Chuyên đề Phương pháp giải các dạng toán liên quan

 Phương pháp giải các dạng toán liên quan
Đ1. hàm số
Tìm tập xác định của hàm số
Phương pháp thực hiện
Ta lựa chọn một trong hai phương pháp sau:
Tìm tập D của x để f(x) có nghĩa, tức là tìm:
D = {x ẻ | f(x) ẻ }.
Tìm tập E của x để f(x) không có nghĩa, khi đó tập xác định của hàm số là D = \E.
F
 Chú ý: Thông thường f(x) cho bởi biểu thức đại số thì với:
f(x) = điều kiện là .
f(x) = (k ẻ ) điều kiện là .
Tìm tập xác định của các hàm số:
y = .	b. y = + .
? Giải
Hàm số xác định khi:
x2 + 2x - 3 ạ 0 Û . 
Vậy, tập xác định của hàm số là D = \{-3, 1}.
Hàm số xác định khi:
 Û Û Û 
Vậy, tập xác định của hàm số là D = [-1; 1]ẩ[2; +Ơ).
F
 Chú ý: Trong câu a), nếu các em học sinh biến đổi hàm số về dạng y = . rồi khẳng định hàm số xác định khi x + 3 ạ 0 Û x ạ -3 và do đó tập D = \{-3}. Đây là lời giải sai vì phép biến đổi hàm số không phải là phép biến đổi tương đương.
Tìm tập xác định của các hàm số:
y = . 	b. y = .
? Giải
Hàm số xác định khi:
 Û Û x < .
Vậy, tập xác định của hàm số là D = .
Hàm số xác định khi:
 Û Û . 
Vậy, ta được D = .
F
 Nhận xét: Như vậy, trong thí dụ trên:
ở câu a), miêu tả điều kiện có nghĩa của biểu thức trong dấu căn ở dạng đơn và ở mẫu số.
ở câu b), chúng ta gặp dạng hàm số hợp.
Tìm m để hàm số sau xác định trên đoạn [1; 3]:
y = .
? Giải
Hàm số nghĩa khi:
1 - ẵ2x2 + mx + m + 15ẵ ³ 0 Û ẵ2x2 + mx + m + 15ẵ Ê 1.	(1)
Bài toán được chuyển về việc tìm m để (1) nghiệm đúng với "x ẻ [1; 3]. 
Điều kiện cần: Bất phương trình nghiệm đúng với "xẻ[1; 3] 
ị Nghiệm đúng với x = 1, x = 2
Û ÛÛ Û m = -8.
Vậy, với m = -8 là điều kiện cần để (1) nghiệm đúng với "x ẻ [1; 3].
Điều kiện đủ: Với m = -8, ta có:
(1) Û ẵ2x2 - 8x + 7ẵ Ê 1 Û -1 Ê 2x2 - 8x + 7 Ê 1 
Û Û Û 1 Ê x Ê 3.
Vậy, với m = -8 thoả mãn điều kiện đầu bài. 
Xét sự biến thiên của hàm số
Phương pháp thực hiện
Ta lựa chọn một trong hai phương pháp sau:
Sử dụng định nghĩa.
Thực hiện theo các bước:
Lấy x1, x2ẻ(a, b) với x1 ạ x2 ta thiết lập tỉ số:
A = .
Khi đó:
Nếu A > 0 với mọi x1, x2ẻ(a, b) và x1 ạ x2 thì hàm số đồng biến trên (a, b).
Nếu A < 0 với mọi x1, x2ẻ(a, b) và x1 ạ x2 thì hàm số nghịch biến trên (a, b).
Khảo sát sự biến thiên của các hàm số:
y = f(x) = x + 3. 	b. y = f(x) = x2 + x + 1.
? Giải
Với x1, x2 ẻ và x1 ạ x2 ta có: 
A = = = 1 > 0 
Vậy, hàm số đồng biến.
Với x1, x2 ẻ và x1 ạ x2 ta có: 
A = = = x1 + x2 + 1. 
Khi đó:
Nếu x1, x2 > - thì A > 0 suy ra hàm số đồng biến trên (-; +Ơ).
Nếu x1, x2 < - thì A < 0 suy ra hàm số nghịch biến trên (-Ơ; -).
F
 Chú ý: 1. Với hàm số y = f(x) = ax + b, a ạ 0, thì:
Lấy x1, x2 ẻ và x1 ạ x2 ta có: 
A = = = a.
Khi đó:
Nếu a > 0 thì hàm số đồng biến trên .
Nếu a < 0 thì hàm số nghịch biến trên .
2. Với hàm số y = f(x) = ax2 + bx + c, a ạ 0, thì:
Lấy x1, x2 ẻ và x1 ạ x2 ta có: 
A = = 
= a(x1 + x2 + ).
Khi đó:
Với a > 0, ta có:
Nếu x1, x2 > - thì A > 0 nên hàm số đồng biến trên ( -; + Ơ).
Nếu x1, x2 < - thì A < 0 nên hàm số nghịch biến trên (-Ơ; -).
