Chuyên đề Phương trình lượng giác - Luyện thi Đại học

Chuyên 
 PHNG TRÌNH LNG GIÁC Luy
n thi i hc 2014 
Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in 
1 
Ch	 
: HÀM S
 LNG GIÁC 
I- LÝ THUYT: 
 0. Gii thi
u tng quan v các hàm s lng giác: 
∀ ∈ − ≤ ≤ − ≤ ≤



  
    
  	 





  
 
 
( ) ( )
( ) ( )
pi pi
pi pi
∀ ∈ + = + =
∀ ∈ + = + =




  

  
  
















	 
 	




  


  

















	 	

  
  
 
  


  
  
 
  

* Các giá tr 
c bi
t: 
pi pi
pi pi pi
pi
pi pi pi pi
pi
pi pi
= ⇔ = = − ⇔ = − + = ⇔ = +
= ⇔ = + = ⇔ = = − ⇔ = +
= ⇔ = = ⇔ = +


   











   
 









   


	  




	  
 





















	  


  











  


















 
  
 
  
 
 

 
  
 
  
 
 

 
  
 
 
pi
pi
pi pi pi
pi pi pi
= − ⇔ = − +
= ⇔ = + = ⇔ = + = − ⇔ = − +


 



	  



	  















	 

  

 
 

 
  
 
  
 
 
--------------------------------------------------------- 
 1. Hàm s y = sin x: 
 * TX
: =  * Tp giá tr: ∀ ∈ − ≤ ≤ 
   
  
 . 
 * Hàm s y = sin x là hàm s l. * Tun hoàn vi chu k: 
 pi= . 
 th: 
 2. Hàm s y = cos x: 
* TX
: =  * Tp giá tr: ∀ ∈ − ≤ ≤ 
  	 
  
 . 
 * Hàm s y = cos x là hàm s ch	n. * Tun hoàn vi chu k: 
 pi= . 
 th: 
y
x-pi
pi
pi
2
-
pi
2
O
1
y
x
1
-1
O
-
pi
2
pi
2 pi-pi
O α
cotang
tang
sin
cos
Chuyên 
 PHNG TRÌNH LNG GIÁC Luy
n thi i hc 2014 
Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in 
2 
 3. Hàm s y = tan x: 
* TX
: 
pi
pi

 
= + ∈ 
 
  

     * Tp giá tr: ∀ ∈ ∈ 
 
  
  . 
 * Hàm s y = tan x là hàm s l. * Tun hoàn vi chu k:  pi= . 
 th: 
 3. Hàm s y = cot x: 
* TX
: { }pi= ∈  
     * Tp giá tr: ∀ ∈ ∈ 
	 
  
  . 
 * Hàm s y = cot x là hàm s l. * Tun hoàn vi chu k:  pi= . 
 th: 
Dng toán 1: TP XÁC NH CA HÀM S
 LNG GIÁC 
*Nhc li: M
t s dng tìm Tp xác nh hàm s thng g	p: 
≥

= 

≥

 = 

∈

= 


  

     




 





  

 !
  

"#
$%
    








  

 !
 


     






  

 !

 

	 
  

 

 


  

 

 
 
	 
  

 

+
∈

 = 

≠

= 


 
 

"#
$%
    








  

 !
   

   






 

  

   
  

 !

 
 

  

 


 
 

	 


 
  
 
 

y
xO
y
xO
Chuyên 
 PHNG TRÌNH LNG GIÁC Luy
n thi i hc 2014 
Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in 
3 
( ) ( ) ( )= ≠ ⇔ ≠ +
    




	 

	 
  
  
  
 



 
( ) ( ) ( )= ≠ ⇔ ≠
   	 




 	 
  
  
  
 
 
Bài tp 1: (Mc 
 c bn) Tìm TX
 c
a các hàm s sau: 

   	 
 	 	  	 
 

 
	  

 
 
 


  
   
 

 

 
pi 	
= − = − −
+
= =
− −
Hng d	n: 
 
 	 	 
 

	 

  

	 

 

  

 
 	
       

       


    

pi pi pi pi pi pi pi
pi
pi pi
pi
pi
pi
 	 
 
− ≠ ⇔ − ≠ + ⇔ ≠ + = + 
 
  
≠
 
 
⇔ ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ =  
≠  
≠

⇔ ≠ ⇔ ≠ + =
≠



  

&'(


  
  
)


  

&'(
 



















 



  
&'(

{ }
	  
	  

 


 
 
 


 	   	


  

  

     
pi
pi
pi pi

 
+ 
 
+

+ ≥ ∀ ∈≥ 

− 
− ≥ ∀ ∈ ≠
≠ ⇔ ≠ =
































*


 
+	



,-
.

