Chuyên đề Phương trình bậc nhất hai ẩn Đại số Lớp 9 - Năm học 2008-2009 - Nguyễn Văn Tín

CHỦ ĐỀ TỰ CHỌN TRƯỜNG THCS QUẾ AN	
MÔN: TOÁN 9	 Người thực hiện: NGUYỄN VĂN TÍN
LOẠI : BÁM SÁT	
CHỦ ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN SỐ
A. NỘI DUNG:
- Khái niệm phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a0) và Cách giải phương trình bậc hai một ẩn trong các trường hợp khuyết b hoặc c và trường hợp tổng quát
- Tính chất các nghiệm số của phương trình bậc hai : Hệ thức Vi-Ét
- Biết nhẫm nghiệm của phương trình bậc hai trong các trường hợp a + b + c =0,
a - b + c = 0, hoặc nghiệm là những số nguyên có giá trị tuyệt đối không quá lớn
- Một số dạng toán về phương trình bậc hai
B.THỜI LƯỢNG: 6 tiết
C. GỢI Ý THỰC HIỆN: 
Tiết 1: KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN VÀ CÁCH GIẢI
1.- Mục tiêu:
Nắm vững khái niệm phương trình bậc hai một ẩn. Cho được ví dụ.
Nắm được cách giải phương trình bậc hai: Phương trình bậc hai khuyết và Công thức nghiệm tổng quát 
Nhận biết được phương trình bậc hai một ẩn và xác định được các hệ số a,b,c
Giải thành thạo các phương trình bậc hai 
2.-Nội dung cụ thể:
Hoạt động 1: KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng
ax2 + bx + c = 0
Trong đó x là ẩn; a,b,c là những số cho trước gọi là các hệ số và a ¹ 0
Ví dụ 1: 
a) x2 + 20x - 1500 = 0	với a = 1; b = 20; c = 1500
	b) 3x2 + 5x = 0 	với a = 3; b = 5; c = 0
	c) 5x2 - 3 = 0	với a = 5; b = 0; c = -3
	d) 2007x2 = 0	với a = 2007; b = 0; c = 0
( Các phương trình b,c,d là những phương trình bậc hai khuyết)
Bài tập 1: 
1.1 Cho ví dụ về phương trình bậc hai một ẩn.
1.2 Phương trình nào sau đây là phương trình bậc hai, Nếu là phương trình bậc hai hãy xác định các hệ số a,b,c:
a) 3x2 - 5x + 7 = 0 ; 	b) x2 - + =0 ; 	c) - 3x +5 = 0 ; 
d) 4x2 = 0 ; 	e) 15x2 + - 5 = 0 ; 	g) 2x2 = (m+1)x + 6 (m là hằng số)
Hoạt động 2: CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
Phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0	 (1) 	(a 0)
+ Nếu b = 0 và c = 0 thì (1) Û ax2 = 0 Û x = 0
Ví dụ 2: Giải phương trình 3x2 = 0 
 3x2 = 0 Û x = 0
+ Nếu b 0 và c = 0 thì (1) Û ax2 + bx = 0 Û x(ax + b) = 0 Û 
Ví dụ 3: Giải phương trình 2x2 + 3x = 0
2x2 + 3x = 0 Û x(2x + 3) = 0 Û 
+ Nếu b = 0 và c 0 thì (1) Û ax2 + c = 0 Û x2 = -
	* Phương trình vô nghiệm nếu a,c cùng dấu (vì vế trái x2 ³ 0 , vế phải - < 0)
Ví dụ 4: Giải phương trình 2x2 + 5 = 0 Phương trình vô nghiệm
* Phương trình có hai nghiệm x1,2 = ± nếu a, c khác dấu
Ví dụ 5: Giải phương trình 4x2 – 7 = 0
	4x2 – 7 = 0 Û x1,2 = 
CÔNG THỨC NGHIỆM TỔNG QUÁT CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
CÔNG THỨC NGHIỆM THU GỌN
 CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a 0)
Phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a 0)
b = 2b/
D = b2 - 4ac
D/ = b/2 - 4ac
* Nếu D < 0 thì phương trình vô nghiệm
* Nếu D/ < 0 thì phương trình vô nghiệm
* Nếu D = 0 thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = 
* Nếu D/ = 0 thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = 
* Nếu D > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
x1 = ; x2 = 
* Nếu D/ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
x1 = ; x2 = 
+ Lưu ý: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai vẫn áp dụng để giải các phương trình bậc hai khuyết song đối với dạng khuyết ta nên giải theo những trường hợp riêng ở phần trên. Chẳng hạn, Giải phương trình 3572x2 - 5763 = 0 
- Nếu giải bằng công thức nghiệm thì tương đối phức tạp 
D = 02 - 4.3572.(-5763) = 82341774
x1 = = ... ; x2 = = ...
