Chuyên đề Phương pháp hàm số

Phương pháp hàm số
Phương trình và hệ phương trình bất phương trình 
Bài 1 (KD_2006)
	CMR với mọi a>0 Hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất 
HD 
ĐK x,y>-1
Từ (2) thay và (1) chỉ ra f’(x)>0 khi a>0 và x>-1
F(x) đồng biến và liên tục (-1;+∞)
Kết luận phương trình có nghiệm duy nhất 
Bài 2 (KD_2004)
 	CMR phương trình sau có đúng một nghiệm
Bài 3 (Đề DB _2004)
 	CMR phương trình sau có đúng một nghiệm duy nhất
Bài 4 (Đề DB _2004)
 	Cho hàm số Tìm GTNN của hàm số và CMR phương trình f(x)=3 có đúng 2 nghiệm 
Bài 5 Giải phương trình 	
HD: Đặt cosx=y , -1≤y≤1 theo bài ra ta có phương trình hay f(y)=0 với Tính f’(y)=0 là phương trình bậc 2 theo 4y có không quá 2 nghiệm . Vởy theo định lý Rolle thì phương trình f(y)=0 có không quá 3 nghiệm mặt khác ta có y=0; y=1/2; y=1 là 3 nghiệm của phương trình f(y)=0 : suy ra phương trình đã cho có nghiệm là . . . .
Bài 6 (Đề DHQG _2000) Cho 
 	Tìm m để 
HD: x=1 bất phương trình thoả mãn không phụ thuộc vào m chỉ cần tìm m sao cho bất phương trình thoả mãn với mọi x thuộc [0;1)
Chú ý là hàm số đồng biến và h(1)=0 thì h(x)<0 với mọi x thuộc miền đang xét . Do đó chỉ ccần tìm m sao cho f(x)≤ 0 với mọi x 
Đặt t=6x sử dụng BBT trên [1;6] dáp số m≤1/2
Bài 7 Cho phương trình 
Giải phương trình khi m=2
Tìm m để phương trình có nghiệm 
HD 
Bài 8 Cho phương trình 
Giải phương trình khi m=1
Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc 
HD Đặt t=tgx Đưa phương trình về dạng 
Chỉ ra f’(t)<0 với t thuộc miền trên ĐS 
Bài 9 Cho phương trình 
Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
HD: 
Lập BBT: 
KL: 
m<-1/2 vô nghiệm 
 có 1 nghiệm duy nhất 
 có 2 nghiệm
Chứng minh bất dẳng thức
Bài 1 Chứng minh rằng trong đó n là số nghuyên lớn hơn 1 và 
HD: Xét hàm số 
Lấy đạo hàm Dễ thấy y=cost nghịch biến trên [0;p) và cost=0 khi t=0 từ đó Suy ra hàm số f(x) tăng thực sự trên nên f(x)>0 
Bài toán cực trị
Bài 1 (Đề DB _2004)
 	Gọi (x;y) là nghiệm của hệ phương trình 
 Tìm GTLN của biểu thức khi m thay đổi 
Bài 2 (KB_2006)
 	Cho x,y là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau
HD
Xét M(1-x;y) và N(1+x;y) ta có OM+ON≥MN
Suy ra xày ra khi x=0
 Lập Bảng biến thiên khi y>2 và y<2
Qua BBT suy ra 
Bài 3 (Đề DB _2004)
 	Cho hàm số Tìm GTNN của hàm số và CMR phương trình f(x)=3 có đúng 2 nghiệm 
Bài 4: Tìm GTNN của hàm số 
HD ĐS ẳ
Bài 5 Tìm GTNN, GTLN của hàm số 
HD với t thuộc [-1;1]
 Tìm GTLN,GTNN của f(t) theo tham số a 
Vì f’(t) có nghiệm t=a/3 so sánh với ±1 ĐS
Dùng đạo hàm để tính giới hạn của hàm số
Chú ý 
Nêu định nghĩa của đạo hàm 
Bài 1 Tính giới hạn (ĐHTCKT 2001)
HD : 
Suy ra 
Bài 2 Tính giới hạn (ĐHQGHN 2000)
HD : 
 vì 
Suy ra 
Bài 3 Tính giới hạn (ĐH GTVT 1998)
HD : 
Suy ra 
Bài 4 Tính giới hạn (ĐH Hàng Hải 1999) 
HD : 
Suy ra 
Bài 5 Tính giới hạn 
 (ĐH Hàng Hải 1999) 
HD : 
 Suy ra 
Bài 6 Tính giới hạn 
 (ĐH Hàng Hải 1999) 
HD : 
Bài 7 Tính các giới hạn sau
 (ĐHSP2 2000)
 (ĐH Thuỷ Lợi)