Chuyên đề Rèn luyện kĩ năng giải phương trình, bất phương trình vô tỷ

ðỗ Ngọc Nam_THPT Trung Giã Page 1 0949088998 
 Tơi đưa ra ở đây một số kĩ năng biến đổi cĩ thể nghĩ đến trong quá trình giải phương trình, bất 
phương trình vơ tỷ. Một số bài tập cĩ thể giải bằng nhiều cách khác nhau mà, tơi cố gắng sắp xếp cách 
tốt nhất để bạn đọc được biết. Một điều quan trọng là bạn đọc cần tự mình luyện giải một lượng bài 
tập nhất định để nắm được các kĩ năng đĩ. 

 Kĩ năng thứ nhất: Lũy thừa 
2
0gf g f g
 ≥= ⇔
 =
, 
33 f g f g= ⇔ = ; ( ) ( )
2
2
0
0 0
0 1 2
0
f
g gf g f f g
gf g f g
 ≥  >   ⇔   ≥  
. Giải phương trình: ( )2 2 31 1 2 1x x x x x− − + + − = + ð/s: x = 1 
. Giải phương trình: 1 1 11 xx
x x x
−
− − − = . ðáp số: x = 1 và 1 5
2
+
=x 
. Giải phương trình: 2 23 19 42 7 6 6x x x x− + + − + − = . ð/s: x = 6; 2; 3/2; 7/2 
. Giải phương trình: 1 1
21 3
x
x
x x
+
= −
+ − −
 ð/s : 2 7 2 7;
2 2
x x
− +
= = . 
. Giải phương trình: 2 22 2
12 1212 x x
x x
− + − = . ðáp số x = ± 2 
. Giải phương trình: 3 3x x x− = + . ðáp số: 
3 10 1
3
−
. Giải phương trình: 
3
21 1 1 3
3
x
x x x x
x
+
+ + = − + + +
+
. ðáp số: 1 3, 1 3x x= − = + 
. Giải phương trình: 2 25 6 3 21 19 42x x x x x x− + + − + + = + − . ðáp số: x = 3; x = 6; x = 11 
. Giải phương trình: ( )( ) ( ) ( )2 2 5 2 10x x x x x− − = + − − . ðáp số:
2
5515
;1 +== xx 
. Gpt: 4 5 3 1 2 7 3x x x x+ + + = + + + ; 3 3 1 2 2 2x x x x+ + + = + + . ð/s: x = 1 
. Gpt: 22 3 1 11 33 3 5x x x x x+ + + = − + + − . ð/s: x = 3; x = 8. 
. Giải các phương trình, bpt: 3 3 31 1 5x x x+ + − = ; 1 6 3 1
21 3
x x
x x
− + −
=
− + −
; 4 1 2x x− − = − ; 
4 3 10 3 2x x− − = − ; 2 1 3x x− > − ; 2 2 8 8x x x− − > − ; 1 4 2 3x x x+ + − > + ; 16 17 8 23x x+ = − ; 
2 4 2 2x x x− + = − ; 5 1 3 2 1 0x x x− − − − − = ; 3 2 1 3 2x x x+ − − = − ; 3 4 2 1 3x x x+ − + = + ; 
2 6 5 8 2x x x− + − > − ; 2 1 8x x− − ; ( ) ( )1 4 2x x x+ − > − ; 
5 4 3x x x+ − + > + ; 5 1 1 2 4x x x− − − > − ; 2 3 5 2x x x+ − − < − ; 5 1 4 1 3x x x− − − < ; 
1 3 4x x+ > − + ; 
251 2 1
1
x x
x
− −
<
−
; 2 4 3 2x x
x
− + −
> ; 3 3 32 1 1 3 1x x x− + − = + ð/s: x = 7/6 
. Giải bất phương trình: − −+ − >
− −
2
2( 16) 7
3
3 3
x x
x
x x
. ð/s: > −10 34x 
RÈN LUYỆN KĨ NĂNG 
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ 
PT, BPT Vơ tỷ Page 2 22/10/2013 
. Giải bất phương trình: 3 2 1x x− < − . ðáp số: 3x≥ ; 2 1 3x x x− + ≤ + . ðáp số: 8
7
x≥− 
3 2 4 3x x− > − . ðáp số: 2 1
3
x≤ < ; 23 4 1x x x+ − ≥ + . ðáp số: 4 1 41; ;
3 4
x
   +  ∈ −∞ − ∪ +∞    
2 3 10 2x x x− − ≥ − . ðáp số: 2x≤− và 14x≥ ; 5 1 1 2 4x x x− − − > − . ðáp số: 2 10x≤ < 
3 4 1 3x x x+ − + − . ðáp số: [ - 4; 5) và (6; 7] 
. Giải bất phương trình : 12 3 2 1x x x+ ≥ − + + ; 2 7 5 2 3 2x x x+ − − ≥ − 
. Giải bất phương trình 
23 4 2 2x x
x
− + + +
< . ðáp số: [ )9 4; 1;0
7 3
x
 