- Trong khi giải bằng phương pháp riêng ta có ngay : x = ± 
Bài tập 2: Giải các phương trình sau:
a) x2 + 20x - 1500 = 0	(a = 1; b = 20; b/ = 10; c = 1500)
	D/ = b/2 - ac = 102 - .1.(-1500) = 1600 > 0 Þ = 40
Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = = 30 ; x2 = = -50
b) 4x2 - 4x + 1 = 0 	(a = 4; b = -4; b/ = -2 ; c = 1)
D = b/2 - ac = (-2)2- 4.1 = 0
Phương trình có nghiệm kép: x1=x2= = -
c) 2x2 -5x - 5 = 0	(a = 2; b = -5; c = -5)
D = b2 - 4ac = (-5)2- 4.2.(-5) = 65 > 0
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:	x1 = =; 
x2 = = 
d) 3x2 + 5x = 0 Û x(3x + 5) = 0 Û 
	e) 5x2 - 3 = 0 Û x2 = Û x1,2 = ±	
	g) 15x2 + 34 = 0 Û x2 = Phương trình vô nghiệm
h) 2007x2 = 0 Û x = 0	
Tiết 2: 	BÀI TẬP ỨNG DỤNG 
CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
1.- Mục tiêu:
Vận dụng thành thạo công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn. 
Biết biện luận số nghiệm của phương trình dạng ax2 + bx + c = 0.
Biết tìm điều kiện của tham số để thỏa mãn nghiệm số của phương trình bậc hai
Biết chứng minh phương trình có nghiệm, vô nghiệm với mọi giá trị của tham số
2.-Nội dung cụ thể:
Bài tập 3: Tìm điều kiện của tham số để phương trình vô nghiệm, có nghiệm kép, có 2 nghiệm phân biệt.
** Phương pháp giải:
Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (1) (a 0)
(1) có nghiệm Û D ³ 0 ( hoặc D/ ³ 0)
(1) có hai nghiệm phân biệt Û D > 0 ( hoặc D/ > 0)
(1) có nghiệm kép Û D = 0 ( hoặc D/ = 0)
(1) vô nghiệm Û D < 0 ( hoặc D/ < 0)
3.1 Tìm điều kiện của m để phương trình sau có nghiệm kép
 3x2 - 2x + m = 0
Phương trình đã cho có nghiệm kép Û D/ = 0 Û 1-3m = 0 Û m = 
3.2 Tìm điều kiện của k để phương trình có hai nghiệm phân biệt 
	2x2 + kx + k = 0
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt 
Û D > 0 Û k2 - 8k > 0 Û k( k-8 ) > 0 Û 
3.3 Tìm điều kiện của m để phương trình sau vô nghiệm 
	5x2 + 18x + m = 0
Phương trình đã cho vô nghiệm Û D/ 
Bài tập 4: Giải và biện luận phương trình dạng ax2 + bx + c = 0 (1)
** Phương pháp giải:
+ Với a = 0: Phương trình trở thành phương trình bậc nhất bx + c = 0
	- Nếu b 0 thì phương trình có nghiệm x = - 
	- Nếu b = 0 và c 0 thì phương trình vô nghiệm 
- Nếu b = 0 và c = 0 thì phương trình có vô số nghiệm 
+ Với a 0 thì phương trình (1) là phương trình bậc hai
D = b2 - 4ac
- Nếu D < 0 thì phương trình vô nghiệm
- Nếu D = 0 thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = 
- Nếu D > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
x1 = ; x2 = 
Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình: (m-2)x2 - 2(m+1)x + m = 0
	+ Nếu m - 2 = 0 hay m = 2 thì phương trình trở thành -6x + 2 = 0 
Û x = . Phương trình có 1 nghiệm duy nhất x = 
+ Nếu m - 2 0 hay m 2 thì ta được phương trình bậc hai có
D/ = (m + 1)2 - (m - 2)m = 4m + 1
* D/ < 0 Û 4m + 1 < 0 Û m < - : Phương trình vô nghiệm
*D/ = 0 Û 4m + 1 = 0 Û m = - : Phương trình có nghiệm kép
x1 = x2 = = 
*D/ > 0 Û 4m + 1 > 0 Û m > - : Phương trình có hai nghiệm phân biệt
x1 = = ; x2 = =
Vậy: * m < - Phương trình đã cho vô nghiệm
	* m = - Phương trình đã cho có nghiệm kép x1 = x2 = - 
* m > - : Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt
x1 = ; x2 = 
	* m = 2 : Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 
Bài tập 5: Chứng minh phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a 0) có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm kép, vô nghiệm với mọi giá trị của tham số
** Phương pháp giải:
	- Lập biệt thức D ( hoặc D/ ) 
	- Chứng minh D ³ 0 (D > 0 ; D 0 ; D/ < 0 ; D/ = 0) với mọi giá trị của tham số 
	- Kết luận phương trình đã cho luôn luôn có nghiệm ( có hai nghiệm phân biệt ; vô nghiệm ; có nghiệm kép) với mọi giá trị của tham số.