/0
  
&'(

Bài tp 2: (Mc 
 trung bình) Tìm TX
 c
a các hàm s sau: 
2 2
3 3 2
a) b) c) 
sin cos 2sin 1 cos cos3
= = =
− − −
y y y
x x x x x
Hng d	n: 
2
3 3
sin
2 \
2
1 5
2sin 1 sin \ 2 , 2
52
2
3 2
cos3 cos
3 2
pi pi pi pi pi
pi
pi
pi
pi pi
pi pi
pi
pi
pi
pi
= = −
−

 
≠ ⇔ ≠ + ⇔ ≠ + = + 
 


≠ + 
 
≠ ⇔ ≠ ⇔ = + +  
  ≠ +

≠
≠ +

≠ ⇔ ⇔
≠ − +


	 	


	
  

&'(


  
  
)


 

&'(
 
 

 





y
x x x
x x k x k D R k
x k
x x D R k k
x k
x k
x x k
x x
x x k
. \
4
4
pi
pi
pi


 
 
=  
≠  

&'(
 













D R k
x k
Dng toán 2: TÌM GIÁ TR NH NHT- GIÁ TR LN NHT CA HSLG 
Ph
ng pháp: 
 Bc 1: S dng các k
 nng bin i  có các B
T và kt lun GTLN- GTNN. 
 Bc 2: Ch rõ GTLN- GTNN xãy ra trong trng hp nào? 
Chuyên 
 PHNG TRÌNH LNG GIÁC Luy
n thi i hc 2014 
Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in 
4 
Bài tp 1: (Mc 
 c bn) Tìm GTLN- GTNN c
a các hàm s sau: 
 	 
	 
 
 	 
 
 	 
 	 
 

  
 

  
 
= − = −
= + = −
Hng d	n: 
 
 
	 

 
	 
	 	 
	 
	 
 	 
	  
	 

  





    
pi
pi
∀ ∈ − ≤ ≤
⇔ ≥ − ≥ −
⇔ − ≤ − ≤
 − ≤ ≤
= − = ⇔ = − ⇔ = − +
1

 


























 































































&'(
23 
.4
.56
 

70


 2
	 	 
	 	 
	 

  
 	 

 
 	 
 
 	  

 




    
  






pi= − − = − ⇔ = ⇔ =
∀ ∈ ≤ ≤
⇔ ≤ ≤
⇔ − ≤ − ≤ −
 − ≤ ≤ −
= −
1
1

.4
.56
 

)
 


























 































































&'(
23 
.4 	 	

 	  
 
 	 
 
	 
 	
 
 	   
 	 
  
 	 

 
 	 

 
 	 
 

 

    

    
  


pi pi
pi
− = − ⇔ = ⇔ = ⇔ = +
= − − = − ⇔ = ⇔ =
∀ ∈ ≤ ≤
⇔ ≤ ≤
⇔ ≤ + ≤
⇔ ≤
1

.56
 

70


 
2 
.4
.56
 
 









 








































	 
 

 
 
 	 
  
 	 
 
	 

 
 	 
 
 
	 
 	




     

    
pi
pi pi
+ ≤
 ≤ ≤
= + = ⇔ = ⇔ = ⇔ =
= + = ⇔ = ⇔ = +
1
1
































































&'(
23 
.4
.56
 

70


 2 
.4
.56
 
 











  
 

 	 
 	
 	 
  	
 	
	 	 
  	 
 
 
 

 	 
   

  





     

  
pi
∀ ∈ ≤ ≤
⇔ ≤ ≤
⇔ − ≤ − ≤ −
 − ≤ ≤ −
= − − = − ⇔ = ⇔ = ⇔ =
= − − = − ⇔
1
1
*
 

















































&'(
23 
.4
.56
 

70


 2 
.4
.56
 
 
 
 
 	
  
pi pi
= ⇔ = ⇔ = + 












Chuyên 
 PHNG TRÌNH LNG GIÁC Luy
n thi i hc 2014 
Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in 
5 
Bài tp 2: (Mc 
 trung bình) Tìm GTLN- GTNN c
a các hàm s sau: 
2 4 4a) 2sin cos2 b) sin cos 4 c) cos cos
3
pi 	
= − = + + = + −
y x x y x x y x x 
Hng d	n: 
2
2
4 2 2
2sin
2sin 1 2
1 1
sin 4 1 sin 2 4 5 sin 2
2 2
2
3 6
pi pi
= −
= − ⇔ = −
= + + ⇔ = − + = −
 	  	
