Chuyên đề Rèn luyện kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8

TRƯỜNG TIỂU HỌC TÔ CHÂU
Họ và tên: Dương Đình Hiển
Giáo viên bộ môn: Toán
Tổ: Tự nhiên
Chuyên đề: RÈN LUYỆN KỸ NĂNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ CHO HỌC SINH LỚP 8
A/. MỞ ĐẦU
Lý do chọn đề tài
Toán học là bộ môn khoa học được coi là chủ lực, bởi trước hết Toán học hình thành cho các em tính chính xác, tính hệ thống, tính khoa học và tính logic, vì thế nếu chất lượng dạy và học toán được nâng cao thì có nghĩa là chúng ta tiếp cận với nền kinh tế tri thức khoa học hiện đại, giàu tính nhân văn của nhân loại.
Cùng với sự đổi mới chương trình và sách giáo khoa, tăng cường sử dụng thiết bị, đổi mới phương pháp dạy học nói chung và đổi mới phương pháp dạy và học toán nói riêng trong trường THCS hiện nay là tích cực hoá hoạt động học tập, hoạt động tư duy, độc lập sáng tạo của học sinh, khơi dậy và phát triển khả năng tự học, nhằm nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện và hình thành kĩ năng vận dụng kiến thức một cách khoa học, sáng tạo vào thực tiễn. 
Trong chương trình Đại số lớp 8, dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử là nội dung hết sức quan trọng, việc áp dụng của dạng toán này rất phong phú, đa dạng cho việc học sau này như rút gọn phân thức, quy đồng mẫu thức nhiều phân thức, giải phương trình,... Qua thực tế giảng dạy nhiều năm, cũng như qua việc theo dõi kết quả bài kiểm tra, bài thi của học sinh lớp 8 (các lớp đang giảng dạy), việc phân tích đa thức thành nhân tử là không khó, nhưng vẫn còn nhiều học sinh làm sai hoặc chưa thực hiện được, chưa nắm vững chắc các phương pháp giải, chưa vận dụng kĩ năng biến đổi một cách linh hoạt, sáng tạo vào từng bài toán cụ thể. 
Nhằm đáp ứng yêu cầu đổi mới phương pháp giảng dạy, giúp học sinh tháo gỡ và giải quyết tốt những khó khăn, vướng mắc trong học tập đồng thời nâng cao chất lượng bộ môn nên bản thân đã chọn đề tài:“ Rèn kĩ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử của học sinh - môn đại số 8 ”
Đối tượng nghiên cứu
Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử.
Phạm vi nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu trong phạm vi học sinh lớp 8/1, 8/2 của trường TH Tô Châu, năm học 2010 - 2011
Ý tưởng của đề tài rất phong phú, đa dạng, phạm vi nghiên cứu rộng, nên bản thân chỉ nghiên cứu qua bốn phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ở chương trình SGK, SBT toán 8 hiện hành.
Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu qua tài liệu: SGK, SGV, SBT toán 8, tài liệu có liên quan. 
Nghiên cứu qua thực hành giải bài tập của học sinh.
Nghiên cứu qua theo dõi kiểm tra. 
Nghiên cứu từ thực tế giảng dạy, học tập của từng đối tượng học sinh. 
B/. NỘI DUNG
1. Những giải pháp mới của đề tài
Ä Đề tài đưa ra các giải pháp mới như sau:
- Sắp xếp bài toán theo các mức độ, những dạng toán cơ bản.
- Xây dựng các phương pháp giải cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử.
j Đối với học sinh yếu, kém: Củng cố kiến thức cơ bản 
+ Phương pháp Đặt nhân tử chung
+ Phương pháp Dùng hằng đẳng thức
+ Phương pháp Nhóm nhiều hạng tử
k Đối với học sinh đại trà: Vận dụng và phát triển kỹ năng 
+ Phối hợp nhiều phương pháp (các phương pháp trên)
- Chữa các sai lầm thường gặp của học sinh trong giải toán.