	**Trường hợp đặc biệt: nếu phương trình trên có hệ số a và c trái dấu thì phương trình luôn luôn có hai nghiệm phân biệt
5.1 Chứng minh rằng phương trình : x2 - 4x - (m2 + 3m) = 0 luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
Giải:
	* D/ = b/2 - ac = 4 + ( m2 + 3m) = m2 + 3m + 4 = (m + )2 + ³ 0 với mọi m. Vậy phương trình đã cho luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
5.2 Chứng minh phương trình : x2 - 2(m - 1)x + m2 - 2m + 1 = 0 luôn luôn có nghiệm kép với mọi m
 Giải:
	D/ = (m - 1)2 - ( m2 - 2m + 1) = m2 - 2m + 1- m2 + 2m - 1 = 0 với mọi m
	Vậy phương trình luôn luôn có nghiệm kép với mọi m
5.3
Chứng minh phương trình: x2 - 2mx + 2m - 1 = 0 luôn luôn có nghiệm với mọi m
 Giải:
	D/ = m2 - 2m + 1 = (m - 1)2 ³ 0 với mọi m
	Vậy phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi m
5.4
Chứng minh phương trình : x2 + 3x + m2 - m + 5 = 0 luôn vô nghiệm với mọi m
	D = (- 3)2 - 4(m2 - m + 5) = 9 - 4m2 + 4m - 20 = - 4m2 + 4m - 11
	 = - [(2m)2 - 2.2m.1 + 12 ] - 10 = - (2m - 1)2 - 10 < 0 với mọi m
	Vậy phương trình luôn vô nghiệm với mọi m
Bài tập về nhà: (tiết 1&2)
1/ Giải các phương trình sau:
a) x2 + x - 90 = 0	b) 5y2 - 6y +1 = 0	c) 25x2 - 20x + 4 = 0
d) x - 5 = x2 - 25	e) (2x - 3)2 = 11x - 9	f) (3x - 1)(1 + x) = 15
2/ a. Cho phương trình (m - 1)x2 + 2(m - 1)x - m = 0 (x là ẩn, m là tham số)
a.1) Định m để phương trình có nghiệm kép . Tìm nghiệm kép đó.
