Chuyên đề phương pháp về tọa độ trong mặt phẳng

Chuyên đề : Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 
Biên soạn: Gv. Nguyễn Mạnh Hùng 0947876689 
1 
Chuyên đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 
A. Kiến thức cần nhớ. 
1. Tọa độ véc tơ trong mặt phẳng. 
+) Mặt phẳng tọa độ là mặt phẳng có xác định một hệ trục tọa độ. Gọi véc tơ ,i j
 
 lần lượt là các véc tơ 
đơn vị của trục hoành và trục tung. Khi đó véc tơ a xi y j 
  
, thì véc tơ ( ; )a x y

. Điểm M thỏa mãn 
M MOM x i y i 
  
 thì điểm M có tọa độ là ( ; ).M MM x y 
+) Nếu 2 2( ; ), ( ; ) ( ; ); | | ( ) ( )A A B B B A B A B A B AA x y B x y AB x x y y AB AB x x y y       
 
+) Cho hai véc tơ 1 2 2 2( ; ), ( ; )a a a b a b
 
, khi đó ta có 1 1 1 1 2 2
2 2
; ( ; )
a b
a b a b a b a b
a b

     

   
, 
1 2( ; )ka ka ka

. 
+) Gọi I là trung điểm của AB khi đó ta có ;
2 2
A B A B
I I
x x y yx y   . 
+) G là trọng tâm tam giác ABC khi đó ;
3 3
A B C A B C
G G
x x x y y yx y     . 
+) Hai véc tơ 1 2 1 2( ; ), ( ; )a a a b b b
 
cùng phương khi và chỉ khi 1 2 2 1a b a b . 
+) A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi ,AB AC
 
 cùng phương. 
+) Tích vô hướng của hai véc tơ 1 2 1 2( ; ), ( ; )a a a b b b
 
 là 1 1 2 2. | || | ( , )osa b a b c a b a b a b  
     
. 
+) 1 1 2 2
2 2 2 2
1 2 1 2
( , ) a b a bCos a b
a a b b


 
 
; 0a b ab  
  
+) Độ dài của véc tơ ( ; )a x y

 là 2 2| |a x y 

. 
2. Đường thẳng trong mặt phẳng . 
a. Phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng trong mặt phẳng 
 Véc tơ 0u 
 
 là vtcp của đường thẳng d nếu giá của nó song song hoặc trùng với d. 
 Véc tơ 0u 
 
 là vtpt của đường thẳng d nếu giá của nó vuông góc với d. 
 Một đường thẳng có vô số véc tơ chỉ phương và véc tơ pháp tuyến; Các véc tơ chỉ phương 
(pháp tuyến) của các đường thẳng này cùng phương với nhau. 
 Đường thẳng d đi qua 0 0( ; )oM x y nhận véc tơ ( ; )u a b

làm vtcp có phương trình tham số dạng 
0
0
,
x x at
t
y y bt
 

 
 . Và có phương trình chính tắc là: 0 0 ( . 0)x x y y a b
a b
 
  
Chuyên đề : Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 
Biên soạn: Gv. Nguyễn Mạnh Hùng 0947876689 
2 
 Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm ( ; ), ( ; )A A B BA x y B x y với ;A B A Bx x y y  là: 
A A
B A B A
x x y y
x x y y
 

 
. 
b. Phương trình tổng quát của đường thẳng . 
 Phương trình tổng quát của đường thẳng trong mặt phẳng (Oxy) có phương trình dạng: 
2 20 ( 0)Ax By C A B     
 Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua 0 0( ; )M x y có vtpt ( ; )n A B

 có phương trình dạng 
0 0( ) ( ) 0A x x B y y    . 
Từ phương trình tổng quát của đường thẳng ta lấy được ngay một vtpt của đường thẳng là 
( ; ), 1 : ( ; )n A B VTCP u B A
 
 hoặc vtcp ( ; )u B A

. 
c. Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong mặt phẳng 
Cho đường thẳng : 0Axd By C   hoặc y kx m  , Đường thẳng d’ song song với d có phương trình 
dạng 
0( ')Ax By C y kx m     
Đường thẳng d’’ vuông góc với d có phương trình dạng: 0 ( 0)Bx Ay n Bx Ay n       hoặc 
1y x p
k
   
d. Khoảng cách và góc. 
+) Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng : 
Cho 0 00 0 0 0 2 2
| |( ; ), : 0 ( , ) AxAx By CM x y By C d M
A B
 
