính phủ ] Điều đó đặt ra cho giáo dục nhiều vấn đề cần phải giải quyết , vấn đề về truyền thống – hiện đại ; vấn đề toàn cầu – quốc gia và cá thể . Để đáp ứng sự phát triển hiện nay Giáo dục Đào tạo nước ta phải đổi mới và hiện đại hoá không chỉ về phương pháp dạy học mà còn đổi mới cả về nội dung và phương tiện dạy học trên nền tri thức khoa học - công nghệ mới tiên tiến và hiện đại hoá với sự hỗ trợ của công nghệ thông tin , giáo dục phải tiếp thu bằng nhiều cách khác nhau và bằng chính thái độ chủ động , tích cực sáng tạo của người học .
Trong cuộc cách mạng về giáo dục , quan trọng hơn cả là sự đổi mới về phương pháp . Giáo dục được cải tiến theo xu hướng phát triển của phương pháp dạy học hiện đại : Chuyển từ dạy học lấy giáo viên làm trung tâm sang dạy học lấy học sinh làm trung tâm hợp lý hơn là đặt người học vào trung tâm của quá trình dạy học , coi học sinh là trung tâm của nhà trường . Giáo dục phải chuyển từ “ cung cấp kiến thức “ sang mục đích “ luyện cách tự mình tìm ra kiến thức” bằng con đường tự học , tự nghiên cứu , tự trau dồi nghề nghiệp (ba tự) trong sự cạnh tranh và ‘bùng nổ thông tin’ của thời đại , sự tư duy năng động sáng tạo nổi lên hàng đầu . Vì vậy, giáo dục phải đề cao việc rèn óc thông minh sáng tạo , giảm sự “nhồi nhét” ,”bắt trước”,”ghi nhớ” . giáo viên từ vị trí truyền thụ kiến thức chuyển sang vị trí người hướng dẫn học trò tự tìm lấy kiến thức , còn học trò từ vị trí thụ động tiếp thu kiến thức phải trở thành người chủ động tìm học , tự học tự nghiên cứu . Theo nhà giáo người Đức- Distetverg đã nói “ Người thầy tồi truyền đạt tâm lý , người thầy giỏi dạy cách tìm ra chân lý” . Khắc phục loại bỏ lối dạy học thụ động “ độc giảng” , “kinh viện” , ( thầy nói là chủ yếu, trò nghe và ghi chép). Dạy kiến thức phải phát huy lòng say mê ham thích học tập của người học . Xét cho cùng giáo dục là quá trình cung cấp kiến thức , hướng dẫn tìm kiến thức mới để làm cơ sở cho sự phát triển năng lực tư duy và hành động . 

 Đổi mới phương pháp dạy học nói chung phải phát huy tính tích cực trong dạy học , tích cực hoá hoạt động của người học . Quá trình giáo dục là một quá trình nhận biết- thuyết phục- vận dụng để tiếp thu những kiến thức mới từ chưa biết, chưa biết sâu sắc đến biết, biết sâu sắc và vận dụng vào thực tiễn ,”phải biết kết hợp giữa học đi đôi với hành , học hành phải kết hợp với nhau ; học và hành ở mọi lúc mọi nơi” , lý thuyết phải gắn với thực tế . Người giáo viên phải thực hiện chủ trương đưa hơi thở của cuộc sống vào bài giảng , phải cập nhật “ thông tin” thường xuyên, liên 

tục đổi mới nội dung , phương pháp phù hợp với sự phát triển , những biến đổi to lớn của thời đại .
Mỗi giáo viên cần phải tự xây dựng cho mình một phong cách dạy học thích hợp với nội dung bài học không thể dạy học theo kiểu “ dạy chay”,và biến thầy giáo thành 
“ thợ dạy” nhất là trong dạy học các môn khoa học ứng dụng các phương pháp dạy học tích cực hoá người học để nâng cao chất lượng dạy và học. 
Hơn nữa ,toán học ở trường trung học cơ sở là môn khoa học có vị trí quan trọng trong hệ thống giáo dục đào tạo góp phần trang bị cho thế hệ trẻ - đội ngũ những người lao động trong tương lai những kiến thức toán học phổ thông cơ bản , hiện đại gần gũi với đời sống làm cơ sở cho việc tiếp thu những kiến thức về khoa học công nghệ hiện đại tiên tiến trên thế giới .