 ∈ ∪ −  
. Giải bất phương trình: 
2
1 1
2 12 3 5 xx x
>
−+ −
 ð/s: ( )5 3; 1; 2;
2 2
S
     = −∞ − ∪ ∪ +∞       
. Giải bất phương trình: 2 22 3 2x x x x x− + + ≥ ðáp số: ( ] { } 25; 3 0 ;
8
 −∞ − ∪ ∪ +∞ 
. Giải bất phương trình: 3 1
2 1 1 3 3
x
x x x
−
≥
− − + − −
 . ð/s: S = [4; 5] 
. Giải bất phương trình: 2 2( 6) 2 0x x x x− − − − ≥ . ðáp số: ( ] { } [ ); 2 1 3;−∞ − ∪ − ∪ +∞ . 
. Giải bất phương trình: ( )2 23 2 3 2 0x x x x− − − ≥ . ðáp số: { } [ )1; 2 3;2 −∞ − +∞   ∪ ∪ 
. Giải bất phương trình: 2 22 11 15 2 3 6x x x x x+ + + + − ≥ + ðáp số: 7 3; ;
2 2
S
     = −∞ − ∪ +∞     
. Giải bất phương trình: 4 1 2x x− − > − ðáp số: 13 5 ;1
2
S
 
−
=  
 
. Giải bất phương trình: 
251 2 1
1
x x
x
− −
<
−
 ðáp số: ( )1; 1 2 3 1 2 13; 5S  = − + ∪ − − −  
. Giải bất phương trình: 4 1 2x x− − > − ðáp số: 13 5 ;1
2
S
 
−
=  
 
. Giải bất phương trình: 
2 4 2 3 3
2
x x x
x
− + − −
>
−
 . ð/s: [ ) { }1; \ 2+∞ 
. Giải bất phương trình: 21 2 1 2 2 .x x x− + + ≥ − ðáp số: 1 1;
2 2
 
 −
  
. Gpt: 23 33 3 2 7x x x+ + = + . ð/s: x = 1; x = 4; x = 64 
. 
2
4 2
1
3 2
x x
x x x
−
≤
+ −
. ð/s: x < 0 
. 2 2 23 2 4 3 2 5 4x x x x x x− + + − + ≥ − + . ðáp số: x = 1 và x 4≥ nhĩm tích 
. ( ) 2 23 10 12x x x x+ − = − − (bình phương); 2 2( 1) 4 1x x x− − = − . ð/s: - 5/2 nhĩm tích 
. 2 22 8 6 1 2 2x x x x+ + + − = + . ð/s: 1; - 1; -25/7 nhĩm tích 
. Giải bất phương trình: 2 24 12 6 2x x x x x− − + − − ≥ + . ð/s: ( ] [ ); 2 7;−∞ − ∪ +∞ 
. Giải phương trình: 2 22 2 1 3 4 1x x x x x+ + − = + + ð/s: 1 5
2
x
+
= 
. Gpt: 2 7 6 3 4 3 12 0x x x x x+ + + + + + = . ð/s: x = - 3; x = - 2. 
ðỗ Ngọc Nam_THPT Trung Giã Page 3 0949088998 
. Giải phương trình: 22 12 2 2 1 2x x x x+ + − − = + . ð/s: x = 1; 

 Kĩ năng thứ hai: Nhĩm nhân tử 
. Giải phương trình: ( ) 22 1 1 0x x x x x x− − − − + − = ðáp số: x = 2 
. Giải phương trình: 22 7 2 1 8 7 1x x x x x+ − = − + − + − + . ð/s: x = 4; x = 5 
. 2 2 4 3 23 5 1 8 3 15x x x x x x x− + + − = + + − − + 
. Giải phương trình: 2
12
122
+=
++
+++
x
xx
xxx
 ðS:x =1;x =2 
. Giải phương trình: 2 22 8 6 1 2 2x x x x+ + + − = + 
. 4 2 4 2 25 4 2 4 16 1x x x x x x− + + = − + − . 

 Kĩ năng thứ ba: Tự phá căn 
Một số biểu thức dưới dấu căn ngụy trang khiến ta chưa thể phát hiện ra nĩ chính là một bình phương 
của biểu thức khác. 
. Giải phương trình 3 4 1 8 6 1 2x x x x+ − − + + − − = ; 1 1 2
2 4
x x x+ + + + = ; 
x x x .2 2 2 1 1 4+ + + − + = ; ( ) ( )3 32 21 1 1 1 2 1x x x x + − − − + = + −   
. Giải bất phương trình : 32 1 2 1
2
x x x x+ − + − − > . ðáp số: 1x≥ 

