Chuyên đề: Phương trình, hệ phương trình mũ và logarit

CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT. 
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
MŨ VÀ LOGARIT. 
Bài 1: Giải phương trình sau: 1 1 1
12 .4 . 16
8
x x x
x
 
  
Giải: 
  1 2.( 1) 43.(1 )
12 .2 . 2
2
x x x
x
 

 
  6 4 42 2x x  
  6 4 4x   
  2x  . 
Bài 2: Giải phương trình sau: 2 2 3 32 .5 2 .5x x x x   
Giải: 
•Phương trình tương đương: 
 2 310 10x x  
  2 3x x  
  1x  
• Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 1x  
Bài 3: Giải phương trình sau: 
3log1( 2) 2
2
x
x x x     
 
Giải: 
• Đk: 2x  ( * ) 
Phương trình tương đương: 
3
2 0
1( ) 1(1)
2
log x
x
x
  

  

  
3
2
1( ) 1(1)
2
log x
x
x


  

Giải phương trình (1) ta xét hai trường hợp 
1. 1 1
2
x    3
2
x  (Loại) 
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT. 
2. 10 1
2
x   
(1)  3log 0x   1x  (Loại) 
• Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: 2x  
Bải 4: Giải phương trình sau: 
3 1
1 3( 10 3) ( 10 3)
x x
x x
 
    
Giải: 
Điều kiện : 1x  và 3x   
•Vì ( 10 3).( 10 3) 1   nên phương trình sẽ trở thành : 
3 1
1 31( ) ( 10 3)
10 3
x x
x x
 
  

  
3 1
1 3( 10 3) ( 10 3)
x x
x x
 
    
  2 29 1x x   
 
5
5
x
x
 

 
• Đối chiếu điều kiện ta có phương trình có hai nghiệm 5x  và 5x   
Bài 5: Giải phương trình: 
2
3 3log ( 1) ( 5).log ( 1) 2 6 0x x x x       
Giải: 
• ĐK: 1x   
Đặt : 3log ( 1)x t  
Phương trình trở thành: 2 ( 5) 2 6 0t x t x     
Ta có 2 2 2( 5) 8 24 2 1 ( 1)x x x x x          
Vậy phương trình có hai nghiệm: 
2
3
t
t x

  
• Với 2t   3( 1) 2log x    8x  
• Với 3log (3 1)t t    3log (4 )t t   3 4t t   3 4 0t t   
Xét ( ) 3 4tf t t   
Ta thấy hàm số hàm số ( )y f t là hàm số đồng biến trên R nên phương trình: f(t)=0 có nghiệm 
duy nhất. Dễ thấy t = 1 x = 2 
• Vậy phương trình có hai nghiệm là: 2x  và 8x  
Bài 6: Giải phương trình : (2 3) (2 3) 4x x    
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT. 
Giải: 
• Điều kiện: 0x  ( * ) 
Do: (2 3) .(2 3) 1.x x   
 (1)  1(2 3) 4
(2 3)
x
x
  

Đặt (2 3) xt   ( 0t  ). Phương trình trở thành: 
 2 4 1 0t t   
 
2 3
2 3
t
t
  

 
 
1
1
x
x

  
• Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện ( * ). 
Vậy phương trình có hai nghiệm 1x  và 1x   
Bài 7: Giải phương trình : (7 4 3) 3(2 3) 2 0x x     
Giải: 
• Từ pt đầu ta có: (7 4 3) 3(2 3) 2 0x x     
 2(2 3) 3(2 3) 2 0x x      
 2 3(2 3) 2 0(1)
(2 3)
x
x
    

• Đặt: (2 3)x t  ( 0)t  
• Phương trình (1) trở thành: 3 2 3 0t t   1t  
Vì vậy: (2 3) 1x  0x  
Bài 8: Giải phương trình 3(3 5) 16(3 5) 2x x x    
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT. 
Giải: 
• Do (3 5) .(3 5) 4x x x   (với 0x  ) 
• Nên từ phương trình đầu ta có: 
 3(3 5) 16(3 5) 2x x x    
2 4
32(3 5) 2 (1)
(3 5)
x
x x
x

   

Chia cả 2 vế của phương trình (1) cho 32x 
Thì phương trình (1) trở thành: (3 5) 2.2 1(2)
8.2 (3 5)
x x
x x