 Với mong muốn góp phần nhỏ bé vào việc đổi mới phương pháp dạy học nói chung và dạy môn toán nói riêng , nhằm nâng cao chất lượng dạy và học môn toán học , đào tạo những con người yêu lao động có vốn kiến thức hiểu biết sâu sắc về hững thành tựu khoa học mới nhất ,tiên tiến nhất trên thế giới hoà nhập với quốc tế trong xu hướng hiện nay .
Từ lý do trên, tôi đã mạnh dạn tiến hành nghiên cứu chuyên đề “Phát triển tư duy toán học cho học sinh lớp 8 : Từ định lý Ta lét đến chứng minh các đường thẳng đồng quy”

B/ cơ sở khoa học :
Cơ sở lý luận:
 - Quy luật của quá trình nhận thức từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng .Song quá trình nhận thức đó đạt hiệu quả cao hay không , có bền vững hay không còn phụ thuộc vào tính tích cực,chủ động sáng tạo của chủ thể . 
 - Đặc điểm của lứa tuổi thiếu niên là đang có xu hướng vươn lên làm người lớn , muốn tự mình tìm hiểu , khám phá trong quá trình nhận thức . ở lứa tuổi học sinh trung học cơ sở có điều kiện thuận lợi cho khả năng tự điều chỉnh hoạt động học tập và tự sẵn sàng tham gia vào các hoạt động khác nhau . Các em có nguyện vọng muốn có các hình thức học tập mang tính chất “ Người lớn ” tuy nhiên nhược điểm của các em là chưa biết cách thực hiện nguyện vọng của mình , chưa nắm được các phương thức thực hiện các hình thức học tập mới .
 Vì vậy cần có sự hướng dẫn , điều hành một cách khoa học và nghệ thuật của các thầy cô .
Trong lý luận về phương pháp dạy học cho thấy . Trong môn toán sự thống nhất giữa điều khiển của thầy và hoạt động học tập của trò có thể thực hiện được bằng cách quán triệt quan điểm hoạt động , thực hiện dạy học toán trong và bằng hoạt động . Dạy học theo phương pháp mới phải làm cho học sinh chủ động nghĩ nhiều hơn , làm nhiều hơn , tham gia nhiều hơn trong quá trình chiếm lĩnh tri thức toán học .


Dạy học toán thông qua kiến thức phải dạy cho học sinh phương pháp tư duy quan điểm này cho rằng dạy toán là phải dạy suy nghĩ , dạy bộ óc của học sinh thành thạo các thao tác tư duy phân tích , tổng hợp , trừu tượng hoá , khái quát hoá .. . . . Trong đó phân tích tổng hợp có vai trò trung tâm . Phải cung cấp cho học sinh có thể tự tìm tòi , tự mình phát hiện và phát biểu vấn đề dự đoán được các kết quả , tìm được hướng giải quyết một bài toán ,hướng chứng minh một định lý . . . . .
 
- Hình thành và phát triển tư duy tích cực độc lập sáng tạo trong dạy học toán cho học sinh là một quá trình lâu dài , thông qua từng tiết học , thông qua nhiều năm học , thông qua tất cả các khâu của quá trình dạy học trong nội khoá cũng như ngoại khoá 

Cơ sở thực tiễn :
 