- Củng cố các phép biến đổi cơ bản và hoàn thiện các kĩ năng thực hành.
- Tìm tòi những cách giải hay, khai thác bài toán.
- Giới thiệu hai phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (Nâng cao).
l Đối với học sinh khá, giỏi: Phát triển tư duy (giới thiệu hai phương pháp)
+ Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác.
+ Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử.
2. Các phương pháp thường gặp 
B Củng cố kiến thức cơ bản
 Các phương pháp cơ bản: 
u Phương pháp đặt nhân tử chung
Phương pháp chung: 
Ta thường làm như sau:
- Tìm nhân tử chung của các hệ số (ƯCLN của các hệ số).
- Tìm nhân tử chung của các biến (mỗi biến chung lấy số mũ nhỏ nhất ).
Nhằm đưa về dạng: A.B + A.C + A.D = A.(B + C + D).
„ Chú ý: Nhiều khi để làm xuất hiện nhân tử ta cần đổi dấu các hạng tử 
Ví dụ 1: Phân tích đa thức 14x2 y – 21xy2 + 28x2y2 thành nhân tử. (BT-39c)-SGK-tr19)
Giáo viên gợi ý: 
- Tìm nhân tử chung của các hệ số 14, 21, 28 trong các hạng tử trên ? 
(Học sinh trả lời là: 7, vì ƯCLN(14, 21, 28 ) = 7 )
- Tìm nhân tử chung của các biến x2 y, xy2, x2y2 ? (Học sinh trả lời là xy )
- Nhân tử chung của các hạng tử trong đa thức đã cho là 7xy.
Giải: 14x2 y – 21xy2 + 28x2y2 = 7xy.2x – 7xy.3y + 7xy.4xy 
= 7xy.(2x – 3y + 4xy) 
Ví dụ 2: Phân tích đa thức 10x(x – y) – 8y(y – x) thành nhân tử. (BT-39e)-SGK-tr19)
Giáo viên gợi ý: 
- Tìm nhân tử chung của các hệ số 10 và 8 ? (Học sinh trả lời là: 2)
- Tìm nhân tử chung của x(x – y) và y(y – x) ?
(Học sinh trả lời là: (x – y) hoặc (y – x) )
- Hãy thực hiện đổi dấu tích 10x(x – y) hoặc tích – 8y(y – x) để có nhân tử chung (y – x) hoặc (x – y)? 
Cách 1: Đổi dấu tích – 8y(y – x) = 8y(x – y)
Cách 2: Đổi dấu tích 10x(x – y) = –10x(y – x) (Học sinh tự giải )
Giải: 10x(x – y) – 8y(y – x) = 10x(x – y) + 8y(x – y)
 = 2(x – y).5x + 2(x – y).4y
 = 2(x – y)(5x + 4y)
Ví dụ 3: Phân tích đa thức 9x(x – y) – 10(y – x)2 thành nhân tử.
Lời giải sai: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) + 10(x – y)2 (đổi dấu sai )
 = (x – y)[9x + 10(x – y)] (sai từ trên)
 = (x – y)(19x – 10y) (kết quả sai )
Sai lầm của học ở đây là: 
Thực hiện đổi dấu sai: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) + 10(x – y)2 
Sai lầm ở trên là đổi dấu ba nhân tử : –10 và (y – x)2 của tích –10(y – x)2 
(vì –10(y – x)2 = –10(y – x)(y – x)).
Lời giải đúng: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) – 10(x – y)2 
 = (x – y)[9x – 10(x – y)]
 = (x – y)(10y – x) 
Qua ví dụ trên, giáo viên củng cố cho học sinh
Cách tìm nhân tử chung của các hạng tử (tìm nhân tử chung của các hệ số và nhân tử chung của các biến, mỗi biến chung lấy số mũ nhỏ nhất).
Quy tắc đổi dấu và cách đổi dấu của các nhân tử trong một tích. 