Với a < 0, ta có:
Nếu x1, x2 > - thì A < 0 nên hàm số nghịch biến trên (-; + Ơ).
Nếu x1, x2 0 nên hàm số đồng biến trên (-Ơ; - ).
Khảo sát sự biến thiên của các hàm số:
y = f(x) = x3 + 2x + 8.	b. y = f(x) = x3 + 3x2 + 7x + 1.
? Giải
Với x1, x2 ẻ và x1 ạ x2 ta có: 
A = = = 
= + x1x2 + 2 = (x1 + x2)2 + () + 2 > 0, "x.
Vậy, hàm số đồng biến trên .
Với x1, x2 ẻ và x1 ạ x2 ta có: 
	A = = 
 	 = = + x1x2 + 3x1 + 3x2 + 7
	 = (x1 + x2)2 + () + 3(x1 + x2) + 7
	 = [(x1 + x2)2 +6(x1 + x2) + 9] + () + 
	 = [(x1 + x2) + 3]2 + () + > 0, "x.
Vậy, hàm số đồng biến trên .
Khảo sát sự biến thiên của các hàm số:
y = f(x) = . 	b. y = f(x) = .
? Giải
Viết lại hàm số dưới dạng:
y = + .
Với x1, x2 ẻ \{} và x1 < x2 ta có: 
3x1 < 3x2 Û 3x1 - 1 < 3x2 - 1 Û 3(3x1 - 1) < 3(3x2 - 1) 
Û > Û + > + 
Û f(x1) > f(x2).
Vậy, hàm số luôn nghịch biến trên \{}.
Viết lại hàm số dưới dạng:
.
Với x1, x2 ẻ \{1} và ở về cùng một phía so với 1, ta có: 
 > 0
Vậy, hàm số luôn đồng biến trên \{1}.
Khảo sát sự biến thiên của các hàm số:
y = f(x) = . 	b. y = f(x) = .
? Giải
Với x1, x2 ẻ và x1 ạ x2 ta có: 
A==
==.
Khi đó:
Nếu x1, x2 > 0 thì A > 0 suy ra hàm số đồng biến trên (0; +Ơ).
Nếu x1, x2 < 0 thì A < 0 suy ra hàm số nghịch biến trên (-Ơ; 0).
Với x1, x2 ẻ và x1 ạ x2 ta có: 
A = = 
 = = .
Khi đó:
Nếu x1, x2 > -1 thì A > 0 suy ra hàm số đồng biến trên (-1; +Ơ).
Nếu x1, x2 < -1 thì A < 0 suy ra hàm số nghịch biến trên (-Ơ; -1).
Cho hàm số:
y = f(x) = .
Với a = 1, hãy khảo sát sự biến thiên của hàm số trên (2; +Ơ).
Tìm a để hàm số đồng biến trên (2; +Ơ).
? Giải
Với x1, x2 ẻ (2; +Ơ) và x1 ạ x2 ta có: 
A = = = -.
Với a = 1, suy ra:
A < 0 với mọi x1, x2ẻ(2; +Ơ) và x1 ạ x2.
Vậy, với a = 1 hàm số nghịch biến trên (2; +Ơ).
Để hàm số đồng biến trên (2; +Ơ) điều kiện là:
A > 0 với mọi x1, x2ẻ(2; +Ơ) và x1 ạ x2 Û -2a > 0 Û a < 0.
Vậy, với a < 0 thoả mãn điều kiện đầu bài. 
Xét tính chẵn, lẻ của hàm số
Phương pháp thực hiện
Ta thực hiện theo các bước sau:
Tìm tập xác định D của hàm số, khi đó:
Nếu D là tập đối xứng (tức là "xẻD ị -xẻD), ta thực hiện tiếp bước 2.
Nếu D không phải là tập đối xứng (tức là $xẻD mà -xẽD), ta kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ.
Xác định f(-x) , khi đó:
Nếu f(-x) = f(x) kết luận hàm số là hàm chẵn.
Nếu f(-x) = -f(x) kết luận hàm số là hàm lẻ.
Ngoài ra kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ.
Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
a. y = f(x) = .	b. y = f(x) = .	
c. y = f(x) = .	d. y = f(x) = |x|3(x2 - 1).
? Giải
Vì tập xác định D = \{1} không phải là tập đối xứng nên hàm số không chẵn, không lẻ.
Tập xác định D = \{±2} - là tập đối xứng.
Xét:
	f(–x) = = = f(x).
Vậy, hàm số chẵn.
Tập xác định D = \{0} - là tập đối xứng. Xét:
	f(–x) = = – = –f(x)
Vậy, hàm số lẻ.
Tập xác định D = - là tập đối xứng. Xét:
	f(–x) = |–x|3[(–x)2 - 1] = |x|3(x2 - 1) = f(x).
Vậy, hàm số chẵn.
Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
a. .	b. y = f(x) = - 
? Giải
Tập xác định D = [-1; 1] - là tập đối xứng. Xét:
	f(–x) = + = + = f(x).