- Hiện nay trong nhà trường phổ thông nói chung còn nhiều học sinh lười học , lười tư duy trong quá trình học tập .
 - Học sinh chưa nắm được phương pháp học tập , chưa có những hoạt động đích thực của bản thân để chiếm lĩnh kiến thức một cách chủ động trong những năm qua các trường trung học cơ sở dã có những chuyển đổi tích cực trong việc đổi mới phương pháp giảng dạy trên cơ sở thay sách giáo khoa từ khối 6 đến khối 9 . Học sinh cũng đã chủ động nghiên cứu tìm tòi khám phá kiến thức xong mới chỉ dừng lại những bài tập cơ bản đơn giản ở sách giáo khoa .
 Định lý Talét là một phần kiến thức khó đối với các em , đặc biệt là khi vận dụng vào giải quyết các bài tập .
Việc vận dụng ngay những lý thuyết đã được học trong sách giáo khoa vào giải bài tập còn khó khăn làm sao các em có khả năng sáng tạo khi vận dụng vào các bài tập có nội dung mở rộng , nâng cao .
Ví dụ : Giải bài tập sau “ Chứng minh rằng nếu hai cạnh bên của một hình thang cắt nhau thì đường thẳng đi qua giao điểm đó và giao điểm hai đường chéo sẽ đi qua trung điểm của các đáy của hình thang” 
+ Khi chưa thực hiện chuyên đề này, tôi cho học sinh làm thì thấy kết quả như sau :
Lúc đầu 100% số học sinh trong lớp không xác định được dùng kiến thức gì để chứng minh . Do đó các em không giải được . Sau đó tôi gợi ý rằng “ Bài toán đề cập đến hình thang mà không phải là tứ giác lồi bất kì thì chúng ta có được gợi ý gì ?” lúc này đã có khoảng 20% học sinh nghĩ đến việc dùng định lý Talét ( vì hình thang có 2 cạnh đáy song song ) . Nhưng các em cũng không thể giải được , bởi vì để giải được bài tập này không phải dùng trực tiếp định lý Talét hay hệ quả của định lý Talét mà gián tiếp thông qua tính chất của chùm đường thẳng đồng quy .
+ Sau đó tôi nghiên cứu, hướng dẫn học sinh theo chuyên đề này thì 80% số học sinh trong lớp đã xác định được ngay hướng chứng minh bài toán và có khoảng 60%- 70% học sinh chứng minh được . Ngoài ra các em còn có khả năng áp dụng chùm 

đường thẳng đồng quy vào giải một số bài tập khó hơn , phức tạp hơn . Đặc biệt các em còn biết áp dụng vào giải những bài tập như chứng minh đường thẳng vuông góc,các điểm thẳng hàng, tia phân giác, diện tích, đặc biệt là các đường thẳng đồng quy ... Sau đây là phần trình bày nội dung và các bước tiến hành chuyên đề của tôi :
C/ Giải quyết vấn đề :
I-Bước thứ nhất : Tìm hiểu nội dung kiến thức trong sách giáo khoa và phát hiện ra kiến thức mới tiềm ẩn trong kiến thức của sách giáo khoa mà các em đã biết :
1. Nội dung kiến thức trong sách giáo khoa đã chứng minh được là :
a/ Định lý Talét :
Định lý thuận : Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ.
Định lý đảo : Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳg tương ứng tỷ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác .



 




b/ Hệ quả của định lý Talét : Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho .


 






 



2. Tìm hiểu thấy rằng : 

Từ định lý Talét , đã chứng minh được hệ quả , vậy thì một vấn đề đặt ra là : Từ đỉnh A của tam giác ABC ở trên ta kẻ thêm một số đường thẳng cùng cắt đường thẳng a và đường thẳng BC thì có những điều gì xảy ra . Chẳng hạn từ A ta vẽ thêm AD ,Dđường thẳng BC và AD cắt đường thẳng a tại D’ 




Ta có thể suy ra 
vì cùng bằng 

Ngược lại : Nếu có thì ba đường thẳng BB’ , CC’ , DD’ đồng quy tại một điểm A hay không? 
Nếu C là trung điểm của BD thì C’ có là trung điểm của B’C’ hay không ? 

Từ những suy nghĩ đó tôi thấy có thể giúp học sinh giải được những bài tập về đường thẳng đồng quy , các điểm thẳng hàng ...

Nhưng vấn đề quan trọng là ở chỗ phải sắp xếp hệ thống bài tập sao cho học sinh có thể tích cực ,độc lập suy nghĩ , tự xây dựng, tự khái quát hoá, tổng hợp kiến thức cần thiết cho việc giải bài tập có nội dung nói trên .
Sau đây là hệ thống các câu hỏi , bài tập cơ bản dẫn dắt học sinh .