„ Chú ý: Tích không đổi khi ta đổi dấu hai nhân tử trong tích đó (một cách tổng quát, tích không đổi khi ta đổi dấu một số chẵn nhân tử trong tích đó).
v Phương pháp dùng hằng đẳng thức
Phương pháp chung
Sử dụng bảy hằng đẳng thức đáng nhớ dưới “dạng tổng hoặc hiệu” đưa về “dạng tích” 
1. A2 + 2AB + B2 = (A + B)2
2. A2 – 2AB + B2 = (A – B)2 
3. A2 – B2 = (A – B)(A + B) 
4. A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3 = (A + B)3 
5. A3 – 3A2 B + 3AB2 – B3 = (A – B)3 
6. A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)
7. A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)
Ví dụ 4: Phân tích đa thức (x + y)2 – (x – y)2 thành nhân tử. (BT- 28a)-SBT-tr6)
Gợi ý: Đa thức trên có dạng hằng đẳng thức nào ? (HS: có dạng A2 – B2 )
Lời giải sai: (x + y)2 – (x – y)2 = (x + y – x – y)(x + y + x – y) (thiếu dấu ngoặc) 
 = 0.(2x) = 0 (kết quả sai)
Sai lầm của học sinh ở đây là: Thực hiện thiếu dấu ngoặc
Lời giải đúng: (x + y)2 – (x – y)2 = [(x + y) – (x – y)].[(x + y) + (x – y)] 
 = (x + y – x + y)(x + y + x – y)
 = 2y.2x = 4xy
Các sai lầm học sinh dễ mắc phải
- Quy tắc bỏ dấu ngoặc, lấy dấu ngoặc và quy tắc dấu 
- Phép biến đổi, kĩ năng nhận dạng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương, bình phương của một hiệu. 
? Khai thác bài toán: Đối với học sinh khá giỏi, giáo viên có thể cho các em làm bài tập dưới dạng phức tạp hơn. 
 * Nếu thay mũ “2” bởi mũ “3” ta có bài toán
Phân tích (x + y)3 – (x – y)3 thành nhân tử (BT-44b)-SGK-tr20)
 * Đặt x + y = a, x – y = b, thay mũ “3” bởi mũ “6” ta có bài toán 
Phân tích a6 – b6 thành nhân tử (BT-26c)-SBT-tr6)
a6 – b6 = = (a3 – b3 )( a3 + b3 )
Ví dụ 5: Phân tích a6 – b6 thành nhân tử (BT-26c)-SBT-tr6)
Giải: a6 – b6 = = (a3 – b3 )( a3 + b3 ) 
 = (a – b)(a2 + ab + b2)(a + b)(a2 – ab + b2)
Giáo viên củng cố cho học sinh
Các hằng đẳng thức đáng nhớ, kĩ năng nhận dạng hằng đẳng thức qua bài toán, dựa vào các hạng tử, số mũ của các hạng tử mà sử dụng hằng đẳng thức cho thích hợp. 
w Phương pháp nhóm nhiều hạng tử
Phương pháp chung
Lựa chọn các hạng tử “thích hợp” để thành lập nhóm nhằm làm xuất hiện một trong hai dạng sau hoặc là đặt nhân tử chung, hoặc là dùng hằng đẳng thức. 
Thông thường ta dựa vào các mối quan hệ sau:
- Quan hệ giữa các hệ số, giữa các biến của các hạng tử trong bài toán. 
- Thành lập nhóm dựa theo mối quan hệ đó, phải thoả mãn:
+ Mỗi nhóm đều phân tích được.
+ Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì quá trình phân tích thành nhân tử phải tiếp tục thực hiện được nữa. 
