Chuyên đề Phương trình bậc hai và áp dụng

Chuyên đề: Phương trình bậc hai và áp dụng
Chứng minh phương trình bậc hai có nghiệm hoặc vô nghiệm với hệ số bị ràng buộc.
Bài toán 1: Chứng minh rằng phương trình () có hai nghiệm nếu một trong hai điều kiện sau được thoả mãn:
i) ii) 
Bài toán 2: Cho a, b, c là các số không âm thoả mãn điều kiện a+2b+3c=1. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm
 (1)
 (2)
Bài toán 3: a) Cho a, b, c thoả mãn điều kiện b>a+c và a>0. Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt
b) Chứng minh rằng phương trình có nghiệm nếu 
c) Cho (). Chứng minh rằng nếu tồn tại để thì phương trình f(x)=0 có nghiệm.
Bài toán 4: Chứng minh rằng nếu thì phương trình có nghiệm.
Bài toán 5: Chứng minh rằng với mọi a, b, c thoả mãn điều kiện thì phương trình sau luôn có nghiệm 
Bài toán 6: Cho a, b, c là ba số thoả mãn điều kiện 14a+6b+3c=0. Chứng minh rằng phương trình có nghiệm.
Bài toán 7: Giả sử là số nguyên tố. Chứng minh rằng phương trình không có nghiệm hữu tỉ
Bài toán 8: Chứng minh rằng:
a) Nếu phương trình () có các nghiệm hữu tỉ thì các nghiệm đó là những số nguyên.
b) Nếu a, b, c là những số nguyên lẻ thì phương trình không có nghiệm hữu tỉ.
Bài toán 9: Cho a, b, c thoả mãn -1<a,b,c<1 và a+b+c=0. Chứng minh rằng phương trình sau vô nghiệm 
Bài toán 10: Cho a, b, c là ba số dương khác nhau có tổng bằng12, Chứng minh rằng trong ba phương trình sau có một phương trình có nghiệm, một phương trình vô nghiệm. (1)
	 (2) và (3)
Bài toán 11: Cho a, b, c là ba số khác 0 còn p, q là hai số tuỳ ý.Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm
Chuyên đề: Phương trình bậc hai một ẩn và áp dụng
xác định giá trị của tham số để hai phương trình bậc hai 
có một nghiệm chung.
Bài toán 1: Tìm m để hai phương trình sau có nghiệm chung
	 (1) 
	 (2)
Bài toán 2: Với giá trị nào của m thì hai phương trình sau có nghiệm chung, tìm nghiệm chung đó.
Bài toán 3: Xét các phương trình (1)
	 (2)
Tìm hệ thức giữa a, b, c là điều kiện cần và đủ để hai phương trình trên có một nghiệm chung duy nhất.
Bài toán 4: Với những giá trị nào của m thì hai phương trình sau có nghiệm chung
	 (1)
	 (2)
Bài toán 5: Hãy xác định m để hai phương trình sau có nghiệm chung
	 (1)
	 (2)
Bài toán 6: Cho hai phương trình (1)
	 (2)
Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (2) có một nghiệm bằng hai lần một nghiệm của phương trình (1).
Bài toán 7: Tìm hệ thức giữa a và b để cho hai phương trình sau nếu có nghiệm thì chúng có một nghiệm chung và chỉ một mà thôi. (1)
	 (2)
Bài toán 8: Cho hai phương trình (1) và (2)
a) Tìm các giá trị của a để hai phương trình trên có ít nhất một nghiệm chung
b) Với những giá trị nào của a thì hai phương trình trên tương đương.
Bài toán 9: Tìm a để hai phương trình sau có nghiệm chung.
	 (1)
	 (2)
Bài toán 10: Chứng minh rằng nếu hai phương trình 
	 (1)
	 (2)
Có nghiệm chung thì 
Chuyên đề: Hệ thức vi-ét Các dạng toán áp dụng.
Bài toán 1: Cho phương trình 
a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Xác định m để phương trình có một nghiệm bằng 2, tìm nghiệm kia.
c) Xác định m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn 
Bài toán 2: Cho phương trình 
a) CMR: với mọi giá trị của m phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Gọi là hai nghiệm của phương trình đã cho.Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm độc lập với m.
Bài toán 3: Cho phương trình 
a) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm dương.
b) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm thoả mãn 
Bài toán 4: Cho phương trình 
a) Xác định m để phương trình có nghiệm.
b) Xác định m để phương trình có một nghiệm bằng 2, tìm nghiệm kia.
c) Xác định m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn 
Bài toán 5: Cho phương trình (m là tham số).
a) Tìm m để phương trình có nghiệm.
b) Cho biểu thức trong đó là nghiệm của phương trình đã cho.Tìm m để P đạt GTNN, tìm giá trị nhỏ nhất ấy.