Vậy, hàm số chẵn.
Hàm số xác định trên D = là tập đối xứng. Ta có:
f(-x) = - = - + = f(x).
Vậy, hàm số là chẵn.
Xác định m để hàm số y = f(x) = x3 + (m2 - 1)x2 + m - 1 là hàm lẻ.
? Giải
Hàm số xác định trên D = là tập đối xứng.
Khi đó, để hàm số là lẻ điều kiện là:
	f(–x) = –f(x), "m Û Û m = 1.
Vậy, với m = 1 thoả mãn điều kiện đề bài.
F
 Chú ý: Với hàm đa thức bậc n dạng: y = f(x) = thì:
Nếu các hệ số bậc lẻ bằng 0 thì hàm số là hàm chẵn.
Nếu các hệ số bậc chẵn bằng 0 thì hàm số là hàm lẻ.
Nếu tồn tại ít nhất một hệ số bậc chẵn và một hệ số bậc lẻ khác 0 thì hàm số không chẵn cũng không lẻ.
Cho hàm số y = f(x) = . Tuỳ theo m hãy xét tính chẵn, lẻ của hàm số.
? Giải
Ta xét các trường hợp:
Trường hợp 1: Với m = 0, ta được:
y = -.
Hàm số này xác định trên D = \{-1, 1} là tập đối xứng và có:
f(-x) = = = f(x),
do đó, nó là hàm chẵn.
Trường hợp 2: Với m = -1, ta được:
y = .
Hàm số này xác định trên D = \{1} là tập không đối xứng do đó hàm số không chẵn, không lẻ.
Trường hợp 3: Với m ạ 0 Ù m ạ -1.
Khi đó, hàm số g(x) = (m + 1)x2 + mx - 1 không chẵn cũng không lẻ do đó hàm số y = f(x) cũng không chẵn, không lẻ.
Kết luận:
Với m = 0, hàm số là chẵn.
Ngoài ra nó không chẵn, không lẻ.
Cho a, b ẻ , xác định tất cả các hàm số f(x) sao cho:
f(a - x) + f(x) = b, với "x ẻ .	(1)
? Giải
Đặt t = - x suy ra x = - t và a - x = + t. Khi đó:
(1) Û f( + t) + f( - t) = b, "t ẻ 
Û f( + t) - + f( - t) - = 0, "t ẻ .	(2)
Đặt g(t) = f( + t) - , suy ra g( - t) = f( - t) - . Khi đó:
(2) Û g(t) + g( - t) = 0, "tẻR Û g(-t) = - g(t), "t ẻ 
ị g(t) là hàm lẻ trên .
Vậy hàm số f(x) = g(x - ) + với g(x) là hàm lẻ tuỳ ý trên .
Sơ lược về phép tịnh tiến
Phương pháp thực hiện
Sử dụng kết quả: Trong mặt phẳng toạ độ, cho (G) là đồ thị của hàm số y = f(x), p và q là hai số tuỳ ý. Khi đó:
Đồ thị hàm số y = f(x) + q có được khi tịnh tiến (G)
Lên trên q đơn vị nếu q > 0.
Xuống dưới ẵqẵ đơn vị nếu q < 0.
Đồ thị hàm số y = f(x - p) có được khi tịnh tiến (G)
Sang phải p đơn vị nếu p > 0.
Sang trái ẵpẵ đơn vị nếu p < 0.
Cho (H): y = . Hỏi muốn có đồ thị hàm số y = thì phải tịnh tiến (H) như thế nào ?
? Giải
Ta có:
y = = - 3.
Vậy, muốn có đồ thị của hàm số này ta cần tịnh tiến (H) xuống dưới 3 đơn vị.
Hãy lựa chọn phép tịnh tiến song song với trục Oy để nhận được đồ thị hàm số y = từ đồ thị (H): y = 
? Giải
Ta có:
y = = = - 2. 
Vậy, muốn có đồ thị của hàm số này ta cần tịnh tiến (H) xuống dưới 2 đơn vị.
F
 Chú ý: Các em học sinh hẳn sẽ thắc mắc về lí do xác định được phép biểu diễn trên cho hàm số y = , để trả lời câu hỏi này thông thường chúng ta lựa chọn cách trình bày, giả sử: 
y = = f(x) + b 
Û = + b = .
Bằng việc đồng nhất hệ số, ta suy ra: 
Û b = -2.
Vậy, ta được: 
y = = f(x) - 2.
Do đó, đồ thị của hàm số được suy ra bằng phép tịnh tiến (H) theo Oy xuống dưới 2 đơn vị.
Trục đối xứng của đồ thị hàm số
Phương pháp thực hiện
Chứng minh rằng đồ thị hàm số y = f(x) nhận đường thẳng x = a làm trục đối xứng, ta thực hiện theo các bước sau:
Với phép biến đổi toạ độ 
 Û 
hàm số có dạng: 
Y = f(X + a) Û Y = F(X)	(1)
Nhận xét rằng hàm số (1) là hàm số chẵn.
