Chuyên đề Phương pháp tọa độ trong phép biến hình

Phần I. Phương pháp tọa độ trong phép biến hình
Bài 1. Phép biến hình
Tóm tắt lý thuyết:
Định nghĩa: 
Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy, phép biến hình f là một quy tắc để với mỗi điểm M(x;y), xác định được một điểm duy nhất M’(x’;y’). Điểm M’(x’;y’) gọi là ảnh của điểm M(x;y) qua phép biến hình f.
Qua phép biến hình f nếu "M(x;y)Î(C):G(x;y)=0 có ảnh là M’(x’;y’)Î(C’):G’(x’;y’)=0 thì đường (C’) được gọi là ảnh của đường (C) trong phép biến hình f. 
Người ta ký hiệu (C’):G’(x;y)=0 (đổi x’ thành x và y’ thành y) là ảnh của (C):G(x,y)=0 qua phép biến hình f.
Đặc biệt: Nếu f(M)=M’, f(N)=N’ có MN=M’N’ thì f là một phép dời hình.
Tính chất của một phép dời hình:
Phép dời hình f:
Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó;
Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia;
Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó;
Biến tam giác thành tam giác bằng nó;
Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính;
Biến góc thành góc bằng nó.
Phép chiếu vuông góc lên đường thẳng d:
Trong phép chiếu vuông góc lên đường thẳng d:Ax+By+C=0 (A2+B2≠0), ảnh của M(x;y) là H(x’;y’) có tọa độ:
	Công thức này chỉ có giá trị kiểm nghiệm vì khó nhớ.
Chú ý:
a. Để tìm ảnh H của M(a;b) trong phép chiếu vuông góc lên đường thẳng d:Ax+By+C=0 (A2+B2≠0) ta thực hiện các bước:
Viết phương trình đường thẳng (D) đi qua M(a;b) và vuông góc d ( vectơ chỉ phương của d là vectơ pháp tuyến của (D)). 
 Khi đó (D): B(x-a)-A(y-b)=0
Giải hệ:
để tìm tọa độ của H 
b. Để chứng minh phép biến hình f là một phép dời hình ta thực hiện các bước:
Lấy M(x1;y1) và N(x2;y2), qua phép biến hình f ta tìm f(M)=M’ và f(N)=N’.
Dùng công thức khoảng cách giữa hai điểm chứng minh MN=M’N’.
Kết luận f là một phép dời hình.
Bài tập áp dụng:
Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy, tìm tọa độ của H là hình chiếu vuông góc của M(2;-1) lên đường thẳng d: x-2y+1=0.
Giải:
Gọi (D) là đường thẳng đi qua M(2;-1) và vuông góc d, khi đó vectơ chỉ phương của d là vectơ pháp tuyến của (D). Phương trình đường thẳng (D): 
-2(x-2)-1(y+1)=0 Û 2x+y-3=0
Tọa độ của H là nghiệm của hệ:
	Vậy H(1;1).
Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy, cho A(4;1) và B(2;-3). Gọi I và J lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và B trên các trục Ox và Oy. Tìm độ dài đoạn thẳng IJ.
Giải:
Vì I là hình chiếu vuông góc của A trên trục Ox nên I(4;0), Vì J là hình chiếu vuông góc của B trên trục Oy nên J(0;-3). Vậy độ dài đoạn thẳng IJ=
Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy, cho A(4;1) và B(2;-3). Tìm độ dài đoạn thẳng IJ là hình chiếu vuông góc của đoạn AB lên đường thẳng d: x+2y+1=0.
Giải:
Vì cùng phương với vectơ pháp tuyến của đường thẳng d nên AB^d và AB đi qua A có vectơ chỉ phương Þ AB có vectơ pháp tuyến Þ AB:2x-y-7=0 Þ IºJ() ÞIJ=0
Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy, cho phép biến hình f biến mỗi điểm M(x;y) thành điểm M’(x’;y’) sao cho:
trong đó a2+c2=b2+d2=1; ab+cd=0. 
Chứng minh rằng f là một phép dời hình.
Giải: Qua phép biến hình f ta có:
M(x1;y1) có ảnh là M’(ax1+by1+p; cx1+dy1+q)
N(x2;y2) có ảnh là N’(ax2+by2+p; cx2+dy2+q)
	Khi đó: MN=
M’N’=
=
 =(vì a2+c2=b2+d2=1; ab+cd=0). 
 =MN
Vậy f là một phép dời hình.
Bài 2. Phép tịnh tiến 
A.Tóm tắt lý thuyết:
Định nghĩa: 
Phép tịnh tiến theo vectơ là một phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ sao cho .
Ký hiệu: T hoặc và là vectơ tịnh tiến.
Phép tịnh tiến là một phép dời hình
Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến: 
 Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy, Phép tịnh tiến theo vectơ =(a;b) biến điểm M(x;y) thành điểm M’(x’;y’) thỏa:
Tính chất của phép tịnh tiến: Vì phép tịnh tiến là một phép dời hình nên có tính chất của một phép dời hình.
Phương pháp giải toán:
Ta thường gặp dạng bài tập tìm ảnh của một điểm, của một đường thẳng hoặc ảnh của một đường tròn trong phép tịnh tiến :
Ảnh của M(x;y) trong phép tịnh tiến với=(a;b) là M’(x+a;y+b).
Ảnh của đường thẳng d:Ax+By+C=0 trong phép tịnh tiến với=(a;b) là đường thẳng d’ có phương trình: A(x’-a)+B(y’-b)+C=0.
Ảnh của đường tròn (C): (x-x0)2+(y-y0)2= R2 trong phép tịnh tiến với =(a;b) là đường tròn (C’):(x’-a-x0)2+(y’-b-y0)2=R2.
Các kềt quả trên có được nhờ vào biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.
Bài tập áp dụng:
Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy, tìm tọa độ của M’ là ảnh của M(2;3) trong phép tịnh tiến với=(-1;5)
Giải: Gọi M’(x’;y’) là ảnh của M(2;3) trong phép tịnh tiến với=(-1;5). Theo định nghĩa: nên ta có biểu thức: 
	Vậy M’(1;8).
Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy, tìm ảnh của đường thẳng d:2x-y+1=0 trong phép tịnh tiến với=(3;-4)
Giải: "M(x;y)Îd Û 2x-y+1=0 (1) 
Gọi M’(x’;y’) là ảnh của M(x;y) trong phép tịnh tiến với=(3;-4). Ta có biểu thức: 
	Thay x và y này vào (1) ta có: 
2(x’-3)-(y’+4)+1=0 Û2x’-y’-9=0
Vậy ảnh của đường thẳng d là đường thẳng d’: 2x-y-9=0.
Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy, tìm ảnh của đường tròn (C): (x-1)2+(y+2)2=4 trong phép tịnh tiến với=(-2;3)
Giải: 
Cách 1: "M(x;y)Î(C) Û (x-1)2+(y+2)2=4 (1) 
Gọi M’(x’;y’) là ảnh của M(x;y) trong phép tịnh tiến với=(-2;3). Ta có biểu thức: 
	Thay x và y này vào (1) ta có: 
(x’+2-1)2+(y’-3+2)2=4Û(x’+1)2+(y’-1)2=4
Vậy ảnh của đường tròn (C) là đường tròn (C’):(x+1)2+(y-1)2=4 có tâm I’(-1;1), bán kính R=2.
Cách 2: Đường tròn (C): (x-1)2+(y+2)2=4 có tâm I(1;-2), bán kính R=2
Gọi đường tròn (C’) là ảnh của (C) trong phép tịnh tiến với=(-2;3).
Trong phép tịnh tiến tâm I(1;-2) của đường tròn (C) có ảnh là tâm I’(-1;1) của đường tròn (C’). Vì (C’) và (C) là hai đường tròn có cùng bán kính R=2 nên: 
(C’): (x+1)2+(y-1)2=4.
Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy, cho đường thẳng d:x-2y+1=0 và điểm I(2;-1).
Chứng minh rằng IÏd. Viết phương trình của đường thẳng (D) đi qua I và (D) song song với d.
Cho A(-3;2) và B(5;0). Chứng minh A và B không nằm ở phần mặt phẳng ở giữa hai đường thẳng d và (D).
Tìm tọa độ của MÎd và của NÎ(D) sao cho AM+BN ngắn nhất.
Giải: 
Thay tọa độ của I(2;-1) vào vế trái phương trình đường thẳng d: 2-2(-1)+1=5≠0Þ IÏd.
Vì (D) song song với d nên (D) và d có cùng vectơ pháp tuyến =(1;-2). 
Phương trình (D): 1(x-2)-2(y+1)=0 Û x-2y-4=0.
Ta có: d//(D)
	Từ d:x-2y+1=0, xét F(x,y)= x-2y+1 và từ (D):x-2y-4=0 xét G(x,y)= x-2y-4. Chọn O(0;0) nằm ở phần mặt phẳng ở giữa hai đường thẳng d và (D).
Vì F(0;0)=1>0 và G(0,0)= -4<0 nên ở phần mặt phẳng ở giữa hai đường thẳng d và (D) ta có F(x,y).G(x,y)<0 
Vì F(xA,yA).G(xA,yA)= F(-3,2).G(-3,2)= -6. (-11)>0 nên A không nằm ở phần mặt phẳng ở giữa hai đường thẳng d và (D).
	Vì F(xB,yB).G(xB,yB)= F(5,0).G(5,0)= 6.1>0 nên B không nằm ở phần mặt phẳng ở giữa hai đường thẳng d và (D).
	Vì F(xA,yA)=-60 và G(xB,yB)=1>0 nên A và B nằm về hai phía khác nhau so với phần mặt phẳng ở giữa hai đường thẳng d và (D).
Ta xác định được hình chiếu vuông góc của I trên d là H(1;1). Vậy trong phép tịnh tiến theo vectơ đường thẳng d biến thành đường thẳng (D).
Dựng = ta có A’(-2;0), điểm N cần xác định là giao điểm của A’B với (D). Phương trình A’B: y=0 .
Vậy tọa độ của N là nghiệm của hệ:
ÞN(4;0), dựng MN^d và MÎd
Đường thẳng MN đi qua N(4;0) và có vectơ chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến =(2;1). Vậy MN có phương trình 2(x-4)+1(y-0)=0 Û2x+y-8=0.
Vậy tọa độ của M là nghiệm của hệ:
ÞM(3;2)
Vì AA’NM là một hình bình hành nên AM=A’N.
Vì A’, N và B thẳng hàng nên A’N+NB=AM+BN ngắn nhất.
Vậy M(3;2) và N(4;0) là hai điểm cần tìm.
Bài 3. Phép đối xứng trục
Tóm tắt lý thuyết:
Định nghĩa: 
Phép đối xứng trục d là phép biến hình biến M thành M’ sao cho d là đường trung trực của đoạn MM’.
Khi MÎd thì M’Îd
Ký hiệu: Đd
Phép đối xứng trục d là phép dời hình
Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục: 
 Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy, Phép đối xứng trục d: Ax+By+C=0 (A2+B2≠0), biến điểm M(x;y) thành điểm M’(x’;y’) thỏa:
	Công thức này chỉ có giá trị kiểm nghiệm vì khó nhớ.
Chú ý:
Để tìm ảnh M’ của M(a;b) trong phép đối xứng trục d:Ax+By+C=0 (A2+B2≠0) ta thực hiện các bước:
Viết phương trình đường thẳng (D) đi qua M(a;b) và vuông góc d ( vectơ chỉ phương của d là vectơ pháp tuyến của (D)). 
 Khi đó (D): B(x-a)-A(y-b)=0
Giải hệ:
để tìm tọa độ của H là hình chiếu vuông góc của M trên d.
Vì M’(x’;y’) đối xứng với M(a;b) qua d nên H là trung điểm của M’M. Ta có:
Từ đây tìm được M’.
Các phép đối xứng trục đặc biệt:
M(x;y) đối xứng M’(x;-y) qua Ox
M(x;y) đối xứng M’(-x;y) qua Oy
M(x;y) đối xứng M’(y;x) qua phân giác y=x
M(x;y) đối xứng M’(-y;-x) qua phân giác y= -x
Tính chất của phép đối xứng trục: Vì phép đối xứng trục là một phép dời hình nên có tính chất của một phép dời hình. 
Phương pháp giải toán:
Ta thường gặp dạng bài tập tìm ảnh của một điểm, của một đường thẳng hoặc ảnh của một đường tròn trong phép đối xứng trục Đd:
Ảnh của M(x;y) trong phép đối xứng trục Đd là M’(x’;y’) thỏa biểu thức tọa độ trên (hoặc thực hiện như chú ý).
Ảnh của đường thẳng (D) trong phép đối xứng trục Đd là đường thẳng (D’):
Nếu (D)//d thì (D’)//d. Tìm phương trình đường thẳng (D’):
Chọn MÎ(D) và đi tìm M’ đối xứng với M qua d Þ M’Î(D’)
(D’) là đường thẳng đi qua M’ và có cùng vectơ pháp tuyến với (D).
Nếu (D)cắt d tại I thì (D’) cắt d tại I (không xét trường hợp (D) vuông góc với d). Tìm phương trình đường thẳng (D’):
Chọn MÎ(D) và đi tìm M’ đối xứng với M qua d Þ M’Î(D’)
Giải hệ gồm phương trình của (D) và của d tìm được tọa độ của I Þ IÎ(D’)
Viết phương trình đường thẳng (D’) đi qua 2 điểm I và M’.
Ảnh của đường tròn (C) trong phép đối xứng trục Đd là đường tròn (C’) có cùng bán kính với (C) và có tâm I’ đối xứng với tâm I của (C) qua đường thẳng d.
Bài tập áp dụng:
Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy, tìm tọa độ của M’ là ảnh của M(2;-1) qua phép đối xứng trục d: x-2y+1=0.
Giải:
Gọi (D) là đường thẳng đi qua M(2;-1) và vuông góc d, khi đó vectơ chỉ phương của d là vectơ pháp tuyến của (D). Phương trình đường thẳng (D): 
-2(x-2)-1(y+1)=0 Û 2x+y-3=0
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên d, tọa độ của H là nghiệm của hệ:
Þ H(1;1).
Điểm M’(x’;y’) đối xứng với M(x;y) qua trục d khi H là trung điểm của MM’. Tọa độ của M’ là:
Vậy M’(0;3)
Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy, cho hai điểm A(-1;1) và B(2;4). Tìm trên Ox điểm M sao cho tổng AM+BM nhỏ nhất.
Giải: 
Vì yA.yB=1.4=4>0 nên A và B nằm về cùng một phía so với Ox:y=0.
Gọi A’(-1;-1) là điểm đối xứng với A(-1;1) qua Ox.
Nếu A’B cắt Ox tại M thì AM=A’M. Vì A’, M, B thẳng hàng nên A’M+MB=AM+BM ngắn nhất. Vậy M cần tìm là giao điểm của A’B với Ox.
Đường thẳng A’B đi qua A’(-1;-1) và có vectơ chỉ phương nên A’B có vectơ pháp tuyến .
Vậy A’B: 5(x+1)-3(y+1)=0 Û 5x-3y+2=0
Tọa độ của M là nghiệm của hệ:
Vậy là điểm cần tìm.
Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy, cho đường tròn (C):(x-1)2+(y+2)2=9. Tìm ảnh của (C) trong phép đối xứng qua đường phân giác d:y=x.
Giải: Đường tròn (C):(x-1)2+(y+2)2=9 có tâm I(1;-2) và bán kính R=3. Trong phép đối xứng qua đường phân giác d:y=x đường tròn (C) có ảnh là đường tròn (C’) có tâm I’(-2;1) và bán kính R’=R=3 . Vậy (C’):(x+2)2+(y-1)2=9
Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy, cho tam giác ABC có A(4;0), B(0;2) và C(-1; -5). 
Chứng minh rằng tam giác ABC có góc A nhọn. Tìm tọa độ trong tâm G của tam giác ABC.
Viết phương trình của các đường thẳng AB và AC.
Tìm tọa độ các điểm MÎAB và NÎAC để tam giác GMN có chu vi nhỏ nhất.
Giải: 
Ta có và . Khi đó:
Þ cosA>0 Þ A nhọn
G là trọng tâm của tam giác ABCÛ nên trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ:
Þ G(1;-1)
Phương trình AB có dạng đoạn chắn:
Ûx+2y-4=0
AC đi qua A(4;0) và có vectơ chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến nên có phương trình:
1(x-4)-1(y-0)Ûx-y-4=0
Vì G nằm trong góc nhọn BAC nên :
Ta tìm được I(3;3) đối xứng với G qua AB và J(3;-3) đối xứng với G qua AC (dựa vào cách tìm một điểm đối xứng với một điểm cho trước qua 1 trục). Gọi M và N lần lượt là giao điểm của IJ với AB và AC. Ta có GM=IM, GN=NJ.
Vì 4 điểm I, M, N, J thẳng hàng nên IM+MN+NJ=GM+MN+GN nhỏ nhất. 
Đường thẳng IJ: x=3 cắt AB tại M(3;) và cắt AC tại N(3;-1).
Vậy với M(3;) ÎAB và N(3;-1)ÎAC thì tam giác GMN có chu vi nhỏ nhất.
Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy, cho ba đường thẳng d:x-2y+1=0 và (D): x-2y-4=0, d1: x+y+1=0.
Chứng minh rằng (D) song song với d. Viết phương trình của đường thẳng (D’) đối xứng với (D) qua d.
Chứng minh rằng d1 cắt d, tìm tọa độ giao điểm I của d và d1. Viết phương trình của đường thẳng d2 đối xứng với d1 qua d.
Giải: 
Vì nên (D) song song với d, do đó qua phép đối xứng trục d, ảnh của đường thẳng (D) là đường thẳng (D’) song song với (D) nên (D) và (D’) có cùng vectơ pháp tuyến . 
Từ phương trình (D) cho y=0Þx=4, ta có M(4;0)Î (D).
Trong phép đối xứng qua d, M(4;0) có ảnh là M’(2;4)Î(D’) 
Vậy (D’): 1(x-2)-2(y-4)=0Ûx-2y+6=0.
Tọa độ giao điểm I của d và d1 (nếu có) là nghiệm của hệ:
Vậy d1 và d cắt nhau tại I(-1;0).
Từ d1: x+y+1=0, cho x=0 Þy=-1 ta có K(0;-1)Î d1
Qua phép đối xứng trục d ta tìm được K’()Î d2
Đường thẳng d2 đối xứng với d1 qua d khi d2 đi qua hai điểm I,K’.
d2 đi qua điểm I(-1;0) và có vectơ chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến . 
Phương trình d2: 7(x+1)+y=0 Û 7x+y+7=0
Bài 4. Phép đối xứng tâm
Tóm tắt lý thuyết:
Định nghĩa: 
Phép đối xứng tâm I là phép biến hình biến M thành M’ sao cho I là trung điểm của đoạn MM’. 
Khi MºI thì M’ºI
Ký hiệu: ĐI. I được gọi là tâm đối xứng.
Phép đối xứng tâm I là phép dời hình
Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm: 
Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy, Phép đối xứng tâm I(a;b), biến điểm M(x;y) thành điểm M’(x’;y’) thỏa:
Phép đối xứng tâm đặc biệt: M’(-x;-y) đối xứng M(x; y) qua O
Tính chất của phép đối xứng tâm: Vì phép đối xứng tâm là một phép dời hình nên có tính chất của một phép dời hình.
Phương pháp giải toán:
Ta thường gặp dạng bài tập tìm ảnh của một điểm, của một đường thẳng hoặc ảnh của một đường tròn trong phép đối xứng tâm ĐI:
Ảnh của M(x;y) trong phép đối xứng tâm ĐI là M’(x’;y’) thỏa biểu thức tọa độ trên.
 Ảnh của đường thẳng (D): Ax+By+C=0 trong phép đối xứng tâm ĐI là đường thẳng (D’)//(D). Tìm phương trình đường thẳng (D’):
Cách 1: Chọn M(x;y)Î(D) và đi tìm M’(x’;y’) đối xứng với M qua I Þ M’Î(D’): A(2a-x’)+B(2b-y’)+C=0
Cách 2: Vì (D’)//(D) nên (D’): Ax+By+C’=0 (C’¹C)
Dùng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đưòng thằng: d(I, D’)= d(I, D) tìm được C’. Từ đó tìm được phương trình của đường thẳng (D’).
Ảnh của đường tròn (C) trong phép đối xứng tâm I là đường tròn (C’) có cùng bán kính với (C) và có tâm I0’ đối xứng với tâm I0 của (C) qua I (hoặc dùng phép biến hình: phép đối xứng tâm).
Bài tập áp dụng:
Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy, tìm tọa độ của M’ là ảnh của M(2;-1) qua phép đối xứng tâm I(3; 1).
Giải: Gọi M’(x’;y’) là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I(3;1). Ta có:
Vậy M’(4;3)
Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy, tìm ảnh của đường thẳng d:x+y-1=0 qua phép đối xứng tâm I(3; 1).
Giải: 
Cách 1: "M(x;y)ÎdÛ x+y-1=0 (1)
Gọi M’(x’;y’) là ảnh của M(x;y) qua phép đối xứng tâm I(3;1). Ta có:
Thay (x;y) này vào (1): 6-x’+2-y’-1=0Ûx’+y’-7=0
M(x’;y’)Îd’Û x+y-7=0 
Vậy d’: x+y-7=0
Cách 2: Qua phép đối xứng tâm I(3;1) d có ảnh là d’//d.
Vậy d’:x+y+C=0 với C≠-1
Vì I cách đều d và d’ nên:
Û|C+4|=3ÛC+4=-3 hoặc C+4=3
ÛC=-7 hoặc C=-1(loại)
Vậy d’: x+y-7=0
Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy, tìm ảnh của đường tròn (C):(x-1)2+(y-1)2=4 qua phép đối xứng tâm I(3; 1).
Giải: 
Cách 1: "M(x;y)Î(C)Û (x-1)2+(y-1)2=0 (1)
Gọi M’(x’;y’) là ảnh của M(x;y) qua phép đối xứng tâm I(3;1). Ta có:
Thay (x;y) này vào (1): (6-x’-1)2+(2-y’-1)2=4Û(x’-5)2+(y’-1)2=4
Vậy M(x’;y’)Î (C’):(x-5)2+(y-1)2=4
Vậy (C’):(x-5)2+(y-1)2=4 là ảnh của (C) qua phép đối xứng tâm I(3;1).
Cách 2: Đường tròn (C):(x-1)2+(y-1)2=4 có tâm I0(1;1) và bán kính R=2. Qua phép đối xứng tâm I(3;1) đường tròn (C) có ảnh là đường tròn (C’) có tâm I0’(5;1) và bán kính R’=R=2.
Vậy (C’):(x-5)2+(y-1)2=4.Bài 5. Phép quay
Tóm tắt lý thuyết:
Định nghĩa: 
Phép quay tâm I góc quay là phép biến hình biến I thành I, biến mỗi điểm M thành M’ sao cho IM=IM’ và (IM,IM’)= (góc lượng giác không đổi) . 
Ký hiệu: Q( I,)
Phép quay tâm I góc quay là phép dời hình
Biểu thức tọa độ của phép quay tâm I góc quay : 
Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy, Phép quay tâm I(a;b) góc quay , biến điểm M(x;y) thành điểm M’(x’;y’) thỏa:
Đặc biệt: Phép quay tâm I(a;b) góc quay với:
=900:
=-900:
=±1800:
Tính chất của phép quay tâm I góc quay : Vì phép quay tâm I góc quay là một phép dời hình nên có tính chất của một phép dời hình.
Phương pháp giải toán:
Ta thường gặp dạng bài tập tìm ảnh của một điểm, của một đường thẳng hoặc ảnh của một đường tròn trong phép quay tâm I góc quay :
Ảnh của M(x;y) trong phép quay tâm I góc quay là M’(x’;y’) thỏa biểu thức tọa độ trên.
 Ảnh của đường thẳng (D) trong phép quay tâm I góc quay là đường thẳng (D’).
Ảnh của đường tròn (C) trong phép quay tâm I góc quay là đường tròn (C’) có cùng bán kính với (C).
Bài tập áp dụng:
Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy, cho hình vuông ABCD có thứ tự các đỉnh theo chiều quay ngược với chiều quay kim đồng hồ, cho biết A(-4;5) và C(3;4). Tìm tọa độ các đỉnh B và D.
Giải: 
Ta có I) là tâm của hình vuông ABCD. Đỉnh B là ảnh của A trong phép quay tâm I góc quay =900 nên tọa độ của B là:
Û. 
Vậy B(-1;1)
Đỉnh D là ảnh của C trong phép quay tâm I góc quay =900 nên tọa độ của D là:
Û
Vậy D(-1;1)
(Có thể tìm D bằng cách sử dụng công thức I là trung điểm của BD)
Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy, cho tam giác đều ABC có A(1;3) và B(4;-1). Tìm tọa độ đỉnh C.
Giải: 
Ta có A(1;3) là đỉnh của tam giác đều ABC. Vì C là ảnh của B trong phép quay tâm A góc quay =±600 nên tọa độ của C là:
Khi =600
Û
Trong trường hợp này ta có C1()
Khi = -600
Û
Trong trường hợp này ta có C2()
Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy, cho đường thẳng d:5x-3y+15=0. Tìm ảnh của d trong phép quay tâm O góc quay 900.
Giải:
"M(x;y)ÎdÛ5x-3y+15=0 (1)
Trong phép quay tâm O góc quay 900 ảnh của M(x;y) là M’(x’;y’) có tọa độ:
Thay cặp (x;y) này vào (1): 5y’-3(-x’)+15=0 Û3x’+5y’+15=0
Vậy M’(x’;y’) Îd’:3x+5y+15=0.
Vậy ảnh của đường thẳng d trong phép quay tâm O góc quay 900 là đường thẳng d’: 3x+5y+15=0.
Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy, cho đường tròn (C):(x+1)2+(y-2)2=9. Tìm ảnh của (C) trong phép quay tâm O góc quay -900.
Giải: Đường tròn (C) có tâm I(-1;2) và bán kính R=3
Trong phép quay tâm O góc quay -900 đường tròn (C) có ảnh là đường tròn (C’) có bán kính R’=R=9 và có tâm I’ là ảnh của I trong phép quay tâm O góc quay -900:
Tọa độ của I’:
ÞI’(2;1)
Vậy ảnh của đường tròn (C) trong phép quay tâm O góc quay -900 là đường tròn (C’): (x-2)2+(y-1)2=9.
Bài 6. Phép vị tự
Tóm tắt lý thuyết:
Định nghĩa: 
Cho một điểm I cố định và một số k không đổi, k¹0. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành M’ sao cho được gọi là phép vị tự tâm I, tỉ số k. Ký hiệu: V( I,k).
	Đặc biệt: Khi k=-1 thì phép vị tự là phép đối xứng tâm I
Biểu thức tọa độ của phép vị tự tâm I, tỉ số k: 
Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy, phép vị tự tâm I(a;b), tỉ số k(k¹0) biến điểm M(x;y) thành điểm M’(x’;y’) thỏa:
 hay 
Tính chất của của phép vị tự: Phép vị tự tỉ số k:
Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó;
Biến đường thẳng thành đường thẳng song song (hoặc trùng) với đường thẳng đó, biến tia thành tia;
Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài được nhân lên với |k|;
Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng là |k|;
Biến đường tròn có bán kính R thành đường tròn có bán kính |k|R;
Biến góc thành góc bằng nó.
Tâm vị tự của hai đường tròn: Cho hai đường tròn (I1;R1) và (I2;R2) phân biệt. Nếu có một phép vị tự tâm I tỉ số k(k¹0) biến đường tròn này thành đường tròn kia thì I được gọi là tâm vị tự của hai đường tròn đó.
k>0: I là tâm vị tự ngoài; k<0: I là tâm vị tự trong
Phương pháp giải toán:
Ta thường gặp dạng bài tập tìm ảnh của một điểm, của một đường thẳng hoặc ảnh của một đường tròn trong phép vị tự tâm I, tỉ số k:
Ảnh của M(x;y) trong phép vị tự tâm I, tỉ số k là M’(x’;y’) thỏa biểu thức tọa độ trên.
 Ảnh của đường thẳng (D) trong phép vị tự tâm I, tỉ số k là đường thẳng (D’).
Ảnh của đường tròn (C) bán kính R trong phép vị tự tâm I, tỉ số k là đường tròn (C’) có bán |k|R.
Bài tập áp dụng:
Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy, tìm ảnh của M(1;2) trong phép vị tự tâm I(3;-2) tỉ số k=-3.
Giải: Trong phép vị tự tâm I(3;-2) tỉ số k=-3 ảnh của M(1;2) là M’(x’;y’) có tọa độ: 
Vậy M’(9;-14).
Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy, tìm ảnh của d: 2x+4y-1=0 trong phép vị tự tâm I(1; 2) tỉ số k=2.
Giải: 
"M(x;y)ÎdÛ2x+4y-1=0 (1)
Gọi M’(x’;y’) là ảnh của M(x;y) trong phép vị tự tâm I(1; 2) tỉ số k=2 ta có:
Thay cặp (x;y) này vào (1): 2()+4()-1=0Ûx’+2y’+4=0.
Vậy M’(x’;y’)Îd’: x+2y+4=0.
Kết luận: Trong phép vị tự tâm I(1; 2) tỉ số k=2 đường thẳng d biến thành đường thẳng d’: x+2y+4=0.
Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy, tìm ảnh của (C):x2+y2=1 trong phép vị tự tâm I(-1;1) tỉ số k=-2.
Giải:
"M(x;y)Î (C)Û x2+y2=1 (1)
Gọi M’(x’;y’) là ảnh của M(x;y) trong phép vị tự tâm I(-1;1) tỉ số k= -2 ta có:
Thay cặp (x;y) này vào (1): 
()2+()2=1Û(x’+3)2+(y’-3)2=4
Vậy M’(x’;y’)Î(C’): (x+3)2+(y-3)2=4
Kết luận: Trong phép vị tự tâm I(-1;1) tỉ số k= -2 đường tròn (C) biến thành đường tròn (C’): (x+3)2+(y-3)2=4
Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy, cho hai đường tròn (C):x2+y2=1 và (C’): (x+3)2+(y-3)2=4. Lập phương trình các tiếp tuyến chung của hai đường tròn trên.
Giải: 
Đường tròn (C) có tâm O, bán kính R1=1 và đường tròn (C’) có tâm O’(-3;3), bán kính R2=2.
Vì : ÞOO’>R1+R2 Þ (C) và (C’) ngoài nhau.
Vậy (C) và (C’) có chung 4 tiếp tuyến.
V ì R1¹R2 nên (C) và (C’) có tâm vị tự trong I1 và tâm vị tự ngoài I2
Tìm phương trình của 2 tiếp tuyến chung trong:
 Phép vị tự tỉ số k1= - (k1<0), tâm vị tự trong I1 biến đường tròn (C) thành đường tròn (C’). Ta có: 
Dùng công thức tính tọa độ của I1 chia đoạn O’O theo tỉ số k1=-2 ta tìm được I1(-1;1).
Tiếp tuyến chung trong của (C) và (C’) là đường thẳng (D) đi qua I1(-1;1) và tiếp xúc với (C).
Gọi vectơ pháp tuyến của đường thẳng (D) là , A2+B2¹0, phương trình của (D): A(x+1)+B(y-1)=0 (1)
(D) tiếp xúc với (C)	Û	d(O,D)=R
Û
Û 
Û (A-B)2= A2+B2
Û A.B=0
Û A=0 hoặc B=0
	Vì A2+B2¹0 nên với A=0 ta chọn B=1; với B=0 ta chọn A=1.