= + − = −


 	
"

 	
 	
 




70
89
:
 5
)0
'9
;-

)
 	 




70
89
:
 5
)0
'9
;-


 	 	 	 
y x x
y x x y x
y x x y x x
y x x x 3 3 3
6 6
pi pi 	
= −  − ≤ ≤
	 	




70
89
:
 5
)0
'9
;-

x y
Bài tp 3: (Mc 
 khá) Tìm GTLN- GTNN c
a các hàm s sau: 
( )
2 2
a) 3 sin cos 2 b) 2sin 2 sin 2 4cos 2 
2 cos
c) 3sin 5cos 8sin cos 2 d) 
sin cos 2
= − + = −
+
= + − − =
+ +
y x x y x x x
x
y x x x x y
x x
Hng d	n: 
Chú ý: 
iu kin  phng trình sin cos=  <)y t t có nghim là: 2 2 2+ ≥a b c 
a) 3 sin cos 2 3 sin cos 2 (*)= − + ⇔ − = −y x x x x y 
Min giá tr c
a hàm s trên là ∀ ∈y R sao cho phng trình sau: 
3 sin cos 2− = −x x y có nghim ∈x R 
( )
2 23 1 2 4 0 0 4
4 3 sin cos 2
2
sin 1 2 2
6 6 2 3
0 3 sin cos 2
pi pi pi pi
pi pi
⇔ + ≥ − ⇔ − ≤ ⇔ ≤ ≤
= − =
 	
⇔ − = ⇔ − = + ⇔ = +
= − = −
1
1
&'(
23 
.4
.56
 










































70


 2 
.4
.56
 

























y y y y
y x x
x x k x k
y x x
sin 1 2 2
6 6 2 3
pi pi pi pi
pi pi
 	
⇔ − = − ⇔ − = − + ⇔ = − +

















 x x k x k
Hng khác: 
Hng 2: 
3 1
3 sin cos 2 2 sin cos 2 2sin 2
2 2 6
pi 	  	
= − + = − + = − +
y x x x x x 




70
89
:
 5
)0
'9
;-
 
Hng 3: 
( ) ( )( )
( )
2
2 2
2
3 sin cos 3 1 sin cos 4
2 4 2 2 2 0 4
− ≤ + + =
 − ≤ ⇔ − ≤ − ≤ ⇔ ≤ ≤
" =	
>"
> 	9
 x x x x
y y y

70
89
:
 5
)0
'9
;-
 
Chuyên 
 PHNG TRÌNH LNG GIÁC Luy
n thi i hc 2014 
Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in 
6 
( ) 2
2
1 cos 4
2sin 2 sin 2 4cos 2 2sin 2 8sin 2 cos 2 2 4sin 4
2
4sin 4 cos 4 1
1 1
3sin 5 8sin 2 3
− 	
= − ⇔ = − = −
⇔ = − − +
− + 	  	
= + − − ⇔ = 
)





70
89
:
 5
)0
'9
;-


















	
 	

 	 	 <
x
y x x x y x x x x
y x x
x x
y x x x x y
( ) ( )
4sin 2 2
2 cos
sin cos 2 2 cos sin 1 cos 2 2
sin cos 2
− −
+
= ⇔ + + = + ⇔ + − = −
+ +




70
89
:
 5
)0
'9
;-


















*

x
x
y y x x x y x y x y
x x
Vi iu kin có nghim ( ) ( )
2 22 1 2 2+ − ≥ −y y y 




70
89
:
 5
)0
'9
;-
 
BÀI TP T LUY!N: 
Bài tp 1: Tìm giá tr ln nht và giá tr nh nht c
a các hàm s: 
2
2 2 2
2 2 2
1 4cos
1) 2 4cos 2) 3 8sin .cos 3) 4) 2sin cos2 
3
5) 3 2 sin 6) cos cos 7) cos 2cos2 8) 5 2sin .cos
3
x
y x y x x y y x x
y x y x x y x x y x x
pi
+
= + = − = = −
 	
= − = + − = + = −
Bài tp 2: Tìm giá tr ln nht và giá tr nh nht c
a các hàm s: 
( )2 2 2
2 2 2 2
4 4
1) sin 4sin 2 2) sin cos 0 
3) 3sin 5cos 8sin cos 2 4) 2sin 4cos 8sin cos 1
5) sin cos 
y x x y a x b x a b
y x x x x y x x x x
y x x
= − − = + + >
= + − − = − + −
= +
6 6 6) sin cosy x x= +
BÀI TP T LUY!N: 
Bài tp: Tìm tp xác nh c
a các hàm s: 
1
1) sin3 2) cos 3) sin 4) cos
3 1
7 cot sin 2
5) 6) cot 2 7) 8) 
2cos 4 cos 1 cos 1
9) cos 1
pi
−
= = = =
+
+ 	
= = − = =
− + 