      

+) Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song : Cho hai đường thẳng d và d’ song song , khi đó 
khoảng cách giữa hai đường thẳng này bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ thuộc đường thẳng này 
đến đường thẳng kia. 
+) Góc giữa hai đường thẳng. 
Cho hai đường thẳng 
2 2 2 2
| . ' ' |: 0; : ' ' ' 0 ( , )
. ' '
Ax os A A BBa By C b A x B y C C a b
A B A B

       
 
e. Hình chiếu của một điểm trên đường thẳng . 
Cách xác định hình chiếu vuông góc H của M lên đường thẳng d. 
 Viết phương trình đường thẳng l đi qua M và vuông góc với d. 
 Giải hệ gồm hai phương trình đường thẳng d và l, ta được tọa độ của H. 
f. Điểm đối xứng, đường thẳng đối xứng. 
Chuyên đề : Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 
Biên soạn: Gv. Nguyễn Mạnh Hùng 0947876689 
3 
+) Điểm đối xứng với điểm M qua một đường thẳng d: 
 Bước 1: Tìm hình chiếu vuông góc H của M lên đường thẳng d. 
 Bước 2: Gọi M’ là điểm đối xứng với M qua d , ta có H là trung điểm của MM’. và tọa độ của 
MM’ được xác định như sau: '
'
2
2
M H M
M H M
x x x
y y y
 

 
. 
+) Đường thẳng đối xứng với một đường thẳng qua một điểm, qua một đường thẳng 
Cho đường thẳng d và đường thẳng l, điểm M. 
 Để viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với d qua M. Ta lấy hai điểm phân biệt A, B 
trên d và tìm hai điểm A’, B’ đối xứng với A, B qua M. Đường thẳng d’ là đường thẳng qua 
A’, B’. 
 Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với d qua l : Phương pháp tổng quát là tìm hai 
điểm A’, B’ đối xứng với hai điểm phân biệt A, B thuộc d. Khi đó ta có đường thẳng d’ cần 
tìm là đường thẳng A’B’. 
3. Đường tròn trong mặt phẳng 
a. Phương trình chính tắc, phương trình tổng quát của đường tròn. 
 Phương trình đường tròn có tâm ( ; )I a b có bán kính R có phương trình là: 
2 2 2( ) ( )x a y b R    
 Phương trình đường tròn đơn vị: 2 2 1x y  
 Phương trình đường tròn dạng: 2 2 2 22 2 0 ( 0)x y ax by c a b c        , gọi là phương trình 
đường tròn dạng tổng quát hay dạng khai triển. 
 Cho phương trình đường tròn dạng khai triển 2 2 2 22 2 0 ( 0)x y ax by c a b c        . Khi đó 
đường tròn này có tâm ( ; )I a b và bán kính 2 2R a b c   . 
b. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn. 
Đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn (I ; R) tại A nếu ( , ( ))d I d R và IA vuông góc với d tại A. 
c. Tiếp tuyến chung của hai đường tròn. 
 Nên vẽ hình để kiểm tra xem các đường thẳng có dạng x=a có là phương trình tiếp tuyến chung 
ko. 
 Sau đó xét phương trình có dạng y = kx + b . Đường thẳng này là tiếp tuyến chung của hai 
đường tròn trên nếu khoảng cách từ tâm của mỗi đường tròn đến đến đường thẳng đó bằng bán 
kính của mỗi đường tròn tương ứng. 
 Ta thiết lập được hệ phương trình gồm hai ẩn k, b. Giải hệ này sẽ tìm được phương trình tiếp 
tuyến chung cần tìm. 
4. Elip trong mặt phẳng . 
 Elip là tập hợp các điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai điểm cố định cho trước 
bằng một hằng số. 
Chuyên đề : Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 
Biên soạn: Gv. Nguyễn Mạnh Hùng 0947876689 
4 
 1 2 1 2( ) | 2 ; 2 2 }E M MF MF a a c F F     
 Phương trình chính tắc của Elip (E): 
2 2
2 2 1
x y
a b
  , trong đó 2 2 2;a b a b c   . 
 Elip (E) có phương trình chính tắc như trên có các đặc điểm sau: 
+) Tâm đối xứng O, trục đối xứng là Ox, và Oy. 
+) Tiêu điểm : 1 2( ;0), ( ;0)F c F c 
+) Tâm sai ce
a
 . 
+) Trục lớn nằm trên trục Ox, độ dài trục lớn là 2a. 
 Trục bé nằm trên trục Oy, độ dài trục bé là 2b. 
+) Đường chuẩn là ax
e
  . 
+) Bán kính qua tiêu điểm: Với mỗi điểm ( ; ) ( )M MM x y E ta có 1 2; .M M
cx cxMF a MF a
a a
    