 

• Đặt: (3 5)
2
x
x t

 ( 0)t  
• Phương trình (2) trở thành: 
 1 2 1
8
t
t
  
 2 8 16 0t t    
 4t  
• Nên : (3 5( ) 4
2
x  4
(3 5)
2
logx
log
 

. 
Bài 9: Giải phương trình 3 3( 1)
1 122 6.2 1
2 2
x x
x x    
Giải: 
Phương trình tương đương: 
 3 3
8 122 6.2 1
2 2
x x
x x    
 3 3
8 22 6 2 1
2 2
x x
x x
      
 
 2 2
2 4 22 2 2 6 2 1
2 2 2
x x x
x x x
              
    
 2 2
2 42 2 4 1
2 2
x x
x x
        
  
22 22 2 1
2 2
x x
x x
       
  
322 1
2
x
x
    
 
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT. 
 22 1
2
x
x
    
 
 2 2x  
 1x  
Bài 10: Giải phương trình 2 23 3 1 ( 1)2 2 2 2x x x x      
Giải: 
Đặt t = x-1 . Phương trình trở thành : 
 
2 212 2 2 2t t t t     
 
2
22.2 2 2 2
2
t
t t
t    
Đặt a = 2 ( 0)t a  ( * ) 
  3 23 2 0a a a   
  
0
1
2
a
a
a

 
 
Đối chiếu điều kiện ( * ) nhận a = 1 và a = 2 
  
1
1
2 1
2 2
x
x


 


  
1
2
x
x

 
Vậy giá trị x cần tìm : x = 1 và x = 2 
Bài 11: Giải phương trình 2 sin 2 2 3 cos(2 ) (2 )x xx x x x      
Giải: 
TH1 
Nếu 22 1x x   
  2 1 0x x   
  
1 5
2
1 5
2
x
x
 


 


Thì phương trình luôn đúng 
TH2 
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT. 
Nếu 
1 5
2 .
1 5
2
x
x
 


 
Thì ta có: sin 2 3 cosx x  
  sin( ) 1
3
x   
  .2
6
x k   
Bài 12: Giải phương trình 2 23 5 2 2 4( 3) ( 6 9)x x x xx x x       
Giải: 
TH1 
Khi 3 1 4x x    
Thì phương trình luông đúng 
TH2 
Khi 4x  
PT trở thành: 2 23 5 2 2 2 8( 3) ( 3)x x x xx x      
  2 23 5 2 2 2 8x x x x     
  2 7 10x x  
  
5
2
x
x

 
Bài 13: Giải phương trình 
2
0.5log sin 5sin cos 2 14
9
x x x   
Giải: 
ĐK: 2sin 5sin cos 2 0(*)x x x   
Phương trình tương đương: 
 1 2 242log (sin 5sin cos 2) log 3x x x
   
 22 4log (sin 5sin cos 2) log 3 x x x      
 2sin 5sin cos 2 4x x x    Thỏa ( * ) 
cos 0
5sin cos 0
x
x x

   
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT. 
 2
1(tan ) 
5
x k
x a m a



  
 
   

Bài 14: Giải phương trình 2lg 1000xx x 
Giải: 
ĐK: x>0 
PT trở thành: 2 2(1000 )lg x lg x 
  2 2 3 0lg x lgx   
  
1
3
lgx
lgx
 
 
  
1
10
1000
x
x




Bài 15: Giải phương trình 2 (3 2 ) 2(1 2 ) 0x xx x     
Giải: 
Ta có 2 2(3 2 ) 4.4.(1 2 ) (2 1)x x x       
Nên phương trình có 2 nghiệm là : 
 3 2 2 1 2
2
x x
x     hoặc 3 2 2 1 1 2
2
x x
xx      
  2 1x x  
Ta có hàm số VT đồng biến nên x=0 
Bài 16: Giải phương trình 2 23.25 (3 10)5 3 0x xx x      
Giải: 
Ta có : 2 2(3 10) 4.3.(3 ) (3 8)x x x       
Nên phương trình có 2 nghiệm là: 2 10 3 3 8 15
6 3
x x x     
  5
25
3
x log 
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT. 
Hoặc : 2 18 65 3
6
x x x    
  5 25 75x x  
Xét hàm số ở VT ta thấy hàm số đồng biến nên 2x  
Bài 17: Giải phương trình 2 22013 2013 2sin x cos x cos x  
Giải: 
Ta có : 2 2 2 22013 2013sin x cos x cos x sin x   
  