Bài toán 6: Cho phương trình bậc hai ẩn x 
a) CMR: phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b) Gọi là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để và 
Bài toán 7: Cho phương trình . Không tính nghiệm của phương trình hãy tính giá trị các biểu thức a) b) 
Bài toán 8: Cho phương trình . Xác định m để phương trình
a) Có hai nghiệm cùng dấu.
b) Có hai nghịêm trái dấu và nghiệm âm có GTTĐ lớn hơn.
c) Có một nghiệm dương.
Bài toán 9: Cho phương trình 
a. Xác định m để phương trình có nghiệm 
b. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm độc lập với m.
c. Tính theo m biểu thức 
d) Xác định m để phương trình có một nghiệm bằng ba lần nghiệm kia.
Bài toán 10: Cho phương trình . Không tính nghiệm của phương trình hãy tính giá trị các biểu thức 
Bài toán 11: Cho phương trình ẩn x (m là tham số): 
1. CMR phương trình có nghiệm . Tính nghiệm kép (nếu có) của phương trình và giá trị tương ứng của m
2. Đặt a) CMR: A=m2+8m+8 b) Tìm m sao cho A=8.
	 c) Tìm GTNN của A và giá trị tương ứng của m.
Bài toán 12: Cho phương trình ẩn x (m là tham số): 
1. CMR phương trình có nghiệm . 
2. Đặt a) CMR: A=8m2-18m+9 b) Tìm m sao cho A=27.
	 c) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng hai nghiệm kia.
Bài toán 13: Cho phương trình: 
a) CMR: phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Gọi là hai nghiệm của phương trình. Tìm GTNN của 
Bài toán 14: Cho phương trình ẩn x: 
a) Xác định m để phương trình có nghiệm.
b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm đều âm.
Bài toán 15: Cho phương trình ẩn x: . Xác định mđể phương trình có hai nghiệm thoả mãn 
Bài toán 16: Cho phương trình: 
a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm đều âm.
b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn 
Bài toán 17: Cho phương trình ẩn x: có ẩn là x.
a) Xác định m để phương trình có nghiệm.
b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều dương.
Bài toán 18: Cho phương trình 
a) Giải phương trình (1) khi m=1
b) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt
Bài toán 19: Cho phương trình: 
a) CMR: phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Gọi là hai nghiệm của phương trình. CMR: giá trị của biểu thức B= không phụ thuộc vào tham số m.
Bài toán 20: Cho phương trình: 
a) CMR: phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Gọi là hai nghiệm của phương trình.Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m.
Bài toán 21: Cho phương trình 
Bài toán 21: Cho phương trình 
a) Xác định m để phương trình có nghiệm
b) Xác định m để phươnmg trình có nghiệm bằng 2, tính nghiệm kia.
c) Xác định m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn điều kiện 
Bài toán 22: Cho phương trình bậc hai 
a) Tìm m để phương trình có nghiệm.
b) Cho biểu thức P= trong đó x1; x2 là nghiệm của phương trình đã cho
Tìm m sao cho P đạt giá trị nhỏ nhất.Tính giá trị nhỏ nhất ấy
Bài toán 23: Cho phương trình bậc hai ẩn x 
a) CMR phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Gọi là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để và 
Bài toán 24: Cho là hai nghiệm của phương trình 
Tìm GTNN của biểu trhức 
Bài toán 25: Cho phương trình ẩn x: 
a) Giải phương trình khi m=
b) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
c)Gọi là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị của m để 
Bài toán 26: 1) Cho phương trình 
a) Giải phương trình khi a=-1.
b) Xác định a biết rằng phương trình đã cho có một nghiệm là . Với giá trị tìm được của a hãy tính nghiệm thứ hai của phương trình.
2) CMR: thì ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm
	 và 
Bài toán 27:Cho phương trình bậc hai 
a) CMR phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi k.
b) Gọi là hai nghiệm của phương trình.Tìm giá trị của k sao cho 
 Bài toán 28: Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m, n: 
1) Cho n=0. 
a) CMR phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m
b) Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng 1.
2) Tìm m và n để hai nghiệm của phương trình thoả mãn 
Bài toán 29: Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m: 
a) Giải phương trình khi m=1 b) Xác định m để phương trình có nghiệm kép
c)Với m=? phương trình có hai nghiệm cùng dấu. Khi đó hai nghiệm mang dấu gì ? 