+) Các đỉnh của Elip (E): 1 2 1 2( ; 0), ( ;0), (0; ), (0; )A a A a B b B b  . 
+) Mọi điểm của elip (E) đều nằm trong hình chữ nhật có kích thước 2a, 2b và được giới hạn bởi 
các đường thẳng ;x a x b    . Hình chữ nhật này được gọi là hình chữ nhật cơ sở của elip (E). 
5. Hypebol và parabol. 
a. Hypebop: 
 Phương trình chính tắc của hypebol là: 
2 2
2 2 1
x y
a b
  , trong đó 2 2 2;a c a b c   . 
 Hypebol (H) có phương trình chính tắc như trên có các đặc điểm sau: 
+) Tâm đối xứng O, trục đối xứng là Ox, và Oy. 
+) Tiêu điểm : 1 2( ;0), ( ;0)F c F c 
+) Tâm sai ce
a
 . 
+) Trục thực nằm trên trục Ox, độ dài trục thực là 2a. 
 Trục ảo nằm trên trục Oy, độ dài trục ảo là 2b. 
+) Đường chuẩn là ax
e
  . 
+) Bán kính qua tiêu điểm: Với mỗi điểm ( ; ) ( )M MM x y H ta có 1 2| |; | | .M M
cx cxMF a MF a
a a
    
+) Các đỉnh của (H): 1 2( ; 0), ( ;0)A a A a . 
+) Hình chữ nhật cơ sở của (H) có kích thước 2a, 2b và được giới hạn bởi các đường thẳng 
;x a x b    . Hình chữ nhật này đi qua hai đỉnh A1 và A2 của (H). 
Chuyên đề : Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 
Biên soạn: Gv. Nguyễn Mạnh Hùng 0947876689 
5 
4. Parabol: 
 Có Phương trình chính tắc là 2 2 , 0y px p  số p gọi là tham số tiêu. 
 Parabol (P) có Phương trình như trên có một số đặc điểm sau: 
+) Tiêu điểm là F(p/2; 0) 
+) Parabol này nhận gốc tọa độ O làm đỉnh, nhận trục Ox làm trục đối xứng. 
+) có phương trình đường chuẩn là 
2
px   
B. Một số dạng toán cơ bản. 
I. Đường thẳng 
1. Phương trình tổng quát, phương trình tham số của đường thẳng. 
Bài 1. a. Viết phương trình các đường cao của tam giác ABC biết ( 1;2); (2; 4); (1;0)A B C  , tìm tọa 
độ trực tâm, và tính độ dài chiều cao kẻ từ A của tam giác ABC. 
b. Viết phương trình tham số, chính tắc và phương trình tổng quát của các cạnh tam giác ABC. 
c . Viết phương trình đường trung trực của cạnh BC, CA; tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp 
tam giác ABC. 
Bài 2. Cho tam giác ABC có ( 1; 2); ( 2;0); ( 3;0)A B C    . Tìm tọa độ trọng tâm, trực tâm và tâm 
đường tròn ngoại tiếp tam giác trên. 
Bài 3. a Lập phương trình đường thẳng  đi qua P(6;4) và tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện 
tích bằng 2. 
b.Lập phương trình đường thẳng d đi qua (2;3)Q và cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại hai điểm A và B 
khác O sao cho OA OB nhỏ nhất. 
c. Viết pt đường thẳng d đi qua M(1;2) sao cho d chắn trên hai trục tọa độ hai đoạn có độ dài bằng 
nhau.(ĐS:a. 1 2: 2 0; : 4 9 12 0x y x y        ; b. : 12 6 3 6
x yd  
 
;c. 
1 2 3: 3 0; : 1 0; : 2d x y d x y d y x       ) 
Bài 4. Cho (1;2)M , viết phương trình đường thẳng qua M và cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại A, B sao 
cho tam giác OBA có diện tích nhỏ nhất. (ĐS: 1
2 4
x y
  ) 
Bài 5. Cho hai đường thẳng 1 2: 2 2 0; : 3 0; (3;0)d x y d x y M      
a) Tìm tọa độ giao điểm của 1d và 2d . 
b) Viết phương trình đường thẳng  đi qua M và cắt 1d , 2d lần lượt tại A, B sao cho M là trung điểm 
của AB. 
c. Viết phương trình đường thẳng 1 đi qua M và cắt 1d , 2d lần lượt tại C, D sao cho 2MC MD . 
(Đs: b. 8x – y -24 =0, c. 7 2 21 0 5 8 15 0x y x y         ) 
Chuyên đề : Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 
Biên soạn: Gv. Nguyễn Mạnh Hùng 0947876689 
6 
2. Khoảng cách và góc. 
Bài 7. Cho A(2; 0); B(4; 1); C(1; 2) 
a) CMR A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác. 
b) Viết phương trình đường phân giác trong của A. 
c) Tìm tọa độ tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác, tìm bán kính đường tròn đó. 
Bài 7. Cho A(-1; 2) ; và  : 
1 2
2
x t
y t
  

 
. Tính khoảng cách từ A đến  . Tìm hình chiếu vuông góc 
của A lên  . 
Bài 8. a) Cho A(1; 1); B(3; 6) , Viết phương trình đường thẳng qua A, và cách B một khoảng bằng 2. 
 b) Cho d: 8x – 6y – 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng  song song với d và cách d một khoảng 
bằng 5. 
(a. ĐS: 1 0, 21 20 1 0x x y      ; b. 8 6 45 0 8 6 55 0x y x y       ) 
Bài 9. Cho 1 2: 2 5 0, : 3 6 1 0, M(2; 1)x y x y         . Viết phương trình đường thẳng  qua 
M và tạo với 1 2,   một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của 1 2,   . 
(ĐS: 3 5 0 3 5 0.x y x y       ) 
Bài 9. Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng 1 2: 3 4 25 0, :15 8 41 0d x y d x y      . Viết 
phương trình đường thẳng qua I sao cho khoảng cách từ O đến đường thẳng đó bằng 3/7. 
(ĐS: 7x+3=0, và 415506853 996 0
14
x y   ) 
Bài 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(2;-1) và đường thẳng d: 2x – y + 3 = 0. Lập phương trình 
đường thẳng d’ đi qua A và tạo với d một góc  , sao cho 
1os
10
c   . 
Bài 11. Viết phương trình đường thẳng 
a) Qua A(-2; 0) và tạo với đường thẳng d: x + 3y – 3 = 0 một góc 450. 
b) Qua B(-1; 2) và tạo với đường thẳng 
2 3
:
2
x t
d
y t
 

 
 một góc 600 
c) (Đs: a. 2 4 0 2 4 0x y x y       b. 
24 507 24 5071 1
23 23
2 2
x t x
y t y t
  
       
     
) 
Bài 12. Xác định các giá trị của a để góc tạo bởi hai đường thẳng 3x + 4y +12 = 0 và 
2
1 2
x at
y t
 

 
 bằng 
450. 
Chuyên đề : Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 
Biên soạn: Gv. Nguyễn Mạnh Hùng 0947876689 
7 
(ĐS: 2 , 14
7
a a   ) 
3. Các bài toán liên quan đến tam giác. 
Một số bài toán gắn với tam giác như sau chúng ta cần phải nắm vững cách giải. 
 Bài toán gắn với đường trung tuyến, trọng tâm của tam giác. 
 Bài toán gắn với đường cao 
 Bài toán gắn với đường trung trực. 
 Bài toán gắn với đường phân giác. 
 Bài toán gắn với chu vi, khoảng cách góc và diện tích tam giác 
 Bài toán tìm điểm thỏa mãn tính chất nào đó. 
 Bài toán gắn với đường tròn, đường elip, hypebol 
Bài 13. Một tam giác có một cạnh có trung điểm là ( 1;1)M  , hai cạnh kia nằm trên các đường thẳng 
có phương trình 
2
2 6 3 0 à 
x t
x y v
y t
 
   

. Lập phương trình đường thẳng chứa cạnh còn lại 
của tam giác. (ĐS: 3x-5y+8=0) 
Bài 14. Cho tam giác ABC có phương trình cạnh BC là : 
1 3
1 2
x y 


, phương trình các đường trung 
tuyến BM và CN lần lượt là: 3 7 0x y   và 5 0x y   . Viết phương trình các cạnh AB và AC. 
(ĐS: AB: 5x+ y -11=0; AC: x – y + 5 = 
0) 
Bài 15. Cho tam giác ABC cân tại A, biết phương trình cạnh AB, BC có phương trình lần lượt là: 
2 1 0 à 3x 5 0x y v y      . Viết phương trình cạnh AC biết AC đi qua M(1;-3). (ĐS: 
2x+11y+31=0) 
Bài 16. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , Cho tam giác ABC vuông cân tại A. M(1; -1) là trung điểm của 
cạnh BC, G(2/3; 0) là trọng tâm của tam giác ABC. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác A, B, C. 
(Đs:A(0;2),B(4;0),C(-2;-2) hoặc B(-2;-2),C(4;0)) 
Bài 17. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho I(1;2) và hai đường thẳng 1d : x-y = 0 và 2d : x+y = 0. 
Tìm các điểm A thuộc Ox, B thuộc 1d , và C thuộc 2d sao cho tam giác ABC vuông cân tại B đồng thời 
B, C đối xứng nhau qua I . (ĐS:ko tồn tại các điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán) 
Bài 18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x – 2y + 2 = 0, và điểm A(0; 2). Tìm trên d 
hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông tại B và AB = 2 BC. 
(ĐS: 
2 6( ; )
5 5
B , 6 4 21 22 2 21 6 4 21 22 2 21( ; ) ( ; )
25 25 25 25
C C    ) 
Bài 19. Cho tam giác ABC, có phương trình hai cạnh là : 5x – 2y + 6 = 0; 4x + 7y -21 = 0. Viết phương 
trình cạnh thứ 3 của tam giác đó, biết rằng trực tâm của tam giác này trùng với gốc tọa độ. 
Chuyên đề : Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 
Biên soạn: Gv. Nguyễn Mạnh Hùng 0947876689 
8 
(ĐS: y + 7 =0 ) 
Bài 20. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình :x + 
y + 1 = 0 . Phương trình đường cao vẽ từ B là: x- 2y -2 = 0. Điểm M(2;1) thuộc đường cao vẽ từ C. 
Viết phương trình các cạnh còn lại của tam giác ABC. (ĐS: (0; 1)B  ,AC:6x+3y+4=0, AB: x-3y-3=0) 
Bài 21. Cho tam giác ABC có đỉnh 
4 7( ; )
5 5
A . Hai phân giác trong của góc B và C lần lượt có phương 
trình: x – 2y + 1 = 0 và x + 3y – 1 = 0. Viết phương trình cạnh BC. (ĐS: 1 0y   ) 
Bài 22. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích bằng 
3
2
, B(2;-3), A(3; -2). Tìm 
tọa độ của điểm C, biết điểm trọng tâm G của tam giác nằm trên đường thẳng d: 3x – y – 8 = 0. (ĐS: 
(1; 1) ( 2; 10)C C    ) 
Bài 23. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết B(2; -1), đường cao qua A có 
phương trình: 3x – 4y + 27 = 0, phân giác trong của góc C có phương trình: x + 2y – 5 = 0. Tìm tọa độ 
điểm A. 
(ĐS: A(-5; 3)) 
Bài 24. Cho tam giác ABC có diện tích bằng 3/2, A(2; -3), B(3; -2). Tìm tọa độ điểm C, biết C nằm 
trên d: 3x – y – 4 = 0. (ĐS: C(1;- 1), C(-2;-10)). 
Bài 25. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tính diện tích tam giác ABC, biết B(-4; 0), phương trình đường 
cao kẻ từ A là: 4x – 3y -2 = 0. và đường trung tuyến kẻ từ C là 4x + y + 3 = 0. (ĐS: A(5;6),C(0;-3), 
S=51/2) 
Bài 26(A-2002). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét tam giác ABC vuông tại A, BC có phương trình là: 
3 3 0x y   , Các đỉnh A, B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2. Tìm tọa độ 
trọng tâm G của tam giác ABC. (ĐS: 7 4 3 6 2 3 1 4 3 6 2 3; , ;
3 3 3 3
G G
        