= +
x x
y x y y x y
x
x x
y y x y y
x x x
y x
2 2
3 2
 10) 11) 12) tan cot
sin cos cos cos3
= = = +
− −
y y y x x
x x x x
Dng toán 3: XÁC NH TÍNH CH"N L# CA CÁC HÀM S
 LNG GIÁC 
Ph
ng pháp: 
 Bc 1: Tìm tp xác nh D c
a hàm s ( )y f x= , lúc ó: 
 + Nu D là tp i x
ng (tc là ∀ ∈  − ∈
  
  ), ta thc hin bc 2. 
 + Nu D không là tp i xng (∃ ∈  − ∉ 
  
  ), ta kt lun hàm s 
( )y f x= không ch	n cng không l. 
 Bc 2: Xác nh − 	 
 . Lúc ó: 
− = =

− = − =
     


?02
@
  
/0
 02
 A
     
?02
@
  
/0
 02
/B
	 
 	 
  	 

	 
 	 
  	 

Lu ý: V mt hình hc: 
1. 
 th hàm s ch$n nhn trc tung Oy làm trc i x
ng. 
2. 
 th hàm s l% nhn gc to 
 O làm tâm i x
ng. 
Chuyên 
 PHNG TRÌNH LNG GIÁC Luy
n thi i hc 2014 
Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in 
7 
Nhn xét: Vi các hàm s l ng giác c b!n, ta có: 
 a. Hàm s = 	 
/0
 02
@
 A 
 . 
 b. Hàm s = = =  
   
 	 
/0
%
 02
@
/C 
  
  
 . 
Bài tp 1: Xác nh tính ch	n, l c
a các hàm s: 
3
43 sina) 1 cos3 b) 1 cos sin 2 c) sin 3 d) 
2 cos2
pi − 	
= + = + − = =
x x
y x x y x x y x x y
x
Hng d	n: 
a) TX
: =D R . Ta có: ∀ ∈  − ∈
  
  
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 1− = + − − = − ≠
− ≠ − 
	 	
70
 
 
?02
@
.D
 	
/0
 02
 E
 A
 E
/B
;-
1

y x x x x x y x
y x y x
b) 
3
1 sin 2 1 cos cos 2
2
pi 	
= + − = −
	y x x x x 
TX
: =D R . Ta có: ∀ ∈  − ∈
  
  
( ) ( ) ( ) ( )1 cos cos 2 cos2− = − − − − = F 	 
?02
@
.D
 	
/0
 02
 A
;-
1
y x x x x x y x 
c) TX
: =D R . Ta có: ∀ ∈  − ∈
  
  
( ) ( ) ( ) ( )
4 4sin 3 sin 3− = − − − = − F 
?02
@
.D
 	
/0
 02
/B
;-
1
y x x x x x y x 
d) TX
: \
4 2
pi pi
 
= + 
 
D R k . Ta có: ∀ ∈  − ∈
  
  
( )
( ) ( )
( )
( )
3 3 3sin sin sin− − − − + −
− = = − = − 
−
F 
?02
@
.D
 	
/0
 02
/B
;-
+

	
 	
 	
x x x x x x
y x y x
x x x
BÀI TP T LUY!N: 
Bài tp: Xác nh tính ch	n, l c
a các hàm s: 
3
3
2000
sin cos2
1) cos3 3) sin 3 4) 5) 
cos2
1 cos
6) sin 2 7) 1 cos 8) 9) sin cos2 
1 cos
10) 
−
= = = =
+
= − = − = = +
−
=
x x x
y x x y x x y y
x x
x
y x x y x y y x x
x
x
y
2 2010sin 2010
 11) 12) sin 2
sin tan cos
+
= =
+
x
y y x x
x x x
Dng toán 4: XÁC NH TÍNH TU&N HOÀN CA CÁC HÀM S
 LNG GIÁC 
Ph
ng pháp: 
 1. Chng minh hàm s ( )y f x= tun hoàn 
 Xét hàm s ( )y f x= , tp xác nh D, ta d oán có s thc d
ng 0T sao cho: 
( )
∀ ∈ − ∈ + ∈


+ =
 

 

 
70

 




 


































  
   
  
	 
  	 