2 22 22013 2013sin x cos xsin x cos x   
Xét hàm đặc trưng: ( ) 2013tf t t  
Hàm số đồng biến nên pt đúng khi: 
 2 2cos sinx x 
  cos 2 0x  
  
4 2
kx    
Bài 18: Giải phương trình 
3 32 2 2 2 4 44 2 4 2x x x x x x        
Giải: 
ĐK 2x   
Phương trình tương đương: 
 3 32 2 4 416 .4 2 16.4 2x x x x x x      
 32 1 116.4 (16 1) 2 (16 1)x x x x      
 31 2(16 1)(16.4 2 ) 0x x x     
 3
1
2
16 1
16.4 2
x
x x


 
 

1
( )
2
x
N
x

  
Bài 19: Giải phương trình 3 5 6 2x x x   
Giải: 
Phương trình tương đương: 3 5 6 2x x x   
Xét hàm số : 3 5 6x xy x   
Ta có: 3 . 3 5 . 5 6x xy ln ln    
Suy ra: 2 23 . 3 5 . 5 0x xy ln ln    nên y' đồng biến trên R 
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT. 
Mặt khác: lim 6
x
y

   ; lim
x
y

   
Do đó phương trình: 0y  có nghiệm duy nhất 0x x 
Ta có: lim
x
y

  ; lim
x
y

  ; lim
ox x
y a

 
Nên đương thẳng 2y  cắt đồ thị tại 2 điểm mà y(1)=2, y(0)=2 (Dựa vào bảng biến thiên) 
Vậy phương trình có 2 nghiệm 1x  và 0x  . 
Bài 20: Giải phương trình 
1
5 .8 500
x
x x

 
Giải: 
ĐK 0x  
PT tương đương: 5 5
1. 8 3 4xx log log
x

   
  2 5 5( 2 3) 3 2 0x log x log     
Ta có : 2 2 25 5 5 5 5( 2 3) 4.3. 2 2 6 2 9 ( 2 3)log log log log log        
Nên: 1 2 53; 2x x log   
Bài 21: Giải phương trình 2 2
1
cot sin4 2 3 0x x   
Giải: 
ĐK sin 0x  
Ta có : 2 0cot x  ; 2
1 1
sin x
 
Nên : 2 2
1
0 14 2 4 2 3cot x sin x    
Do đó: 0VT  
Nên PT đúng khi : 
2
2
0
1
cot x
sin x
 


2
x k    
Bài 22: Giải phương trình (7 4 3) 3(2 3) 2 0x x     
Giải: 
Phương trình tương đương: 2(2 3) 3(2 3) 2 0x x     
 3(2 3) 2.(2 3) 3 0x x      
 (2 3) 1x   
 0x  
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT. 
Bài 23: Giải phương trình s inin s( 7 4 3 ) ( 7 4 3 ) 4xx    
Giải: 
• Đặt ( 7 4 3)sinxt   
Phương trình trở thành: 
 1 4t
t
  
  2 4 1 0t t   
  
2 3
2 3
t
t
  

 
  
( 7 4 3) 2 3
( 7 4 3) 2 3
sinx
sinx
   

   
  
1
1
sinx
sinx

  
• Vậy phương trình có các nghiệm: 
2
x k   ( ).k Z 
Bài 24: Giải phương trình 2 22 1 2 22 9.2 2 0x x x x     
Giải: 
• Phương trình biến đổi thành: 2 2 22.2 9 4.2 0x x x x   
Chia hai vế cho 22 x ta được: 
 2 22( )2.2 9.2 4 0x x x x    
  
2
2
2 4
12
2
x x
x x


 

 
  
2
2
2 0
1 0( )
x x
x x L
   

  
  
1
2
x
x
 
 
• Vậy phương trình có hai nghiệm 1x   và 2x  
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT. 
Bài 25: Giải phương trình 3 1125 50 2x x x  
Giải: 
Phương trình tương đương: 
 3 2 35 5 .2 2 .2x x x x  
3 25 5 2 0
2 2
x x
         