II. Bước thứ hai : 

Xây dựng hệ thống bài tập , giúp cho học sinh tư duy phân tích tổng hợp, khái quát hoá kiến thức mới , từ đó làm cơ sở cho việc vận dụng khi giải bài tập .
 Bài số 1: Cho ba tia 0a, 0b, 0c cắt hai đường thẳng song song m, m’ lần lượt tại A, A’ 0a ; B, B’ 0b ; C, C’ 0c . 


Chứng minh rằng :
 






Chứng minh
 
 - xét tam giác 0AB ta có ( Hệ quả của định lý Talét)
xét tam giác 0BC ta có (Hệ quả của định lý Talét)
 từ đó suy ra : (đpcm) 
Bài số 2 : Vấn đề đặt ra là :

 Bài toán trên còn đúng không nếu có bốn tia 0a, 0b, 0c, 0d cát hai đường thẳng song song m và m’ ? Hãy phát biểu và chứng minh bài toán .
Đến đây học sinh đã có thể dựa vào bài toán 1 để trả lời ; “ cho bốn tia 0a, 0b, 0c, 0d cắt hai đường thẳng song song m và m’ tại các điểm theo thứ tự tại A, A’ 0a ; B, B’ 0b ; C, C’ 0c ; D,D’0d .
Chứng minh rằng : 








Chứng minh :

 
 Tacó ( như bài số 1)


 ( chứng minh tương tự bài 1)


từ đó suy ra (đpcm) 

Đến đây đặt câu hỏi ? Hãy phát biểu khái quát bài toán trên thành một tính chất ?

Hs trả lời : “ Nếu các đường thẳng đồng quy tại một điểm và cắt hai đường thẳng song song thì chúng định ra trên hai đường thẳng song song ấy các đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ” 

Gv giới thiệu với học sinh tính chất trên chính là tính chất của ba đường thẳng đồng quy . Sau đó giáo viên cho học sinh lập mệnh đề đảo và chứng minh ( phát biểu thành bài toán đảo của bài toán trên ) chính là nội dung của bài toán 3 sau đây :

Bài số 3 : Cho ba đường thẳng a, b, c cắt hai đường thẳng song song m, m’ lần lượt tại A, A’ a ; B, B’ b ; C, C’ c sao cho 
 Chứng minh rằng các đường thẳng a,b,c đồng quy tại một điểm 



Chứng minh :
Giả sử hai đường thẳng a, b cắt nhau tại 0
ta cần chứng minh đường thẳng c đi qua 0
Gọi giao điểm của đường thẳng 0C với m’
là C” . Khi đó , theo định lý thuận ,ta có :
 Mặt khác theo GT
Từ đó suy ra A’C”=A’C’ và B’C’=B’C” Vậy c đi qua 0 hay a, b, c đồng quy tại 0
Đến đây Gv cho học sinh phát biểu khái quát bài toán trên 
Hs “ Nếu ba đường thẳng cắt hai đường thẳng song song và định ra trên hai đường thẳng đó những đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ thì ba đường thẳng đó đồng quy” 
Như vậy học sinh đã được phát triển tư duy độc lập, khái quát lên hai nội dung kiến thức cần thiết cho việc chứng minh một số bài tập có liên quan đến định lý Talét. Đến đây Gv cho học sinh làm bài tập vận dụng những điều vừa chứng minh được vào giải quyết bài tập .

Bài số 4 : Chứng minh rằng hai đường thẳng chứa hai cạnh bên và đường thẳng nối trung điểm của hai đáy của một hình thang đồng quy .

 
 Chứng minh :
Vì M là trung điểm của AB nên :
 MA = MB
Vì N là trung điểm của CD nên :
 NC = ND
từ đó suy ra : 
Theo kết quả bài 3 ta được AD,BC,MN đồng quy 
đến đây Gv cho học sinh tiếp tục làm bài tập sau đây.

Bài số 5 : Chứng minh rằng :Trong hình thang giao điểm hai cạnh bên ,giao điểm hai đường chéo và trung điểm của hai đáy thẳng hàng .