 2. Chng minh  là chu k c
a hàm s ( ngh"a là  dng nh nht tho! mãn h (1) và 
(2)). Thc hin bng phn ch
ng. 
 Bc 1: Gi! s có s T sao cho < <    tho! mãn các tính cht (1) và (2): 
 ( )∀ ∈ + = ⇔  < <  
   




 
GH
 I
7J
K
 8

  	 
  	 
   
 Bc 2: Mâu thu#n này chng t  là s dng nh nht tho! mãn (2). 
Kt lun: Vy  là chu k c
a hàm s ( )y f x= . 
 3. Xét tính tun hoàn các các hàm s l ng giác, ta s dng m$t s kt qu!: 
Chuyên 
 PHNG TRÌNH LNG GIÁC Luy
n thi i hc 2014 
Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in 
8 
 a. Hàm s pi= =  
 	 
L
 	0
7J
 
M

 
  
 . 
 b. Hàm s pi= =  
 	 
L
 	0
7J
 
M
 
  
 . 
M r
ng: (cm) 
 c. Hàm s ( ) ( )
pi
= + = + >
  
 	 

 
L
 	0
7J
 
M
 

   

  

. 
 d. Hàm s ( ) ( )
pi
= + = + >  
 	 
 
L
 	0
7J
 
M
 

   

  

. 
nh lý: Cho cp hàm s   
  	 
  
 tun hoàn trên tp M có các chu k ln l t là 
70

  
∈
7J



. Khi ó, các hàm s: = + =      
       
 	 
  
  
 	 
  
 cng tun hoàn trên 
M. 
H
 qu
: 
Hàm s = +      
 	 
  
 tun hoàn vi chu k T là b$i chung nh nht c
a 
 0

   . 
Bài tp 1: Chng minh r%ng m&i hàm s sau là m$t hàm s tun hoàn và hãy tìm chu k 
c
a nó: 
2
1) 2sin 2) cos 5 3) tan 4) cos2 
4 3 4
5) cos 6) sin cos 7) sin cos 8) 4sin
2 4
9) 
y x y x y x y x
x
y y x x y x x y x
y
pi pi pi
pi
 	  	  	
= + = − − + = + =
 	
= + = + = =
=
1
sin x
SAI L&M ' ÂU? 
Xét bài toán: 
 Tìm chu k c
a hàm s: ( )( ) sin ; ( 0)= + ≠f x ax b a 
( Trc nghim Nghuyn Vn Nho HSP2006 và nhiu sách khác) 
Mt h(c sinh gii nh sau: 
 Bc 1: Gi T là chu k c
a hàm s ã cho. 
 Bc 2: Lúc ó: 
 ( ) ( )( ) ( ) sin sin+ = ⇔  + +  = + f x T f x a x T b ax b 
 ( ) ( )sin sin⇔ + + = +ax b aT ax b (*) 
 Bc 3: Do hàm s sin=y x tun hoàn vi chu k 2T pi= 
 T' (*) 2aT pi⇔ =
2
T
a
pi
⇔ = 
 Vy chu k c
a hàm s ã cholà 
2
T
a
pi
= . (ycbt) 
Bài gi!i c
a hc sinh trên ã úng cha? Nu cha thì sai ( bc nào? 
*Lu ý: 
 Nhìn tng th thì bài gi!i có v úng nhng b!n cht thì...sai. Sai vì cha hiu rõ th 
nào là chu k c
a mt hàm s. 
 Nhc: T  c gi là chu k c
a hàm s ( )y f x= khi ch) khi: 
 + ( ) ( )f x T f x+ = (*) 
 + T là s dng nh nht tho! (*) 
Chuyên 
 PHNG TRÌNH LNG GIÁC Luy
n thi i hc 2014 
Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in 
9 
Nh vy i vi bài gi!i trên, ch) úng khi 0>a . Vy trong tr*ng h p tng quát thì sao? 
Ta gi!i nh sau: 
 TH1: 0>a gi!i nh trên. 
 TH2: 0<a . Thc hin phép bin i: ( ) ( )sin sin+ = − − −ax b ax b . Lúc này ta a 
bài toán v TH1. 
Bài tp: Tìm chu k c
a các hàm s sau: 
a) ( )cos 2 4= −y x b) ( )cot 3 1= − +y x c) 
2
tan 1
3
 	