 Kỹ năng thứ tư: Giải phương trình tương ứng rồi xét dấu. 
ðể giải bất phương trình: ( ) 0f x ≥ ta tiến hành như sau: 
+ Viết điều kiện tồn tại hàm f 
+ Giải phương trình: ( ) 0f x = 
+ Lập bảng xét dấu hàm f và kết luận. 
. Giải bất phương trình: 
3 3
1 1 3
23 6x x
+ ≤
− +
 ð/s: ( ) [ ] ( ); 6 5;2 3;= −∞ − ∪ − ∪ +∞S 
. Giải bất phương trình: 3 3 3 4
3 3 3
x x
xx x
+ + −
≥
+ − −
. Giải bất phương trình: 1 6 3 1
21 3
x x
x x
− + −
≥
− + −
. ð/s: 
1 2
5
 ≤ ≤

 >
x
x

 Kĩ năng thứ năm: ðặt 1 ẩn phụ hồn tồn 
 Với một lớp các phương trình, đặt ( )t xϕ= đưa phương trình ẩn x về phương trình ẩn t. Trường hợp 
( )x ax bϕ = + việc này là thực sự rõ ràng. 
. 23 2 6 2 4 4 10 3x x x x+ − − + − = − (B2011) 
. Giải phương trình: ( )2 22 1 3 1 2x x x− = − + − 
. Giải các phương trình: 2 23 2 1x x x x− + − + − = ; ( )( ) 25 2 3 3x x x x+ − = + ; 
( ) ( ) 24 1 3 5 2 6x x x x+ + − + + = ; ( ) ( ) 21 2 1 2 2x x x x+ − = + − ; 2 24 10 9 5 2 5 3x x x x+ + = + + ; 
32 218 18 5 3 9 9 2x x x x− + = − + ; 2 23 21 18 2 7 7 2x x x x+ + + + + = ; 2 24 5 1 4 5 7 3x x x x+ + + + + = ; 
23 2 1 4 9 2 3 5 2x x x x x− + − = − + − + ; 2 24 2 3 4x x x x+ − = + − ; ( ) ( )1 3 1 3 2x x x x+ + − − + − = ; 
22 3 1 3 2 5 3 16x x x x x+ + + = + + + − ; 2 2 24 1 2 2 9x x x x x x+ + + + + = + + ; 4 21 1x x+ − > ; 
PT, BPT Vơ tỷ Page 4 22/10/2013 
2 23 15 2 5 1 2x x x x+ + + + = . ð/s: 0; - 5.; 2 25 10 1 7 2x x x x+ + > − − ; 2 22 4 3 3 2 1x x x x+ + − − > ; 
( ) ( )224 4 2 2x x x x x− − + + − > ; ( )( )3 6 3 6 3x x x x+ + − − + − > ; 3443 23 +=++ xxxx 
. Giải bất phương trình: 3 13 2 7
22
x x
xx
+ < + − ; 2 14 2 2
2
x x
xx
+ < + + 
. Giải bất phương trình: 12 3
1
x x
x x
+
− >
+
. ðáp số: 4 1
3
x− < <− 
. Giải bất phương trình: 1 15 2 4
22
x x
xx
  + < + +  
. ðáp số: 3 30; 2 2;
2 2
     − ∪ + +∞       
. Giải phương trình 2 12 3 1x x x x
x
+ − = + ð/s: 1 5
2
±
. ( )( )25 3 1 2 15 8x x x x+ − − + + − = ; ( )( )22 1 2 2 3x x x x+ − − + − − = 
. Giải bất phương trình: 22 2 5 2 2 9 10 23 3x x x x x+ + + + + + ≥ − . ð/s: [2; + ∞) 
. Giải bất phương trình: 21 4 3 9x x x x+ + − ≥ − + . ð/s: [0; 3] 
. Giải bất phương trình: 3 10 4 ( 3)(10 ) 29x x x x+ + − + + − ≤ . ð/s: [-3;1] và [6;10] 
. Giải phương trình: 2 4 23 2 1x x x x+ − = + . ð/s: 1 5
2
x =
±
. Giải phương trình: 2 4 31 x x x x x+ + + = − . Chia cho x rồi đặt 
. Giải phương trình: ( )( ) xxxxxx 23413 22 =++++−+ ð/S: 
2
131
;
2
51 +
=
+
= xx 
. Giải bất phương trình: 2 2 3
2 23 4x x
x x
+ + ≤ + . ð/s: x = 1 
. Giải phương trình: 3 24 12 6x x+ + − = 
. Giải bất phương trình: 32 3 1 3 1 5 8x x+ + − < . ð/s: 13
5
x− < ≤ 
. Gbpt: 25 8 4 1 2 4 4 3 4 0x x x x x− − + + − − − − > . ð/s: 404 ; 8
9
x x≤ 