Vậy, đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = a làm trục đối xứng.
Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số y = f(x) nhận đường thẳng x = a làm trục đối xứng, ta thực hiện theo các bước sau:
Với phép biến đổi toạ độ 
 Û 
hàm số có dạng: 
Y = f(X + a) Û Y = F(X)	(1)
Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = a làm trục đối xứng 
Û hàm số (1) là hàm số chẵn Û tham số .
Kết luận.
Tìm phương trình đường cong đối xứng với (C): y = f(x) qua đường thẳng y = a, ta thực hiện theo các bước sau:
Gọi (H) là đường cong đối xứng với (C): y = f(x) qua đường y = a. 
Khi đó, với mỗi M(x, y)ẻ(H) 
Û $M1(x1; y1)ẻ(C) sao cho M đối xứng với M1 qua đường thẳng y = a 
Û $ x1, y1 thoả mãn: 
	(I)
Khử x1, y1 từ hệ (I) ta được phương trình của đường cong (H).
Tìm trục đối xứng của đồ các thị hàm số:
y = x2 + 4x + 3.	b. y = x4 + 2x2 + 2.
? Giải
Giả sử đồ thị hàm số có trục đối xứng là x = a.
Khi đó, với phép biến đổi toạ độ:
 Û 
hàm số:
	Y = (X + a)2 + 4(X + a) + 3 là hàm số chẵn.
Ta có:
	Y = (X + a)2 + 4(X + a) + 3 = X2 + 2(a + 2)X + a2 + 4a + 3.	(1)
Hàm số (1) là hàm số chẵn
	Û a + 2 = 0 Û a = – 2
Vậy, đồ thị hàm số có trục đối xứng là đường thẳng x + 2 = 0.
Giả sử đồ thị hàm số có trục đối xứng là x = a.
Khi đó, với phép biến đổi toạ độ:
 Û 
hàm số:
	Y = (X + a)4 + 2(X + a)2 + 2 là hàm số chẵn
Ta có:
	Y = (X + a)4 + 2(X + a)2 + 2
	 = X4 + 4aX3 + (6a2 + 2)X2 + (4a3 + 4a)X + 2a + 2 	(1)
Hàm số (1) là chẵn:
	Û Û a = 0.
Vậy, đồ thị hàm số có trục đối xứng là trục tung.
Cho hàm số:
y = x4 + 4mx3 - 2(m - 1)x2 - 2mx + 1.
Tìm m để đồ thị hàm số có trục đối xứng song song với Oy.
? Giải
Giả sử đồ thị hàm số có trục đối xứng song song với Oy là x = a (a ạ 0). 
Khi đó, với phép biến đổi toạ độ:
 Û 
hàm số:
	Y = (X + a)4 + 4m(X + a)3 – 2(m–1)(X + a)2 – 2m(X + a) + 1 là chẵn.
Ta có:
	Y = (X + a)4 + 4m(X + a)3 – 2(m – 1)(X + a)2 – 2m(X + a) + 1
	 = X4 + (4a + 4m)X3 + (6a2 + 12ma – 2m + 2)X2 + 
	+ (4a3 + 12ma2 – 4ma + 4a – 2m)X + 
	+ a4 + 4ma2–2(m–1)a2–2ma + 1. 	(1)
Hàm số (1) chẵn:
Û Û 
 4m2 + 2m - 3 = 0 Û m = .
Vậy, với m = thoả mãn điều kiện đầu bài.
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số
Phương pháp thực hiện
Chứng minh rằng đồ thị hàm số y = f(x) nhận điểm I(a, b) làm tâm đối xứng, ta thực hiện theo các bước sau:
Với phép biến đổi toạ độ 
Û 
hàm số có dạng: 
Y + b = f(X + a) Û Y = F(X)	(1)
Nhận xét rằng hàm số (1) là hàm số lẻ.
Vậy, đồ thị hàm số nhận điểm I(a, b) làm tâm đối xứng.
Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số y = f(x) nhận điểm I(a, b) làm tâm đối xứng, ta thực hiện theo các bước sau:
Thực hiện phép biến đổi toạ độ
Û 
hàm số có dạng: 
Y + b = f(X + a) Û Y = F(X)	(1)
Đồ thị hàm số nhận I(a, b) làm tâm đối xứng 
Û hàm số (1) là hàm số lẻ Û tham số .
Kết luận.
Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số y = f(x) đối xứng qua điểm I(a, b), ta thực hiện theo các bước sau:
Lấy hai điểm A(xA, y(xA)) và B(xB, y(xB)) thuộc đồ thị hàm số.
Hai điểm A và B đối xứng qua điểm I(a, b) 
Û ị toạ độ A và B.
Tìm phương trình đường cong đối xứng với (C): y = f(x) qua điểm I(x0, y0), ta thực hiện theo các bước sau:
Gọi (H) là đường cong đối xứng với (C) qua điểm I(x0, y0). 