= −
x
y c) 
( )sin 4 2= − +y x 
Bài toán: Cho hàm s ( ) sin sinf x a ux b vx= + , trong ó , , ,
 
 
a b u v là các s thc khác 0. 
 a) Chng minh r%ng: Nu hàm s ( )y f x= tun hoàn thì 
u
v
 là s h+u t). 
 b) Ng c l,i nu 
u
v
 là s h+u t) thì hàm s ( )y f x= tun hoàn. 
Chng minh: 
 a) Gi! s hàm s ( )y f x= tun hoàn vi chu kì T. Ta có: ( ): ( )
x f x T f x∀ + = . 
Cho 0x = , ta có: ( ) (0) sin
 	 









f T f a uT b vT b= ⇔ + = . 
Cho x T= − , ta có: ( ) (0) sin
 	 



f T f a uT b vT b− = ⇔ − + = . 
T' (1) và (2) suy ra : 
1 2 2 2
sin 0
pi pi
pi pi
= =
 

⇔  = ⇔ = ∈ 
= = 
	vT vT k vT k v k
Q
uT uT m uT m u m
 (.p.c.m) 
 b) Gi! s = ∈
v m
Q
u n
 vi , 
m n là các s nguyên khác 0. Chn 
2 2m n
T
u v
pi pi
= = . 
Khi ó: ( )
2 2
sin
pi pi 	  	
+ = + + +

 	
m n
f x T a u x b v x
u v
 ( ) ( ) ( ) ( )sin 2 cos 2 sin cos ( )pi pi= + + + = + =













 a ux m b vx n a ux b vx f x 
Vy hàm s ( )y f x= tun hoàn (.p.c.m) 
nh lý: Cho cp hàm s   
  	 
  
 tun hoàn trên tp M có các chu k ln l t là 
∈
70
 
7J

  

. Khi ó, các hàm s: = + =      
       
 	 
  
  
 	 
  
 cng tun hoàn 
trên M. 
H
 qu
: 
Hàm s = +      
 	 
  
 tun hoàn vi chu k T là b$i chung nh nht c
a 
 0

   . 
Ví d) minh h(a 1: Xác nh chu kì c
a các hàm s sau: 
2
2
1
1) tan 3 2) 2cos 2 3) sin sin 2 
6 3 2
1 1
4) sin sin 2 sin 3 5) 2 tan 3tan 6) cos 2cos
2 3 2 3
y x y x y x x
x x
y x x x y y x x
pi pi 	  	
= + = + = +
= + + = − = +
Gi
i: 
4) Ta có: 
Hàm s siny x= tun hoàn chu kì 2pi . 
Hàm s sin 2y x= tun hoàn chu kì pi . 
Chuyên 
 PHNG TRÌNH LNG GIÁC Luy
n thi i hc 2014 
Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in 
10 
Suy ra, hàm s 
1
sin sin 2
2
y x x= + tun hoàn vi chu kì 2T pi= . 
Hàm s sin 3y x= tun hoàn chu kì 
2
3
pi
. 
Vy hàm s 
1 1
sin sin 2 sin 3
2 3
y x x x= + + tun hoàn vi chu kì 2pi 
Ví d) minh h(a 2: Cho hàm s ( ) 	f x x= . Chng minh r%ng hàm s trên không tun 
hoàn ph
i. 
Gi
i: Gi! s hàm s ã cho là tun hoàn ph!i. Khi ó có tn t,i s dng T sao cho: 
0 : 
	 	x x T x∀ ≥ + = 
Cho 0x = , ta có: 1 2	 T T k pi= ⇔ = (1) 
Cho x T= , ta có: 2 1 2 2	 	 


T T T m pi= = ⇔ = 
Lp t) s (1) (2) , ta  c: 2 = ∈
k
Q
m
. Mâu thu#n. Vy hàm s ó không tun hoàn ph!i. 
Ví d) minh h(a 3: 
Tìm tt c! các s nguyên n khác 0  hàm s:
5
( ) cos .sin
x
y f x nx
n
= = tun hoàn vi chu kì 
3pi . 
Gi
i: Gi! s hàm s ã cho là tun hoàn vi chu kì 3pi . Lúc ó, ta có: 
5( 3 ) 5
: ( 3 ) ( ) cos ( ).sin cos .sin

x x
x f x f x n x nx
n n
pi
pi pi
+
∀ + = ⇔ + = 
 Thay 0x = ta  c: 
15 15
sin 0 15k kn
n n
pi pi
pi= ⇔ = ⇔ = . Tc là n là c c
a 15, do 
ó: { }1; 3; 5; 15
 
 
n∈ ± ± ± ± 

!o l,i: { }1; 3; 5; 15
 
 
n∀ ∈ ± ± ± ± thì: 
5( 3 ) 5
( ) cos ( ).sin cos .sin
x x
f x n x nx
n n
pi
pi
+
= + = 
Tht vy, vì 3n và 
15
n
 là các s nguyên l nên : 
cos ( ) cos( ) cos .
5( 3 ) 5 15 5
sin sin sin
n x nx n nx
x x x
n n n n
pi pi
pi pi
+ = + = −
+  	
= + = −
Do ó các giá tr n cn tìm là { }1; 3; 5; 15
 
 
n∈ ± ± ± ± (y.c.b.t) 
BÀI TP T LUY!N: 
Bài tp: Xác nh chu k c
a các hàm s: 
2
2
1
1) tan 3 2) 2cos 2 3) sin sin 2 
6 3 2
1 1
4) sin sin 2 sin 3 5) 2 tan 3tan 6) cos 2cos
2 3 2 3
y x y x y x x
x x
y x x x y y x x
pi pi 	  	
= + = + = +
= + + = − = +
Chuyên 
 PHNG TRÌNH LNG GIÁC Luy
n thi i hc 2014 
Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in 
11 
CHUYÊN *: PHNG TRÌNH LNG GIÁC 
----------------------------------------------------- 
Ch	 
 1: PHNG TRÌNH LNG GIÁC C BN 
I- LÝ THUYT: 
1)Phng trình sin x a= (1) 
Thut toán: 
 TH1: 1a > Phng trình (1) vô nghim vì sin 1, x x R≤ ∀ ∈ 
 TH2: 1a ≤ Phng trình (1) có các ngim: 
2 , x k k Zα pi= + ∈ 
2 , x k k Zpi α pi= − + ∈ 
 (trong ó: sin aα = ) 
 Ho	c: 
2) Phng trình cos x a= (2) 
Thut toán: 
 TH1: 1a > Phng trình (2) vô nghim vì cos 1, x x R≤ ∀ ∈ 
 TH2: 1a ≤ Phng trình (2) có các ngim: 
2 , x k k Zα pi= + ∈ 
2 , x k k Zα pi= − + ∈ 
 (trong ó: cos aα = ) 
 Ho	c: 
3) Phng trình tan x a= (3) 
Thut toán: 
iu kin c
a phng trình (3) là: , 
2
x k k Z
pi
pi≠ + ∈ 
 Phng trình (3) có các nghim là: , x k k Zα pi= + ∈ 
(trong ó: tan aα = ) 
Ho	c: arctan , x a k k Zpi= + ∈ 
 4) Phng trình cot x a= (4) 
Thut toán: 
iu kin c
a phng trình (4) là: , x k k Zpi≠ ∈ 
 Phng trình (4) có các nghim là: , x k k Zα pi= + ∈ 
(trong ó: cot aα = ) 
 Ho	c: arccot , x a k k Zpi= + ∈ 
II- M+T S
 K, N-NG C&N LU Ý: 
I- X. lý d/u “ −” : 
 a) Gi!i phng trình: 
3
cos 2 cos 2 cos cos
3 2 3 6 6
x x
pi pi pi pi
pi
 	  	  	
− = − ⇔ − = − = −
arcsin 2 , x a k k Zpi= + ∈ 
arcsin 2 , x a k k Zpi pi= − + ∈ 
arccos 2 , x a k k Zpi= + ∈ 
arccos 2 , x a k k Zpi= − + ∈ 
Chuyên 
 PHNG TRÌNH LNG GIÁC Luy
n thi i hc 2014 
Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in 
12 
 b) Gi!i phng trình: 
3
sin 2 sin 2 sin sin
3 2 3 3 6
x x
pi pi pi pi 	  	  	
− = − ⇔ − = − = −
 c) Gi!i phng trình: tan 2 3 tan 2 tan tan
3 3 3 3
pi pi pi pi 	  	  	
− = − ⇔ − = − = −
x x 
Nhn xét: T,i sao l,i s dng k
 nng này? 
 + Gi!m bt t duy “ nh” máy móc các giá tr c bit. 
 + Nh vy, x lý du “ −” i vi cos thì dùng công thc bù, sin, tan, cot thì 
dùng công thc 
i. 
II- K0 thut l/y nghi
m trên mt khong, mt 
on: 
VD: Tìm các nghim [ ]0;2pi∈x c
a phng trình: cos2 0x = . 
Gi!i: 2 0 , 
4 2
cos x x k k Z
pi pi
= ⇔ = + ∈ . 
Do [ ]
1 7
0;2 0 2 0 2 0,1,2,32 2
4 2
k
x x k k
k Z
pi pi
pi pi pi


− ≤ ≤
∈ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ + ≤ ⇔  =
 ∈
Vy: 0 : , 1: , 2 : 2. , 3 : 3.
4 4 2 4 2 4 2
pi pi pi pi pi pi pi
= = = = + = = + = = +k x k x k x k x 
III- K, THUT GII PHNG TRÌNH CH1A I*U KI!N: 
Nhc: M$t s hàm s có iu kin: 
pi
pi pi= ≠ + ∈ = ≠ ∈
= ≠ = ∈ ≥

  




.
  