Giải:
Gọi giao điểm của AD và BC là 0 ; giao điểm của AC và BD là I . Gọi M là trung điểm của AB, N là trung điểm của CD. 
Ta có : 0,M,N thẳng hàng (áp dụng bài 4)
Ta có I,M,N thẳng hàng (tương tự bài 4)
Suy ra : 0 ,M,N,I thẳng hàng (đpcm)

Đây là bài toán sau khi đã làm được bài 4 học sinh làm được một cách dễ dàng mà không cần phải gợi ý thêm gì cả .Sau đó tôi cho học sinh làm bài toán mà tôi đã đặt vấn đề ở trên :
 
Bài số 6 :
a/ Chứng minh rằng nếu hai cạnh bên của một hình thang cắt nhau thì đường thẳng đi qua giao điểm đó và giao điểm hai đường chéo sẽ đi qua trung điểm của các đáy của hình thang .
b/ Hãy nêu ra cách dùng chỉ một cái thước ( không dùng com pa) để dựng trung điểm của đoạn thẳng AB cho trước khi cho một đường thẳng d song song với AB và dựng qua điểm M cho trước một đường thẳng song song với đoạn thẳng AB cho trước mà đã biết trung điểm I của AB
Lời giải:
a/ Giả sử hình thang ABCD có hai cạnh bên AD,BC
Cắt nhau tại E và hai đường chéo AC,BD cắt nhau tại F . Gọi giao điểm của EF với AB ,CD
theo thứ tự là M,N . Với hai đường thẳng song song AB,CD và ba đường thẳng đồng quy ED,
EN,EC ta có , do đó
 (1) . Với hai đường thẳng song song AB,CD và ba đường thẳng đồng quy AC,MN,BD ta có , do đó (2) Từ (1) và (2) suy ra do đó DN=NC nên N là trung điểm của CD . Từ DN=Nc và (2) suy ra AM=MB nên M là trung điểm của AB .
b/ Nếu có đường thẳng d song song ví đoạn thẳng AB thì ta lần lượt nối A,B với cùng một điểm E nào đó ở ngoài D và khác phía đối với A .Gọi giao điểm của d với EA,EB theo thứ tự là C,D .Nối AD,BC và gọi giao điểm của hai đường thẳng đó là F. Nối F với E thì theo chứng minh ở phần a giao điểm 

của EF với AB là trung điểm M của đoạn thẳng AB 
Nếu điểm M nằm trên đường thẳng AB 
thì không thể có đường thẳng song song 
với AB và đi qua M. Nếu điểm M không nằm trên đường thẳng AB thì ta chọn một điểm 0 tuỳ ý 
trên đường thẳng AM (không trùng với A,M)
gọi K là giao điểm của 0I và MB ,gọi N là giao điểm của
 AK và 0B .Khi đó MN // AB . Thật vậy giả sử đường thẳng
 song song với AB sẽ qua M cắt 0B tại N’và hai đường thẳng 
MB, AN’ cắt nhau tại K’ . khi đó , theo chứng 
minh ở phần a đường thẳng 0K’phải đi qua
 trung điểm I của AB. Do đó K’ trùng với K và vì vậy
 N’ trùng với N nên MN//AB.
Đến đây giáo viên đặt câu hỏi : Hãy phát biểu khái quát 
phần a của bài toán trên :
“ Nếu ba đường thẳng đồng quy cắt hai đường thẳng song song , tạo ra trên đường thẳng thứ nhất hai đoạn thẳng bằng nhau thì cũng tạo ra trên đường thẳng thứ hai hai đoạn thẳng bằng nhau” .
Làm xong bài tập trên học sinh đã nắm chắc về tính chất của ba đường thẳng đồng quy .Tôi tiếp tục cho học sinh làm một số bài tập vận dụng có yêu cầu cao hơn , phức tạp hơn trong đó có sử dụng đến tính chất của ba đường thẳng đồng quy mà các em đã được chứng minh ở trên . 

