Chuyên đề : Phương pháp tọa độ trong không gian

Vấn đề 1
TÌM PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

Phương pháp: Thông thường ta có 3 cách làm
Cách 1: Tìm 1 điểm và một cặp VTCP 
Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(x0;y0;z0) và có cặp VTCP 
Khi đó, (P) có VTPT là:
 
Suy ra, (P): A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0
Cách 2: Tìm 1 điểm và một VTPT 
Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(x0;y0) và có VTPT 
Suy ra, (P): A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0
Cách 3: Dùng phương trình chùm đường thẳng 


Vấn đề 2
TÌM PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Phương pháp: Thông thường ta có 2 cách làm
Cách 1: Tìm 1 điểm và một VTCP 
Phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M(x0;y0;z0) và có VTCP . Khi đó, 
+ Ptts (d): 
+ Ptct (d): ,	( a1, a2, a3 ¹ 0 )
+ PTtq (d): , ( A1:B1:C1¹ A2:B2:C2)


Cách 2: Tìm phương trình tổng quát của 2 mặt phẳng phân biệt cùng chứa đường thẳng cần tìm
 Ghi chuù : Trong 2 caùch, thöïc chaát cuûa vieäc tìm phöông trình ñöôøng thaúng laø tìm phöông trình 2 maët phaúng cuøng chöùa ñöôøng thaúng aáy. Caùi khoù laø phaûi xaùc ñònh ñöôïc 2 maët phaúng phaân bieät naøo cuøng chöùa ñöôøng thaúng caàn tìm. Thoâng thöôøng ta hay gaëp 3 giaû thuyeát sau : 
+ Ñöôøng thaúng (Δ) ñi qua ñieåm A vaø caét ñöôøng thaúng d : Khi ñoù ñöôøng thaúng (Δ) naèm trong maët phaúng ñi qua A vaø chöùa d. 
 + Ñöôøng thaúng (Δ) ñi qua ñieåm A vaø vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng d : Khi ñoù ñöôøng thaúng (Δ) naèm trong maët phaúng ñi qua A vaø vuoâng goùc vôùi d. 
 + Ñöôøng thaúng (Δ) song song vôùi d1 vaø caét d2 : Khi ñoù ñöôøng thaúng (Δ) naèm trong maët phaúng chöùa d2 vaø song song vôùi d1. 
Chaúng haïn : 
1. Laäp phöông trình ñöôøng thaúng (Δ) ñi qua ñieåm A, vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng a vaø caét ñöôøng thaúng aáy. 
 Caùch giaûi : 
 - (Δ) ñi qua A vaø vuoâng goùc vôùi d neân (Δ) naèm trong maët phaúng α ñi qua A vaø vuoâng goùc vôùi d. 
 - (Δ) ñi qua A vaø caét d neân (Δ) naèm trong maët phaúng β ñi qua A vaø chöùa d. Khi ñoù (Δ) chính laø giao tuyeán cuûa α vaø β. 
2. Laäp phöông trình ñöôøng thaúng (Δ) ñi qua ñieåm A vaø caét caû hai ñöôøng thaúng d1 vaø d2. 
 Caùch giaûi : 
 - (Δ) ñi qua A vaø caét d1 neân (Δ) naèm trong maët phaúng α ñi qua A vaø chöùa d1. 
 - (Δ) ñi qua A vaø caét d2 neân (Δ) naèm trong maët phaúng β ñi qua A vaø chöùa d2. 
 Khi ñoù (Δ) chính laø giao tuyeán cuûa α vaø β. 
3. Laäp phöông trình ñöôøng thaúng (Δ) ñi qua giao ñieåm A cuûa ñöôøng thaúng d vaø maët phaúng α, vuoâng goùc vôùi d vaø naèm trong α. 
 Caùch giaûi : 
 - Töø giaû thuyeát ta ñaõ coù (Δ) Ì α. 
 - (Δ) qua A vaø vuoâng goùc vôùi d neân (Δ) naèm trong maët phaúng β ñi qua A vaø vuoâng goùc vôùi d. 
 Khi ñoù (Δ) chính laø giao tuyeán cuûa α vaø β. 
4. Laäp phöông trình ñöôøng thaúng (Δ) song song vôùi ñöôøng thaúng (D) vaø caét 2 ñöôøng thaúng d1 vaø d2. 
 Caùch giaûi : 
 - (Δ) song song vôùi (D) vaø caét d1 neân (Δ) naèm trong maët phaúng α chöùa d1 vaø song song vôùi (D). 
 - (Δ) song song vôùi (D) vaø caét d2 neân (Δ) naèm trong maët phaúng β chöùa d2 vaø song song vôùi (D). 
 Khi ñoù (Δ) chính laø giao tuyeán cuûa α vaø β. 