 









 	 


.
  

 

 


.
   






















   

 ,N



.
   

 

 
 
     
 
   
 

 
   
  


 


c bit, i vi phng trình l ng giác do c thù là có vô s nghim d,ng 
pi
α= +
 

 ∈   nên vn  i chiu nghim t
ng i ph
c tp và khó khn. Kh-c phc nh c 
im này, chúng ta bàn lun cách x lý vn  này thông qua các VD sau: 
VD1: Gi!i phng trình: 

	

 
=
−




 (1) 
 Bc 1: iu kin:  
 

pi
pi− ≠ ⇔ ≠ +
 
  (*) 
Bc 2:  	
  



⇔ = ⇔
 
Cách 1: 




	
  	



pi
pi
pi
pi
pi

= +
= = ⇔ 
 = − +


 



 
. Thy (2) không tho! (*). Vy 
phng trình có nghim 


 
pi
pi= − + . 
THUT TOÁN GII PHNG TRÌNH:   

	 
 = 
Bc 1: Tìm iu kin 
 c
a phng trình. 
Bc 2: Gi!i phng trình (1) có các giá tr:   
 


 
 
 
 . 
Bc 3: 
i chiu iu kin 
 và kt lun nghim c
a phng trình   	 
 = . 
Chuyên 
 PHNG TRÌNH LNG GIÁC Luy
n thi i hc 2014 
Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in 
13 
 Nhn xét: 
ôi khi gp phng trình 	 O
O
 = −
 thì công thc nghim nh trên thì 
thun l i hn. 
Cách 2:  	
 ⇔ =
 . 
Do 
 
 
/	4	 
  
   
 

  


	
 
=
 + = 
 = ⇔ 
= − ⇔= 


 






Cách 3: V ng tròn lng giác và i chiu iu ki
n: 
 

 Lu ý: Vi h nghim x k
n
pi
α= + có 2n ngn cung nghim 

 
  	
 
 
pi pi
⇔ = ⇔ = +
 
  
 + Biu di.n các cung d,ng: 
 

 
pi pi
= + . Kí hiu  
 + Biu di.n các cung (iu kin): 


 
pi
pi≠ + . Kí hiu: × 
T' hình v thy, các cung trùng nhau t,i   
  . Suy ra t,i 
  
  là các ngn cung 
nghim: 



 
pi
pi= + . Hoc: 
pi
pi= − + ∈ 



    
Cách 4: 
iu kin: 


 
pi
pi≠ + . Nghim c
a pt 
  
 = , là 
 

 
pi pi
= + , ∈  . 
Ta xét: 
 
 
   
pi pi pi
pi+ ≠ + ⇔ ≠ . 
Kt lun: Vy phng trình có nghim là: 
pi pi ∈

= + 
≠

7J

 
 

 
 
 VD2: Gi!i phng trình: ( ) ( )   
	 
  − − =
 
 (1) 
 iu kin: ( )	  − ≠
 
( )
( )


  








	 
  


 − =
⇔
 − =




Gi!i (2): ( )− = ⇔ − = ⇔ = + ∈            

 
  
    
Gi!i (3): ( ) 	 
   	− = =
 
    
    

    
 

     

  
 

  
 
 − = + = +
⇔ ⇔ 
− = − + = + 
 
i chiu iu kin: Thay các nghi
m vào phng trình ( )	  − =
 
( )     	    	     
/0
 2
9 + − = ≠  = +   
 
( ) ( )      	 
   	    
  
 E
/0
 2
P
9 + − = + =  = +   
 
A4A3
A2
A1
O
y
x
Chuyên 
 PHNG TRÌNH LNG GIÁC Luy
n thi i hc 2014 
Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in 
14 
III- LUY!N TP: 
Bài tp 1: Gi!i các phng trình sau: 

	 

 













































 	 	
 


	 	













































 
− = = −
+ = − =

 
 
 
 


 
 
 

Hng d	n: 
( )

"Q

 	  	  	   F
	 

; 













































 
; 

&'(
9 5R
;S 

%
 2
/
pi
pi
pi
pi pi
=
⇔ − = ⇔ −

= ⇔ = +

  	
= +⇔ 
   
 = ⇔
  	
= − + 
 
 

 

 
 
 
 


 
 

 



 
 
0
 O 
 ; 
 
70
 ; 
  


"Q