III. Bước thứ ba : Xây dựng hệ thống bài tập vận dụng
Với mục tiêu giúp học sinh hiểu sâu hơn về định lý Talét và áp dụng tính chất của ba đường thẳng đồng quy , phần bài tâp vận dụng tôi chỉ xin đưa ra những ý chính của việc chứng minh :

Bài số 7 : Cho tam giác nhọn ABC ,các đường cao AD,BE,CF. Gọi I,K,M,N theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ D đến BA, BE, CF, CA. Chứng minh rằng bốn điểm I,K,M,N thẳng hàng .
 
Giải :
Gọi H là giao điểm của AD, BE, CF
ta có (1)
Tương tự MN//FE (2)
Ta lại có (3)
Từ (1),(2) và (3) suy ra I,K,M,N thẳng hàng 




Bài số 8 : Cho hình thang ABCD(AB//CD; AB,CD). Đường thẳng qua A song song với BC cắt BD tại E, đường thẳng qua B song song với AD cắt CD tại H, đường thẳng qua H song song với BD cắt BC tại I. Chứng minh rằng
a/ EI//AB b/ Ba đường thẳng EI,BH,ACđồng quy 


Giải :
Gọi F là giao điểm của BH và AC ,G là giao điểm của AE và CD 
a/ Vì HI // BD ==> (1)
Vì DG // AB ==> (2)
các tứ giác ABHD, ABCG là hình bình hành nên DH = AB = GC suy ra DG = HC thay vào (1) ==> (3) Từ (2) và (3) ==> 
từ đó suy ra EI // DC hay EI // AB (4)
b/ Từ (2) và (3) ta có 
lại có HC // AB ==> do đó suy ra FI // AB hay FI // CD (5)
từ (4) và (5) ==> EI, BH, AC đồng quy 

Bài số 9 : Cho M,N,P lần lượt nằm trên ba cạnh AB,BC,CA( hoặc trên các đường thẳng chứa các cạnh) của tam giác ABC. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để M,N,P thẳng hàng là ( định lý Mêlênaúyt)
Giải :

Điều kiện cần : Giả sử M,N,P thẳng hàng 
Từ A kẻ AQ // BC cắt MN ở Q ta có :
Từ MBN ==> 
Từ PNC ==> 
Nhân từng vế hai đẳng thức trên ta được nhân 2 vế với 
ta có 
Điều kiện đủ :
Cho ba điểm M,N,P trên ba cạnh tam giác thoả mãn điều kiện 



 
Nối MP kéo dài cắt BC ở N’, theo (cmt) thì 

Từ đó suy ra Vì N’ và N cùng ở trong đoạn BC nên N’ N, tức là M,P,N thẳng hàng .
Bài số 10 : Trên hai cạnh AB, AD của hình bình hành ABCD, Lấy hai điểm tương ứng M,N . Gọi P là điểm sao cho AMPN là hình bình hành và Q là giao điểm của BN với MD. Chứng minh rằng ba điểm C,P,Q thẳng hàng .
Giải : 
Vì ba điểm N,Q,B thẳng hàng nên theo bài 3 ta có Gọi K là giao điểm của CD với đường thẳng MP . Khi đó BCKM , NDKP là các hình bình hành nên và
 Do đó 
Vì C,P,Q nằm trên các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác MDK theo bài toán 9 và đẳng thức trên suy ra C,P,Q thẳng hàng .
Bài số 11: Cho ba điểm P,Q,R theo thứ tự ở trên các cạnh BC,CA,AB ( hay các đường thẳng chứa các cạnh ) của tam giác ABC nhưng không trùng đỉnh nào của tam giác đó . Điều kiện cần và đủ để ba đường thẳng AP,BQ,CR đồng quy là (định lý Céva)
Giải:
Giả sử ba đường thẳng AP,BQ,CR đồng quy tại I
theo bài số 9 vào tam giác ABP và đường thẳng RIC
ta có , áp dụng định lý đó vào tam giác ACP và đường thẳng BIQ, ta có 

Nhân các vế tương ứng của hai đẳng thức đó với nhau, ta được 
 Từ đó suy ra 
Ngược lai, giả sử ba đường thẳng AP,BQ,CR thoả mãn điều kiện 