Khi đó, với mỗi M(x, y)ẻ(H) 
Û $M1(x1, y1)ẻ(C) sao cho M đối xứng với M1 qua I
Û $ x1, y1 thoả mãn: 
 	(I)
Khử x1, y1 từ hệ (I) ta được phương trình của đường cong (H).
Tìm tâm đối xứng của đồ thị các hàm số sau:
y = 2x3 - 6x + 3. 	b. y = .
? Giải
Giả sử hàm số nhận điểm I(a, b) làm tâm đối xứng.
Với phép biến đổi toạ độ:
khi đó hàm số có dạng:
	Y + b = 2(X + a)3 - 6(X + a) + 3
	Û Y = 2X3 + 6aX2 + (6a - 6)X + 2a3 - 6a + 3 - b 	(1)
Hàm số (1) là lẻ
	Û .
Vậy, hàm số có tâm đối xứng I(0; 3).
Viết lại hàm số dưới dạng:
y = .
Giả sử hàm số nhận điểm I(a; b) làm tâm đối xứng.
Với phép biến đổi toạ độ:
khi đó hàm số có dạng:
	Y + b = Û Y = . 	(1)
Hàm số (1) là lẻ
Û Û .
Vậy, hàm số có tâm đối xứng I(-; ).
F
 Chú ý: Đồ thị hàm số:
y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, với a ạ 0 luôn nhận điểm U(-, f(-)) làm tâm đối xứng.
y = f(x) = , với c ạ 0, D = ad - bc ạ 0 luôn nhận điểm I(-, ) làm tâm đối xứng.
y = f(x) = , với a, d ạ 0 luôn nhận điểm I(-, f(-)) làm tâm đối xứng.
Cho hàm số:
y = .
Tìm m để đồ thị hàm số nhận điểm I(1; 1) làm tâm đối xứng.
? Giải
Điểm I(1; 1) là tâm đối xứng của đồ thị khi với phép biến đổi toạ độ: 
Û 
hàm số sau là hàm lẻ
Y + 1 = Û Y = - 1.
Để hàm số là hàm lẻ trước tiên nó phải có tập xác định D là tập đối xứng, tức là m = 0 hoặc m = 1.
Thử lại:
Với m = 0, ta được:
Y = -X, là hàm số lẻ.
Với m = 1, ta được:
Y = - 1 = , là hàm số lẻ.
Vậy, với m = 0 hoặc m = 1 thỏa mãn điều kiện đầu bài.
Cho hàm số:
(Cm): y = . 
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị (Cm) có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc toạ độ.
? Giải
Hai điểm A(xA,) và B(xB,) thuộc (Cm).
Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua gốc toạ độ
Û 
Thay (1) vào (2) ta được: 
(2m - 1) = 5m	(3)
Để tồn tại hai điểm A và B thì phương trình (3) phải có nghiệm. 
Do 0 < ạ 4 nên: 
0 < ạ 4 Û .
Vậy, với < m ạ hoặc m < 0 thoả mãn điều kiện đầu bài.
Tìm phương trình đường cong đối xứng
Tìm phương trình đường cong đối xứng với đồ thị hàm số (C) qua đường thẳng y = 1, biết:
(C): y = 2x + 3.	b. (C): y = .
? Giải
Gọi (H) là đường cong đối xứng với (C) qua đường thẳng y = 1. 
Khi đó, với mỗi M(x; y)ẻ(H) 
	Û $M1(x1; y1)ẻ(C) với y1 = 2x1 + 3 	(1)
sao cho M đối xứng với M1 qua đường thẳng y = 1 Û $ x1, y1 thoả mãn:
 Û .	(I)
Thay (I) vào (1), ta được:
y = – 2x – 1.
Vậy, đường cong (H) có phương trình: y = – 2x – 1.
Gọi (H) là đường cong đối xứng với (C) qua đường thẳng y = 1. 
Khi đó, với mỗi M(x; y)ẻ(H) 
	Û $M1(x1; y1) ẻ (C) với y1 = 	 	(1)
sao cho M đối xứng với M1 qua đường thẳng y = 1 Û $ x1, y1 thoả mãn:
 Û .	(I)
Thay (I) vào (1), ta được:
y = .
Vậy, đường cong (H) có phương trình: y = .
Cho hàm số:
(C): y = . 
Tìm phương trình đường cong đối xứng với đồ thị (C) qua điểm I(1; 1).
? Giải
Gọi (H) là đường cong đối xứng với (C) qua điểm I(1; 1). 
Khi đó, với mỗi M(x; y)ẻ(H) 
Û $M1(x1, y1)ẻ(C) với y1 = 	(1)
sao cho M đối xứng với M1 qua điểm I(1; 1) Û $ x1, y1 thoả mãn:
 Û .	(I)
Thay (I) vào (1), ta được: 
y = .
Vậy, đường cong (H) có phương trình : y = .
Đ2. hàm số bậc nhất
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc nhất
Phương pháp thực hiện
Dựa trên lý thuyết trong phần kiến thức cần nhớ.
Cho hàm số y = -x + 3.