a.2) Định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
 b. Với giá trị nào của m thì phương trình sau vô nghiệm
	5x2 - 12x + m - 3 = 0
3/ Giải và biện luận phương trình : (m - 3)x2 - 2mx + m - 6 = 0
4/ Chứng minh rằng phương trình sau luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
	x2 - 2(m - 1)x -m = 0
Tiết 3: HỆ THƯC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
1.- Mục tiêu:
	- Nắm vững hệ thức Vi-ét 
	- Biết vận dụng để tính tổng, tích của và các biểu thức khác liên quan đến nghiệm số của phương trình bậc hai
- Biết nhẫm nghiệm của phương trình bậc hai 
- Biết tìm giá trị của tham số thoả mãn điều kiện về dấu của phương trình bậc hai
Nội dung:
Hoạt động 3: Hệ thức Vi-ét:
	Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a 0), có hai nghiệm x1 ; x2 thì tổng và tích hai nghiệm đó là: 
Áp dụng:
Tính nhẩm nghiệm:
	Nếu a + b + c = 0 thì phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm x1= 1 và x2 = 
Nếu a - b + c = 0 thì phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm x1= - 1 và x2 = - 
Bài tập 6: Cho phương trình 7x2 + 3x - 15 = 0
a) Không giải, hãy tính tổng và tích các nghiệm số của phương trình 
b) Tính x12 + x22 ; ; ; x13 + x23 
Giải:
a) a = 7 > 0 ; c = -15 < 0 Phương trình có hai nghiệm x1 ; x2
Ta có: 	x1 + x2 = - ; x1.x2 = - 
b) 	* x12 + x22 = (x1 + x2 )2 - 2x1.x2 = (- )2 - 2(- ) = 
* = 
* = 
* x13 + x23 = (x1 + x2)3 - 3x12x2 - 3x1x22 = (x1 + x2)3 - 3x1x2 (x1 + x2 )
	 = (- )3 - 3(- )(- ) = - 
Bài tập 7: Giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm nhanh nhất:
a) x2 - 11x + 30 = 0
D = 112 - 4.30 = 1 > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt
Ta có: x1 + x2 = 11 = 5 + 6 ; x1.x2 = 30 = 5.6 ; S = {5,6}
b) 3x2 - 10x + 7 = 0
	Ta có: a + b + c = 3 + (-10) + 7 = 0 . Vậy S = {1,}
c) x2 + (1 + )x + = 0
	Ta có: a - b + c = 1 - (1 + ) + = 0. Vậy S = {-1; -}
Bài tập 8: Xét dấu các nghiệm số của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a 0)
+ Phương trình có hai nghiệm trái dấu Û P < 0
	- Phương trình có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có GTTĐ lớn hơn nghiệm dương Û 
- Phương trình có hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có GTTĐ lớn hơn nghiệm âm Û 
+ Phương trình có hai nghiệm cùng dấu Û 
	- Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt Û 
- Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt Û 
8.1 Cho phương trình x2 - 2(m-1)x + m + 1 = 0
Định m để phương trình :
a) Có hai nghiệm trái dấu 
b) Có hai nghiệm dương phân biệt
c) Có đúng một nghiệm dương
Giải:
D/ = (m-1)2 - (m+1) = m2 - 3m = m(m - 3) ; 	S = 2(m - 1) ; P = m + 1
a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu Û P < 0 Û m + 1 < 0Û m < -1
b) - Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt 
 Û Û Û m > 3
c) Phương trình có đúng một nghiệm dương 
Có các trường hợp xãy ra:
+ Có hai nghiệm trái dấu Û P < 0 Û m + 1 < = Û m < -1
+ Có một nghiệm kép dương Û Û Û m = 3
Vậy với m = 3 hoặc m < -1 thì phương trình có đúng một nghiệm dương
8.2 Định m để phương trình 2x2 + (2m - 1)x + m-1 = 0 có hai nghiệm âm phân biệt
D = (2m - 1)2 - 4.2.(m - 1) = 4m2 - 12m + 9 = (2m -3)2 ≥ 0 với mọi m
S = - 	; P = 
Phương trình có hai nghiệm âm Û Û ÛÛ
 Tiết 4: ỨNG DỤNG HỆ THỨC VI-ÉT 
1.- Mục tiêu:
	-Ứng dụng hệ thức Vi-Ét để tìm giá trị của tham số thỏa mãn hệ thức cho trước.
	- Biết lập hệ thức giữa các nghiệm số không phụ thuộc vào tham số
2.- Nội dung
Bài tập 9: Định tham số để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn một hệ thức cho trước
+ Đối với hệ thức đối xứng ( Hệ thức mà nếu thay x1 bởi x2 và x2 bởi x1 thì hệ thức không đổi; chẳng hạn: x12 + x22 ; ; ; x13 + x23 )
* Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm
* Biểu diễn hệ thức đối xứng qua S và P
* Từ hệ thức Vi-ét ta tính tổng và tích rồi thay vào hệ thức đối xứng để tìm giá trị của tham số.