   
 5 1
2
x
   
 
 0x  
Bài 27: Giải phương trình 2 22 2 2( 2 2) 23 2 2 25x x x x x x       
Giải: 
Đặt: 2 2 2x x t   ( 0t  ) 
Phương trình trở thành: 23 (2 ) 27t t t   ( * ) 
  23 (2 ) 27t t t   
Xét hai hàm số: 2( ) 3 (2 )t tf t   và ( ) 27g t t  
Ta có ( ) 3 . 3 2.2 . 2 0( )t tf a ln ln t     , ( ) 1 0f b    
Vậy phương trình ( * )có nghiệm duy nhất 
dễ thấy f(2)=g(2) 2t  
 2 2 2 2x x    
 ( 2) 0x x   
 0x  và 2x  
Bài 28: Giải phương trình 2 2 2(2 2) (2 2) 1log x log xx x     
Giải: 
ĐK : x > 0 
Phương trình tương đương: 
 2
2
2
log 2
log
(2 2) 1
(2 2)
x
x
x x   

2
2
2
log 2
log
log
(2 2)(2 2) 1 . 0.
(2 2)
x
x
x
x          
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT. 
2
2
log
log 2
(2 2) 1 , (1)
(2 2) , (2)
x
x x
  
 
 
2• (1) log 0 1x x    
• Đặt 2log 2tx t x  
 2(2) (2 2) 2t t   
 (4 2 2) 1t   
 0t  
 2log 0x  
 1x  
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 
Bài 29: Giải phương trình 3 4 5 14 8x x x x    
Giải: 
• Vì 8 0x  nên phương trình tương đương: 
 3 4 5 114. 1
8 8 8 8
x x x x
                 
       
 3 1 5 114. 1 0
8 2 8 8
x x x x
                   
       
• Xét hàm số: 3 1 5 1( ) 14. 1
8 2 8 8
x x x x
f x                   
       
 trên R. 
• Dễ thấy ( )f x nghịch biến trên R. 
• Mặt khác: (2) 0f  . Suy ra phương trình có nghiệm duy nhất 2x  . 
Bài 30: Giải phương trình 2 2 1 23 3 4 2x x x x      
Giải: 
Điều kiện: 1.x  
Đặt: 2 2 1 1.u x    
Ta có: 2 2 2 3.u u x   
Phương trình đã cho tương đương: 
 2 2 1 23 2 3 3 2 ,x xx x x       
Hay 2 23 2 3 2 (1).u xu u x x     
Xét hàm số : 2( ) 3 2 ,tf t t t   Với 1t  
Ta có ( ) 3 ·ln 3 2 2 0tf t t      1.t  
Từ phương trình (1) , ta có u x , hay 2 2 1 .x x   
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT. 
Giải phương trình này, ta được hai nghiệm 1x  và 3.x  
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm 1x  và 3.x  
Bài 31: Giải phương trình 23 1x x x   
Giải: 
Cách 1: 
Vì: 2 2 21 | | 1 0x x x x x x        
Nên: 2(1) ln( 1) ln 3x x x    
 2( ) ln( 1) ln 3 0f x x x x      
Ta có: 
2
1( ) ln 3 0
1
f x
x
   

  x 0x  
Cách 2: 
Vì : 2 1 0x x    
Nên: 2 2 2 2( 1)( 1) 3 ( 1) 1 3x xx x x x x x x x               
Suy ra hệ: 
2
2
1 3
1 3
x
x
x x
x x 
   

   
2
2 1 3 3
2 3 3
x x
x x
x
x


    
 
 2 24(1 (3 3 ) ) (3 3 )x x x x      
 2 22 2
1 14 4( 2) ( 2) ( 3 )xt t t
t t
        
 2 2( 1) 0t   
Bài 32: Giải phương trình ( 3 2) ( 3 2) ( 5)x x x    
Giải: 
Đặt : 3 2; 3 2; 5a b c     
Ta thấy a c b  
Nếu 0x  thì 1 1 1VT VP    (Phương trình không đúng) 
Nếu 0x  thì x x x x xb c a b c    (Phương trình vô nghiệm) 
Nếu 0x  thì x x x x xa c a b c    (Phương trình vô nghiệm) 
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. 
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT. 
Bài 33: Giải phương trình: 3 14.3 3 1 9x x x   
Giải: 
Đặt 3 0x cos  
PT trở thành: 
 3 24cos 3cos 1 cos     
 23 1cos cos    
 2 2
cos3 0
cos 3 1 cos (1)