1) Nhóm nhằm xuất hiện phương pháp đặt nhân tử chung
Ví dụ 6: Phân tích đa thức x2 – xy + x – y thành nhân tử. (Bài tập 47a)-SGK-tr22)
Cách 1: nhóm (x2 – xy) và (x – y)
Cách 2: nhóm (x2 + x) và (– xy – y )
Lời giải sai: x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y)
= x(x – y) + (x – y)
= (x – y)(x + 0) (kết quả dấu sai vì bỏ sót số 1)
Sai lầm của học sinh là: bỏ sót hạng tử sau khi đặt nhân tử chung
(HS cho rằng ở ngoặc thứ hai khi đặt nhân tử chung (x – y) thì còn lại là số 0) 
Lời giải đúng: x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y)
 = x(x – y) + 1.(x – y)
 = (x – y)(x + 1) 
2) Nhóm nhằm xuất hiện phương pháp dùng hằng đẳng thức
Ví dụ 7: Phân tích đa thức x2 – 2x + 1 – 4y2 thành nhân tử. 
Giải: x2 – 2x + 1 – 4y2 = (x2 – 2x + 1) – (2y)2 
= (x – 1)2 – (2y)2 
= (x – 1 – 2y)(x – 1 + 2y)
3) Nhóm nhằm sử dụng hai phương pháp trên
Ví dụ 8: Phân tích đa thức x2 – 2x – 4y2 – 4y thành nhân tử.
Lời giải sai: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y ) (đặt dấu sai)
 = (x + 2y)(x – 2y) – 2(x – 2y) (sai từ trên)
 = (x – 2y)(x + 2y – 2) (kết quả dấu sai)
Sai lầm của học sinh là: 
Nhóm x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y ) (đặt dấu sai ở ngoặc thứ hai) 
Lời giải đúng: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) + (– 2x – 4y ) 
 = (x + 2y)(x – 2y) – 2(x + 2y)
 = (x + 2y)(x – 2y – 2)
Qua các ví dụ trên, giáo viên lưu ý cho học sinh:
Cách nhóm các hạng tử và đặt dấu trừ “ – ” hoặc dấu cộng “ + ” ở trước dấu ngoặc, phải kiểm tra lại cách đặt dấu khi thực hiện nhóm.
Trong phương pháp nhóm thường dẫn đến sự sai dấu, vì vậy học sinh cần chú ý cách nhóm và kiểm tra lại kết quả sau khi nhóm.
Lưu ý: Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì quá trình phân tích thành nhân tử không thực hiện được nữa, thì cách nhóm đó đã sai, phải thực hiện lại.
B Vận dụng và phát triển kỹ năng
x Phối hợp các phương pháp thông thường
Phương pháp chung
Là sự kết hợp nhuần nhuyễn giữa các phương pháp nhóm nhiều hạng tử, đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức. Vì vậy học sinh cần nhận xét bài toán một cách cụ thể, mối quan hệ của các hạng tử và tìm hướng giải thích hợp.
Ta thường xét từng phương pháp: Đặt nhân tử chung ?
 Dùng hằng đẳng thức ?
 Nhóm nhiều hạng tử ?
Ví dụ 9: Phân tích đa thức x4 – 9x3 + x2 – 9x thành nhân tử. (BT- ?2 -SGK-tr22)
Gợi ý phân tích: Xét từng phương pháp: Đặt nhân tử chung ?
Dùng hằng đẳng thức ?
Nhóm nhiều hạng tử ?
Các sai lầm học sinh thường mắc phải
Lời giải chưa hoàn chỉnh: 
a) x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9) (phân tích chưa triệt để)
b) x4 – 9x3 + x2 – 9x = (x4 – 9x3 ) + (x2 – 9x)
 = x3(x – 9) + x(x – 9 ) 
 = (x – 9)(x3 + x ) (phân tích chưa triệt để)
Lời giải đúng: x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9) 
= x[(x3 – 9x2 ) + (x – 9)] 
= x[x2 (x – 9) + 1.(x – 9)]
= x(x – 9)(x2 + 1)
Ví dụ 10: Phân tích đa thức A = (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 thành nhân tử. 
(Bài tập 57- SBT-tr 9 toán 8 tập 1); (Đề thi học sinh giỏi lớp 8, Hà Đông - Hà Tây).
Trong ví dụ này có nhiều cách giải, học sinh cần phải linh hoạt lựa chọn cách giải phù hợp nhất, gọn nhất. 