9.1 Cho phương trình : x2 - 6x + m = 0. Với giá trị nào của m, phương trình có hai nghiệm thỏa mãn: x13 + x23 =72
 Giải:
(2)
(1)
m thỏa mãn đồng thời:
(1) Û m £ 9
Ta có x1 + x2 = 3 ; x1.x2 = m
(2) x13 + x23 = 72 Û (x1 + x2)3 - 3x12x2 - 3x1x22 = 72 Û (x1 + x2)3 - 3x1x2 (x1 + x2 )= 72
Û 63 - 3.m.6 = 72 Û m = 8. vậy m = 8
+ Đối với hệ thức không đối xứng
* Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm 
* Từ hệ thức đã cho và hệ thức Vi-ét, giải hệ đối với nghiệm x1 ; x2 rồi thay vào phương trình thứ ba của hệ
* Đối chiếu với điều kiện rồi kết luận
9.2 Định m để phương trình x2 + 2x + m = 0 có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa : 3x1+ 2x2 = 1
Giải:
Phương trình có nghiệm Û D/ = 1 - m > 0 Û m < 1
Theo hệ thức Vi-ét ta có : 	x1 + x2 = -2 
	x1.x2 = m 
Kết hợp với giả thiết 3x1 + 2x2 = 1 ta có hệ: 	 	x1 + x2 = -2 	 (1)
	3x1 + 2x2 = 1 (2)
	x1.x2 = m (3)
Từ (1) và (2) ta giải được x1 = 5 ; x2 = - 7. Thay vào (3) ta được m = -35 thỏa điều kiện
Vậy m = - 35
Bài tập 10: Tìm hệ thức giữa các nghiệm x1, x2 không phụ thuộc vào tham số m
Phương pháp giải: 
- Điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm
	- Từ hệ thức Vi-ét tìm S, P theo m
	- Khử tham số m từ S , P để có hệ thức giữa x1,x2 không phụ thuộc vào m
Ví dụ: Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình : x2 - 2(m-1)x + m2 - 1 = 0
Tìm hệ thức giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m
Giải:
Phương trình có nghiệm Û D/ = (m-1)2 - (m2 - 1) = -2m + 2 ³ 0 Û m £ 1
Theo hệ thức Vi-ét ta có : 	S = x1 + x2 = 2(m-1) 	(1)
	P = x1.x2 = m2 - 1 	(2)
 Từ (1) suy ra m = thay vào (2) ta được P = ()2 - 1
Û 4P = S2 + 4S. Vây hệ thức cần tìm: 4x1.x2 = (x1 + x2)2 + 4 (x1 + x2) 
Tiết 5: HỆ THỨC VI -ÉT ĐẢO
Mục tiêu: 
Năm được định lý Vi-Ét đảo
Biết tìm hai số khi biết tổng và tích
Biết lập một phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm số của nó
Hoạt động 4: Hệ thức Vi-ét đảo: 
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là nghiệm của phương trình :
 x2 - Sx + P = 0	Điều kiện để có hai số S2 - 4P ³ 0
Bài tập 11: Tìm hai số khi biết tổng bằng 32 và tích bằng 231
Giải:
Hai số là nghiệm của phương trình x2 - 32x + 231 = 0 Û 
Vậy hai số đó là: 21 và 11
Bài tập 12: Lập một phương trình bậc có hai nghiệm là: a và b
Phương pháp giải: * Tính tổng S = a + b ; tích P = a.b
Phương trình cần tìm : x2 - (a + b)x + a.b = 0
12.1 Lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm là 17 và 25 
Ta có 17 + 25 = 42 ; 17.25 = 425.
Phương trình cần tìm : x2 - 42x + 425 = 0
12.2 Cho phương trình bậc hai x2 - mx - 2 = 0 (1) có hai nghiệm x1; x2
Viết một phương trình bậc hai trong các trường hợp sau
a) Có hai nghiệm là nghịch đảo hai nghiệm của phương trình đã cho
b) Có hai nghiệm là lập phương hai nghiệm của phương trình đã cho
c) Có hai nghiệm y1 = ; y2 = 
Giải:
a) Từ (1) ta có x1 + x2 = m ; x1.x2 = -2
Ta có: S = = - ; P = = =- 
Phương trình cần tìm : x2 + x - = 0 hay 2x2 + mx - 1 = 0
b) Ta có S = x13 + x23 = (x1 + x2)3 - 3x1x2 (x1 + x2 ) = m3 - 3.(-2).m = m(m2 + 6)
	 P = x13. x23 = (x1.x2)3 = -8
Phương trình cần tìm: x2 - m(m2 + 6) x - 8 = 0
c) Ta có S = += = 
 = =
	 P = .==
Vậy Phương trình cần tìm: x2 +x + = 0
Tiết 6: PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
MỤC TIÊU: 
	- Giải được các dạng phương trình quy về phương trình bậc hai: phương trình Trùng phương và các dạng tương tự, phương trình chứa ẩn ở mẫu, phương trình tích 
Hoạt động 4: Phương trình quy về phương trình bậc hai
1 Phương trình trùng phương ax4 + bx2 + c = 0 (a ¹ 0)
Cách giải: Đặt t = x2 điều kiện t ³ 0
Bài toán 13: 
13.1 Giải phương trình x4 - 13x2 + 36 = 0 (1)
Đặt t = x2 điều kiện t ³ 0
Û t2 – 13t + 36 = 0
=b2 – 4ac = 132 – 4.36 = 169 – 144 = 25 =>= 5
t1 = == 9 > 0 ; t1 = == 4 > 0
Với t = t1 = 9 => x2 = 9 => x = ± 3
Với t = t2 = 4 => x2 = 4 => x = ± 2
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm: x1 = 2; x2 =- 2; x3 = 3; x4 = -3.