 Kĩ năng thứ sáu: ðặt 1 ẩn phụ t đưa về phương trình ẩn t và x “giải được” 
. Giải phương trình: ( ) 2 22 1 2 1 2 1x x x x x− + − = − − 
ðặt 2 2 1t x x= + − viết phương trình thành: ( ) ( )( )2 2 1 4 0 2 2 0t x t x t t x+ − − = ⇔ − + = 
. Giải phương trình: ( ) 2 24 1 1 2 2 1x x x x− + = + + 
ðặt 2 1t x= + viết phương trình thành: ( ) ( )( )22 4 1 2 1 0 2 1 2 1 0t x t x t t x− − + − = ⇔ − − + = 
. Giải phương trình: 2 12 3 1 4 3x x x
x
+ + =− + + ðáp số: 3 17 3 37;
4 14
x x
− +
= = 
. Giải phương trình: 3)15(326 323 +−=+−+ xxxxx ðáp số: x =1; 234;
2
213
+=
±
= xx 
. Giải các phương trình: ( ) 3 34 1 1 2 2 1x x x x− + = + + ; ( )2 23 11 3 11x x x x+ + = + + ; 
( )2 21 2 2 2x x x x x+ − = + − + ; ( )2 2 23 2 1 2 2x x x x+ − + = + + ; 22 3 3 22 3 1x xx x x+ ++ + = + ; 
( ) 2 21 2 3 1x x x x+ − + = + ; ( ) 2 22 1 2 1 2 1x x x x x− + − = − − ; ( )23 7 8 4 2 8 0x x x x+ + − + + = ; 
ðỗ Ngọc Nam_THPT Trung Giã Page 5 0949088998 
3)13(323 22 ++=++ xxxx . ð/s: x = 1; )61(31310 22 xxxx ++=++ . ð/s: x = 1; x = 7 3
4
−

 Kĩ năng thứ bảy: ðặt 1 ẩn phụ t đưa về hệ phương trình t và x 
. Giải phương trình: 3 23 12 17 3 16 19x x x x− + =− + − 
. Giải phương trình 2 2 2 2 1x x x− = − ; 29 6 14 3 16x x x+ − = + ; 22 6 1 4 5x x x− − = + ; 
3 32 2 1 1x x= − − ; 3 23 3 4 3 2x x x x+ = + + − 
1 ẨN PHỤ 
. Giải phương trình: 08)24(873 2 =++−++ xxxx ðS; x =1 
. Giải bất phương trình: 2 2( 2) ( 1 1) (2 1)x x x− ≥ − − − . ð/s: [1; 5] Liên hợp 
. Giải bất phương trình: ( )
2
2 4
1 1
x
x
x
> −
+ +
. ð/s: −1 ≤ x < 8 
. Giải bất phương trình 
( )
2
2
2 21
3 9 2
x
x
x
< +
− +
. ðáp số: { }9 7; 0
2 2
\
 −  
. Giải bất phương trình sau:: 2 24( 1) (2 10)(1 3 2 )x x x+ < + − + 
. Giải bất phương trình: 22 2 5 2 2 9 10 23 3x x x x x+ + + + + + ≥ − . ð/s: [2; + ∞) 
. Giải phương trình 24 7 1 2 2x x x+ + = + . ðS: 7 11, ,
4 4
x x x= − = − = . 
. Giải phương trình: +− + + − = −
−
1
( 3)( 1) 4( 3) 3
3
x
x x x
x
. ðS: = − = −1 13; 1 5x x 
. Giải phương trình 22 6 1 4 5x x x− − = + . 
. Giải phương trình ( ) 235 2 5 2 2x x x x+ = + − − . ð/s: x = - 2; x = - 3. ðặt 1 ẩn phụ. 
. Giải phương trình 3 2 4 2315 14 1x x x x x+ = + + + . ð/s: 132 1023;
32 1023
+
+
. 33 2 4 215 1 14x x x x x− + = + − . ð/s: 1; - 1; 1 5 ;32 5 41
2
+
+ . Chia cho x rồi đặt 
. Giải phương trình 2( 5 2)(1 7 10) 3x x x x+ − + + + + = . ð/s: - 1; - 4. 
. Giải bất phương trình: 27 7 7 6 2 49 7 42 181 14x x x x x+ + − + + − ≤ − . ð/s: 6 6
7
x≤ ≤ 
. 24 4 2x x x x− + = − + . ð/s: 0; 2; ( ) ( )227 5 4 2 1x x x+ + − = + . ð/s: -5; 4. 
. Giải bất phương trình: 2 23 6 4 3 8x x x x− + ≥ − − + . ð/s: x ≥ ≤ −5; 2x 
. Giải phương trình 5 1 6x x+ + − = ; 2 22 5 3 4 5 3x x x x x+ + = − − . 
. Giải bất phương trình: 24 4 16 6
2
x x
x x
+ + − ≤ + − − . ð/s: T= [ )5;+∞ 
. Giải bất phương trình : 24427 −+>−+
x
x
x
x
xx 