Áp dụng hằng đẳng thức: (A + B)3 = A3 + B3 + 3AB(A + B)
Suy ra hệ quả sau: A3 + B3 = (A + B)3 – 3AB(A + B).
Giải: 
A = (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 = [(x + y) + z]3 – x3 – y3 – z3
 = (x + y)3 + z3 + 3z(x + y)(x + y + z) – x3 – y3 – z3 
 = [(x + y)3 – x3 – y3 ] + 3z(x + y)(x + y + z)
 = 3xy(x + y) + 3(x + y)(xz + yz + z2 ) 
 = 3(x + y)( xy + xz + yz + z2)
 = 3(x + y)(y + z)(x + z)
? Khai thác bài toán: 
1) Chứng minh rằng A chia hết cho 6 với mọi x, y, z nguyên.
2) Cho x + y + z = 0. Chứng minh x3 + y3 + z3 = 3xyz (Bài tập 38-SBT-tr7)
ù Hướng dẫn: 
Dùng x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) và x + y + z = 0 x + y = – z 
3) Phân tích đa thức x3 + y3 + z3 – 3xyz thành nhân tử (Bài tập 28c)-SBT-tr6)
ù Hướng dẫn: 
Dùng x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) 
Trong chương trình sách giáo khoa Toán 8 hiện hành chỉ giới ba phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đó là: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử. Tuy nhiên trong phần bài tập lại có những bài không thể áp dụng ngay ba phương pháp trên để giải, (Chẳng hạn như bài tập 53, 57 sgk/tr 24-25). Sách giáo khoa có gợi ý cách “ tách ” một hạng tử thành hai hạng tử khác hoặc “ thêm và bớt cùng một hạng tử ” thích hợp rồi áp dụng các phương pháp trên để giải . Xin giới thiệu thêm về hai phương pháp này, để học sinh vận dụng rộng rãi trong thực hành giải toán.
B Phát triển tư duy
Giới thiệu hai phương pháp phân tích khác: (Nâng cao)
y Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác
Ví dụ 11: Phân tích đa thức f(x) = 3x2 – 8x + 4 thành nhân tử.
Gợi ý ba cách phân tích: (chú ý có nhiều cách phân tích)
Giải: Cách 1 (tách hạng tử : 3x2) 3x2 – 8x + 4 = 4x2 – 8x + 4 – x2 
= (2x – 2)2 – x2 
= (2x – 2 – x)( 2x – 2 + x)
= (x – 2)(3x – 2)
Cách 2 (tách hạng tử : – 8x) 3x2 – 8x + 4 = 3x2 – 6x – 2x + 4
 = 3x(x – 2) – 2(x – 2)
 = (x – 2)(3x – 2)
Cách 3 (tách hạng tử : 4) 3x2 – 8x + 4 = 3x2 – 12 – 8x + 16
 = 3(x2 – 22 ) – 8(x – 2)
 = 3(x – 2)(x + 2) – 8(x – 2)
 = (x – 2)(3x + 6 – 8)
 = (x – 2)(3x – 2)
Nhận xét: Từ ví dụ trên, ta thấy việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử nhằm:
- Làm xuất hiện hằng đẳng thức hiệu của hai bình phương. (cách 1)
- Làm xuất hiện các hệ số ở mỗi hạng tử tỷ lệ với nhau, nhờ đó làm xuất hiện nhân tử chung x – 2 . (cách 2)
- Làm xuất hiện hằng đẳng thức và nhân tử chung. (cách 3)
Vì vậy, việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác là nhằm làm xuất hiện các phương pháp đã học như: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử là việc làm hết sức cần thiết đối với học sinh trong giải toán.