Vaán ñeà 3 
HÌNH CHIEÁU 
 
 Baøi toaùn 1 : Tìm hình chieáu vuoâng goùc H cuûa ñieåm A treân ñöôøng thaúng (d) 
 Phöông phaùp : 
 
 Caùch 1 : (d) cho bôûi phöông trình tham soá : 
 + H Î(d) suy ra daïng toïa ñoä cuûa ñieåm H phuï thuoäc vaøo tham soá t. 
 + Tìm tham soá t nhôø ñieàu kieän 
Caùch 2 : (d) cho bôûi phöông trình chính taéc, goïi H(x, y, z) 
+ (*)
+ H Î (d) : Bieán ñoåi tæ leä thöùc naøy ñeå duøng ñieàu kieän (*), töø ñoù tìm ñöôïc x, y, z. 
Caùch 3 : (d) cho bôûi phöông trình toång quaùt : 
 + Tìm phöông trình maët phaúng α ñi qua A vaø vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng (d). 
 + Giao ñieåm cuûa (d) vaø (α) chính laø hình chieáu H cuûa A treân (d). 
 Baøi toaùn 2 : Tìm hình chieáu vuoâng goùc H cuûa ñieåm A treân maët phaúng (α) 
Caùch 1 : Goïi H(x, y, z) 
 + H Î α (*) 
 + cuøng phöông vôùi : Bieán ñoåi tæ leä thöùc naøy ñeå duøng ñieàu kieän (*), töø ñoù tìm ñöôïc x, y, z.
Caùch 2 : 
 + Tìm phöông trình ñöôøng thaúng (d) ñi qua A vaø vuoâng goùc vôùi maët phaúng (α). 
 + Giao ñieåm cuûa (d) vaø (α) chính laø hình chieáu H cuûa A treân maët phaúng (α). 
Baøi toaùn 3 : Tìm hình chieáu vuoâng goùc (Δ) cuûa ñöôøng thaúng (d) xuoáng maët phaúng α. 
Phöông phaùp :
 - Tìm phöông trình maët phaúng β chöùa ñöôøng thaúng d vaø vuoâng goùc vôùi maët phaúng α. 
 - Hình chieáu (Δ) cuûa d xuoáng maët phaúng α chính laø giao tuyeán cuûa α vaø β. 
Baøi toaùn 4 : Tìm hình chieáu H cuûa A theo phöông ñöôøng thaúng (d) leân maët phaúng (α). 
Phöông phaùp : 
 - Tìm phöông trình ñöôøng thaúng (Δ) ñi qua A vaø song song vôùi (d). 
 - Hình chieáu H chính laø giao ñieåm cuûa (Δ) vaø (α). 
 Baøi toaùn 5 : Tìm hình chieáu (Δ) cuûa ñöôøng thaúng (d) theo phöông cuûa ñöôøng thaúng (D) leân maët phaúng (α). 
 Phöông phaùp : 
 
 
 
 - Tìm phöông trình maët phaúng (β) chöùa (d) vaø song song vôùi (D) 
 - Hình chieáu (Δ) chính laø giao tuyeán cuûa (α) vaø (β) 


Vaán ñeà4
ÑOÁI XÖÙNG
 
Baøi toaùn 1: Tìm ñieåm A’ ñoái xöùng vôùi A qua ñöôøng thaúng d. 
Phöông phaùp : 
 - Tìm hình chieáu H cuûa A treân d. 
 - H laø trung ñieåm AA’. 

Baøi toaùn 2 : Tìm ñieåm A’ ñoái xöùng vôùi A qua maët phaúng α. 
Phöông phaùp : 
 - Tìm hình chieáu H cuûa A treân α.
 - H laø trung ñieåm AA’. 
Baøi toaùn 3 : Tìm phöông trình ñöôøng thaúng d ñoái xöùng vôùi ñöôøng thaúng (D) qua ñöôøng thaúng (Δ) 
Phöông phaùp : 
- Tröôøng hôïp 1 : (Δ) vaø (D) caét nhau : 
 
 
 
+ Tìm giao ñieåm M cuûa (D) vaø (Δ). 
+ Tìm moät ñieåm A treân (D) khaùc vôùi ñieåm M. 
+ Tìm ñieåm A’ ñoái xöùng vôùi A qua (Δ) 
+ d chính laø ñöôøng thaúng ñi qua 2 ñieåm A’ vaø M. 

- Tröôøng hôïp 2 : (Δ) vaø (D) song song : 
+ Tìm moät ñieåm A treân (D) 
+ Tìm ñieåm A’ ñoái xöùng vôùi A qua (Δ) 
+ d chính laø ñöôøng thaúng qua A’ vaø song song vôùi (Δ) 

- Tröôøng hôïp 3 : (Δ) vaø (D) cheùo nhau : 
+ Tìm 2 ñieåm phaân bieät A, B treân (D) 
+ Tìm ñieåm A’, B’ laàn löôït laø ñieåm ñoái xöùng cuûa A, B qua 
(Δ) 
+ d chính laø ñöôøng thaúng ñi qua 2 ñieåm A’, B’.
Baøi toaùn 4 : Tìm phöông trình ñöôøng thaúng d ñoái xöùng vôùi ñöôøng thaúng (D) qua maët phaúng α. 
Phöông phaùp : 
- Tröôøng hôïp 1 : (D) caét α 
+ Tìm giao ñieåm M cuûa (D) vaø (α) 
+ Tìm moät ñieåm A treân (D) 
+ Tìm ñieåm A’ ñoái xöùng vôùi A qua maët phaúng α . 
+ d chính laø ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm A’ vaø M . 

 - Tröôøng hôïp 2 : (D) song song vôùi α.
- Tìm moät ñieåm A treân (D) 
- Tìm ñieåm A’ ñoái xöùng vôùi A qua maët phaúng α. 
- d chính laø ñöôøng thaúng qua A’ vaø song song vôùi (D) 



 
 

Vaán ñeà 5
KHOAÛNG CAÙCH
 
Baøi toaùn 1 : Tính khoaûng caùch töø ñieåm M(x0, y0, z0) ñeán maët phaúng (α): Ax + By + Cz + D = 0 
 Phöông phaùp : 
 
Baøi toaùn 2 : Tính khoaûng caùch töø ñieåm M ñeán ñöôøng thaúng (Δ) 
Phöông phaùp : 
- Tìm hình chieáu H cuûa M treân (Δ) 
- Khoaûng caùch töø M ñeán (Δ) chính laø ñoä daøi ñoaïn MH. 

 Baøi toaùn 3 : Tính khoaûng caùch giöõa 2 ñöôøng thaúng song song d1 vaø d2. 
Phöông phaùp : 
- Tìm moät ñieåm A treân d1. 
- Khoaûng caùch giöõa d1 vaø d2 chính laø khoaûng caùch töø ñieåm A ñeán d2. 

Baøi toaùn 4 : Tính khoaûng caùch giöõa 2 maët phaúng song song α : Ax + By + Cz + D1 = 0 vaø β : Ax + By + Cz + D2 = 0 
Phöông phaùp : 
 Khoaûng caùch giöõa α vaø β ñöôïc cho bôûi coâng thöùc : 
 

Baøi toaùn 5 : Tính khoaûng caùch giöõa 2 ñöôøng thaúng cheùo nhau d1 vaø d2 
Phöông phaùp : 
Caùch 1 : 
 + Tìm phöông trình maët phaúng α chöùa d1 vaø song song vôùi d2. 
 + Tìm moät ñieåm A treân d2. 
 + Khi ñoù d(d1, d2) = d(A, α) 
Caùch 2 : 
+ Tìm phöông trình maët phaúng α chöùa d1 vaø song song vôùi d2. 
+ Tìm phöông trình maët phaúng β chöùa d2 vaø song song vôùi d1. 
+ Khi ñoù d(d1, d2) = d(α, β) 
Ghi chuù : 
Maët phaúng α vaø β chính laø 2 maët phaúng song song vôùi nhau 
vaø laàn löôït chöùa d1 vaø d2. 
Caùch 3 : 
 + Vieát döôùi daïng phöông trình tham soá theo t. 
 + Vieát d2 döôùi daïng phöông trình tham soá theo t2. 
 + Xem A Î d1 Þ daïng toïa ñoä A theo t1. 
 + Xem B Î d2 Þ daïng toïa ñoä B theo t2. 
 + Tìm vectô chæ phöông laàn löôït cuûa d1 vaø d2. 
 + AB laø ñoaïn vuoâng goùc chung d1, d2. Û 
tìm ñöôïc t1 vaø t2 
 + Khi ñoù d(d1, d2) = AB 
Vaán ñeà 6
GOÙC

 Cho 2 ñöôøng thaúng d vaø d’ coù phöông trình : 
 	d : d’ : 
 	Cho 2 maët phaúng α vaø β coù phöông trình : 
 	α : Ax + By + Cz + D = 0 β : A’x + B’y + C’z + D’ = 0 
1. Goùc giöõa hai ñöôøng thaúng d vaø d’ : 
 

2. Goùc giöõa hai maët phaúng α vaø β : 
 

3. Goùc giöõa ñöôøng thaúng d vaø maët phaúng α : 
 
Chú ý:
- d vuông góc d’ Û aa’ + bb’ + cc’ = 0 
- α vuông góc β Û AA’ + BB’ + CC’ = 0 
- d song song (hoặc nằm trên ) α Û aA + bB + cC = 0 

 
Vaán ñeà 7
VÒ TRÍ TÖÔNG ÑOÁI CUÛA HAI MAËT PHAÚNG

Cho hai maët phaúng α vaø β coù phöông trình : 
 α : A1x + B1y + C1z + D1 = 0 β : A2x + B2y + C2z + D2 = 0 
Goïi laàn löôït laø phaùp vectô cuûa 2 maët phaúng treân vaø M laø moät ñieåm treân maët phaúng α. 
- α caét β Û khoâng cuøng phöông. 
- α song song β Û 
 - α truøng β Û 
Neáu A2, B2, C2, D2 ≠ 0 thì ta coù caùch khaùc : 
- α caét β Û A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2 
- α song song β Û 
 - α truøng β Û 

Vaán ñeà 8
VÒ TRÍ TÖÔNG ÑOÁI CUÛA 2 ÑÖÔØNG THAÚNG

Caùch 1 : Xeùt heä phöông trình toïa ñoä giao ñieåm cuûa hai ñöôøng thaúng d1 vaø d2. 
 + Heä coù moät nghieäm duy nhaát : d1 caét d2. 
 + Heä coù voâ soá nghieäm : d1 vaø d2 truøng nhau. 
 + Heä voâ nghieäm : 
 cuøng phöông Þ d1 // d2. 
 	khoâng cuøng phöông Þ d1 vaø d2 cheùo nhau.
Caùch 2 : 
+ Tìm vectô chæ phöông 
+ Tìm ñieåm A Î d1 vaø B Î d2. 
 	a/ cùng phương: 
b/ khoâng cuøng phöông ta coù: 
* Nếu thì d1, d2 caét nhau. 
* Nếu thì d1, d2 cheùo nhau. 

Vaán ñeà 9
VÒ TRÍ TÖÔNG ÑOÁI GIÖÕA ÑÖÔØNG THAÚNG VAØ MAËT PHAÚNG
Caùch 1 : Xeùt heä phöông trình toïa ñoä giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng d vaø maët phaúng α. 
+ Heä voâ nghieäm : d // α. 
+ Heä coù nghieäm duy nhaát : d caét α 
+ Heä voâ soá nghieäm : d Ì α 
Caùch 2 : Tìm vectô chæ phöông cuûa d, phaùp vectô cuûa α vaø tìm ñieåm A Î d.
* Nếu (khoâng vuoâng goùc ) thì d caét α.
* Nếu (vuông góc ) thì 

Vaán ñeà 10
MẶT CẦU

1/ Phương trình mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) và bán kính R 
	(S): ( x - a )2 + ( y - b )2 + ( z - c )2 = R2

2/ Phương trình: x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 
với A2 + B2 + C2 – D > 0 cũng là phương trình mặt cầu (S) có tâm I(- A; - B; -C ) và bán kính R = 

3/ Giao của mặt cầu với mặt phẳng:
	(S): ( x - a )2 + ( y - b )2 + ( z - c )2 = R2
	(P): Ax + By + Cz + D = 0


Phương pháp 	
Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm I trên mặt phẳng (P)	
Þ 
a/ Trường hợp 1:
Nếu IH < R thì (S) Ç (P) = ( C ) là 1 đường tròn có tâm là H và bán kính r = 
Vậy, phương trình đường tròn là
 (C): 

b/ Trường hợp 2:
Nếu IH = R thì (S) Ç (P) = {H} và (P) là tiếp diện của (S) tại H .

c/ Trường hợp 3:
	Nếu IH > R thì (S) Ç (P) = tức là mặt phẳng (P) và mặt cầu không có điểm chung.

 
 
CÁC BÀI TOÁN ÁP DỤNG


Baøi 1 : Goïi (P) laø maët phaúng ñi qua goác O vaø coù caëp VTCPa = ( 3;2;-1) , b = (4;-2;7). Laäp phöông trình maët phaúng (P) .	 

Baøi 2 : 	Trong khoâng gian cho 3 ñieåm A(2;-1;1) , B(1;-4;1) , C(1;0;1) . Laäp phöông trình maët phaúng (ABC)	 

Baøi 3 :	Cho 2 ñieåm A(2;-1;3) , B(2;1;-1) . 
	Laäp phöông trình maët phaúng trung tröïc (P) cuûa AB .	 

Baøi 4 : 	Cho 2 ñieåm A (7;2;-3) , B(5;6;-4) . Laäp phöông trình maët phaúng (P) chöùa A , B vaø song song vôùi truïc hoaønh .	

Baøi 5 : 	Laäp phöông trình maët phaúng (P) ñi qua M(2;-1;1) vaø vuoâng goùc vôùi caùc maët phaúng : 2x – z + 1 = 0 ; y = 0 .	 

Baøi 6 : 	Laäp phöông trình maët phaúng (P) ñi qua goác toïa ñoä O vaø vuoâng goùc vôùi caùc maët phaúng : 2x – y + 3z - 1 = 0 ; x+ 2y + z = 0 

Baøi 7 : 	Cho 2 ñieåm A(1;-1;-2) vaø B(3;1;1) vaø maët phaúng (P) : x – 2y + 3z – 5 = 0 . Laäp phöong trình maët phaúng (Q) ñi qua A , B vaø vuoâng goùc vôùi maët phaúng (P) .

Bài 8: 	Trong khoâng gian Oxyz, laäp phöông trình toång quaùt cuûa maët phaúng (P) 
1/ Ñi qua ñieåm M(3,-2,5) vaø vuoâng goùc vôùi vectô n = (4,-3,2)
2/ Ñi qua ñieåm N(1,6,-2) vaø vuoâng goùc vôùi (D) ñi qua 2 ñieåm 
A(2,-5,6), B(-1,-3,2)
3/ Ñi qua ñieåm E(-2,3,1) vaø coù caëp vectô chæ phöông 
a = (3,-5,2) , b = (1,-4,3)
4/ Ñi qua 2 ñieåm A(4,0,2) , B(1,3,-2) vaø coù 1 VTCP a = ( 4,5,3)
5/ Ñi qua 3 ñieåm khoâng thaúng haøng A(1,-2,4) , B(3,2,-1), C(-2,1,-3)
6/ Ñi qua ñieåm M(2,-3,4) vaø song song vôùi maët phaúng 
 (Q): 4x – 3y + 2z – 5 = 0 
7/ Caét 3 truïc taïi A(2,0,0), B(0,-3,0) , C(0,0,6)
8/ Ñi qua 2 ñieåm A(1,3,-5) , B(-2,-1,1) vaø song song vôùi truïc x’Ox .
9/ Ñi qua ñieåm M(2,-5,3) vaø vuoâng goùc vôùi OM
10/ Ñi qua ñieåm N(2,-3,4) vaø vuoâng goùc vôùi truïc y’Oy 
11/ (P) laø maët phaúng trung tröïc cuûa AB vôùi A(3,-2,5) , B(-5,4,7)
12/ Ñi qua ñieåm E(-4,3,-2) vaø chöùa truïc y’Oy
13/ Ñi qua 2 ñieåm A(2,-1,4) , B(3,2,1) vaø vuoâng goùc 
maët phaúng (Q) : 2x – y + 3z - 5 = 0 
14/ Qua ñieåm M(-1,4,-3) vaø vuoâng goùc vôùi hai maët phaúng 
(Q) : x – 2y + z + 4 = 0 ; (R): 3x + y – 2z – 1 = 0.

Bài 10:	Laäp phöông trình toång quaùt cuûa maët phaúng (P) :
Chöùa truïc Ox vaø ñieåm A (4,-1,2)
Chöùa truïc Oy vaø ñieåm B (1,4,3)
Chöùa truïc Oz vaø ñieåm C (3,-1,7)

Bài 11: Viết phương trình mặt phẳng (P):
a/ Song song với (Q): 3x – y – 2z + 4 = 0 và hợp với 3 mặt phẳng tọa độ 1 tứ diện có thể tích bằng 8.
b/ Qua M(4;2;8) và tạo cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho OA:OB:OC = 1:2:3

Bài 12: Viết phương trình tham số, chính tắc và tổng quát của các đường thẳng trong các trường hợp sau:
1/ Đi qua điểm (2;0;-1) và có VTCP (-1;3;5)
2/ Đi qua điểm (-2;1;-1) và có VTCP (0;0;-5)
3/ Đi qua 2 điểm (2;3;-1) và (1;2;4)
4/ Đi qua điểm (4;2;-2) cà song song với đường thẳng AB với A(5;3;2) và B(2;1;-2)
5/ Qua điểm (-1;4;3) và vuông góc với trục z’Oz tại K
6/ Qua (3;2;-1) và song song với trục Ox.
7/ Qua (2;-5;3) và song song với đường thẳng (d’) 
8/ Qua (-2;3;4) và vuông góc với mặt phẳng (xOy)

Bài 13: Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) trong các trường hợp sau:
1/ Biết phương trình tổng quát của (d) 
2/ Qua (2;-3;4) và song song với (d’) 
3/ Qua (1;-2;5) và vuông góc với mp (P): 4x–3y+2z+5 = 0


Bài 14: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng (d) trong các trường hợp sau:
1/ Qua (3;2;2) và vuông góc với mp(xOy)
2/ Qua (2;3;4) và vuông góc với trục y’Oy tại H
3/ Qua (-1;3;5) và song song với đường thẳng
	(d’): 	
4/ (d) lần lượt là giao tuyến của mặt phẳng (Q): 2x + 4y – z + 5=0 với 3 mặt phẳng tọa độ.

Bài 15: Cho tam giác ABC, với A(3;2;-1), B(1;4;-2) và C(5;-2;3). 
Viết phương trình tổng quát của:
1/ Trung tuyến AM
2/ Đường trung trực của BC trong tam giác ABC
3/ Đường cao AH
4/ Đường phân giác ngoài AD của góc A.

Bài 16: Tìm phương trình tổng quát của đường thẳng (d)
1/ Song song với đường thẳng(d1): và cắt hai đường thẳng (d2): và (d3): 
2/ Qua (2;3;-1) và cắt hai đường thẳng 
(d1): ; 	(d2): 
3/ Qua (3;1;4) và vuông góc với hai đường thẳng
(d1): ; 	(d2): 

BÀI 17: Tìm phương trình tổng quát của (d) trong trường hợp sau:
(d) là hình chiếu vuông góc của đường thẳng 
(d’): trên mặt phẳng(P): 2x – y + 2z+3 =0


Bài 18: Tìm phương trình tổng quát của (d) trong các trường hợp sau: (d) là hình chiếu vuông góc của đường thẳng 
(d’): 
a. Trên mặt phẳng Oxy
b. Trên mặt phẳng Oxz
c. Trên mặt phẳng Oyz

Bài:19	 7,8,9 /93 (SGK)

Bài 20: Cho điểm M(1;2;-1), tìm tọa độ hình chiếu của điểm M 
1/ Trên đường thẳng (d): 
2/ Trên đường thẳng (d): 
3/ Trên đường thẳng (d): 
Bài 21: Cho điểm M(1;2;-1), tìm tọa độ hình chiếu của điểm M
1/ Trên mặt phẳng (P): 2x + y – 3z = 0
2/ Trên mặt phẳng Oxy
3/ Trên mặt phẳng Oxz
4/ Trên mặt phẳng Oyz

Bài 22: Cho điểm M(1;2;0), và đường thẳng
(d): 
1/ Tìm tọa độ hình chiếu H của M trên (d)
2/ Tìm tọa độ điểm N đối xứng của M qua (d)

Bài 23: Cho điểm A(2;3;1) và đường thẳng (d): 
Gọi H là hình chiếu của A trên (d) và B là điểm đối xứng của A qua (d).
1/ Tính AB
2/ Tính tọa độ của H và B.

Bài 24: Cho đường thẳng (d): và điểm M(1;2;3)
1/ Tìm phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với (d)
2/ Tính tọa độ giao điểm A của (P) và (d)
3/ Tìm phương trình đường thẳng MA
4/ Gọi N là điểm đối xứng của M qua (d), tính MN.

Baøi 25: Laäp phöông trình maët phaúng chöùa ñöôøng thaúng 
(d) : vaø vuoâng goùc vôùi maët phaúng 
(P): x – 2y + z + 5 = 0 

Baøi 26 : Cho hai ñöôøng thaúng coù phöông trình :
(d1) : 	(d2) : 
a/ Vôùi a cho tröôùc haõy vieát phöông trình maët phaúng (P) ñi qua (d1) vaø song song vôùi (d2)
b/ Ñònh a ñeå toàn taïi maët phaúng (Q) ñi qua (d1) vaø vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng (d2)

Baøi 27 :Laäp phöông trình chính taéc cuûa ñöôøng thaúng 
(d) : 

Baøi 28 :Trong khoâng gian toïa ñoä tröïc chuaån Oxyz vieát phöông trình ñöôøng thaúng qua ñieåm M(2,3,-5) vaø song song vôùi ñöôøng thaúng (d1) coù phöông trình : 	

Baøi 29 :Trong khoâng gian toïa ñoä tröïc chuaån Oxyz vieát phöông trình ñöôøng thaúng qua ñieåm A(3,2,1) caét vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng (d) coù phöông trình : 
Baøi 30 :Trong khoâng gian toïa ñoä tröïc chuaån Oxyz vieát phöông trình hình chieáu cuûa ñöôøng thaúng : leân maët phaúng : 
x + 2y + 3z + 4 = 0 

Baøi 31 :Laäp phöông trình ñöôøng thaúng qua ñieåm M(-4,-5,3) vaø caét hai ñöôøng thaúng : 
(d1) : ;	(d1) : 

Baøi 31:	Trong khoâng gian toïa ñoä tröïc chuaån Oxyz vieát phöông trình ñöôøng thaúng qua ñieåm A(3,2,1) vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng (d) coù phöông trình : vaø caét ñöôøng thaúng 
(d’) : 

Baøi 32:	Trong khoâng gian toïa ñoä tröïc chuaån Oxyz cho ñöôøng thaúng (d) coù phöông trình : maët phaúng (P) : 2x + y + z – 1 = 0 
	Vieát phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua giao ñieåm cuûa (d) vaø (P) , vuoâng goùc vôùi (d) vaø naèm trong (P).

Baøi 33:	Cho ñöôøng thaúng vaø maët phaúng coù phöông trình : 
(d) : vaø maët phaúng (P) : x + y + z = 0 
a/ Tìm giao ñieåm A giöõa (d) vaø (P) 
b/ Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d’) qua A vaø vuoâng goùc vôùi (P) vaø naèm trong (P) .

Baøi 34:	Cho maët phaúng (P) vaø ñöôøng thaúng (d) coù phöông trình : 
(P) : 6x – y + 4z – 5 = 0 ;	(d) : 
Chöùng minh (d) // ( P)
Tìm khoaûng caùch töø (d) ñeán (P) .

Baøi 35: Chöùng minh raèng ñöôøng thaúng 
(d) : vaø naèm trong maët phaúng :
 4x – 3y + 7z – 7 = 0 

Baøi 36 :Trong khoâng gian toïa ñoä tröïc chuaån Oxyz cho hai ñöôøng thaúng (d) vaø (d’) laàn löôït coù phöông trình laø:
(d) : ;	(d’) : 
Chöùng minh raèng hai ñöôøng thaúng ñoù vuoâng goùc nhau . Hai ñöôøng thaúng ñoù coù caét nhau khoâng ? 

Baøi 37 :Trong khoâng gian toïa ñoä tröïc chuaån Oxyz cho hai ñöôøng thaúng (d) vaø (d’) laàn löôït coù phöông trình laø:
(d) : ;	(d’) : 
Baøi 38 :Trong khoâng gian toïa ñoä tröïc chuaån Oxyz cho hai ñöôøng thaúng (d) vaø (d’) laàn löôït coù phöông trình laø:
(d) : ;	(d’) : 
Chöùng minh raèng hai ñöôøng thaúng cuøng ôû trong cuøng một maët phaúng . Vieát phöông trình maët phaúng naøy .

Baøi 39:	Cho hai ñöôøng thaúng coù phöông trình :
(d1) : ;	(d2) : 
Chöùng minh (d1) vaø (d2) cheùo nhau 
Tính khoûang caùch giöõa (d1) vaø (d2)
Vieát phöông trình ñöôøng thaúng qua M(2,3,1) vaø caét caû hai ñöôøng thaúng (d1) vaø (d2) 

Baøi 40 :Cho hai ñöôøng thaúng 
(d1) : 	;(d1) : 	
Chöùng minh raènh : ( d1) cheùo vôùi (d2)
Tính khoaûng caùch giöõa (d1) vaø (d2)

Baøi 41 :Cho 4 ñieåm S(1,2,-1) , A(3,4,-1) , B(1,4,1) , C(3,2,1)
Chöùng minh S.ABC laø hình choùp 
Tìm phöông trình toång quaùt cuûa SA , BC
Tìm phöông trình maët phaúng (ABC)
Tính khoaûng caùch giöõa SA vaø BC
Tìm phöông trình ñöôøng thaúng vuoâng goùc chung cuûa SA vaø BC
Tính ñöôøng cao vaø theå tích hình choùp 

Baøi 42 : Tính khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng coù phöông trình 
(d1) : 	;(d1) : 	

Baøi 43 : Tìm khoaûng caùch töø A(1,2,-3) ñeán ñöôøng thaúng (d) coù phöông trình (d) : 	
Baøi 44 : Tìm toïa ñoä ñieåm P’ ñoái xöùng vôùi ñieåm P( -3,1,-1) qua ñöôøng thaúng (d):	

Baøi 45 : Ñònh a ñeå ñöôøng thaúng (d) : 
song song vôùi maët phaúng(P) : 2x – y + az – 2 = 0 

Baøi 46 :Vieát phöông trình maët phaúng chöùa giao tuyeán cuûa 2 mặt phẳng :	3x - 2y + z – 3 = 0 ;	x – 2z = 0 vaø vuoâng goùc vôùi maët phaúng : x – 2y + z + 5 = 0 

Baøi 47 :Laâïp phöông trình maët phaúng (P) qua ñieåm A(2,-1,5) vaø vuoâng goùc vôùi 2 maët phaúng coù phöông trình : 
(P): 3x – 2y + z + 7 = 0 ; 	(Q) : 5x – 4y + 3z + 1 = 0 

Bài 48: Biện luận theo m vị trí tương đối của 2 mặt phẳng
	(P1):	(m+1)x + (m-1)y +(3m-1)z – 6 = 0
	(P2):	(m-1)x + y +(1-m)z + 2 = 0

Bài 49:	Định m để 2 mặt phẳng sau
	(P1):	(m+2)x + (2m+1)y +3z + 2 = 0
	(P2):	(m+1)x + 2y +(m+1)z - 1 = 0
a/ Song song	 b/ Cắt nhau	c/ Trùng nhau
Bài 50: Laäp phöông trình maët phaúng chöùa ñöôøng thaúng (D) 
 
 vaø vuoâng goùc vôùi maët phaúng (P) : x – 2y + z + 5 = 0 
Bài 51: ( ÑH KHOÁI A-2002) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Ñeâcac vuoâng goùc Oxyz cho hai ñöôøng thaúng: 
 Δ1 : và Δ2: 
a) Vieát phöông trình maët phaúng (P) chöùa ñöôøng thaúng Δ1 vaø song song vôùi ñöôøng thaúng Δ2. 
b) Cho ñieåm M (2; 1; 4). Tìm toïa ñoä ñieåm H thuoäc ñöôøng thaúng Δ2 sao cho ñoaïn thaúng MH coù ñoä daøi nhoû nhaát. 
Bài 52:(ÑH KHOÁI B-2002) Cho hình laäp phöông ABCDA1B1C1D1 coù caïnh baèng a. 
a) Tính theo a khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng A1B vaø B1D . 
b) Goïi M,N,P laàn löôït laø caùc trung ñieåm cuûa caùc caïnh BB1, CD,A1D1 .Tính goùc giöõa hai ñöôøng thaúng MP vaø C1N .

Bài 53 ( ÑH KHOÁI D-2002): Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Ñeâcac vuoâng goùc Oxyz, cho maët phaúng 
(P): 2x – y + 2 = 0 vaø ñöôøng thaúng dm : 
 (m laø tham soá)
Xaùc ñònh m ñeå ñöôøng thaúng dm song song vôùi maët phaúng (P). 

Bài 54 ( ÑH KHOÁI A-2003): 
Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Ñeâcac vuoâng goùc Oxyzcho hình hoäp chöõ nhaät ABCD.A’B’C’D’ coù A truøng vôùi goác toïa ñoä, B(a;0;0), D(0; a; 0), A’(0; 0; b) ( a > 0, b > 0). Goïi M laø trung ñieåm CC’. 
a. Tính theå tích khoái töù dieän BDA’M theo a vaø b. 
b. Xaùc ñònh tyû soá a/b ñeå hai maët phaúng (A’BD) vaø (MBD) vuoâng goùc vôùi nhau

Bài 54 ( ÑH KHOÁI B-2003): Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Ñeâcac vuoâng goùc Oxyz cho hai ñieåm A(2;0;0), B(0;0;8) vaø ñieåm C sao cho . Tính khoaûng caùch töø trung ñieåm I cuûa BC ñeán ñöôøng thaúng OA. 

Bài 55 ( ÑH KHOÁI D-2003): 
Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Ñeâcac vuoâng goùc Oxyz
cho ñöôøng thaúng Tìm k ñeå ñöôøng thaúng dk vuoâng goùc vôùi maët phaúng (P): x – y – 2z + 5 = 0


Bài 56 ( ÑH KHOÁI A-2004): 
Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình thoi, AC caét BD taïi goác toïa ñoä O. Bieát A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), S(0; 0; ). Goïi M laø trung ñieåm cuûa caïnh SC. 
a) Tính goùc vaø khoaûng caùch hai ñöôøng thaúng SA, BM. 
b) Giaû söû maët phaúng (ABM) caét ñöôøng thaúng SD taïi ñieåm N. Tính theå tích khoái choùp S.ABMN. 

Bài 57( ÑH KHOÁI D -2004): 
Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho hình laêng truï ñöùng ABCA1B1C1. Bieát A(a;0;0); B(−a;0;0); C (0; 1; 0); B1(−a; 0; b) với a > 0, b > 0. 
a) Tính khoaûng caùch giöõa 2 ñöôøng thaúng B1C vaø AC1 theo a, b. 
b) Cho a, b thay ñoåi nhöng luoân thoûa maõn a + b = 4. Tìm a, b ñeå khoaûng caùch giöõa 2 ñöôøng thaúng B1C vaø AC1 lôùn nhaát

Bài 58 ( ÑH KHOÁI B-2004): 
Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho ñieåmA (-4; -2; 4) vaø ñöôøng thaúng d: . Vieát phöông trình ñöôøng thaúng Δ ñi qua ñieåm A, caét vaø vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng d. 

Bài 59 ( ÑH KHOÁI A-2005): 
Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho ñöôøng thaúng: 
 d : maët phaúng (P) : 2x + y – 2z + 9 = 0 
a) Tìm toïa ñoä ñieåm I thuoäc d sao cho khoaûng caùch töø I ñeán maët phaúng (P) baèng 2. 
b) Tìm toïa ñoä giao ñieåm A cuûa ñöôøng thaúng d vaø maët phaúng (P). Vieát phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng Δ naèm trong maët phaúng (P), bieát Δ ñi qua A vaø vuoâng goùc vôùi d. 

Bài 60( ÑH KHOÁI B-2005): 
Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho hình laêng truï ñöùng ABC.A1B1C1 vôùi A(0; -3; 0), B(4; 0; 0), C(0; 3; 0), B1(4; 0; 4). 
 a) Tìm toïa ñoä caùc ñænh A1, C1. Vieát phöông trình maët caàu coù taâm laø A vaø tieáp xuùc vôùi maët phaúng (BCC1B1). 
 b) Goïi M laø trung ñieåm cuûa A1B1 . Vieát phöông trình maët phaúng (P) ñi qua hai ñieåm A, M vaø song song vôùi BC1. Maët phaúng (P) caét ñöôøng thaúng A1C1 taïi ñieåm N. Tính ñoä daøi MN. 

Bài 61( TN THPT 2003-2004): 
 Trong kg Oxyz cho 4 điểm A(1;-1;2), B(1;3;2), C(4;3;2), D(4;-1;2).
1/ CMR A, B, C, D là 4 điểm đồng phẳng
2/ Gọi A’ là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng Oxy. Hãy viết phương trình mặt cầu (S) đi qua 4 điểm A, B, C, D.
3/ Viết phương trình tiếp diện (P) của mặt cầu (S) tại điểm A’.

Bài 62( TN THPT 2002-2003): 
	Trong kg Oxyz cho 4 điểm A, B, C, D có tọa độ xác định bởi hẹ thức
A(2;4;-1), 
1/ CMR Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
2/ Viết phương trình tham số của đường vuông góc chung (d) của 2 đường thẳng AB và CD. Tính góc giữa đường thẳng (d) và mặt phẳ