Xác định giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung và trục hoành. Vẽ đồ thị hàm số.
Gọi A và B theo thứ tự là hai giao điểm nói trên. Tính diện tích DOAB (O là gốc toạ độ).
Gọi a là góc nhọn tạo bởi đồ thị hàm số với trục Ox. Tính tana, suy ra số đo góc a.
Bằng đồ thị tìm x để y > 0, y Ê 0.
? Giải
Đồ thị cắt trục Oy tại A có:
O
|
3
3 -
x
y
B
y = x + 3
A
x = 0 ị y = -0 + 3 = 3 ị A(0, 3).
Đồ thị cắt trục Ox tại B có:
y = 0 ị 0 = -x + 3 Û x = 3 ị B(3, 0).
Ta có: 
SDOAB = OA.OB = .3.3 = (đơn vị diện tích).
Trong DOAB, ta có = a, suy ra:
tana = = 1 ị a = 450.
Từ đồ thị suy ra:
y > 0 Û x < 3, ứng với phhần đồ thị phía trên trục Ox.
y Ê 0 Û x ³ 3, ứng với phhần đồ thị phía dưới trục Ox.
Vẽ đồ thị của các hàm số:
a. y = .	b. y = .
? Giải - Bạn đcọ tự vẽ hình.
Đồ thị gồm hai tia:
Tia Ot trùng với đồ thị hàm số y = 2x với x ³ 0.
Tia Ot' trùng với đồ thị hàm số y = x với x < 0.
Đồ thị gồm hai tia:
Tia A1B đi qua hai điểm A(1; 2) và B(2; 3).
Tia A2B đi qua hai điểm A(0; 4) và B(2; 3).
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số:
y = |x - 1|.	b. y = |2x - 1| + |2x + 1|.
O
1
y = x-1
x
y
A
B
1
y = 1-x
y = |x-1|
I
1
? Giải
Ta biến đổi:
y = = .
Do đó, đồ thị hàm số là hai tia IA (với I(1; 0) và A(2, 1)) và IB (với B(0, 1)).
Dựa vào đồ thị chúng ta nhận được bảng biến thiên của hàm số như sau:
x
-Ơ
1
+Ơ
y
-Ơ
0
+Ơ
Điều đó chứng tỏ:
Hàm số nghịch biến trên (-Ơ; 1).
Hàm số đồng biến trên (1; +Ơ).
O
4
y = 4x
x
y
A
y = -4x
J
-1
1
2
I
B
Viết lại hàm số dưới dạng:
y = .
Do đó, đồ thị hàm số gồm:
Tia IA với A(-1; 4) và I(-; 2).
Đoạn thẳng IJ với J(; 2).
Tia JB với B(1; 4).
Cho hàm số:
(dm): y = (m - 1)x + 2m - 3.
Tìm m để hàm số là đồng biến, nghịch biến, không đổi.
Chứng tỏ rằng khi m thay đổi (Cm) luôn đi qua 1 điểm cố định.
? Giải
Điều kiện để hàm số đồng biến:
	m – 1 > 0 Û m > 1.
Điều kiện để hàm số nghịch biến:
	m – 1 < 0 Û m < 1.
Điều kiện để hàm số không đổi biến:
	m – 1 = 0 Û m = 1.
Giả sử đồ thị hàm số luôn đi qua điểm M(x0 ; y0), ta có:
y0 = (m - 1)x0 + 2m - 3, "m Û (x0 + 2)m – x0 – 3 – y0 = 0, "m
Û Û .
Vậy, đồ thị hàm số luôn đi qua điểm cố định M(–2 ; –1).
Cho họ đường thẳng (dm) có phương trình:
(dm): (m - 1)x + (2m - 3)y - m - 1 = 0. 
Xác định m để:
(dm) đi qua A(2, 1).
(dm) có hướng đi lên.
(dm)//Ox.
(dm) vuông góc với đường thẳng (D1): 3x + 2y - 100 = 0.
(dm) song song với đường thẳng (D2): x - 2y + 12 = 0.
Tìm điểm cố định mà họ (dm) luôn đi qua.
? Giải
Ta lần lượt có:
(dm) đi qua điểm A(2, 1) điều kiện là:
(m - 1).2 + (2m - 3).1 - m - 1 = 0 Û 3m – 6 = 0 Û m = 2.
(dm) có hướng đi lên điều kiện là:
ab < 0 Û (m - 1)(2m - 3) Û 1 < m < .
(dm) song song với Ox điều kiện là:
	m – 1 = 0 Û m = 1.
(dm) vuông góc với đường thẳng (D1) điều kiện là:
3(m - 1) + 2(2m - 3) = 0 Û 7m = 9 Û m = .
(dm) song song với đường thẳng (D2) điều kiện là:
 Û 4m = 5 Û m = .
Giả sử đồ thị hàm số luôn đi qua điểm M(x0 ; y0), ta có:
(m - 1)x0 + (2m - 3)y0 - m - 1 = 0, "m
Û (x0 + 2y0 – 1)m – x0 – 3y0 – 1 = 0, "m
Û Û .