? Khai thác cách giải: Tách hạng tử: – 8x (Cách 2)
Nhận xét: Trong đa thức 3x2 – 6x – 2x + 4 ta thấy hệ số ở các số hạng là:
 3, – 6, –2, 4 tỷ lệ nhau hay (– 6).( – 2)= 3.4 và (– 6) + ( – 2)= – 8
Khai thác: Trong đa thức 3x2 – 8x + 4 đặt a = 3, b = – 8, c = 4
Tính tích a.c và phân tích a.c = b1.b2 sao cho b1 + b2 = b 
(ac = b1.b2 = 3.4 = (– 6).( – 2) = 12; b1 + b2 = b = (– 6) + ( – 2)= – 8)
Tổng quát: 
Để phân tích đa thức dạng ax2 + bx + c thành nhân tử, ta tách hạng tử bx thành b1x + b2x sao cho b1b2 = ac 
Trong thực hành ta làm như sau: 
Bước 1: Tìm tích ac.
Bước 2: Phân tích ac thành tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách .
Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng b.
Áp dụng: Phân tích đa thức – 6x2 + 7x – 2 thành nhân tử (Bài tập 35c)-SBT-tr7)
Ta có: a = – 6 ; b = 7 ; c = – 2 
Bước 1: ac = (–6).(–2) = 12
Bước 2: ac = (–6).(–2) = (–4).(–3) =(–12).(–1) = 6.2 = 4.3 = 12.1
Bước 3: b = 7 = 4 + 3
Khi đó ta có lời giải: – 6x2 + 7x – 2 = – 6x2 + 4x + 3x – 2
= (– 6x2 + 4x) + (3x – 2) 
= –2x(3x – 2) + (3x – 2) 
= (3x – 2)(–2x + 1)
Lưu ý: Đối với đa thức f(x) có bậc từ ba trở lên, để làm xuất hiện các hệ số tỉ lệ, tuỳ theo đặc điểm của các hệ số mà ta có cách tách riêng cho phù hợp nhằm để vận dụng phương pháp nhóm hoặc hằng đẳng thức hoặc đặt nhân tử chung.
Ví dụ 12: Phân tích đa thức sau ra thừa số : n3 – 7n + 6 
 (Đề thi học sinh giỏi lớp 9 vòng tỉnh năm học1999-2000 tỉnh Tây Ninh). Dành riêng học sinh giỏi
Giải: n3 – 7n + 6 = n3 – n – 6n + 6 
= n(n2 – 1) – 6(n – 1)
= n(n – 1)(n + 1) – 6(n – 1) 
= (n – 1)[n(n + 1) – 6] 
= (n – 1)(n2 + n – 6)
= (n – 1)(n2 – 2n + 3n – 6) 
= (n – 1)(n(n – 2) + 3(n – 2)) 
= (n – 1)(n – 2)(n + 3) 
Ví dụ 13: Phân tích đa thức x4 – 30x2 + 31x – 30 thành nhân tử.
 (Đề thi học sinh giỏi lớp 8 Thành phố Pleiku – Gia Lai, năm 2002-2003). Dành riêng học sinh giỏi
Ta có cách tách như sau: x4 – 30x2 + 31x – 30 = x4 + x – 30x2 + 30x – 30
Giải: x4 – 30x2 + 31x – 30 = x4 + x – 30x2 + 30x – 30
 = x(x3 + 1) – 30(x2 – x + 1)
 = x(x + 1)(x2 – x + 1) – 30(x2 – x + 1)
 = (x2 – x + 1)(x2 + x – 30)
 = (x2 – x + 1)(x – 5)(x + 6)
z Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử
Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử nhằm sử dụng phương pháp nhóm để xuất hiện dạng đặt nhân tử chung hoặc dạng hằng đẳng thức.
Ví dụ 14: Phân tích đa thức x4 + x2 + 1 thành nhân tử.
Ta có phân tích: 
- Tách x2 thành 2x2 – x2 : (làm xuất hiện hằng đẳng thức)
Ta có x4 + x2 + 1 = x4 + 2x2 + 1 – x2 = (x4 + 2x2 + 1) – x2 
- Thêm x và bớt x: (làm xuất hiện hằng đẳng thức và đặt nhân tử chung)
Ta có x4 + x2 + 1 = x4 – x + x2 + x + 1 = (x4 – x) + (x2 + x + 1) 
Giải: x4 + x2 + 1 = x4 – x + x2 + x + 1 
= (x4 – x) + (x2 + x + 1)
= x(x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)(x2 – x + 1)
Ví dụ 15: Phân tích đa thức x5 + x4 + 1 thành nhân tử.