Chuyên đề: Hệ thức vi-ét Các dạng toán áp dụng.(Tiếp)
Bài toán 30: Cho phương trình (x là ẩn)
a) Giải phương trình khi m=1; n=4.
b) Tìm m và n để phương trình có hai nghiệm là 2 và -3.
c) Cho m=5. Tìm số nguyên n nhỏ nhất để phương trình có nghiệm dương.
Bài toán 31: Cho phương trình có hai nghiệm .Tìm giá trị của m để đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài toán 32: Cho phương trình (1) có ẩn là x.
a) Giải phương trình (1) với m=1.
b) Giải phương trình (1) với m bất kỳ.
c) Tìm m để phương trình có nghiệm bằng m.
Bài toán 33: Chứng minh rằng nếu a, b là hai nghiệm của phương trình 
và b, c là hai nghiệm của phương trình thì (b-a)(b-c)=pq-6
Bài toán 34: Cho phương trình (ẩn x)
a) CMR phương trình đã cho luôn có nghiệm.
b) Gọi là hai nghiệm của phương trình .Tìm m để đạt GTNN, tìm GTNN ấy.
Bài toán 35: Cho phương trình 
a) CMR: nếu thì phương trình có hai nghiệm và nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
b) Cho p, q là các số nguyên. CMR: nếu phương trình có nghiệm hữu tỉ thì các nghiệm đó phải là số nguyên 
Bài toán 36: Cho phương trình có ẩn là x.
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm.
b) Gọi là hai nghiệm của phương trình . Tìm m để có 
Bài toán 37: Tìm k để phương trình có tổng bình phương các nghiệm bằng 13.
Bài toán 38: Cho phương trình có ẩn là x.
a) Tìm m để phương trình vô nghiệm .
b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn 
Bài toán 39: CMR: phương trình luôn có nghiệm với mọi a, b.
Bài toán 40: Cho phương trình 
1) Giải và biện luận phương trình đã cho theo m.
2) Khi phương trình có hai nghiệm 
a) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm độc lập với m.
b) Tìm m sao cho 
Bài toán 41: Cho phương trình (1). CMR: nếu là nghiệm của (1) và thoả mãn thì phương trình trên có nghiệm kép.
Bài toán 42: Cho phương trình 
a) CMR: phương trình đã cho luôn có hai nghiệm với mọi m.
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m.
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn 
Bài toán 43: Cho phương trình ẩn x.
a) Tìm m và n biết rằng phương trình có hai nghiệm thoả mãn 
b) Cho biết n=m-2. Tìm m và n để đạt GTNN 
Bài toán 44: Cho phương trình (ẩn x)
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thoả mãn 
b) Tìm m sao cho A đạt GTNN và tính giá trị ấy với 
Bài toán 45: Cho phương trình . Tìm p, q biết rằng phương trình có hai nghiệm thoả mãn 
Bài toán 46: Cho phương trình . có hai nghiệm số dương . CMR: phương trình cũng có hai nghiệm số dương. Gọi các nghiệm đó là . Chứng minh rằng 
Bài toán 47: Gọi là các nghiệm của phương trình . Không giảI phương trình hãylập một phương trình bậc hai với hệ số bằng số mà các nghiệm của nó là 
 và 
Bài toán 48: Cho phương trình 
Gọi là hai nghiệm của phương trình. Tìm GTLN và GTNN của tổng S=
Bài toán 49: Cho phương trình . với m là tham số. Gọi là hai nghiệm của phương trình. 
a) Tìm m sao cho 
b) Tìm GTLN của biểu thức 
Bài toán 50: Gọi là hai nghiệm của phương trình 
Tìm m để đạt giá trị lớn nhất.
Bài toán 51: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. CMR phương trình 
 vô nghiệm.
Bài toán 52: Cho phương trình 
Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm thoả mãn 
Bài toán 53: Gọi a, b là hai nghiệm của phương trình ; c, d là hai nghiệm của phương trình . Chứng minh hệ thức 
Bài toán 54: Cho phương trình (ẩn x)
a) CMR phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b) Tìm m sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài toán 55: Cho phương trình (ẩn x)
a) CMR phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.
b) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình có hai nghiệm . Khi đó hãy tìm m để phương trình có nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
Bài toán 56: Cho phương trình 
Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt khác -1
Bài toán 57: Cho 
a) CMR: phương trình f(x)=0 có nghiệm với mọi m.
b) Đặt x=t+2 . Tính f(x) theo t từ đó tìm điều kiện của m để phương trình f(x)=0 có hai nghiệm lớn hơn 2.