	Thay các cặp (A;B) này vào (1) ta có phương trình của 2 tiếp tuyến chung trong của (C) và (C’) là: 
	y-1=0
	x+1=0
Tìm phương trình của 2 tiếp tuyến chung ngoài:
Phép vị tự tỉ số k2= =2 (k2>0), tâm vị tự ngoài I2 biến đường tròn (C) thành đường tròn (C’). Ta có: 
Dùng công thức tính tọa độ của I2 chia đoạn O’O theo tỉ số k2=2 ta tìm được I2(3;-3).
Tiếp tuyến chung ngoài của (C) và (C’) là đường thẳng (D’) đi qua I2(3;-3) và tiếp xúc với (C).
Tương tự ta có phương trình của 2 tiếp tuyến chung ngoài của (C) và (C’) là: 
(9-)x+8y+3-3=0
(9+)x+8y-3-3=0
Kết luận: Hai đường tròn (C) và (C’) có 4 tiếp tuyến chung có phương trình:
y-1=0;
x+1=0;
(9-)x+8y+3-3=0;
(9+)x+8y-3-3=0.
Bài 7. Phép đồng dạng
Tóm tắt lý thuyết:
Định nghĩa: 
Phép biến hình f gọi là phép đồng dạng tỉ số k (k>0) nếu với hai điểm bất kỳ M, N và ảnh M’, N’ của chúng, ta có M’N’=kMN.
Định lý: Phép đồng dạng f tỉ số k đều là hợp thành của một phép vị tự V tỉ số k (k>0) và một phép dời hình D.
Tính chất của phép đồng dạng: Phép đồng dạng:
Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó;
Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia;
Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài được nhân lên với k (k là tỉ số của phép đồng dạng);
Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng là k;
Biến đường tròn có bán kính R thành đường tròn có bán kính kR;
Biến góc thành góc bằng nó.
Bài tập áp dụng:
Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy, cho ba điểm A(1;-1), B(3;2) và C(7;-5). Ta thực hiện liên tiếp 2 phép biến hình: Phép vị tự tâm O tỉ số k=-2 và phép đối xứng tâm I(-1;3) biến A, B, C lần lượt thành A’, B’ và C’.
 Tìm tọa độ của A’, B’ và C’.
 Chứng minh rằng hai tam giác ABC và A’B’C’ đồng dạng.
Giải:
	a)	Trong phép vị tự tâm O tỉ số k điểm M(x;y) có ảnh là M’(x’;y’) thỏa hệ thức:
Với k=-2 ta tìm được ảnh của A, B, C lần lượt là A1(-2;2), B1(-6;-4); C1(-14;10). 
Trong phép đối xứng tâm I(a;b) điểm M’(x’;y’) có ảnh là M’’(x’’;y’’) thỏa hệ thức:
nên ta tìm được ảnh của A1, B1, C1 lần lượt là A’(0;4), B’(4;10); C’(12;-4). 
Vậy qua phép vị tự tâm O tỉ số k=-2 và phép đối xứng tâm I(-1;3) ba điểm A(1;-1), B(3;2) và C(7;-5) có ảnh là ba điểm A’(0;4), B’(4;10); C’(12;-4).
b)Ta có : =(-6;4), =(-4;7), =(2;3), =(-12;8),
 =(-8;14) và =(4;6).
Vì =2, =2 và =2nên tam giác A’B’C’ đồng dạng tam giác ABC theo tỉ số k’=2.
Vậy qua phép vị tự tâm O tỉ số k=-2 và phép đối xứng tâm I(-1;3) ta có phép đồng dạng tỉ số k’=|k|=2 biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ đồng dạng với nó.
Phần II. Một số đề tự luận của phương pháp tọa độ trong phép biến hình
Tất cả các bài tập dưới đây đều xét trong hệ trục tọa độ vuông góc Oxy.
1) Cho phép biến hình f thỏa biến mỗi điểm M(x;y) thành M’(x-2;y+1)
Chứng minh f là một phép dời hình.
Tìm ảnh của elip (E): qua phép biến hình f.
Hướng dẫn hoặc kết quả:
f là một phép dời hình vì f(M)=M’ và f(N)=N’ có M’N’=MN
Ảnh của elip trên là elip:
Cho phép biến hình f thỏa biến mỗi điểm M(x;y) thành M’(x’;y’) sao cho: .
	f có phải là một phép dời hình không? tại sao?
	Hướng dẩn giải: f không là một phép dời h