Các dạng tương tự: ax + b + c = 0 (a ¹ 0)
 ax2 + b + c = 0 (a ¹ 0)
13.2 Giải phương trình 2x - 5 + 3 = 0 (1)
	Đặt t = điều kiện t ³ 0
	(1) Û 2t2 – 5t + 3 = 0
Ta có a + b + c = 2 – 5 + 3 = 0 => t1 = 1 ; t2 = 
Với t = t1 = 1 => =1 => x = 1
Với t = t1 = => = => x = 
2 Phương trình chứa ẩn ở mẫu
Bài toán 14: Giải phương trình (1)
Điều kiện: x ≠ -1 và x ≠ 4
(1) => 2x(x - 4)= x2 – x + 8
 Û x2 – 7x – 8 = 0
=b2 – 4ac = 72 – 4.(-8) = 49 + 32 = 81 =>= 9
x1 = (TMĐK) ; x2 = (loại)
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm: x = 8
3.- Phương trình tích
Bài tập 15: Giải phương trình (2x2 – 4x)(3x2 + 5x – 7) = 0
(2x2 – 4x)(3x2 + 5x – 7) = 0 Û 2x2 – 4x= 0 hoặc 3x2 + 5x – 7 = 0
(2x2 – 4x)= 0 Û 2x(x-2) = 0 Û x = 0 ; x = 2
3x2 + 5x – 7 = 0 
=b2 – 4ac = 52 – 4.3(-7) = 25 + 84 = 109 =>= 
 x1 = ; x2 = 
BÀI TẬP TỔNG HỢP
1/ Cho phương trình : x2 -2(m - 1)x + m2 - 3m = 0
	a) Định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu ;
	b) Định m để phương trình có đúng một nghiệm âm ;
	c) Định m để phương trình có một nghiệm bằng 0. Tìm nghiệm còn lại
	d) Định m để phương trình có hai nghiệm thỏa: x12 + x22 = 8
	e Tìm hệ thức giữa các nghiệm x1; x2 không phụ thuộc vào m
2/ Cho phương trình : x2 - 2(m - 3)x + m - 3 = 0
	a) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
	b) Tìm hệ thức giữa hai nghiệm số x1 ; x2 không phụ thuộc m
	c) Định m để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó
	d) Lập một phương trình bậc hai mà nghiệm số là và 
3/ Cho phương trình : 2x2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0
a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi m
b) Xác định m để phương trình có nghiệm kép. TÍnh nghiệm kép đó
c) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biêt thỏa mãn : -1 < x1 < x2 < 1
d) Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2. Hãy viết một hệ thức giữa x1; x2 không có m
4) Cho phương trình : x2 - 2(m - 1)x - m - 3 = 0
a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn: x12 + x22 ³ 10
c) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 sao cho E = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất 
5/ Cho phương trình : (m - 1)x2 - 2(m + 1)x + m = 0 (1)
a) Giải và biện luận phương trình (1) theo m
b) Khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt Tìm một hệ thức giữa x1;x2 độc lập đối với m
c) Tìm m sao cho lx1 - x2l ³ 2
6/ Giải các phương trình sau:
a) (3x2 - 5x + 1)(x2 - 4) = 0 ;	b) 9x4 - 10x2 + 1 = 0 ; c) 3x - 5 + 2 = 0
d) (x - 4)(x - 5)(x - 6)(x - 7) = 1680	e) x4 - 3x3 + 6x2 + 3x + 1 = 0