 

 
 
Ở PT(1) ta có : 1 ; 1VT VP  
Nên hệ đúng khi: 
 2
2
cos3 0
cos 3 1
1cos






 
 1cos  
Vậy 3 1 0x x   
Bài 34: Giải bất phương trình: 2 3 5 38x x x   
Giải: 
Xét hàm số ( ) 2 3 5t t tf t    , dễ thấy hàm số f(t) đồng biến trên  . 
Nên ta có bất phương trình đã cho được viết lại thành: ( ) (2) 2f x f x   
Bài 35: Giải bất phương trình: 1 2.2 3.3 6x x x   
Giải: 
Chia 2 vế cho 6x ta được: 
 1 1 12. 3. 1
6 3 2
x x x
            
     
Xét hàm số: 1 1 1( ) ( ) 2.( ) 3.( )
6 3 2
x x xf x    
Hàm số trên nghịch biến trên R 
Mà (2) 1f  
Nên BPT đúng khi: 2x  
Vậy tập nghiệm của BPT là S=(- ;2) 
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT. 
Bài 36: Giải bất phương trình: 3 4 5x x x  
Giải: 
Chia cả 2 vế cho 5x ta được: 
 3 4 1
5 5
x x
       
   
Xét hàm số: 3 4( ) ( ) ( )
5 5
x xf x   
Dễ thấy hàm số nghịch biến 
Mà (2) 1f  
Nên BPT đúng khi 2x  
Vậy tập nghiệm của BPT là S=( 2;+ ) 
Bài 37: Giải bất phương trình: 2 4 2 23 ( 4)3 1x xx    
Giải: 
• Khi | | 2x  thì ta có: 2 4 0x   
Nên: 2 4 03 3 1x    và 2 2( 4).3 0xx   
Do đó 1VT  (BPT đúng) 
• Khi | | 2x  thì ta có: 2 4 0x   
Nên: 2 4 03 3 1x    và 2 2( 4).3 0xx   
Do đó 1VT  (BPT vô nghiệm ) 
• Vậy tập nghiệm của BPT là \ ( 2;2)S R  
Bài 38: Giải bất phương trình: 3 .2 3 2 1x xx x   
Giải: 
• Dễ thấy: 1
2
x  không là nghiệm của phương trình. 
• Phương trình tương đương: 2 13
2 1
x x
x



• Ta có: Hàm số 3xy  đồng biến trên R 
Hàm số 2 1
2 1
xy
x



 nghịch biến trên mỗi khoảng (- ; 1)
2
 và 1(
2
;+ ). 
• Vậy phương trình chỉ có 2 nghiệm: 1x  . 
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT. 
Bài 39: Giải bất phương trình: 2 2 22 3 2 2 2 13 4 5 14x x x x x x        
Giải: 
Cách 1: 
• Đặt 2 2 1t x x   ( 0t  ) 
Phương trình viết lại thành: 2 1( ) 3 4 5 14 0(1)t t tf t       
*Nhận xét: Hàm số ( )y f t là hàm số đồng biến với  t [ 0; + ). Nên phương trình (1) có 
nghiệm duy nhất mà f(0) = 0  t = 0 x = -1 
• Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 1x   
Cách 2: Sử dụng BDT. 
Ta có: 
2 2
2 2
2 2
2 3 ( 1) 2 2
2 2 ( 1) 1 1
2 1 ( 1)
3 3 3 9
4 4 4 4
5 5 5
x x x
x x x
x x x
   
   
  
   

  

 
2 2 22 3 2 2 2 13 4 5 14x x x x x x        
Dấu "=" xảy ra khi x=-1. 
Bài 40: Giải bất phương trình: 1 1 2 32 2 3 2x x   
Giải: 
Cách 1: 
• Đặt 2xt  Với ( 0t  ) 
Phương trình trở thành: 32
22 3 2(1)t
t
  
