Chuyên đề Phép biến hình trong mặt phẳng

Các phép đã học lớp 11 
Đối xứng tâm, Đối xứng trục, Tịnh tiến, Quay,Vị tự
Loại toán dựng hình
	Các bước giải gồm (Phân tích; Cách dựng; Chứng minh; Biện luận)
A. Đối xứng tâm
	Bài toán 1: Cho đường tròn tròn (O); một điểm P và một đường thẳng d không có điểm chung với (O). Hãy dựng một hình bình hành có 2 đỉnh liên tiếp nằm trên d, hai đỉnh còn lại nằm trên (O) và nhận P là tâm của hình bình hành.
B. Đối xứng trục
	Bài toán 1: Cho đường thẳng d và 2 đường tròn (O) và (O') nằm về 2 phía so với d. Hãy dựng hình vuông ABCD sao cho đường chéo BD nằm trên d và đỉnh A nằm trên (O); đỉnh C nằm trên (O').
C. Tịnh tiến
	Bài toán 1: Cho 2 đường tròn (O),(O') và đường thẳng d. Hãy dựng đường thẳng a song song với d và đồng thời cắt 2 đường tròn thành 2 dây cung bằng nhau. 
D. Phép quay
	Bài toán 2: Cho 2 đường tròn đồng tâm . Hãy dựng một hình vuông sao cho 2 đỉnh liên tiếp của nó nằm trên một đường tròn và 2 đỉnh còn lại nằm trên đường tròn thứ hai. 
Loại toán tìm quỹ tích
A. Đối xứng tâm
	Bài toán 1: Cho tam giác ABC. Gọi A'; B'; C' lần lượt là trung điểm của các cạnh BC; CA; AB. Tìm tập hợp các điểm M nằm trong tam giác sao cho ảnh của M trong các phép đối xứng tâm A'; B'; C' nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
	Bài toán 2: Cho tam giác ABC và đường tròn (O). Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = 2AE, F là trung điểm cạnh AC và I là đỉnh thứ 4 của hình bình hành AEIF. Với mỗi điểm P trên đường tròn (O) ta dựng điểm Q sao cho . Tìm tập hợp điểm Q khi P thay đổi.
B. Đối xứng trục
	Bài toán 1: Cho hình vuông ABCD. Tìm tập hợp các đỉnh của một tứ giác lồi sao cho 4 đỉnh của hình vuông đã cho là trung điểm 4 cạnh tứ giác đó.
	Bài toán 2: Cho tam giác ABC cân tại A ( BC < AB ). Với mỗi điểm M trên cạnh BC ta dựng hình bình hành APMQ (P thuộc cạnh AB và Q thuộc cạnh AC). Tìm tập hợp ảnh của điểm M trong phép đối xứng qua đường thẳng PQ.
C. Tịnh tiến
	Bài toán 1: Cho đường tròn (O) hai điểm A, B cố định và đoạn thẳng CD không đổi. Với mỗi điểm M thuộc đường tròn (O) ta dựng điểm M1 đối xứng với M qua A, dựng điểm M2 là đỉnh của một hình bình hành M1CDM2, dựng điểm M3 đối xứng với M2 qua B. Tìm tập hợp điểm M3 khi M di động trên đường tròn.
	Bài toán2: Cho đường tròn (O), một đường thẳng d cố định và đoạn thẳng AB không đổi. Với mỗi điểm M bất kì thuộc (O) ta dựng điểm M1 đối xứng với M qua d và M2 là đỉnh của hình bình hành M1ABM2, dựng điểm M' là đỉnh của hình bình hành MABM'. Biết rằng M' đối xứng với điểm M2 qua d. Tìm tập hợp điểm M2 và M' khi M di động trên đường tròn. 
D. Phép quay
	Bài toán 1: Cho tam giác ABC đều. Tìm tập hợp điểm M nằm trong tam giác sao cho MA2 + MB2 = MC2.
	Bài toán 2: Cho đường tròn (O) và 2 điểm A, B di động trên đường tròn sao cho AB có độ dài không đổi. Gọi M là trung điểm AB. Ta dựng tam giác đều OMN. Tìm tập hợp điểm N.
E. Phép vị tự
	Bài toán 1: Cho đường tròn (O;R) và điểm A cố định thuộc đường tròn. Với mỗi điểm M nằm ngoài đường tròn (O;R) ta kẻ từ đó tới đường tròn (O;R) tiếp tuyến MT (T là tiếp điểm). Tìm tập hợp điểm M sao cho MT = kMA trong đó k là số dương cho trước. 
	Bài toán 2: Cho 2 đường tròn (O) và (O') tiếp xúc trong với nhau tại A
 ( đường tròn (O') nằm trong (O)). Dây cung BC của (O) tiếp xúc với đường tròn (O'). Tìm tập hợp tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC khi dây cung BC thay đổi.
Loại toán chứng minh tính chất hình học
	Bài toán 1: Cho đường tròn đơn vị và tập hợp n (n > 2) điểm A1; A2; . . . An. Chứng minh rằng luôn tồn tại điểm M trên đường tròn đơn vị sao cho .
	Bài toán 2: Cho tam giác ABC . Từ đỉnh A kẻ trung tuyến AM và phân giác trong AD. Phép đối xứng qua đường thẳng AD biến đường thẳng AM thành AK ( K thuộc BC ). Chứng minh rằng .
	Bài toán 3: Cho hình vuông ABCD nội tiếp trong đường tròn (O). Với mỗi điểm M trên đường tròn (O) ta dựng điểm N đối xứng với M qua AB, dựng điểm E đối xứng với N qua CD và điểm P đối xứng với E qua tâm O. Chứng minh rằng khi M chạy trên đường tròn (O) thì PM luôn đi qua một điểm cố định.
	Bài toán 4: Cho 2 đường thẳng d1 và d2 song song với nhau. Trên d1 ta lấy 2 điểm cố định A và B . Gọi M và M' là 2 điểm tùy ý nằm trên d1 và đối xứng với nhau qua A. Ta dựng đường tròn (O) đi qua 2 điểm B và M và tiếp xúc với d2 tại N; (O') là đường tròn đi qua 2 điểm B, M' và tiếp xúc với d2 tại N'. Gọi C là giao điểm thứ 2 của các đường tròn (O) và (O'). Chứng minh rằng khi các điểm M và M' thay đổi thì ta luôn có 
	a, Hai đường thẳng MN và M'N' cắt nhau tại một điểm cố định.
	b, Đường thẳng BC đi qua một điểm cố định.