Vậy, đường thẳng (dm) luôn đi qua điểm cố định M(5 ; – 2).
Cho hai hàm số f(x) = (m2 + 1)x - 4 và g(x) = mx + 2, với m ạ 0.
Chứng minh rằng:
Các hàm số f(x), f(x) + g(x), f(x) - g(x) là các hàm đồng biến.
Hàm số g(x) - f(x) là hàm nghịch biến.
? Giải
Ta lần lượt xét:
Hàm số f(x) có hệ số a = m2 + 1 > 0 do đó nó là hàm đồng biến.
Hàm số:
f(x) + g(x) = (m2 + 1)x - 4 + mx + 2 = (m2 + m + 1)x - 2.
có hệ số:
a = m2 + m + 1 = + > 0 
do đó, nó là hàm đồng biến.
Hàm số:
f(x) - g(x) = (m2 + 1)x - 4 - (mx + 2) = (m2 - m + 1)x - 6.
có hệ số:
a = m2 - m + 1 = + > 0 
do đó, nó là hàm đồng biến.
Hàm số:
g(x) - f(x) = mx + 2 - [(m2 + 1)x - 4] = -(m2 - m + 1)x + 6.
có hệ số:
a = -(m2 - m + 1) = < 0 
do đó, nó là hàm nghịch biến.
Cho hàm số y = f(x) = ax + b, với a ạ 0.
Chứng minh rằng với một giá trị x0 tuỳ ý cho trước, bao giờ cũng tìm được hai số m và n sao cho f(m) < f(x0) < f(n).
Chứng minh rằng hàm số bậc nhất không có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.
? Giải
Ta biết rằng với mỗi x0 tuỳ ý cho trước, bao giờ cũng có: 
x0 - 1 < x0 < x0 + 1.
Ta xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Với a > 0, khi đó hàm số đồng biến, do đó:
f(x0 - 1) < f(x0) < f(x0 + 1)
từ đó, ta chọn m = x0 - 1 và n = x0 + 1.
Trường hợp 2: Với a < 0, khi đó hàm số nghịch biến, do đó:
f(x0 - 1) > f(x0) > f(x0 + 1)
từ đó, ta chọn m = x0 + 1 và n = x0 - 1.
Giả sử trái lại hàm số có:
Giá trị lớn nhất f(x1) ứng với x1.
Giá trị nhỏ nhất f(x2) ứng với x2.
Theo kết quả câu a), luôn tìm được hai số m và n sao cho:
f(x1) < f(n) ị f(x1) không phải là giá trị lớn nhất.
f(x2) > f(m) ị f(x2) không phải là giá trị nhỏ nhất.
Cho hàm số y = f(x) = ax, với a ạ 0.
Chứng minh rằng f(kx1) = kf(x1) và f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2).
Các hệ thức trong câu a) còn đúng với hàm số:
y = g(x) = ax + b, với b ạ 0 hay không ?
? Giải
Ta có:
f(kx1) = a(kx1) = akx1 = k(ax1) = kf(x1), đpcm.
f(x1 + x2) = a(x1 + x2) = ax1 + ax2 = f(x1) + f(x2) , đpcm.
Ta lần lượt xét:
Với hệ thức:
g(kx1) = kg(x1) Û a(kx1) + b = k(ax1 + b)
Û akx1 + b = akx1 + bk Û b(k - 1) = 0 k = 1.
Vậy, hệ thức g(kx1) = kg(x1) chỉ đúng với k = 0.
Với hệ thức:
g(x1 + x2) = g(x1) + g(x2) Û a(x1 + x2) + b = (ax1 + b) + (ax2 + b)
Û ax1 + ax2 + b = ax1 + ax2 + 2b Û b = 0, loại.
Vậy, hệ thức g(x1 + x2) = g(x1) + g(x2) không đúng.
Lập phương trình đường thẳng
Phương pháp thực hiện
Thực hiện theo các bước:
Viết phương trình y = ax + b của các đường thẳng:
Đi qua hai điểm A(4, 3) và B(2, -1).
Đi qua điểm A(1, -1) và song song với Ox.
? Giải
Ta có:
A(4, 3) ẻ (d): y = ax + b Û 3 = 4a + b.	(1)
B(2, -1) ẻ D: y = ax + b Û -1 = 2a + b.	(2)
Giải hệ phương trình tạo bởi (1) và (2) ta được a = 2 và b = -5.
Vậy, phương trình đường thẳng (d) có dạng: y = 2x - 5.
Đường thẳng (d) đi qua điểm A(1, -1) và song song với trục hoành nên có phương trình: y = -1.
Cho hàm số y = ax - 3a.
Xác định giá trị của a để đồ thị hàm số đi qua điểm A(0; 4). Vẽ đồ thị hàm số với a vừa tìm được.
Tính khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng tìm được trong a).
? Giải
Đồ thị hàm số đi qua điểm A(0; 4) khi và chỉ khi:
4 = a.0 - 3a Û 3a = -4 Û a = -.