      
   
) 
Bài 27. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có C(4; 3), đường phân giác trong và đường trung 
tuyến xuất phát từ A có phương trình lần lượt là: x + 2y – 5 = 0 và 4x + 13y -10 = 0. Viết phương trình 
cạnh BC 
Bài 28.(A- 2010) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, Cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6; 6); đường 
thẳng đi qua trung điểm các cạnh AB và AC có phương trình là x + y – 4 = 0. Tìm tọa độ các điểm B, C 
biết điểm E(1; - 3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho. 
Bài 29. (B – 2010) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, Cho tam giác ABC vuông tại A, có đỉnh C( - 4; 1), 
phân giác trong góc A có phương trình x + y -5 = 0. Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích 
tam giác ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ dương. 
Bài 30. (D – 2011) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B(- 4; 1), trọng tâm 
G(1; 1) và đường thẳng chứa phân giác trong của góc A có phương trình x  y  1 = 0. Tìm tọa độ các 
đỉnh A và C. 
Bài 31. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC trực tâm H(-1; 4), tâm đường tròn ngoại tiếp 
tam giác là I(-3; 0) và trung điểm của cạnh BC là M(0; -3). Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác trên. 
Chuyên đề : Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 
Biên soạn: Gv. Nguyễn Mạnh Hùng 0947876689 
9 
Bài 32. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, Cho tam giác ABC có đường trung tuyến qua B, đường cao qua A 
và đường trung trực của cạnh AB co phương trình lần lượt là: y + 3 = 0; 2x – y + 1 = 0; x + y+ 2 = 0. 
Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác trên. 
Bài 33. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, Cho tam giác ABC có M(2;2); N(1;1) lần lượt là trung điểm của 
AC và BC, trực tâm H(-1; 6). Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác trên. 
Bài 34. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có chu vi bằng 16, đường thẳng AB 
có phương trình 2 2 2 2 0x y   ; B, C nằm trên trục Ox. Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC. 
Bài 35.Cho tam giác ABC có A(-1;-3), B(5;1). Điểm M nằm trên đoạn thẳng BC sao cho MC=2MB. 
Tìm tọa độ C biết rằng MA=AC=5 và đường thẳng BC có hệ số góc nguyên. (ĐS: C(-4;1)) 
Bài 36. Cho tam giác ABC cân tại A, có trực tâm H(-3;2) gọi D, E lần lượt là chân đường cao kẻ từ 
B,C. Biết rằng điểm A thuộc đường thẳng d: x-3y-3=0, điểm F(-2;3) thuộc đường thẳng DE và HD=2. 
Tìm A. 
 (ĐS: A(3;0)) 
Bài 37. Cho đường tròn (C): 2 2 2 22 4 0,( ') : ( 1) ( 3) 9x y x y C x y        . Viết phương trình đường 
thẳng d là tiếp tuyến của (C), cắt (C’) tại hai điểm A, B sao cho AB=4. (ĐS: d: x-2y=0 hoặc d: x-2y-
10=0) 
Bài 38. a. Cho tam giác ABC có phương trình đường cao kẻ từ A là 3x-y+5=0, trực tâm H(-2;-1), 
1( ;4)
2
M là trung điểm cạnh AB, biết 10BC  . Tìm tọa độ A,B,C biết B có hoành độ dương. (ĐS: 
A(0;5), B(1;3), C(4;2)). 
b. (A-2013) Trong mp oxy cho đường thẳng  : 0x y  . dường tròn (C) có bán kính bẳng 10 cắt 
 tại A, B sao cho 4 2AB  . tiếp tuyến của (C) tại A,B cắt nhau tại điểm thuộc tia oy. Viết phương 
trình đường tròn (C). 
c. (B-2013) Trong mp oxy cho tam giác ABC có chân đường cao hạ từ đỉnh A là 
17 1
;
5 5
H
      chân 
đường phân giác kẻ từ A là D (5; 3), trung điểm của AB là M (0;1). Tìm toạ độ điểm C. 
c. (D-2013) Trong mp oxy cho tam giác ABC có điểm 
9 3
;
2 2
M
     là trung điểm của cạnh AB điểm 
( 2;4), ( 1;1)H I  lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 
Tìm toạ độ C. 
4. Các bài toán liên quan đến tứ giác. 
Các bài toán liên quan đến tứ giác thường gặp các dạng bài toán về hình vuông, hình chữ nhật, 
hình bình hành, hình thoi, hình thang vuông, hình thang cân và tứ giác thường. 
Đối với dạng bài toán này các em cần lưu ý tính đối xứng của các điểm thuộc các cạnh của hình 
qua tâm với hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi và hình bình hành; lưu ý yếu tố vuông góc trong 
hình than vuông Với lớp bài toán này, trong đề thi thường hay lồng lớp các bài toán về tam giác, 
do đó các em cần làm thật tốt lớp bài toán về tam giác đã trình bày ở trên. 
Chuyên đề : Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 
Biên soạn: Gv. Nguyễn Mạnh Hùng 0947876689 
10 
Bài 39. Biết A(1;-1), B(3;0) là hai đỉnh cảu hình vuông ABCD, tìm tọa độ C, D. 
Bài 40.(A-2009) Trong mặt phẳng Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm I (6; 2) là giao điểm của hai 
đường chéo AC và BD, điểm M(1;5) thuộc AB, trung điểm E của CD thuộc  : x + y – 5 = 0. Viết 
phương trình AB. 
(ĐS: AB: 4 19 0x y   ) 
 Bài 41. (A-2005) Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng 1 2: 0; : 2 1 0d x y d x y     
Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD, biết B, D thuộc trục hoành; A thuộc 1d và C thuộc 2d . 
(ĐS: Hình vuông có 4 đỉnh là (1;1), (0;0), (1; 1), (2;0)A B C D hoặc (1; 1), (2;0), (1;1), (0;0)A B C D ) 
Bài 42. Lập phương trình các đường thẳng chứa 4 cạnh của hình vuông ABCD biết đỉnh A(-1;2) và một 
phương trình đường chéo có phương trình là 
1 2
2
x t
y t
  

 
. 
(ĐS: ( 1;0), ( 3;2) ( 3;2), ( 1;0)B D B D     , Phương trình các cạnh là: 1; 0; 3 0; 2 0.x y y x y       ) 
Bài 43. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I thuộc 
đường thẳng d: x – y – 3 = 0 và có hoành độ 
9
2I
x  , trung điểm của một cạnh là giao điểm của d và 
trục Ox. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật. (ĐS: Tìm được 9 3( ; )
2 2
I , trung điểm M (3;0) của AB, 
2 2AB  và tìm được 4 đỉnh của hình vuông 
là: (2;1), (4; 1), (7;2), (5;4) (4; 1), (2;1), (5;4), (7;2)A B C D A B C D   ) 
Bài 44.(A-02) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(1/2; 0). Đường thẳng 
AB có phương trình x – 2y + 2 = 0, AB =2AD. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật, biết đỉnh A có 
hoành độ âm. (ĐS: ( 2;0), (2;2), (3;0), ( 1; 2)A B C D   ) 
Bài 45. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD biết M(2; 1), N(4; -2); P(2;0); Q(1;2) lần 
lượt thuộc các cạnh AB, BC, CD, DA. Lập phương trình các cạnh của hình vuông. 
(ĐS: AB:x-y-1=0, CD: x-y-2=0, BC:x+y-2=0, AD: x+y – 3 =0 hoặc AB: x-2y=0, x-2y-2=0, 2x+y-6=0, 
2x+y – 6 =0) 
Bài 46. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, Cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4. Biết A(1; 
0); B(0; 2) và giao điểm I của hai đường chéo nằm trên đường thẳng y = x. Tìm tọa độ các điểm C và 
D. 
(ĐS: 5 8 8 2( 1;0), (0; 2) ( ; ), ( ; )
3 3 3 3
C D C D   ) 
Bài 47. Cho ba điểm I(1;1), J(-2;2), K(2;-2). Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD sao cho I là 
tâm của hình vuông, điểm J thuộc đường thẳng AB, K thuộc đường thẳng CD. 
Bài 48. Cho hình thoi ABCD có tâm E(2;1), và BD=2AC. Điểm M(0;1/3) thuộc đường thẳng BC, điểm 
N(0;7) thuộc đường thẳng AD. Viết phương trình các cạnh của hình thoi này, biết điểm C có hoành độ 
dương. 
Chuyên đề : Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 
Biên soạn: Gv. Nguyễn Mạnh Hùng 0947876689 
11 
Bài 49. Cho hình bình hành ABCD có đỉnh B(2;3), đường cao kẻ từ C của tam giác ABC nằm trên 
đường thẳng d: x+y-7=0; đường thẳng d’: x-2y+3=0 đi qua A. Tìm tọa độ các đỉnh của hình bình hành 
ABCD, biết rằng hình chiếu vuông góc của B lên đường thẳng AD là H( 8 9;
5 5
) 
Bài 50. Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn (C) : 2 2 2 4 15 0x y x y     , biết A(-1;3), diện 
tích hình chữ nhật là 20(đvdt) và đỉnh B có hoành độ âm. 
Bài 51. Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I 5 3( ; )
2 2
, đường thẳng AB qua điểm M(2;3), đường thẳng AD 
đi qua điểm N(-1;2). Viết phương trình các cạnh BC, AD. 
Bài 52. Cho hình chữ nhật ABCD có AD=2AB, M và N lần lượt là trung điểm của AD, BC. Trên đường 
thẳng MN lấy điểm K sao cho N là trung điểm của MK, biết K(5;-1). Tìm tọa độ của A, B,C,D. Biết 
đường thẳng AC: 2x+y-3=0. 
Bài 53. Cho hình bình hành ABCD có đỉnh B(1;3), điểm P thuộc cạnh BC sao cho BC=3BP, AP cắt 
BD tại 7( ;4)
4
M , biết A thuộc đường thẳng d: x+y-7=0. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình bình hành, 
biết độ dài đường chéo AC =1. 
Bài 54. a. Cho hình thang vuông ACBD , vuông tại A, D. Đường thẳng AD: x-y 2 =0. Trung điểm của 
BC là M(1;0) , biết BC=CD=2AB. Tìm tọa độ đỉnh A. 
b. (A2013.) Trong mp oxy cho hình chữ nhật ABCD.Có C thuộc đường thẳng d: 2 5 0x y   và 
điểm A (-4; 8). M là điểm đỗi xứng của B qua C, gọi N là hình chiếu của B trên DM. Tim toạ độ C, B 
biết N(5; -4) 
b. (B2013)Trong mp oxy cho hình thang cân ABCD. Có hai đường chéo vuông góc với nhau, AD = 
3BC. Đường thẳng BD có phương trình x+2y -6 = 0 tam giác ABD có trực tâm H (-3; 2). Xác định toạ 
độ C, D. 
II. Đường tròn 
Bài 55. a) Viết phương trình đường tròn đường kính AB, biết A(1; 3) và B(5;6). 
d) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết A(1; 3); B(5; 6) và C(7;0). 
Bài 56. Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC, biết AB: 3x + 4y – 6 = 0; 
 AC: 4x + 3y – 1 = 0; BC: y = 0. 
Bài 57. Biện luận theo m số giao điểm của đường thẳng : 2 3 0m x my m     và 
2 2( ) : 2 2 2 0C x y x y     . 
Bài 58. V