 Kĩ năng thứ tám: ðặt 2 ẩn phụ u và v hồn tồn, đưa về phương trình ẩn u và v “giải 
được” 
“Giải được” được hiểu với 2 khả năng sau: 
Thứ nhất: đĩ là một phương trình thuần nhất bậc (thường là bậc 2 hoặc bậc 3). 
Thứ hai: đĩ là một phương trình bậc 2 với ẩn này, ẩn kia coi là tham số mà 2ξ∆= 
PT, BPT Vơ tỷ Page 6 22/10/2013 
Thứ ba: đĩ là một phương trình sinh ra do một hàm ψ đơn điệu trên miền D⊂ℝ nào đĩ. Tức là 
phương trình đĩ cĩ dạng: ( )( ) ( )( )u x v xψ ψ= 
. Giải bất phương trình: ( )
211 1 2 1
2 4 8
xx
x x
++
− + ≥ − + . ð/s: 7 40= ±x 
. Giải bất phương trình: 22 6 8 1 3x x x x+ + + + ≤ + . ðáp số: x = - 2 
. Giải bất phương trình: 
( )2
1
1 2 1
x x
x x
−
≥
− − +
 . (A2010) ðáp số: 3 5
2
x
−
= 
. Giải phương trình: 2 2 2( 6 11) 1 2( 4 7) 2x x x x x x x− + − + = − + − Kết luận: 5 6x = ± 
. Giải phương trình: 
3 3
3 3
7 5 6
7 5
x x
x
x x
− − −
= −
− + −
 ðáp số: x = 5; x = 6; x = 7 
. Giải phương trình: ( )( )31 2 1 3 6 6x x x x− − + + = + . ðáp số: x = 2. 
. Giải phương trình: ( )2 32 5 2 4 2 21 20x x x x− + = − − . ðáp số: 9 193 17 3 73,4 4x x
± ±
= = 
. Giải phương trình: 3 23 5 3 3 1 3 1( )x x x x x+ + + = + + ðáp số:x =1, x=0 
. Giải phương trình: 3 223 497654 −+=+−− xxxxx ðáp số:
2
51
;5 ±−=x 
. Giải phương trình: xxxx 315333 323 −=+−+ ðáp số : 2;1 −=x 
. Giải phương trình: 29 12 2 3 8x x x+ − = + ðáp số:
6
215
;
3
1 −−
== xx 
. 2 24 5 1 2 1 9 3x x x x x+ + − − + = − ; 2 29 24 6 59 149 5x x x x x− + − − + = − 
. Giải phương trình 21 4 1 3x x x x+ + − + ≥ (B2012); 21 4 1 2x x x x− + − + ≤ 
. Giải phương trình 24 1 1 3 2 1 1x x x x+ − = + − + − 
. Giải các phương trình bằng cách đặt 2 ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2: 
( )( )2 22 3 3 4 4 5x x x x x− + = + − − ; 2 32 7 3 2 3 0x x x x− + − + + = ; 2 32 5 1 7 1x x x+ − = − ; 
2 4 233 1 1
3
x x x x− + = − + + ; 2 3 2
63 2 2 3 4 2
30
x x x x x− − = + + + ; ( )2 34 6 3 13x x x+ − + = 
2 26 3 1 3 6 19 0x x x x x+ − + − − − + = ; 2 44 2 2 4 1x x x− + = + ; 2 32 5 22 5 11 20x x x x− + = − + 