Ta có 32 2
2 22 3 2t t t
t t
     (Áp dụng bất đẳng thức cô si cho 3 số dương) 
Như vậy trong phương trình (1): VT VP 
Dấu "=" xảy ra khi 32
2 2t t
t
   
• Với 3 12 .
3
t x   
 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 1
3
x  
Cách 2: 
Đặt: 2 0xt t  thì phương trình trở thành: 
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT. 
 32
22 3 2t
t
  
 3 32 3 2 2 0t t    
 23 3 3( 2)(2 2 4) 0t t t     
Tới đây các bạn tiếp tục nhé. 
Bài 41: Giải bất phương trình: 2 1 3 2 2
3
82 2
log (4 4 4)
x x
x x
  
 
Giải: 
• Ta có 
2 1 3 2 2
2
42 2 2(2 ) 8
2
x x x
xVT
      (Áp dụng BĐT cô si cho hai số dương) 
2
3 3
8 8 8
(4 4 4) 3
VP
log x x log
  
 
Như vậy: 
8
8
VT
VP



. 
Dấu "= " xảy ra khi: 
2
2
2
42
2
4 4 4 3
x
x
x x
 

   
 1
2
x  
• Phương trình có nghiệm duy nhất 1
2
x  
Bài 42: Giải bất phương trình: 5log ( 3)2 x x  
Giải: 
• ĐK: x>0. 
• Phương trình tương đương: 5 2log ( 3) log (*)x x  
Đặt: 2log 2
tt x x   . Vậy: 
 5(*) log (2 3)t t   
 2 13. 1(**).
3 5
t t
        
   
• Xét hàm số: 2 1( ) 3. .
3 5
t t
y f t         
   
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT. 
• Ta có: 2 1( ) .ln 0.4 3. .ln 0.2 0
3 5
t t
f t          
   
  t R . Suy ra ( )f t giảm trên R. 
• Mặt khác: (1) 0f  do đó ( * * ) có nghiệm duy nhất 1 2t x   . 
Bài 43: Giải bất phương trình: 3 4 0x x   
Giải: 
Xét hàm số ( ) 3 4xf x x   có ( ) 3 3 1 0xf x ln     x 
 Hàm số đồng biến 
 Phương trình có nghiệm duy nhất 
1x  
Bài 44: Giải bất phương trình: 2 2log 3 log 7 2x x x   
Giải: 
Ta có : 33log xx  
 32 2 23 3(3 ) 3log xlog log log xx   
 2 27 7log log xx  
 22log xx  
Đặt : 2t log x từ đó ta có : 
 2 3 7 2t t tPt     
 1t  
 2x  
Bài 45: Giải bất phương trình: 
23 1
2
3
1log ( 3 2 2) 2
5
x x
x x
 
      
 
Giải: 
• ĐK : 1x  hoặc 2x  
• Đặt 2 3 2 ( 0)t x x t     2 23 1 1x x t    
 Pt 
21
3
1log ( 2) 2
5
t
t

    
 
• Xét hàm số 
21
3
1( ) log ( 2) ( )
5
tf t t    
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT. 
• Có 
21 1( ) .2 .5 0
( 2) 3 5
tf t t
t ln
   

  0t  
 Hàm số đồng biến  0t  
• Mặt khác: (1) 0f  nên phương trình trên có nghiệm duy nhất : 
 1t   3 5
2
x  
Bài 46: Giải phương trình 3 9
1( 9 ) 2
2
xlog log x x   
Giải: 
ĐK 0x  
PT tương đương: 9
1log 9 9
2
x xx    
  9
1log
2
x   
  1
3
x  
Bài 47: Giải phương trình 2 34 82( 1) 2 4 (4 )log x log x log x      
Giải: 
ĐK: 4 4x   và 1x   
Phương trình tương đương: 
 2 2 2 2log | 1 | log 4 log (4 ) log (4 )x x x      
 2 2log | 4( 1) | log [(4 )(4 )]x x x     
 2| 4( 1) | 16x x    
2
2
( 4; 1)
4( 1) 16
( 1;4)
4( 1) 16
x
x x
x
x x
   
        
   
 2 2 6
2
x
x
  
 

Bài 48: Giải phương trình 2 2 22 3 6( 1). ( 1) ( 1)log x x log x x log x x       
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT. 
Giải: 
ĐK: 
2
2
2
1 0
1 0
1 0
x x
x x
x
   