Cách 1: Thêm x3 và bớt x3 (làm xuất hiện hằng đẳng thức và đặt nhân tử chung)
Giải: x5 + x4 + 1 = x5 + x4 + x3 – x3 + 1
= (x5 + x4 + x3 )+ (1 – x3 )
= x3(x2+ x + 1)+ (1 – x )(x2+ x + 1)
= (x2+ x + 1)(x3 – x + 1 )
Cách 2: Thêm x3, x2, x và bớt x3, x2, x (làm xuất hiện đặt nhân tử chung)
Giải: x5 + x4 + 1 = x5 + x4 + x3 – x3 + x2 – x2 + x – x + 1
= (x5 + x4 + x3) + (– x3 – x2 – x ) + (x2 + x + 1)
= x3(x2 + x + 1) – x(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)(x3 – x + 1 )
„ Chú ý: Các đa thức có dạng x4 + x2 + 1, x5 + x + 1, x5 + x4 + 1, x7 + x5 + 1,.; tổng quát những đa thức dạng x3m+2 + x3n+1 + 1 hoặc x3 – 1, x6 – 1 đều có chứa nhân tử x2 + x + 1. 
Ví dụ 16: Phân tích đa thức x4 + 4 thành nhân tử. (Bài tập 57d)-SGK-tr 25)
Gợi ý: Thêm 2x2 và bớt 2x2 : (làm xuất hiện hằng đẳng thức)
Giải: x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 – 4x2 = (x2 + 2)2 – (2x)2 = (x2 + 2 – 2x)( x2 + 2 + 2x)
? Khai thác bài toán:
* Thay “4” thành “ 64y4 ”, ta có bài toán: x4 + 64y4
Hướng dẫn giải: 
Thêm 16x2y2 và bớt 16x2y2 : (làm xuất hiện hằng đẳng thức)
x4 + 64y4 = (x4 + 16x2y2 + 64y4 ) – 16x2y2 
 = (x2 + 8y2)2 – (4xy)2 = (x2 + 8y2 – 4xy)(x2 + 8y2 + 4xy)
Trên đây là một vài ví dụ điển hình giúp các em học sinh giải quyết những mắc mứu trong quá trình giải bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử.
„ Chý ý: 
Phương pháp đặt nhân tử chung không thể sử dụng liên tiếp nhau ở hai bước liền
Phương pháp nhóm không thể sử dụng liên tiếp nhau ở hai bước liền
Phương pháp dùng hằng đẳng thức có thể sử dụng liên tiếp nhau ở hai bước liền
* Trong phương pháp đặt nhân tử chung học sinh thường hay bỏ sót hạng tử
* Trong phương pháp nhóm học sinh thường đặt dấu sai 
Vì vậy, giáo viên nhắc nhở học sinh cẩn thận trong khi thực hiện các phép biến đổi, cách đặt nhân tử chung, cách nhóm các hạng tử, sau mỗi bước giải phải có sự kiểm tra. Phải có sự đánh giá bài toán chính xác theo một lộ trình nhất định, từ đó lựa chọn và sử dụng các phương pháp phân tích cho phù hợp. 
Xây dựng học sinh thói quen học tập, biết quan sát, nhận dạng bài toán, nhận xét đánh giá bài toán theo quy trình nhất định, biết lựa chọn phương pháp thích hợp vận dụng vào từng bài toán, sử dụng thành thạo kỹ năng giải toán trong thực hành, rèn luyện khả năng tự học, tự tìm tòi sáng tạo. Khuyến khích học sinh tham gia học tổ, nhóm, học sáng tạo, tìm những cách giải hay, cách giải khác. 
Tô Châu, ngày 17 tháng 03 năm 2011
 Người thực hiện 
 D­¬ng §×nh HiÓn