 Kĩ năng thứ chín: ðặt 2 ẩn phụ u và v hồn tồn, đưa về hệ phương trình 
. Giải phương trình: 3 24 12 6x x+ + − = . ðáp số: 24, 88, 3x x x= − = − = . 
. Giải phương trình: 6 2 6 2 8
35 5
x x
x x
− +
+ =
− +
. ðáp số: x = 4; x = - 4. 
. Giải phương trình: ( )23 14 5 2 7 1 2x x x x x+ + − = + + − − . ðáp số: x = 3. 
. Giải phương trình: ( ) ( ) 24 1 3 2 7 4 2 1 2 4 8 3 4x x x x x x− − + − − = − + − + 
. Giải bất phương trình: ( )7 3 7 4 7 7 32x x x− + − − = . ð/s: 11 2 2
2
±
. Giải phương trình: ( ) ( )5 1 2 1 7 3 1x x x x+ + − + = 
. Giải phương trình ( )( )22 1 2 2 3x x x x+ − − + − − = 
. Giải phương trình ( )( ) 22 2 3 2 1 2 5 3 1 0x x x x x+ + − + + + + − = . ð/s: - 1; -1/2; 3. 
ðỗ Ngọc Nam_THPT Trung Giã Page 7 0949088998 
. Giải phương trình 22 5 4 1 2 4 4 17 4x x x x x+ + + = + + + + . ð/s: 0; 12 
. Giải phương trình: 22 5 2 2 9 10 3 8x x x x x− − − + − + = − . 
. Giải phương trình: 3 3 9 3x x+ − = 
. Giải phương trình 4 457 40 5x x− + + = ( ) ( )n na f x b f x c→ + + − = : 
2 ẨN PHỤ 
. Giải phương trình: 243
30
6223 232 +++=−− xxxxx ðS:
3
2
;2 −=x 
. Giải phương trình: 4 4 17 3x x+ − = . Hai ẩn phụ đưa về hệ. ðS: 1, 16x x= = . 
. Giải phương trình: ( ) ( )27 2 5 4 2x x x+ ≥ + + 
. Giải bất phương trình: 
21 1 1
2 2 1
1 1
x x x
x
+ + −
> −
− −
. ðặt được 2 ẩn phụ sau khi quy đồng. 
. 21 3 1 3 1x x x x+ + + = − + − . ð/s: 0; - 24/25. ðặt 2 ẩn phụ tạo tích. 
. 24 4 5 4 1 4 17 4 11 0x x x x x− + − + + + + + = ; ( ) ( )3 1 3 1 2 0x x x x x+ + + − − + > 
. Giải phương trình ( )6 1 9 9 2 1x x x x− + + = − − + . ð/s: 0; 3; 8. 
. ( ) 29 2 9 3 1 8 9 0x x x x x+ − − + + + − + + = ; − − − + − + = −22 5 2 2 9 10 3 8x x x x x 
. Giải phương trình ( ) 23 1 2 1 2 2 3 1x x x x x+ − + − = − + . ð/s: ( )1;5;4 3 7+ 
. Giải phương trình ( ) ( )322 1 1 2 3 1 2 1 1x x x x x+ − + − + = − + . ð/s: 3/2; 5 
. 3 2 5 42 3 1 1x x x x x− − + = + + . ð/s: x = 0, - 1, 2. phân tích trong căn thành tích 
. Giải bất phương trình: ( ) ( ) ( )23 2 1 4 4 1 6 1 2x x x+ + + − − < + − . ð/s: 62; 5 −   
. Giải bpt: ( ) ( )− − + − − > + − −213 4 2 3 4 3 5 2 2 8 16 4 15x x x x x x . ð/s: { }  
 
3 5
;
2 2
\ 2 

 Kĩ năng thứ mười: ðặt 2 ẩn phụ u và v, đưa về hệ tạm cịn x 
. Giải phương trình: 2 22 9 2 1 4x x x x x+ + + − + = + . ðáp số: x = 0 v x = 8
7
. Giải phương trình: 2 22 1 1 3x x x x x+ + + − + = . ð/s : x = 1 
. Giải phương trình: 2 2 2
7 7
x x x
x x
− + − = ð/s: x = 2. 

 Kĩ năng thứ mười một: ðặt ẩn phụ đưa về phương trình lượng giác 
Một số dấu hiệu đặc trưng: 
Trong phương trình xuất hiện 21 x− thì đặt sin ;
2 2
x t t
π π 
 = ∈ −
  
Trong phương trình xuất hiện 21 x+ thì đặt tan ;
2 2
x t t
π π = ∈ −   
. Giải phương trình 2 31 4 3x x x− = − . ðáp số: 1 2 2,
42
x x
+
= − = ± . 
. Giải phương trình ( ) ( )33 2 21 2 1x x x x+ − = − . ðáp số: 2 1 2 2 2,2 2x x
− − −
= = 
PT, BPT Vơ tỷ Page 8 22/10/2013 
. Giải phương trình: ( )
222
2
2
111
2 2 (1 )
xx
x
x x x
++
+ + =
−
 ðáp số: 1
3
x = 
. Giải phương trình: 
2
2
2
(1 ) 3 1 0
1
x x
x
x
+
− − =
−
 ðáp số 1
2
x = 
. Giải phương trình: + − = + −2 21 1 (1 2 1 )x x x . ðS: x =1/2; x =1 

 Kĩ năng thứ mười hai: Kĩ năng biến đổi liên hợp 
 Liên hợp là một quy tắc mà bạn cĩ thể khử căn “gián tiếp” để nhanh chĩng lấy được biểu thức để 
tạo nhân tử mà ta mong muốn. 
f gf g f g
−
− =
+
, 
3
3
2 23 3
f gf g
f g f g
−
− =
+ +
. Giải phương trình: 3 2 4 1 2 3x x x+ = − + − . ð/s: x = 2 là nghiệm; 31 24 4x x x+ − + = − 
. Giải phương trình: ( )( ) ( )( )2 2 1 3 6 4 6 2 1 3 2x x x x x x+ − − + = − + − + + . ð/s: x = 7 
. Giải phương trình bằng cách nhân liên hợp: 22 1 5 4 2 0x x x x+ − − + − − = ; 
. Giải phương trình: ( )9 4 1 3 2 3x x x+ − − = + ð/s: x = 6 là nghiệm. 
. 22 4 2 5 1x x x x− + − > − − 
. Giải phương trình: 3 2 31 3 2 2 3x x x− + − + = . ðáp số: x = 1 
. Giải phương trình: 1 1 1 13
2 3 4 3 5 6x x x x
 
+ = + 
− − − 
. ðáp số x = 3 
. Giải phương trình: ( )2 23 4 1 4 2x x x x x− − = − − − . ð/s: x = 2; x = 5 
. Giải phương trình: 23 1 6 3 14 8 0x x x x+ − − + − − = (B 2010). ðáp số: x = 5 
. Giải phương trình: 23 2x x x x+ − = − − . ðáp số: 3 5
2
x
+
= 
. Giải phương trình: 3(2 2) 2 6x x x+ − = + + . ðáp số: x =3; x =11 15
2
−
. Giải phương trình: ( )2 2 2 23 5 1 2 3 1 3 4x x x x x x x− + − − = − − − − + . ðáp số : x = 2 
. Giải bất phương trình: 2 22 3 3 6 11 1x x x x x x− + − − ≥ − + − − ð/s: [2; 3] 
. Giải bất phương trình: 21 1 4 3x x x+ + < + ð/s: 1 ;
2
  +∞ 
; 3 2 4 11x x x+ − > + + 
. Giải bất phương trình: 2 113 8 1
5
x
x x
−
− − + > . ð/s: (3; 8) 
. Giải bất phương trình: 53 8 1
2 11
x x
x
− − + >
−
. ð/s: ( )113; 8;
2
 
∪ +∞ 
 
. Giải bất phương trình: 2 22 3 8 2x x x x+ − + − ≤ . ð/s: x = 1 
. Giải bất phương trình: 2 32 5 7 1x x x x− + − + > − . ð/s: x < 1 
. Giải bất phương trình: 3 2 9
3 1 3
x x
xx x
− −
>
+ + +
 (ðỗ Ngọc Nam). ð/s: [ ) ( ]1;0 8;9S = − ∪ 
. Giải bất phương trình: 1
2 1 4 1
x
x
x x
> −
+ − +
 (ðỗ Ngọc Nam) ðáp số: [ )1;2S = 
. Giải: 2 22 6 8 2 4 6 3 4 3 3 1 0x x x x x x+ − + + − − + − + − > ð/s: ( )6;S = +∞ 
ðỗ Ngọc Nam_THPT Trung Giã Page 9 0949088998 
. Giải bất phương trình: x 14 24 3x
x 5 3 19 2x x 5
− −
<
− + − + −
 (ðỗ Ngọc Nam) ðáp số: S = [5; 9) 
. Giải phương trình: 2 1 2 2x x x− − + > − . ðáp số: 1;7 33 2;7 33S    = − ∪ +       
. Giải bất phương trình: 2 1 5 3x x x− − + > − ðáp số: ( )8 48;3− 
LIÊN HỢP 
. Giải phương trình: 4 1 52x x x
x x x
+ − = + − ðS: x=2 
. Giải phương trình: ( )( ) xxx 21111 =+−−+ ðS:x = 0;-24/25 đặt 2 ẩn phụ 
. ( )( )4 2 2 6 1 3x x x+ + + − > . ð/s: -3<=x<5; ( )( )2 6 2 1 3 4x x x+ + + − − = ð/s: x = 7. 
. Gpt: 2 23 4 4 6 11 10 2 2 5 5x x x x x x+ − + + − = + + + + . ð/s: x = 2. 
. Giải bất phương trình: ( )
2
2 4
1 1
x
x
x
> −
+ +
. ð/s: −1 ≤ x < 8; 4 2 1 2 17x x
x
+ + ≥ + ð/s: (0; 4] 
. ( )3 2 2 2 6x x x+ − = + + ; 3 2 4 11x x x+ − > + + ; 5 32314 +=−−+ xxx ðS: 2=x 
. Giải phương trình: 22 3 1x x x x+ + − = − + . ð/s: x = 2; x = - 1. Ẩn phụ 
. Giải phương trình: 4 4 320 9 7x x x+ − + = − . ð/s: x = 2. 
. Giải phương trình: 
2
3 5 42 5 24 23
3
x
x x x
+
− + + − = . ðáp số: x = 1; x = 2. 
. 25 6 8 9 2 5 11 7x x x x x+ + + = + + + + . ð/s: -1; 2 
. 24 2 22 3 8x x x+ + − = + ; 22 1 5 1 1x x x− + − = + ; 27 1 2 2x x x x+ − − = − + . ð/s: x = 2 
. Gpt: 7224232 22 ++−=+ xxx ðS: 1=x ; 2 215 3 2 8x x x+ > − + + . ðáp số: x<1; 

 Kĩ năng thứ mười ba: Kĩ năng sử dụng hàm số 
. Giải bất phương trình: ( )2 22 1 2 1 2 3 0x x x x x x+ + + + + + + > . ð/s: 1 ;
2
S
 = − +∞  
. Giải bất phương trình: 3 2 1 5 8x x x x− + − < + − + ðáp số: 1 3x≤ < 
. (*)Giải phương trình: 2 22 3 2 3 3 4 3x x x x− − + − + = . ð/s: x = 3 