  

 
Nhận thấy không có x nào thỏa điều kiện bài toán, vậy phương trình đã cho vô nghiệm. 
Bài 49: Giải phương trình 2 22 1 1(2 1) (2 1)x xlog x x log x     =4 
Giải: 
ĐKXĐ: 
0 2 1 1
0 1 1
x
x
   

  
  1
2
x  
PT 2 1 11 log ( 1) 2 (2 1) 4x xx log x      
Đặt 2 1log ( 1)x x t   , PT trở thành : 
 2 3 0t
t
   
  2 3 1 0t t   
  ( 2)( 1) 0t t   
 
2
5
4
x
x


 

Bài 50: Giải phương trình 32 7(1 )log x log x  
Giải: 
ĐK 0x  
Đặt: 7u log x  7ux  
Pt có dạng: 32log (1 7 )
u u  
  31 7 2u u  
 
31 7 1
2 2
uu            
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT. 
Xét hàm số 
31 7( )
2 2
uu
f u
           
Hàm số nghịch biến trên R 
Mặt khác: (3) 1f  nên PT chỉ có duy nhất 1 nghiệm u=3 
Vậy 37 343x   
Bài 51: Giải phương trình 846 42 ( )log x x log x  
Giải: 
ĐK 0x  
PT tương đương: 
84 4
6 4log ( )x x log x  
Đặt 44u log x  4 4ux  
PT có dạng: 6log (4 4 )u u u  
  4 2 6u u u  
  2 1 1
3 3
u u
       
   
Xét hàm số 2 1( )
3 3
u u
f u        
   
Hàm số nghịch biến trên R nên PT có nghiệm duy nhất 
Mà (1) 1f  nên 1u  
Vậy 44 256x   
Bài 52: Giải phương trình : 
2
2 2
1 1 2 1 12 2
2
x x
x x
x
 
   
Giải: 
• Đk: 0x  
• Phương trình viết lại thành: 
 2 2
1 1 2 1 22 2 1xx x
x
 
   
 
2
2
1 1( 1) 2
2
1 12 2 ( 1)x x
x x

    
 
2
2
1 1( 1) 2
2
1 12 2 ( 1) (1)x x
x x

    
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT. 
  22
1 1( ) (( 1) )f f
x x
  
Xét hàm số đặc trưng ( ) 2tf t t  là hàm số đồng biến trên R \{ 0 } 
Nên phương trình (1)  22
1 1( 1)
x x
   2x  
• Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 2x  
Bài 53: Giải phương trình: 2 2 4 2 13 3 6 7 1 2.3x xx x      
Giải: 
• Phương trình biến đổi thành: 2 2 1 23( 1) 4 2 (3 1) (1)xx      
*Nhận xét: 
2
2
VT
VP



Vậy phương trình (1) có nghiệm khi hệ phương trình: 
2
1
1 0
3 1x
x

  


 có nghệm 
• Hệ phương trình có nghiệm chung 1x   . 
• Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là 1x   
Bài 54: Giải phương trình: 2 1 24 .3 3 2 .3 2 6x x xx x x x     
Giải: 
Phương trình biến đổi thành 
 2 22(2 3) 3 (2 3) 0xx x x x      
  2(2 3)(3 2) 0xx x    
 
3
1
3
2
2
x
x
x log
 

 

 
Bài 55 Giải phương trình: 1 | |4 2 . 2 0sinx sinx ycosxy   
Giải: 
• Phương trình viết lại thành: 
 2 | | 24 2.2 . 2 0sinx sinx ycosxy cos xy cos xy     
  2 | | 2(2 ) 2 0(1)sinx ycosxy cos xy    
*Nhận xét: 2 | | 2 2(2 ) 0;2 1 0sinx ycosxy cos xy cos xy      
Vậy phương trình (1) xảy ra dấu " = " khi: 
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT. 
2 0
0
1
sinx cosxy
y
cosxy
  


  
  2 1
0
sinx
y
 


 
0
x k
y



• Vậy nghiệm của phương trình là: ( ; ) ( ;0)x y k Với k Z 
Bài 56 Giải phương trình: 2 2 6 222.9
xlog logx x  
Giải: 
ĐK: x>0. 
Đặt: 2log 2.22
txt x   
Vậy phương trình trở thành: 
 2log 6 22.9 (2.2 ) (2.2 )t t t  
 2.9 6.6 4.4t t t   
23 33. 2 0
2 2
t t
         
   
3 1
2
3 2
2
t
t
   
      
3 1
2
3 2
2
t
t
   
  
    
1.5
0
log 2
t
t

  
1.5log 2
2
2.2
x
x

  
Bài 57 Giải phương trình: 2 2 1 | |2 (2 )cos x xx   
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT. 
Giải: 
• Ta có 
2
2 2cos xVT   
2 1 | | 2(2 ) 2 2xVP x x     
Dấu " = " xảy ra khi: 
2 1
0
cos x
x
 


 0x  
• Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 0x  
Bài 58 Giải phương trình: 2 22 3 5log x log xx   
Giải: 
• Đk: 0x  
• Đặt 2 2tt log x x   
Phương trình trở thành: 3 4 5t t t  
 3 4 1
5 5
t t
        
   
Phương trình này có nghiệm duy nhất t = 2 4x  
• Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 4x  
Bài 59 Giải phương trình: 
2 2
2
2
42
(4 4 3)
tan xy cot xy
log x x
 
 
Giải: 
• Nhận xét: 
2 2tan cot 2 tan .cot2 2 4xy xy xy xyVT    
2
2 2
4 4 4
((2 1) 2) log 2
VP
log x
  
 
Dấu " = " xảy ra khi 
tan cot
1
2
xy xy
x




cos 2 0
1
2
xy
x


 

cos 0
1
2
y
x


 

• Vậy phương trình có nghiệm (x; y) = 1( ; )
2 2
k  ( k Z ) 
Bài 60: Giải phương trình: 2 23 3( 1) 2log x x log x x x     
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT. 
Giải: 
• ĐK: 0x  
Phương trình biến đổi thành: 
2
2
3
1( ) 2x xlog x x
x
 
  
 23
1( 1) 1 ( 1)log x x
x
      
Ta có : 
3 3
1( 1) 3 1VT log x log
x
     (Áp dụng BĐT cô si cho hai số dương 1;x
x
) 
21 ( 1) 1VP x    
Dấu "=" xảy ra khi x = 1 
• Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 1x  
Bài 61: Giải phương trình 1 (1 )xe ln x   
Giải: 
ĐK: 1x   
Đặt ln( 1)x t  
1
1
t
x
e x
e t
  
 
 
 Nhận thấy hệ đối xứng. 
x te x e t    
Xét hàm số ( ) af a e a  
Có ( ) 1 0af a e     a 
Suy ra hàm số đồng biến nên hàm số có nghiệm thì sẽ có nghiệm duy nhất 
 x=t  x=0 
Bài 62: Giải phương trình 22 1 log ( 1)x x   
Giải: 
Bài này cách giải tương tự bài 62. 
Với 2 ( 1)t log x  
Ta có 2 1
2 1
t
x
x
t
  

 
 2 2x tx t    
Xét hàm số luôn đồng biến . 
Suy ra phương trình có nghiệm thì có nghiệm duy nhất 
 x=t  x=1 hoặc x=0 
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT. 
Bài 63: Giải phương trình 377 2 (6 1) 1x log x   
Giải: 
ĐK: 
1
6
x  
Đặt 7log (6 1)x t  
Ta có : 7 6 1
7 6 1
t
x
x
t
  

 
 7 6 7 7x tx t    
Xét hàm số ( ) 7 6af a a  
Có ( ) 7 7 6 0af a ln    với mọi a 
 hàm số đồng biến 
 PT có nghiệm thì sẽ có nghiệm duy nhất 
x=t  x=0 hoặc x=1 
Bài 64: Giải phương trình 2 2 2
2 12 6 2
( 1)
xx x log
x

  

Giải: 
ĐK: 
1
2
x   và 1x  
Phương trình tương đương: 
 2 22 22( 1) log [2.( 1) ] (2 1) log (2 1)x x x x       
Xét hàm số: 2( ) log ( 0)f t t t t   ta sẽ suy ra được: 
3 7
2
x

 . 
Bài 65: Giải phương trình: 3 22log cotx l