Bài toán 58: Biết rằng là hai nghiệm của phương trình bậc hai . Viết phương trình bậc hai nhận hai số là nghiệm.
Bài toán 59: a) Gọi là hai nghiệm của phương trình 
Tính A= theo a.
b) Cho . Tìm m để f(x) có một nghiệm là 2. Chứng minh lúc ấy f(x) chia hết cho . Tìm các nghiệm còn lại của f(x)
Bài toán 60: Gọi là hai nghiệm của phương trình 
a) Hãy lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm là và 
b) Hãy tính giá trị của biểu thức 
Bài toán 61: Gọi là hai nghiệm của phương trình 
 Tính theo m 
Bài toán 62: Chứng minh rằng nếu 
thì hai phương trình và có ít nhất một phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Bài toán 63: 
Cho phương trình . Xác định m để phương trình 
a) có hai nghiệm cùng dấu.
b) Có hai nghiệm tráidấu và nghiệm âm có GTTĐ lớn hơn.
c) Có một nghiệm dương
Bài toán 64: Cho phương trình 
a) Xác định m để phương trình có một nghiệm bằng -1 và tìm nghiệm kia.
b) CMR phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
c) Với giá trị nào của m thì đạt GTNN. tìm GTNN ấy.
Bài toán 65: Cho phương trình 
a)CMR phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.
b) Tìm m sao cho phương trình có hai nghiệm thoả mãn 
Bài toán 66: Cho phương trình 
a) CMR phương trình đã cho luôn có hai nghiệm khi m thay đổi.
b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn 
Bài toán 67: Cho phương trình 
a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm đều âm.
b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn 
Bài toán 68: Cho phương trình 
a) Xác định m để phương trình có nghiệm.
b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều dương.
Bài toán 69: Cho phương trình 
a) Xác định m để phương trình có nghiệm.
b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn 
Bài toán 70: Cho hai phương trình và . Biết rằng . CMR: ít nhất một trong hai phương trình đã cho có nghiệm.
Bài toán 71: Cho phương trình . 
a) CMR phương trình đã cho luôn có hai nghiệm 
b) Tìm GTNN của P=
c) Tìm GTLN, GTNN của biểu thức S=
Bài toán 72: Cho phương trình . 
a) CMR: phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu với mọi m.
b) Gọi là hai nghiệm của phương trình trên. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức 
	 S=
Bài toán 73: Cho phương trình 
a) Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm.
b) CMR: khi phương trình có nghiệm thì hai nghiệm của nó thoả mãn 	 
Bài toán 74: Tìm Tất cả các sô nguyên k để phương trình :
 kx2 –(1-2k)x + k – 2 = 0 luôn có nghiệm hữu tỉ.
Bài toán 75: Cho 2 phương trình : x2 + a1x +b1 =0 (1)
 x2 + a2x + b2 = 0 (2)
Cho biết a1a2 ≥ 2(b1 +b2) . Chứng minh một trong hai phương trình đã cho có nghiệm .
 Chuyên đề: Phương trình bậc hai và áp dụng
so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số cho trước
*********
Bài toán 1: Tìm m để phương trình có nghiệm thoả mãn điều kiện 
Bài toán 2: Tìm m để phương trình có nghiệm thoả mãn 
Bài toán 3: Cho phương trình 
a) Tìm m để phương trình có một nghiệm nhỏ hơn 1, một nghiệm lớn hơn 1.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm nhỏ hơn 2.
Bài toán 4: Chứng minh rằng nếu a, b, c là những số dương thì phương trình 
Có hai nghiệm sao cho và 
Bài toán 5: Cho hai phương trình (1) và (2)
Tìm điều kiện cần và đủ để mỗi phương trình có một nghiệm nằm xen giữa hai nghiệm của phương trình kia.
Bài toán 6: Tìm giá trị của tham số m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 1: 
Bài toán 7: Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2
Bài toán 8: Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt và nghịch đảo của hai nghiệm đều nhỏ hơn 1.
Bài toán 9: Cho phương trình . Xác định m để phương trình:
a) Có đúng một nghiệm dương.
b) Có đúng một nghiệm không dương.
Bài toán 10: Cho phương trình . Xác định m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn:
a) và 
b) 
Bài toán 11: Cho phương trình . Xác định m để phương trình :
a) Có hai nghiệm đều nhỏ hơn 2.
b) Có ít nhất một nghiệm nhỏ hơn 2
Bài toán 12: Cho phương trình có hai nghiệm thoả mãn điều kiện . 
Chứng minh rằng: 
Chuyên đề: Hệ thức vi-ét Các dạng toán áp dụng.(Tiếp)