 Kĩ năng thứ mười bốn: Kĩ năng đánh giá biểu thức 
 Với phương trình f g= muốn khẳng định x0 là một nghiệm duy nhất ta chứng minh 
( ) ( )0 0f f x g x g≤ = ≤ . Chú ý bất đẳng thức Cơ si và Bunhia, tam giác, vecto 
. Giải phương trình: 211 222 +−=++−+−+ xxxxxx . ð/s: x = 1. 
Chú ý: ta chứng minh ( ) ( )2 2
2 221 1 4 2xx x xx x x≤ ≤− − + −+ ++ + 
. Giải phương trình: 2 2
1 12 2 4x x
x x
 
− + − = − + 
 
. ð/s: x = 1. 
Chú ý: ta chứng minh: 
2 2
2
2
2
2
2
1 12 4 12 21 12 2 4x xx
xx xx
x
         ≤ − − = − + ≤     
   − + − − +        
   
. Giải phương trình: ( )
22 1
2 1 3 2
2
x
x x
−
+ + − = . ð/s: x = 1
2
− , 
3
2
. Giải phương trình 2 24 2 3 1 8 2 14x x x x− + + = − + . ðáp số: x = 1 
. Giải phương trình: 24 1 4 1 1x x− + − = . ðáp số 12x = 
PT, BPT Vơ tỷ Page 10 22/10/2013 
. Giải phương trình: 5 315 11 28 1 3x x x+ + = − ðáp số: x = - 1 
. Giải phương trình: 2 212 5 3 5x x x+ + = + + . ðáp số: x = 2 
. Giải phương trình:
2
1 1 2 4
x
x x+ + − = − . ðáp số x = 0 
. Giải phương trình: 2 2
x x -x+1+2 3x+1 = x +x+3
. ðáp số: x = 1 
. Giải phương trình: ( )12 12 5 4x x x x x+ + = − + − . ðáp số: x = 4 
. Giải phương trình: 11642 2 +−=−+− xxxx ðS: 3=x 
. Giải phương trình: 21 3 2 1x x x x+ + − = + . ð/s: x = 1; 1 2x = + . Bunhia. 
. ( ) ( ) 22 2 1 1 4 2 2 6 2x x x x x+ + + − − = + (bunhia) 

 Kĩ năng thứ mười năm: Ra địn phối hợp 
Cĩ những phương trình, bất phương trình bất trị với 14 kĩ năng trên; điều đĩ địi hỏi chúng ta ra địn 
theo cách riêng của mình! 
. Giải bất phương trình: 22 6 6 3 3 2 6 0x x x x− − − + − ≤ (ðỗ Ngọc Nam) 
ðáp số: 24 12 3 6x− ≤ ≤ . 
. Giải phương trình 2 25 14 9 20 5 1x x x x x+ + − − − = + . ð/s: 5 61 , 8
2
x x
+
= = . 
. Giải phương trình: 2 23 4 3 3 16 0x x x x+ − + − + = ð/s: 21 341
2
x
±
= bp, ẩn phụ 
. Giải phương trình 
2
2 2
1
x
x
x
+ =
−
2 2
ax
x b
x a
→ + =
−
 bình phương, ẩn phụ 
. Giải phương trình: ( )3 2 28 13 6 6 3 5 5 0x x x x x x− + + + − − + = nhân tử, ẩn phụ 
. Giải bất phương trình: 2 22 3 5 4 6x x x x x− − + ≤ − − . ð/s: 3 13x ≥ + 
. Giải bất phương trình 2 2
1 31
1 1
x
x x
+ >
−
−
; 2 2
1 3
1 1 1
x
x x
>
−
− −
 ẩn phụ 
. Giải phương trình: ( )2 24 7 7 2 1x x x x− = − − + . ð/s: x = 4; 2 11± 2 ẩn phụ 
. Giải bất phương trình: ( )( ) 22 2 1 1 5x x x x− + + < − ; ( )33 23 2 2 6x x x x− + + = 
. ( ) 35 1 1 3 4x x x+ + + = + . ð/s: x = - 1; ( )
2
3 7 8 1 2 1 1x x− + ≥ − − . ð/s: [1;5]. 
. Giải phương trình: 
4
462242
2 +
−
=−−+
x
x
xx ðS: 2;
3
2
=x 
o Nếu muốn thơng minh , bạn hãy học cách hỏi hợp lý, cách chăm chú lắng nghe, cách trả lời thơng 
minh và ngừng nĩi khi khơng cịn gì nĩi nữa. G. Lafata 
o Sở dĩ người ta ít nhớ những điều đã đọc được chính là vì tại người ta tự suy nghĩ quá ít. G. Lin-
then-béc 
o Hỏi một câu, chỉ dốt trong chốc lát. Khơng dám hỏi sẽ dốt nát suốt đời. Im lặng là cấp độ cao cả 
nhất của sự khơn ngoan. Ai khơng biết im lặng là khơng biết nĩi. Pithagos