Khi đó, hai trường hợp có thể xảy ra .
Trường hợp hai trong ba đường thẳng AP,BQ,CR cắt nhau ; chẳng hạn AP cắt BQ tại I .Khi đó CI phải cắt AB tại điểm R’ nào đó . Theo kết quả (cmt) ta có từ hai đẳng thức trên suy ra nên R’ trùng với R .Do đó ba đường thẳng AP,BQ,CR đồng quy .
Trường hợp còn lại là trường hợp ba đường thẳng AP,BQ,CR song song với nhau ,trường hợp này không thể xảy ra.
Bài số 12: Chứng minh rằng các đường thẳng đi qua đỉnh của tam giác và tiếp điểm của cạnh đối diện với đường tròn nội tiếp thì đồng quy .
Giải : Gọi P,Q,R theo thứ tự là tiếp điểm của BC,CA,AB với đường tròn nội tiếp tam giác ABC . Khi đó PB = RB, PC = QC, QA = RA nên :
 do đó ba đường thẳng AP,BQ,CR đồng quy 

Bài số 13 : Cho tam giác ABC, một điểm D trên cạnh AB, một điểm E trên cạnh AC và trung điểm M của cạnh BC. Chứng minh rằng DE//BC khi và chỉ khi ba đường thẳng AM,BE,CD đồng quy .
Giải : 
Vì M là trung điểm của BC nên . Do đó 




. Vì vậy, ba đường thẳng AM,BE,CD đồng quy khi và chỉ khi hay 
tức là DE//BC 


Bài số 14 : Chứng minh rằng nếu ba tam giác đều ABD, BCE, CAFnằm phía ngoài tam giác ABC thì ba đường thẳng AE,BF,CD đồng quy .

Giải :
Gọi P là giao điểm của AE và BC, Q là giao điểm của BF và CA, R là giao điểm của CD và AB . Hai tam giác ABE và ACE có chung cạnh AE nên tỷ số diện tích của chúng bằng tỉ số các khoảng cách từ B và C đến cạnh chung AE. Theo định lý Talét trong tam giác, tỉ số khoảng cách đó bằng . Do đó . Tương tự, ta có . Do đó .
Vì ABE = DBC (c.g.c) , ACE = FCB (c.g.c) , FAB = CAD (c.g.c) 
nên theo định lý Céva , ba đường thẳng AE,BF,CD đồng quy .

d/ Kết quả :
Qua phần trình bày trên đây ,ta thấy ở nhiều bài tập khi chứng minh rất cần đến việc áp dụng tính chất của các đường thẳng đồng quy . Những kiến thức này giúp cho học sinh phát triển được tư duy và kĩ năng chứng minh hình . 
Do được trang bị những kiến thức về đường thẳng đồng quy nên việc chứng minh và trình bày ngắn gọn hơn và dễ hiểu hơn làm cho học sinh hứng thú trong học tập , giải các bài tập khó .Qua thử nghiệm tôi nhận thấy có một số kết quả rất phấn khởi như sau :
Khi chưa thực hiện chuyên đề này học sinh gặp nhiều khó khăn trong việc chứng minh loại bài tập này ,ngay bài tập số 4 tương đối dễ mà có tới 99% các em không giải được còn các bài tập từ bài số 6 đến bài số 14 các em hoàn toàn bế tắc .
Sau đó, tôi nghiên cứu sắp xếp hệ thống bài tập ,câu hỏi như đẫ trình bày ở trên và áp dụng dạy cho học sinh lớp 8 thì thấy rằng : Học sinh hiểu bài hơn, có hứng thú say mê với loại bài chứng minh ba đường thẳng đồng quy . Các em tự mình có thể giải quyết được các bài tập , đồng thời các em còn trình bày ngắn gọn hơn ,xúc tích hơn ngoài những bài tập tôi đưa ra ở trên còn nhiều bài nữa từ 70% đến 80% các em làm được 
Bước đầu xây dựng cho học sinh phong cách say sưa tìm tòi khám phá những điều mới, điều hay qua từng bài tập ,các em nắm chắc kiến thức cơ bản và kĩ năng giải toán của các em được nâng lên ở mức độ cao hơ