O
|
3
4 -
x
y
A
B
H
Vậy, hàm số có dạng y = -x + 4.
Để vẽ đồ thị hàm số ta lấy thêm điểm B(3; 0).
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng.
Trong DOAB vuông tại O, ta có:
 Û OH = = = .
Vậy, khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng bằng .
Đ3. hàm số bậc hai
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc hai
Phương pháp thực hiện
Dựa trên lý thuyết trong phần kiến thức cần nhớ.
Cho hàm số y = f(x) = x2 - 4x + 2.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
Từ đó lựa chọn phép tịnh tiến song song với trục Ox để nhận được đồ thị hàm số y = x2 - 2.
Giải thích tại sao với mỗi giá trị của m thì các phương trình x2 - 4x + 2 = m và x2 - 2 = m đều có cùng số nghiệm.
? Giải
Ta lần lượt tính:
y
x
S
O
y=x2-4x+2
y=x2-2
-2
2
- = 2 và - = - 2.
Vậy, đồ thị hàm số là một parabol có đỉnh S(2, -2), nhận đường thẳng x = 2 làm trục đối xứng và hướng bề lõm lên trên.
Bảng biến thiên:
x
-Ơ
2
+Ơ
y
 +Ơ
CĐ
-2
+Ơ
Đồ thị: ta lấy thêm hai điểm trên đồ thị là A(0, 2), B(4, 2).
Giả sử: 
y = x2 - 2 = f(x + a) 
Û x2 - 2 = (x + a)2 - 4(x + a) + 2 = x2 + (2a - 4)x + a2 - 4a + 2.
Suy ra: 
Û a = 2.
Vậy, ta được y = x2 - 2 = f(x + 2).
Do đó, đồ thị của hàm số được suy ra bằng phép tịnh tiến theo Ox đồ thị hàm số y = f(x) sang trái 2 đơn vị.
Vì số nghiệm của mỗi phương trình đúng bằng số giao điểm của đường thẳng y = m với đồ thị của các hàm số y = x2 - 4x + 2 và y = x2 - 2, do đó chúng đều có cùng số nghiệm.
Cho hai hàm số (P1) và (P2), biết:
(P1): y = -x2 + 2x + 3, (P1): y = x2 - 4x + 3.
Khảo sát và vẽ đồ thị hai hàm số (P1) và (P2) trên cùng một hệ trục toạ độ. 
Tìm m để đường thẳng y = m cắt cả hai đồ thị vừa vẽ.
? Giải
Ta có bảng sau:
Khảo sát (P1)
Khảo sát (P2)
- = 1 và - = 4.
Bảng biến thiên:
- = 4 và - = -5.
Bảng biến thiên:
x
-Ơ
1
+Ơ
x
-Ơ
4
+Ơ
y
-Ơ
CĐ
4
-Ơ
y
+Ơ
-5
CT
+Ơ
Đồ thị: Hoành độ giao điểm của (P1) và (P2) là nghiệm phương trình:
y
x
S1
O
(P1)
4
-5
3
S2
(P2)
-x2 + 2x + 3 = x2 - 4x + 3 Û 3x2 - 12x = 0 Û 3x(x - 4) = 0 Û .
Khi đó, toạ độ các giao điểm là: 
E(0, 3) và F(4, -5).
Từ đồ thị của (P1) và (P2), đường thẳng y = m cắt cả hai đồ thị 
Û -5 Ê m Ê 4.
Vậy, với -5 Ê m Ê 4 thoả mãn điều kiện đầu bài. 
Cho hàm số (Pm): y = (1 + m)x2 - 2(m - 1)x + m - 3.
Khảo sát sự biến thiên và đồ thị hàm số với m = 0 (tương ứng là (P0)). Bằng đồ thị tìm x để y ³ 0, y Ê 0.
Viết phương trình đường thẳng đi qua đỉnh của (P0) và giao điểm của (P0) với Oy.
Xác định m để (Pm) là Parabol. Tìm quĩ tích đỉnh của Parabol (Pm) khi m thay đổi.
y
x
S
O
(P0)
-1
-4
-3
(d)
A
B
C
-3
1
Chứng tỏ rằng (Pm) luôn đi qua một điểm cố định, tìm toạ độ điểm cố định đó.
? Giải
Với m = 0 ta được (P0): y = x2 + 2x - 3
Ta lần lượt tính:
- = -1 và - = -4.
Vậy, đồ thị hàm số là một parabol có đỉnh S(-1, -4), nhận đường thẳng x = -1 làm trục đối xứng và hướng bề lõm lên trên.
Bảng biến thiên:
x
-Ơ
-1
+Ơ
y
+Ơ
CT
-4
 +Ơ
Đồ thị: ta lấy thêm vài điểm trên đồ thị A(1, 0), B(-3, 0), C(0, -3).
Từ đồ thị suy ra:
y ³ 0 Û .
y Ê 0 Û -3 Ê x Ê 1.
Giả sử phương trình đường thẳng (d) có dạng: